Как найти дифференциал второго порядка
Перейти к содержимому

Как найти дифференциал второго порядка

  • автор:

Теоретический материал

1°. Частные производные высших порядков. Частными производными второго порядка функции z= f (х,у) называются частные Производные от ее частных производных первого порядка.

Для производных второго порядка употребляются обозначения

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример. Найти частные производные второго порядка от функции .

Решение. Найдем сначала частные производные первого порядка:

Теперь дифференцируем вторично:

Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную можно найти и иначе, а именно: .

2°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом второго порядка функции z=f(х, у) называется дифференциал от дифференциала (первого порядка) этой функции d²z=d(dz).

Аналогично определяются дифференциалы функции г порядка выше второго, например: d³z=d(d²z) и, вообще, .

Если z=f(х,у), где х и y — независимые переменные, то дифференциал 2-го порядка функции г вычисляется по формуле

Вообще, справедлива символическая формула

которая формально развертывается по биномиальному закону.

Если z=f(х,у), где аргументы х и у суть функции одного или нескольких независимых переменных, то

Если х и у — независимые переменные, d ² x =0, d ² y =0 и формула (2) становится тождественной формуле (1).

Пример. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции .

Решение. 1-й способ. Имеем: .

2-й способ. Дифференцированием находим:

Дифференцируя ещё раз и помня, что dx и dy не зависят от х и у, получим:

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция $y=f(x)$ зависит от переменной $x$ и дифференцируема в точке $x$. Может оказаться, что в точке $x$ дифференциал $d y=f^<\prime>(x) d x$, рассматриваемый как функция от $x$, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала $d(dy)$ данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции $y=f(x)$. Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Дифференциалом $n$-го порядка $d_ny$ функции $y=f(x)$ называется дифференциал от дифференциала $(n-1)$-го порядка этой функции, то есть

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть $y=f(x)$ — функция независимой переменной $x$, имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где $dx=\Delta x$ — некоторое приращение независимой переменной $x$, которое мы задаем сами и которое не зависит от $x$. По определению

Переменной является аргумент $x$. Значит, для дифференциала величина $dx$ является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала $d\left(f^<\prime>(x)\right)$ применим формулу дифференциала первого порядка к функции $f^<\prime>(x)$. Тогда получим:

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала $n$-го порядка:

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции $y(x)=4x^3-12x+5$

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Ответ. $d^y=24dx^3$

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция $y=f(u(x))$. Тогда

где $d u=u^<\prime>(x) d x$ в общем случае не является постоянной величиной. Поэтому дифференциал от функции $f^<\prime>(u) d u$ берем как дифференциал от произведения

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 461 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти дифференциал второго порядка $d^u$ функции $f(u)=\sqrt$, где $u(x)=3x+7$ и $x$ — независимая переменная.

Решение. Решим пример разными способами и сравним ответы.

1-ый способ. Согласно формуле, имеем, что искомый дифференциал

Найдем все необходимые компоненты формулы. Из условия имеем:

2-ой способ. Из того, что $f(u)=\sqrt$ и $u(x)=3 x+7$, получаем:

Найдем вторую производную функции $f(x)=\sqrt$:

Дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала второго порядка применяется формула:

Задание Найти дифференциал второго функции y(x) = x^2 + \arccos x
Решение По определению второй дифференциал равен

Найдем вторую производную заданной функции. Для этого вначале продифференцируем ее по переменной :

\[ y'(x) = \left( x^2 + \arccos x \right)' = \left(x^2 \right)' + (\arccos x)' = 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

Вторая производная заданной функции:

\[ y''(x) = (y'(x))' = \left( 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right)' = (2x)' - \left( \left(1 - x^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \right)' = \]

\[ = 2 \cdot (x)' - \left( -\frac{1}{2} \right) \left( 1 - x^2 \right)^{-\frac{3}{2}} \left( 1 - x^2 \right)' = \]

\[ = 2 \cdot 1 + \frac{1}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} \left[ (1)' - (x^2)' \right] = 2 + \frac{1}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} (0 - 2x) = \]

\[ = 2+ \frac{-2x}{2 \sqrt{(1 - x^2)^3}} = 2 - \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}} \]

Тогда искомый дифференциал второго порядка заданной функции

\[ d^2y = \left( 2 - \frac{x}{\sqrt{(1 - x^2)^3}} \right) dx^2 \]

Задание Найти дифференциал второго порядка функции заданной неявно:
Решение Найдем первый дифференциал

Согласно свойствам дифференциалов, дифференциал суммы равен суме дифференциалов, а дифференциал константы – нулю:

По свойствам расписываем дифференциал произведения:

\[ d(x) \cdot y + x \cdot dy + 2ydy = 0 \]

\[ ydx + xdy + 2ydy = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } dy = -\frac{ydx}{x + 2y} \]

Далее находим второй дифференциал Это есть дифференциал первого порядка от дифференциала первого порядка:

\[ d^2y = d(dy) = d \left( -\frac{ydx}{x + 2y} \right) \]

Расписываем дифференциал частного по соответствующему свойству:

6. Дифференциал второго порядка

  • Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка:

. Пример 4. Для функции найти дифференциал второго порядка. Найдем частные производные первого и второго порядка: ; ; ; ;; Дифференциал второго порядка равен .

7. Градиент функции двух переменных

  • Градиентом функциив точкеназывается вектор, начало которого – в точке , а координаты равны значениям частных производных в точке:

. Свойства градиента

  1. Градиент показывает направлениенаибольшего возрастания значений функции.
  2. Длина вектора градиента равен максимальной скорости изменения функции в направлении градиента.
  3. Для функции градиентперпендикулярен линии уровня, проходящей через точку .

Пример 5. Дана функция . Найти градиентв точкеи построить его. Найдем координаты градиента – частные производные. . В точке градиент равен . Начало векторав точке, а конец — в точке. 5 1 0 2 4 Аналогично определяется градиент функции трех переменных :

Контрольные вопросы

  1. Дайте определение функции двух переменных .
  2. Что является областью определения функции ?
  3. Что является графиком функции двух переменных ?
  4. Графиком какой функции двух переменных является плоскость?
  5. Что называется линией уровня функции ?
  6. Как расположены линии уровня линейной функции ?
  7. Как расположены линии уровня функции ?
  8. Запишите частное приращение функции двух переменных по переменной .
  9. Как определяется частная производная функции по переменной? По переменной?
  10. Как вычисляются частные производные?
  11. Дайте определение частных производных второго порядка, третьего, -го порядка функции.
  12. Что означает символическая запись ?
  13. Сформулируйте свойство смешанных частных производных функций двух переменных.
  14. Запишите полное приращение для функций двух переменных.
  15. Что называется полным дифференциалом функции ?
  16. Как найти полный дифференциал функции ?
  17. Запишите формулу для нахождения дифференциала второго порядка функции .
  18. Какова связь между полным дифференциалом функции нескольких переменных и ее полным приращением?
  19. Сформулируйте свойства градиента.
  20. Как расположен градиент функции относительно линий уровня?

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

1. Локальный экстремум

  • Значение называетсямаксимумом функции двух переменных, если оно является наибольшим в некоторой окрестности точки, т.е. в этой окрестности выполняется неравенство . Точканазываетсяточкой максимума.
  • Для минимума функции: .
  • Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

На рисунке точка является точкой максимума функции.

  • Точка называетсястационарной точкой функции, если она является внутренней точкой области определения функции и все частные производныепервого порядкав нейравны нулю.
  • Точка , в которой частные производные равны нулю или не существуют, называетсякритической точкой функции .

Таким образом, точки экстремума следует искать среди ее критических точек.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *