Как найти алгебраическое дополнение
Перейти к содержимому

Как найти алгебраическое дополнение

  • автор:

учимся
программировать

Программированию нельзя научить, можно только научится

Урок №9. Миноры и алгебраические дополнения

Миноры матрицы
Пусть дана квадратная матрица А, n — ого порядка. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n — ого порядка называется определитель (n — 1) — ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij.
Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 — его порядка:

, тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будет определитель:

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 — его порядка будет выглядеть так:

Миноры и алгебраические дополнения, разложение по строке

, знак перед произведением равен (-1)n, где n = i + j.

Алгебраические дополнения:
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется выражение вида: = , где минор элемента .
Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.
Пример. Алгебраическое дополнение элемента :
= =

Миноры и алгебраические дополнения, разложение по строке

Пример:

Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю.
Вырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой равен 0.

Вычисление определителя
Вычисление определителя может осуществляться путем разложения его по любой строке (столбцу) следующим образом,
по строке: = ++, (=1,2,3);

по столбцу: = ++, (=1,2,3).

Пример. Разложение определителя по первой строке
= ++;
= = ; = = ;
= = ;
=.

Пример. Вычисление определителя путем разложения по первой строке
= = ;
Аналогично данный определитель можно разложить по любой другой строке (столбцу).

Обратная матрица
Матрица называется обратной матрице , если = = , где — единичная матрица.
Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т.е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Для получения обратной матрицы используют формулу:
Формула для получения обратной матрицы
, где Мji дополнительный минор элемента аji матрицы А.
Свойства обратных матриц:

  1. (А-1)-1 = А;
  2. (АВ)-1 = В-1А-1;
  3. (АТ)-1 = (А-1)Т;

Пример получения обратной матрицы

Пример. Для матрицы A найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А

значит, обратная матрица существует.





откуда

Составитель: Салий Н.А.

Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Минором M ij к элементу aij определителя n -го порядка называется определитель ( n — 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i -той строки и j -того столбца.

Найти миноры матрицы A
A = 5 7 1 -4 1 0 2 0 3

5 7 1
-4 1 0
2 0 3

Определение.
Алгебраическим дополнением A ij к элементу aij определителя n -го порядка называется число

Свойства алгебраического дополнения матрицы

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

n
Σ aij ·A ij = det(A)
j = 1

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

n
Σ akj ·A ij = 0 ( i ≠ k )
j = 1

Сумма произведений элементов «произвольной» строки на алгебраические дополнения к элементам i -той строки определителя равна определителю, в котором вместо i -той строки записана «произвольная» строка.

Найти алгебраические дополнения матрицы A
A11 = 5 7 1 -4 1 0 2 0 3
A11 = (-1) 1 + 1 ·M11 = (-1) 2 · 1 0 0 3 = 1·3 — 0·0 = 3 — 0 = 3
A12 = (-1) 1 + 2 ·M12 = (-1) 3 · -4 0 2 3 = -(-4·3 — 0·2) = -(-12 -0) = 12
A13 = (-1) 1 + 3 ·M13 = (-1) 4 · -4 1 2 0 = -4·0 — 1·2 = 0 — 2 = -2
A21 = (-1) 2 + 1 ·M21 = (-1) 3 · 7 1 0 3 = -(7·3 — 1·0) = -(21 — 0) = -21
A22 = (-1) 2 + 2 ·M22 = (-1) 4 · 5 1 2 3 = 5·3 — 1·2 = 15 — 2 = 13
A23 = (-1) 2 + 3 ·M23 = (-1) 5 · 5 7 2 0 = -(5·0 — 7·2) = -(0 — 14) = 14
A31 = (-1) 3 + 1 ·M31 = (-1) 4 · 7 1 1 0 = 7·0 — 1·1 = 0 — 1 = -1
A32 = (-1) 3 + 2 ·M32 = (-1) 5 · 5 1 -4 0 = -(5·0 — 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4
A33 = (-1) 3 + 3 ·M33 = (-1) 6 · 5 7 -4 1 = 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Алгебраические дополнения

Определение . Если в определителе n -го порядка вычеркнуть i строку и j столбец, то оставшийся определитель ( n -1) -го порядка называется минором данного элемента ai j и обозначается Mi j . Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Главным минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении ее k строк и k столбцов с одинаковыми номерами.
Угловым минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении ее первых k строк и первых k столбцов.

  • Ввод данных
  • Видеоинструкция

Пример №1 . Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента a2 1 (выделен пунктиром).
Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент a2 1 , получим . Тогда A2 1 = (-1) 1+2 M2 1 = -14.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
D=a i0 1·A i0 1+a i0 2·A i0 2+ . + a i0 n·A i0 n (*)
где i0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i0.
Вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению одного определителя ( n-1 )-го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают ( n -1) нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

4.6. Миноры и алгебраические дополнения

Только что мы освоили упрощенный алгоритм расчёта определителей, но пришло время познакомить вас с более строгими обозначениями и терминологией. Заодно дадим определение определителя.

Начнём с компактного обозначения матрицы: , где или короче:

Эта запись обозначает матрицу, состоящую из элементов , где переменная «и» «пробегает» все натуральные значения от 1 до «эм», а переменная «жи» – все натуральные значения от 1 до «эн». Таким способом записывают матрицу размером «эм на эн» во многих источниках. Но я не зверь какой, и буду всё расписывать подробно, это вам просто для справки :). Однако здесь нам встретилась очень важная вещь в плане обозначений.

Смысл двойных подстрочных индексов: первое число обозначает номер строки, в котором расположен элемент, а второе число – номер столбца:

Это СТАНДАРТ. И не только в алгебре. Запомните данный факт!

Рассмотрим скромную матрицу («два на два»):

Подстрочные индексы элемента говорят о том, что он расположен в 1-й строке, 1-м столбце;
элемент расположен в 1-й строке, 2-м столбце;
элемент расположен во 2-й строке, 1-м столбце
и, наконец, элемент – во 2-й строке, 2-м столбце.

Хорошо, едем дальше.

Минором элемента квадратной матрицы называют определитель , полученный вычёркиванием строки и столбца, в котором расположен данный элемент. Если в результате вычёркивания осталось одно число, то минор равен определителю этого числа, то есть самому числу.

Алгебраическим дополнением элемента называют число . Проще говоря, если сумма индексов нечётна, то минор домножается на –1.

Так, в матрице «два на два» минором элемента является (вычеркнули 1-ю строку и 1-й столбец, где находится элемент ), и алгебраическое дополнение: .

Минор элемента – это число (вычеркнули 1-ю строку и 2-й столбец, где находится элемент ), алгебраическое дополнение:
;
минор элемента – это и алгебраическое дополнение

и минор элемента – это число с алгебраическим дополнением .

Определитель матрицы – это сумма произведений элементов любой строки либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения.

Разложим определитель матрицы «два на два», например, по 1-му столбцу:
, в результате чего получена известная нам формула.

Самостоятельно разложИте этот определитель тремя другими способами и убедитесь, что получится то же самое.

Теперь наиболее популярный случай:
! Проговорите вслух, что означают подстрочные индексы!

Найдём определитель этой матрицы, например, по первой строке. По определению:

…Знакомая картинка, не правда ли? По существу, в «матрице знаков» я замаскировал алгебраические дополнения, дабы не утопить начинающих в терминах. Ну а с маленькими определителями «два на два» снова разбираемся по определению определителя (см. выше), в результате чего получится не что иное, как формула треугольников.

И смотрИте, какАя штука: приведённое выше определение определителя определяет его через алгебраические дополнения, то есть, по сути, через другие определители (миноры). Такую схему называют рекурсией. И, используя рекурсивное определение определителя, можно получить формулу для вычисления определителя любого порядка.

Следует сказать, что определение определителя чаще всего даётся через так называемые перестановки и инверсии (из чего, кстати, следует только что упомянутая формула) Но это достаточно громоздкие выкладки, которые я оставлю за рамками настоящей книги, а то здесь нарисуется ещё две страницы крякозябр :D, и «чайники» таки утонут.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *