Как начертить вписанную окружность в треугольник
Перейти к содержимому

Как начертить вписанную окружность в треугольник

  • автор:

как правильно вписать окружность в треугольник ?

нарисовать срединные перпендикуляры.. ой, это для описанной снаружи. . (неверное прочитала условие сначала)
внутри — биссектрисы. , и точка их пересечения — это центр окружности. .

биссектрису угла построить сумеете. одна из задач на построение при помощи циркуля и линейки.. .
сначала ставите циркуль в вершину угла (пусть будет вершина А в треугольнике) , выбираете произвольный радиус и делаете отметки на обеих сторонах угла, АВ и АС.
теперь переставляете циркуль в одну из полученных точек (Например, сначала на отрезке АВ) , делаете радиус поменьше и вращаете циркуль в обе стороны (внутри треугольника)
аналогично, не меняя радиуса, на другой стороне (АС) .
эти две дуги, которые вы сейчас нарисовали, пересекаются в двух точках. соедините их и вершину угла А (а они все лежат на одной линии) — и вы получите искомую биссектрису.
аналогично в двух других углах треугольника.

когда построены все три — вы увидите центр вписанной окружности в точке их пересечения. радиусы окружности — это перпендикуляры из этой точки (назовём её О) на все три стороны треугольника. они должны быть равны — проверьте, это заодно и проверка правильности построения исходных биссектрис. .
теперь можно уже начертить саму окружность. .
успехов!)

Остальные ответы
Проведи биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис будет центром окружности.
Провести в нём биссектриссы. Точка их пересечения есть центр окружности.

Сначала надо нарисовать треугольник, провести медианы углов и от точки пересечения медиан нарисовать окружность

Центр вписанной окр. находится в точке пересечения его биссектрис. Значит достаточно провести 2 биссектрисы.

Начертить окружность циркулем, взять произвольную точку ( будем считать что это первая вершина треугольника) , этим же циркулем от этой точки ставите точку пересечения с окружностью, от точки пересечения дальше ещё раз ( это вершина №2) и ещё 2 раза от этой точки дальше. Это будет вершина 3.

Как начертить вписанную окружность в треугольник

Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник — описанным около этой окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность и при этом только одну.

Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.

Описанная окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник — вписанным в эту окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность и при этом только одну.

Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности определяется по формуле:

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности определяется по формуле:

Прямоугольный треугольник

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен длине медианы, проведенной к гипотенузе.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности определяется по формуле:

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

ТЕОРЕМА 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается сторон этого угла.

ТЕОРЕМА 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

ТЕОРЕМА 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Существование окружности вписанной в треугольник основное свойство биссектрисы угла

СЛЕДСТВИЕ . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через площадь и полупериметр

Формулы для радиуса окружности вписанной в треугольник

a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр

Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через полупериметр и стороны

Формулы для радиуса окружности вписанной в треугольник

a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр

Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через основание и боковую сторону

Формулы для радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник

a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через сторону

Формулы для радиуса окружности вписанной в равносторонний треугольник

a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через катеты и гипотенузу

Формулы для радиуса окружности вписанной в прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

ТЕОРЕМА 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

Вывод формул для радиуса окружности вписанной в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

ТЕОРЕМА 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Вывод формул для радиуса окружности вписанной в треугольник

то в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

ТЕОРЕМА 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Вывод формул для радиуса окружности вписанной в треугольник

то в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

ЗАМЕЧАНИЕ . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

ТЕОРЕМА 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим рисунок 9.

Вывод формул для радиуса окружности вписанной в треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

ЗАМЕЧАНИЕ . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Справочник по математике для школьников

  • Арифметика
  • Алгебра
  • Тригонометрия
  • Геометрия (планиметрия)
  • Геометрия (стереометрия)
  • Элементы математического анализа
  • Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

  • Основные фигуры планиметрии
    • Фигуры, составляющие основу планиметрии
    • Углы на плоскости
    • Теорема Фалеса
    • Углы, связанные с окружностью
    • Признаки параллельности прямых
    • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
    • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
    • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
    • Свойства сторон и углов треугольника
    • Подобие треугольников
    • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
    • Биссектриса треугольника
    • Медиана треугольника
    • Высота треугольника. Задача Фаньяно
    • Средние линии треугольника
    • Теорема Чевы
    • Теорема Менелая
    • Описанная окружность. Теорема синусов
    • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
    • Площадь треугольника
    • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    • Вневписанные окружности
    • Четырехугольники
    • Параллелограммы
    • Трапеции
    • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
    • Описанные четырехугольники
    • Площади четырехугольников
    • Многоугольники
    • Правильные многоугольники
    • Углы, связанные с окружностью
    • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
    • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
    • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
    • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
    • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    • Вневписанные окружности
    • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
    • Описанные четырехугольники
    • Площади четырехугольников
    • Площадь треугольника
    • Вывод формул Герона и Брахмагупты
    • Средние линии
    • Геометрические места точек на плоскости
    • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

    Учебные пособия для школьников

    • Задачи на проценты
    • Квадратный трехчлен
    • Метод координат на плоскости
    • Прогрессии
    • Решение алгебраических уравнений
    • Решение иррациональных неравенств
    • Решение логарифмических неравенств
    • Решение логарифмических уравнений
    • Решение показательных неравенств
    • Решение показательных уравнений
    • Решение рациональных неравенств
    • Решение тригонометрических уравнений
    • Степень с рациональным показателем
    • Системы уравнений
    • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
    • Уравнения и неравенства с модулями
    • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

    Демоверсии ЕГЭ

    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
    • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

    Демоверсии ОГЭ

    • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
    • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе

    Окружность: вписанная в многоугольник или угол

    Подробнее

    Подробнее

    Подробнее

    Определения

    Окружность \(S\) вписана в угол \(\alpha\) , если \(S\) касается сторон угла \(\alpha\) .

    Окружность \(S\) вписана в многоугольник \(P\) , если \(S\) касается всех сторон \(P\) .

    В этом случае многоугольник \(P\) называется описанным около окружности.

    Теорема

    Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.

    Доказательство

    Пусть \(O\) – центр некоторой окружности, вписанной в угол \(BAC\) . Пусть \(B’\) – точка касания окружности и \(AB\) , а \(C’\) – точка касания окружности и \(AC\) , тогда \(OB’\) и \(OC’\) – радиусы, проведённые в точки касания, следовательно, \(OC’\perp AC\) , \(OB’\perp AB\) , \(OC’ = OB’\) .

    Значит, треугольники \(AC’O\) и \(AB’O\) – прямоугольные треугольники, у которых равны катеты и общая гипотенуза, следовательно, они равны, откуда \(\angle CAO = \angle BAO\) , что и требовалось доказать.

    Теорема

    В любой треугольник можно вписать единственную окружность, причём центр этой вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника.

    Доказательство

    Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\) . Пусть они пересеклись в точке \(O\) .

    Т.к. \(O\) лежит на биссектрисе \(\angle A\) , то расстояния от точки \(O\) до сторон угла равны: \(ON=OP\) .

    Т.к. \(O\) также лежит на биссектрисе \(\angle B\) , то \(ON=OK\) . Таким образом, \(OP=OK\) , следовательно, точка \(O\) равноудалена от сторон угла \(\angle C\) , следовательно, лежит на его биссектрисе, т.е. \(CO\) – биссектриса \(\angle C\) .

    Таким образом, точки \(N, K, P\) равноудалены от точки \(O\) , то есть лежат на одной окружности. По определению это и есть вписанная в треугольник окружность.

    Данная окружность единственна, т.к. если предположить, что существует другая вписанная в \(\triangle ABC\) окружность, то она будет иметь тот же центр и тот же радиус, то есть будет совпадать с первой окружностью.

    Таким образом, попутно была доказана следующая теорема:

    Следствие

    Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

    Теорема о площади описанного треугольника

    Если \(a,b,c\) – стороны треугольника, а \(r\) – радиус вписанной в него окружности, то площадь треугольника \[S_=p\cdot r\] где \(p=\dfrac2\) – полупериметр треугольника.

    Доказательство

    Но \(ON=OK=OP=r\) – радиусы вписанной окружности, следовательно,

    Следствие

    Если в многоугольник вписана окружность и \(r\) – ее радиус, то площадь многоугольника равна произведению полупериметра многоугольника на \(r\) : \[S_>=p\cdot r\]

    Теорема

    В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

    Доказательство

    Необходимость. Докажем, что если в \(ABCD\) вписана окружность, то \(AB+CD=BC+AD\) .

    Пусть \(M,N,K,P\) – точки касания окружности и сторон четырехугольника. Тогда \(AM, AP\) – отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, следовательно, \(AM=AP=a\) . Аналогично, \(BM=BN=b, \ CN=CK=c, \ DK=DP=d\) .

    Достаточность. Докажем, что если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\) , пусть они пересекутся в точке \(O\) . Тогда точка \(O\) равноудалена от сторон этих углов, то есть от \(AB, BC, AD\) . Впишем окружность в \(\angle A\) и \(\angle B\) с центром в точке \(O\) . Докажем, что эта окружность будет касаться и стороны \(CD\) .

    Предположим, что это не так. Тогда \(CD\) либо является секущей, либо не имеет общих точек с окружностью. Рассмотрим второй случай (первый будет доказываться аналогично).

    Проведем касательную прямую \(C’D’ \parallel CD\) (как показано на рисунке). Тогда \(ABC’D’\) – описанный четырехугольник, следовательно, \(AB+C’D’=BC’+AD’\) .

    Т.к. \(BC’=BC-CC’, \ AD’=AD-DD’\) , то:

    \[AB+C’D’=BC-CC’+AD-DD’ \Rightarrow C’D’+CC’+DD’=BC+AD-AB=CD\]

    Получили, что в четырехугольнике \(C’CDD’\) сумма трех сторон равна четвертой, что невозможно*. Следовательно, предположение ошибочно, значит, \(CD\) касается окружности.

    Замечание*. Докажем, что в выпуклом четырехугольнике не может сторона равняться сумме трех других.

    Т.к. в любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей, то \(a+x>d\) и \(b+c>x\) . Складывая данные неравенства, получим: \(a+x+b+c>d+x \Rightarrow a+b+c>d\) . Следовательно, сумма любых трех сторон всегда больше четвертой стороны.

    Теоремы

    1. Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 1).

    2. Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 2).

    Верны и обратные утверждения: в любой ромб и квадрат можно вписать окружность, и притом только одну.

    Доказательство

    1) Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) , в который вписана окружность. Тогда \(AB+CD=BC+AD\) . Но в параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. \(AB=CD, \ BC=AD\) . Следовательно, \(2AB=2BC\) , а значит, \(AB=BC=CD=AD\) , т.е. это ромб.

    Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей ромба.

    2) Рассмотрим прямоугольник \(QWER\) . Т.к. прямоугольник является параллелограммом, то согласно первому пункту \(QW=WE=ER=RQ\) , т.е. это ромб. Но т.к. все углы у него прямые, то это квадрат.

    Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей квадрата.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *