Что такое дискриминант деленный на 4
Перейти к содержимому

Что такое дискриминант деленный на 4

  • автор:

Что такое дискриминант деленный на 4

где
x — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта

Формула дискриминанта: .
  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х 2

Дискриминант на 4

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней квадратного уравнения зависит от знака D/4.

  • Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:
  • Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень
  • Если D/4

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

\[1)5{x^2} + 16x + 3 = 0\]

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{16}}{2})^2} - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49\]

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

\[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{16}}{2} \pm \sqrt {49} }}{5} = \frac{{ - 8 \pm 7}}{5}\]

\[{x_1} = \frac{{ - 8 + 7}}{5} = - \frac{1}{5} = - 0,2;\]

\[{x_2} = \frac{{ - 8 - 7}}{5} = - \frac{{15}}{5} = - 3\]

\[2)3{x^2} - 28x + 9 = 0\]

\[a = 3;b = - 28;c = 9\]

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 28}}{2})^2} - 3 \cdot 9 = \]

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

\[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 28}}{2} \pm \sqrt {169} }}{3} = \]

\[{x_1} = = \frac{{14 + 13}}{3} = \frac{{27}}{2} = 9;\]

\[3)9{x^2} + 42x + 49 = 0\]

\[a = 9;b = 42;c = 49\]

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{42}}{2})^2} - 9 \cdot 49 = \]

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

\[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 42}}{{2 \cdot 9}} = - \frac{7}{3} = - 2\frac{1}{3}\]

\[4){x^2} - 20x + 136 = 0\]

\[a = 1;b = - 20;c = 136\]

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 20}}{2})^2} - 1 \cdot 136 = \]

\[ = 100 - 136 = - 36\]

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

\[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{8}{2})^2} - 2 \cdot 5 = 6\]

\[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{8}{2} \pm \sqrt 6 }}{2} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}\]

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D1 = k 2 − ac , а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .

Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .

В этом произведении k = 5 .

Число 12 можно представить как 2 × 6 .

В этом произведении k = 6 .

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7 .

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .

В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 1и квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 2.

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 3

Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D1 = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 11

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 12

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 16

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D1 = k 2 − ac

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 17

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 18

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом рисунок 20

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .

В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 5

Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D1 . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 6

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 7

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 8

Сократим получившуюся дробь на 2

квадратное уравнение с четным коэффициентом рисунок 9

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Дискриминант квадратного уравнения и его геометрический смысл

Одна из немногих формул, которую удается выучить к концу девятого класса практически всем ученикам, это формула нахождения дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. И чаще всего для ученика эти формулы представляют собой набор заклинаний, не наполненных особым смыслом. Общеизвестно, что графиком квадратичной функции является парабола, однако рискну предположить, что не каждый учитель сможет не задумываясь показать на графике отрезок, имеющий отношение к дискриминанту. Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminans, отделяющий, разделяющий. Попробуем разобраться, что же разделяет (или «дискриминирует») дискриминант. Согласно любому современному учебнику алгебры восьмого класса формула корней квадратного уравнения выводится путем выделения квадрата двучлена. В процессе выделения получается выражение D = b^2-4ac, которое и называют дискриминантом. Пример из учебника алгебры Бевз Г.П. (2016 год): Обосновывается это название следующим образом: Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней - ведь невозможно, чтобы квадрат некоторого вещественного выражения был отрицательным числом. Если D = 0, то данное уравнение имеет один корень - ведь только квадрат нуля равен нулю. Если D >0, то данное уравнение имеет два корня. В результате ученик вынужден заучивать не только формулы нахождения корней квадратного уравнения, но и эти три утверждения — взаимосвязь дискриминанта с количеством корней. На мой взгляд, методически правильнее сначала довести разбор понятия «дискриминант» до логического конца, указав, что дискриминант равен квадрату расстояния между корнями уравнения. Рассмотрим для простоты приведенное квадратного уравнение (напомню, что любое квадратное уравнение легко привести к приведенному виду, разделив все коэффициенты на старший коэффициент). Итак, с учетом теоремы Виета: Таким образом, если корни приведенного квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта. Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. Вот что показывает дискриминант — насколько далеки корни друг от друга, если они существуют. А связь с количеством корней — это всего лишь следствие этого простого факта. Теперь взаимосвязь между дискриминантом и количеством корней ясна как на ладони: если дискриминант равен нулю, то расстояние между корнями равно нулю, они совпадают — два корня, образно говоря, наложились друг на друга и превратились в один корень. Далее, расстояние не может быть меньше нуля, а значит, при отрицательном дискриминанте корней нет. Если же дискриминант строго положителен, то корней два и расстояние между ними как раз и равно корню из дискриминанта. Эти выводы интуитивно понятны и не требуют отдельного заучивания. Более того, понимание геометрического смысла дискриминанта помогает упростить и ускорить нахождение самих корней. Начинающий ученик действует обычно по следующей схеме: 1) определяет коэффициенты уравнения; 2) записывает формулу дискриминанта, подставляет в нее значения коэффициентов, вычисляет значение; 3) извлекает квадратный корень из дискриминанта; 4) записывает формулу корней и поочередно вычисляет каждый из них. Шаг 4 можно упростить, найдя меньший корень и затем для нахождения большего корня останется только прибавить корень из дискриминанта — а он у нас уже посчитан на шаге 3. (В случае неприведенного квадратного уравнения нужно не забыть корень из дискриминанта разделить на старший коэффициент). Вывод. Знание геометрического смысла дискриминанта квадратного уравнения позволяет ученикам получить наглядное представление о взаимосвязи корней и коэффициентов уравнения, упростить расчеты, уменьшить объем заучиваемой информации.

Рейтинг: 4.82 из 5

На основе отзывов 11 пользователей

Редакция не несет ответственности за наполнение блогов, они есть персональным мнением автора

Выбирай лучших преподавателей на сервисе Буки!

Другие статьи преподавателя

Регистрируйся как репетитор на BUKI!

Бесплатная регистрация за 10 минут

Занятия персонально или по Skype

Оплата напрямую от ученика

Также читайте раздел «Блоги репетиторов»:

3. Сучасна українська музика — альтернатива (Kazka, Kalush Orchestra)

Розбір таких пісень: «Плакала», «Стефанія», «Зорі», «Давай на чистоту».

2. Сучасна українська музика — альтернатива (Скрябін, П’ятниця). Топ 5 порад (Акорди)

Декілька популярних пісень гурту «Сркябін» та «П’ятниця» разом з акордами:

Інтервальне повторювання під час вивчення слів та термінів

Одна з розповсюджених та дієвих технік вивчення слів та термінів

Автор: Валентина А.

Італійська мова: що треба знати і вміти на рівні А2

Продовжуємо серію блогів про рівні володіння італійською мовою і сьогодні дізнаємося про навички, які необхідні для здобуття рівня А2

Автор: Святослав Л.

Як покращити CV?

Дієслова для допомоги в написанні резюме

Ресурси та ігри для викладання англійської мови

Оффлайн ресурси, які стануть справжніми помічниками у роботі вчителя

Автор: Христина В.

Почему в английских школах нет классных руководителей

Почему в английских школах нет классных руководителей

Разновидности сложных предложений в украинском языке: конструкция с разными видами связи

Разновидности сложных предложений в украинском языке: конструкция с разными видами связи

Как в английской школе преподается предмет «English»

Как в английской школе преподается предмет «English»

Отзывы клиентов

Рейтинг: 4.57 из 5

На основе отзывов 1628 пользователей

Разработано с ♥ командой BUKI

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *