Точки симметричных относительно абсцисс как это
Перейти к содержимому

Точки симметричных относительно абсцисс как это

  • автор:

Точки симметричных относительно абсцисс как это

Пусть имеется график функции . Чтобы получить график функции, симметричный данному относительно оси , нужно умножить значение функции в каждой точке области определения на –1. Алгебраически это задается системой:

Графики функций и симметричны относительно оси абсцисс.

Аналогичным образом отражается график относительно оси :

Графики функций и симметричны относительно оси ординат.

Отражение графика относительно начала координат сводится к отражению сначала относительно оси абсцисс, затем относительно оси ординат и задается системой уравнений

Модель 1.15. Отражение графиков относительно осей и точек

Симметричными относительно начала координат являются графики функций и . Более сложным является вопрос о симметрии графиков относительно произвольных вертикальных и горизонтальных осей. Справедливы следующие утверждения.

  • Графики функций и симметричны относительно горизонтальной оси .
  • Графики функций и симметричны относительно вертикальной оси .

Системы уравнений, соответствующие этим преобразованиям, выглядят так:

Наконец, отражение графика относительно произвольной точки задается сначала отражением относительно горизонтальной оси , затем отражением относительно вертикальной оси :

Графики функций и симметричны относительно точки

Контрольная по математике 1. Найдите координаты точек, симметричных точкам С (6; 1) и D (–9; 0) относительно: 1) оси орд

инат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат.
2. Начертите треугольник АВС. Постройте образ треугольника АВС: 1) при параллельном переносе на вектор АВ; 2) при симметрии относительно точки В; 3) при симметрии относительно прямой ВС.
3. Точка Р1(x; 6) является образом точки В (–8; у) при гомотетии с центром Н (3; –1) и коэффициентом k = –1/2. Найдите х и у.
4. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника AMD, если ВС : AD = 6 : 7, а площадь трапеции равна 26 см2.

Голосование за лучший ответ

Точка, симметричная С относительно оси ординат, имеет координаты (-6;1), так как ордината меняет знак при симметрии. Точка, симметричная D относительно оси ординат, имеет координаты (9;0).
Точка, симметричная С относительно оси абсцисс, имеет координаты (6;-1), так как абсцисса не меняется при симметрии. Точка, симметричная D относительно оси абсцисс, имеет координаты (-9;0).
Точка, симметричная С относительно начала координат, имеет координаты (-6;-1), так как обе координаты меняют знак при симметрии. Точка, симметричная D относительно начала координат, имеет координаты (9;0).

Образ треугольника АВС после параллельного переноса на вектор АВ – треугольник ВСД, где Д – это образ точки С после параллельного переноса на вектор АВ.
Образ треугольника АВС после симметрии относительно точки В – треугольник А’В’С’, где А’ и С’ – это образы точек А и С соответственно после симметрии относительно точки В.
Образ треугольника АВС после симметрии относительно прямой ВС – треугольник А’В’С’, где А’ и В’ – это образы точек А и В соответственно после симметрии относительно прямой ВС, а точка С’ – это точка пересечения луча А’В’ с прямой ВС.

По определению гомотетии, координаты образа точки В будут (3 — (-8)/(-2), -1 + 6/(-2)) = (7, -4). Значит, x — 3 = -2(7), откуда x = -17. Координата у образа точки В уже известна и равна -4.

Для трапеции ABCD имеем AD = 7/13BC. Тогда BC = 13/7AD и S(ABCD) = (BC+AD)h/2 = (20/7AD)h/2, где h – высота трапеции.
S(ABCD) = 26 см², значит, (20/7AD)h/2 = 26, откуда получаем h = 52/(20/7AD) = 18/5 AD.
По теореме Бевеля имеем, что CM/MB = AD/BC = 7/13. Тогда MC/BC = 7/20, а MB/BC = 13/20.
Площадь треугольника AMD равна 1/2ADh1, где h1 – высота треугольника AMD.
По теореме Пифагора в треугольнике AMC имеем AM² = AC² — CM² = ((BC+AD)/2)² — (7/20BC)².
Аналогично, в треугольнике BMD имеем BM² = BD² — DM² = ((BC+AD)/2)² — (13/20*BC)².
Заметим, что AM/AD = MC/BC, а BM/BD = MC/BC, значит, треугольник AMD подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия k

Программа элективного курса по математике «удивительный мир функций»

Каждой точке (х; у) графика у = f ( x ) соответствует единственная точка (х; — у) графика у =- f ( x ) и наоборот. Точки (х; у) и (х; — у) симметричны относительно оси ОХ. Значит, графики у = f ( x ) и y = — f ( x ) симметричны относительно оси ОХ.

Построить график функции у = — .

Строим график функции у = , а затем строим симметрично относительно оси ОХ.

Симметрия относительно оси ОУ (оси ординат)

Каждой точке (х; у) графика у = f ( x ) соответствует единственная точка (-х; у) графика у = f (- x ) , и наоборот. Но точки (х; у) и (-х; у) симметричны относительно оси ОУ, значит, графики у = f ( x ) и у = f (- x ) симметричны относительно оси ОУ.

Построить график функции у = .

Строим график функции у = , а затем строим симметрично относительно оси ОУ.

Построить график функции у = —

Выполним ряд последовательных преобразований:

  1. строим график функции у = ;
  2. строим симметрично относительно оси ОУ, т. е. получаем график функции у = ;
  3. строим симметрично относительно оси ОХ, т.е. получаем искомый график функции у = — .

  1. у = ( х- 2)³; 6) у = ;
  2. у = ( х +1)³; 7) 2 у = ;
  3. у = ( х +1)³ — 3; 8) 2 — у = 3 ;
  4. у = ; 9) у – 5 = 2
  5. у = ; 10) у = .

    1. Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х .

      1. Дробной частью числа х называется разность между числом х и его целой частью, т.е. = х — .

      1. у =х ²-6 +8; 6) у = [2 x- 1];
      2. у= ; 7) y = х ²+[ x ²];
      3. у = +8; 8) y = < >;
      4. ; 9) y = [ ];
      5. 2- ;

      1. .

      1. х — .

      1. х >0 и у> 0 ;
      2. х 0 ;
      3. х
      4. х >0 и у < 0 .

      1. х ≥0 и у ≥0, х+ у= 1;
      2. х ≥0 и у≤ 0, х-у= 1;
      3. х≤ 0 и у≥ 0 , -х+у= 1;
      4. х≤ 0 и у≤ 0, — х-у =1.

      1. х ≥0 х ² + у ² -2‌ х +2 у≤ 0 ( х- 1)²+( у +1)² ≤ 2.
      2. х

      1. х ≥ 0 и у ≥ 0 х ² + у ² — 4 х — 6 у ≤ 23;
      2. х < 0 и у >0 х ² + у ² +4 х — 6 у ≤ 23;
      3. х < 0 и у < 0 х ² + у ² + 4 х + 6 у ≤ 23;
      4. х > 0 и у < 0 х ² + у ² - 4 х + 6 у ≤ 23.

      1. х – 3 ≤ 3 у ≤ х + 3,

      1. 4)
      2. 5)
      3. 6)

      1. Решить при всех а уравнение (ответ: а < 0 – решений нет,

      1. При каждом а определить число корней уравнения: (ответ: при а < 0 и а >1 – нет решении; при а = 0 – три решения; 0 < а < 1 –четыре решения; а = 1 – два решения).
      2. Сколько решений имеет система в зависимости от а

      1. Найти площадь фигуры, удовлетворяющей неравенству

      1. При каких значениях b система имеет ровно три решения

      1. Построить график функции y =2 · ( x +1) 2 -1 (последовательное преобразование графика y = x 2 )
      2. Построить график функции y = x + (сложение графиков)
      3. Построить график функции y = (деление графиков)
      4. Построить график функции y =‌‌‌│ x 2 — x │ ( преобразование графика функции y = x 2 — x )
      5. Построить график функции │ y │=4-│ x │ (последовательное преобразование графика y = x )
      6. Изобразить в плоскости О xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию │ x │ — │ y │= 3 (раскрыть последовательно модули)
      7. Изобразить в плоскости О xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию │ x — y │ ≤3
      8. Н айти площадь фигуры, заданной неравенством │ x │+ │ y │ ≤ 1
      9. Построить график функции

      1. Построить график функции y = x +
      2. Построить график функции y =
      3. Построить график функции y =
      4. Построить график функции y =
      5. Изобразить в плоскости О xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию │ y │ ≥ │ x 2 -4x │
      6. Изобразить в плоскости О xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию │ y +1│ · │ x -2│ ≥1

      1. Р ешить систему неравенств

      1. Найти значения а , при каждом из которых уравнение x — + a = 0 имеет ровно одно решение. Ответ: а (- ; 1) < >
      2. При всех значениях а решить уравнение │ x +1│+а│ x -2│=3

      1. если а=1, то -1 x ≤ 2
      2. если а> 1 , то x=2

      1. 2)

      1. 1 )

      1. 2)

      1. 2)

      №№ п/п Виды деятельности Знаю (умею очень хорошо) Иногда ошибаюсь Испытываю трудность
      В нач. изуч. курса В конце изуч. курса В нач. изуч. курса В конце изуч. курса В нач. изуч. курса В конце изуч. курса
      1. Анализировать формулу, задающую функцию
      2. Находить область определения и область значения функции.
      3. Чтение графиков функций (промежутки монотонности и т.д.)
      4. Построение графиков элементарных функций.
      5. Выполнять преобразования графиков: а) симметрия относительно оси Ох;
      б) симметрия относительно оси Оу;
      в) параллельный перенос вдоль оси Ох;
      г) параллельный перенос вдоль оси Оу;
      д) сжатие (растяжение) вдоль оси Ох;
      е) сжатие (растяжение) вдоль оси Оу;
      6. Построение графиков, содержащих знак абсолютной величины: а) у = ;
      б) у = f( );
      в) = f(x).
      7 . Построение графиков «кусочных» функций.
      8. Построение графиков, содержащих [x] (целую часть) и (дробную часть)
      9. Строить ГМТ
      10. Применять графики к решению уравнений, неравенств и систем.
      11. Применять графики к решению заданий, содержащих параметр.
      12. Выполнять построения графиков с помощью компьютера.

      Похожие документы:

      Элективного курса по геометрии для 9 класса «История идей и открытий» 2009г

      Программа

      . программа элективного курса по геометрии для 9 класса «История идей и открытий» Автор: учитель математики . в человеке душу, тело и функции мозга и, кроме того, ему . Знаем математиков в лицо. Геометрия вокруг нас. Этот удивительно симметричный мир. .

      Национальный фонд подготовки кадров элективные курсы в профильном обучении

      Документ

      . Элективные курсы образовательной области «Математика» 5 ПОДРОБНЫЕ ПРОГРАММЫ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ 21 Замечательные неравенства, их обоснование и применение 22 Мир, математика, математики . без исключения программ элективных курсов по математике, помещенных .

      Национальный фонд подготовки кадров элективные курсы в профильном обучении

      Документ

      . Элективные курсы образовательной области «Математика» 5 ПОДРОБНЫЕ ПРОГРАММЫ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ 21 Замечательные неравенства, их обоснование и применение 22 Мир, математика, математики . без исключения программ элективных курсов по математике, помещенных .

      Элективных курсов

      Автореферат диссертации

      . (Элективные курсы). ISBN 5-7107-9610-7 В сборник программ элективных курсов по физике включе­но тринадцать авторских программ. В каждой программе . . М.: Просвещение, 1971. Клюкин И. И. Удивительный мир звука. Л.: Судо­ строение, 1986. Красилъников .

      Программа элективного курса « биофизика» в 9 классе цели курса

      Программа

      . математикой. Курс . курс физики, М. “Просвещение”, 1980. И. И. Клюкин, Удивительный мир . преподавания элективного курса по . функций . элективного курса «Физика и медицина» разработанного С. М Новиковым (входит в сборник «Программы элективных курсов .

      Как построить симметричный треугольник относительно оси ординат, оси абсцисс и начало координат.

      В школе проходили тему: координатная плоскость. Меня не было, болела. Дома разбирались. Не очень поняла. Скажите пожалуйста как построить симметричный
      треугольник (к примеру) относительно оси ординат, относительно оси абсцисс и начало координат.

      Лучший ответ

      рассмотрим общие приемы построения фигуры относительно прямой.
      из вершины каждого угла на прямую опускается перпендикуляр с помощью чертежного угольника

      получившаяся прямая продолжается дальше.
      отмеряется расстояние от вершины до точки пересечения О и откладывается от О равный.
      так проделывается для каждой вершины.
      на картинке показано. как для любой точки построить симметричную относительно прямой.

      относительно начала координат — это другой вид симметрии- центральная.
      время уже позднее. построй относительно осей . а учителя перед уроком обязательно предупреди. что ты сделала часть задания и попроси помочь разобраться. тк проболела. а дома помочь некому.

      все можно найти в КАРТИНКИ.

      Остальные ответы

      решается графически, рисуй плоскость и рисуй. почитай учебник. ))) вершины треугольника переноси симметрично относительно осей, которые называла. )))) меняя знаки. )))

      NaumenkoВысший разум (856836) 8 лет назад
      такой маленький и уже такой пустомеля.
      помог- объяснил- открой учебник. фу!! 100 раз.
      Олег Викторович Несмелов Мудрец (10048) ))))))))

      Нарисовать оси координат, нарисовать треугольник.
      Далее посмотрим на примере оси ординат (+ анимация на картинке 1): Сперва надо провести отрезки от вершин треугольника под прямым углом к оси, потом с другой стороны оси отложить такие же отрезки (такой же длинны и тоже под прямым углом к оси. Это получатся точки, зеркальные относительно АВС, обозначить их как-нибудь, например A’B’C’. Соединяем вершины — получаем зеркально отраженный треугольник.
      Ось абсцисс точно так же делается, только отрезки откладывают к горизонтальной оси, так же под прямым углом.
      Отдельный вопрос — начало координат. Это точка.. проблема с прямыми углами к точке. Тут подход другой: Рисуем прямые через вершину и начало координат (рисунок с анимацией опять) прям насквозь, продолжаем их на какое-то расстояние. Теперь нам надо так же отложить расстояние от вершины до начала координат, но с другой стороны.. ну, я думаю, это всё проще делать циркулем — поставить его в начало координат и развести до вершины, а с обратной стороны чиркнуть по прямой. Но можно и линейкой. Задача — на одной прямой поставить вторую точку. Ну и соединить потом три полученные точки.

      P.S. Картинки надо кликнуть, тогда всё видно будет.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *