Сколько в графе цепей
Перейти к содержимому

Сколько в графе цепей

  • автор:

Сколько в графе цепей

SashaT9 → Codeforces Round 943 (Div. 3)

Некропост

NNIIT → Compile and build C++ code in Sublime Text (Mac) using brew g++ instead of default build (clang)

awoo → Разбор Educational Codeforces Round 165

khamenei → they have cheated

speedermen → Popularity of ACM-format

rui_er → Codeforces Round 942 (Div. 1, Div. 2) Editorial

Haidora → A general approach to solve subree distinct values queries!

Cipesta. → Beyond CP: What’s Next

pwned → Streaming my Informatics Training (ThemeCPs)

h ehezhou → 2024-The 6th Turing Cup Tournament

akcube → Codeforces Round #940 and CodeCraft-23 (Div. 2) Editorial

mainyutin → Codeforces Round 938 (Div. 3) Разбор

Zanite → [Photos Dump] Jollybee CP Team, the Luxor WF, and the Indomie Aftermath

kylych03 → IOI 2023 Country Standings

FedeNQ → Teams going to ICPC WF 2023 (Egypt 2023, 2nd final) — WIP List

FedeNQ → Teams going to ICPC WF 2022 (Egypt 2023) — WIP List

AbdulHaleem_Osama → Can anyone tell me what is happenning. +ve delta RIP

ostrich_ → Seeking Guidance in Competitive Programming

atcoder_official → AtCoder Beginner Contest 351 Announcement

rui_er → Codeforces Round 942 (Div. 1, Div. 2)

calmpsychopath → Number of Wonderful Substrings [a harder variation]

SashaT9 → SashaT9 Contest 1

Некропост

violentdoc → Who is rainboy?

brokie → Dynamic Graph queries?

mihtriii295 → Codeforces Round 943

Сколько цепей в изображённом на рисунке графе ведут из вершины A в вершину C?

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Графы схем электрических цепей.

Рис. 1. а-схема электрической цепи, б – связный граф, в – дерево графа.

Замкнутый путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают называются контуром.

Либо замкнутый ток, проходящий через некоторое количество ветвей (части графа) называется контуром. Связный граф – это граф между любыми двумя узлами которого существует, по крайне мере, один путь. Деревом связного графа называется связный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. На каждом графе цепи можно найти несколько деревьев. Ветви графа, вошедшие в дерево, называются ветвями дерева. Ветви не вошедшие – связями (главные ветви, хорды). Сумма ветвей и связей равно общему числу ветвей. Каждое из деревьев графа, содержащего р ветвей и q узлов, имеет m=q-1ветвей дерева и n=p-q+1 главных ветвей (связей). Добавление к дереву графа любой связи образует контур. Сечением связного графа называется минимальная совокупность ветвей графа, при удаления которых граф распадается на две изолированные части, одна из которых может быть узлом. Главным сечением графа называется сечение, в которое входит только одна ветвь выбранного дерева. Остальные ветви, входящие в главное сечение, являются связями. Число главных сечений равно числу ветвей дерева: m = q – 1.

Определение числа независимых узлов и контуров

Чтобы получить независимые уравнения достаточно, чтобы каждое уравнение отличалось от остальных хотя бы одной переменной. Так, для линейной независимости уравнений, составленной на основании 1-го закона Киргофа, достаточно, чтобы каждое уравнение баланса токов отличалось от других уравнений хотя бы одним током или, что то же самое, одной ветвью. Каждому дереву графа можно поставить в соответствие m = q – 1 главных сечений и, следовательно, m = q – 1 линейно независимых уравнений баланса токов.

Для линейной независимости уравнений, составленной на основе 2-го закона Киргофа, достаточно, чтобы каждое из этих уравнений отличалось от остальных хотя бы одним напряжением. Следовательно, каждый контур должен отличаться от остальных хотя бы одной ветвью. Этому требованию удовлетворяет система главных контуров, которые отличаются от других хотя бы одной связью: n = p – q + 1, число независимых контуров равно числу связей. Таким образом, общее число независимых уравнений оказывается равным числу ветвей цепи: m + n = (q – 1) + (p – q + 1) = p.

Для схемы, показанной на рис. 1, можно составить 9 независимых уравнений. В этой цепи 9 ветвей (9 токов) и 7 узлов, поэтому по закону Киргофа для токов можно составить 6 независимых уравнений для токов m = q – 1 = 7 – 1 = 6 уравнений:

По второму закону Кирхгофа можно составить три независимых уравнений для контуров

Свойство уравнений, полученных на основе законов Кирхгофа, можно показать на примере последовательного и параллельного соединений элементов R, L, C.

Рис2.а) Последовательное соединение источника и элементов RLC, б) Параллельное соединение источника и элемента RLC.

На первом рисунке соединение элементов образует один замкнутый контур, поэтому по закону Кирхгофа для напряжений:

Т.к. через все элементы протекает один и тот же ток, то интегро-дифференциальное

Т.е. полученное уравнение содержит одну переменную величину — ток в контуре.

Параллельное соединение источника и элементов (второй рисунок) образует цепь с двумя узлами, поэтому по закону Кирхгофа для токов:

Т.к. на всех элементах цепи падает одно и тоже напряжение, то

т.е. получено интегро-дифференциальное уравнение относительно U.

Для более сложных цепей получаются системы интегро-дифференциальных уравнений.

Расчет сложных (разветвленных) схем проводят на основе законов Кирхгофа, с помощью которых можно рассчитать любую электрическую схему. Однако часто их непосредственное применение приводит к составлению слишком большого числа линейных уравнений, а значить, и большему объему вычислений. Чтобы хотя бы частично обойти эти трудности, были разработаны методы, упрощающие эти расчеты. Упрощение достигается двумя способами: 1) введением дополнительных расчетных величин, позволяющих уменьшить число уравнений, 2) предварительным преобразованием анализируемой схемы. К методам первой группы относится метод контурных токов и метод узловых потенциалов, к методам второй группы – метод наложения (суперпозиции), метод эквивалентного источника, метод взаимности, преобразования треугольника в звезду, звезды в треугольник и др. При выборе метода расчета разветвлений схемы в каждом конкретном случае исходят из постановки задачи, причем выбирают тот метод, который позволяет провести расчет быстрее, проще и нагляднее. Коротко охарактеризуем два метода: метод контурных токов и метод наложения.

Метод контурных токов основан на втором законе Кирхгофа. Согласно этому методу расчет проводят в два этапа. На первом вводится понятие некоторых так называемых контурных токов. В отличие от токов в ветвях под контурным понимают ток в выделенном контуре. На втором этапе определяют токи в ветвях, которые представляют собой алгебраическую сумму токов, протекающих в контурах, в состав которых входит данная ветвь. Важно, что выделенные в схеме контуры независимы, то есть каждый из них содержит ветвь, ранее не входившую ни в один предшествующий в процессе выбора контур.

Для нахождения контурных токов составляют и решают систему линейных уравнений контурных токов. Число уравнений такой системы равно числу независимых контуров схемы; оно всегда меньше числа ветвей. Следовательно, и число уравнений в случае метода контурных токов всегда меньше числа уравнений в случае непосредственного применения законов Кирхгофа.

Пусть нужно рассчитать токи в схеме, приведенной на рис. 3. Сначала выберем независимые контуры и установим положительные направления контурных токов в каждом из них по направлению часовой стрелки. Пользуясь вторым законом Кирхгофа, составим уравнение для каждого контура:

В результате получим систему трех уравнений (в случае непосредственного применения законов Кирхгофа их было бы пять). Решив ее, получим значения контурных токовi1, i11, i111, что позволить найти токи в отдельных ветвях схемы:

Особенно удобно применять метод контурных токов для расчета схем с источником тока. Например, в случае схемы рис.4 в качестве первого контура целесообразно выбрать источник ЭДС, резистивные элементы R2 и R3, а в качестве второго – источник тока и R1, R2. В этом случае ток второго контура оказывается заданным (i1=J) и для определения токов во всех ветвях нужно рассчитать только один контурный ток i11, то есть составить всего одно уравнение.

из которого определяется ток i11, а затем и токи во всех ветвях:

Рис.3. К расчету резистивной схемы Рис.4. К расчету резистивной

методом контурных токов. схемы с источником тока.

В цепи , приведенной на рис. 5., могут быть три независимых контурных тока Ik1, Ik2 и Ik3 , протекающие в контурах 1, 2, 3, обозначенных стрелками. Токи в элементах этой цепи связаны с контурными токами следующими зависимостями:

Подставив эти токи в формулу, составленные по закону Кирхгофа для напряжений, после группировки получим систему уравнений:

В этой системе три неизвестных контурных тока и, следовательно, система может быть решена. После нахождения контурных токов токи в элементах рассчитывают по формулам (5.1).

Четырехполюсники, основные определения.

Большинство радиоэлектронных устройств (например, усилители, преобразователи и другие устройства) предназначены для передачи электрических сигналов. Характерной особенностью таких устройств, рассматриваемых с точки зрения теории цепей, является наличие двух пар зажимов, с помощью которых они могут быть соединены с внешними цепями. Поэтому четырехполюсником будем считать электронную цепь с двумя парами зажимов, включаемую таким образом, что через каждую пару зажимов протекают попарно равные и противоположно направленные токи:

Уравнения четырехполюсника устанавливают взаимную связь между токами и напряжениями во внешних контурах U1, I1 и U2 , I2. Если предположить, что две из перечисленных величин представляют воздействия (аргументы), то остальные две – реакцияю (функции) четырехполюсника. Возможные варианты воздействий, реакций и их взаимная связь представлены ниже:

Терминология теории графов

Граф (или неориентированный граф) — упорядоченная пара [math](V, E)[/math] из непустого множества [math]V[/math] вершин и множества [math]E \subseteq V^[/math] рёбер, где через [math]V^[/math] обозначается множество всех двухэлементных подмножеств (2-сочетаний) множества [math]V[/math] .

Граф называется пустым (или нуль-графом), если его множество рёбер пусто. Граф называется полным, если он содержит все возможные рёбра.

Множество вершин графа [math]G[/math] обозначается через [math]V(G)[/math] или [math]VG[/math] , множество рёбер — через [math]E(G)[/math] или [math]EG[/math] . Число [math]|V(G)|[/math] вершин графа [math]G[/math] называется его порядком и обозначается через [math]|G|[/math] .

Граф порядка [math]n[/math] называется помеченным, если его вершинам присвоены некоторые метки, например, номера [math]1, 2, \ldots, n[/math] .

Мультиграф — упорядоченная пара [math](V, E)[/math] из непустого множества [math]V[/math] вершин и семейства (мультимножества) [math]E \subseteq V^[/math] рёбер. Одинаковые рёбра мультиграфа называются кратными. Другими словами, мультиграф — это обобщение графа на случай кратных рёбер.

Псевдограф — упорядоченная пара [math](V, E)[/math] из непустого множества [math]V[/math] вершин и семейства [math]E[/math] неупорядоченных пар (2-сочетаний с повторениями) вершин. Термин псевдограф обобщает понятие мультиграфа, допуская наличие петель — рёбер, соединяющих вершину саму с собой.

Ориентированный граф (или орграф) — упорядоченная пара [math](V, A)[/math] из непустого множества [math]V[/math] вершин и множества [math]A \subseteq V^2[/math] ориентированных рёбер (или дуг), где через [math]V^2[/math] обозначается множество всех упорядоченных пар (2-размещений), состоящих из двух различных элементов [math]V[/math] .

Множество дуг орграфа [math]G[/math] обозначается через [math]A(G)[/math] или [math]AG[/math] . Аналогично определяются ориентированный мультиграф, с той лишь разницей, что совпадающие дуги ориентированного мультиграфа называются параллельными.

Основание орграфа [math]G[/math] — неориентированный мультиграф, получающийся в результате снятия ориентации с дуг орграфа [math]G[/math] .

Смешанный граф — граф, в котором могут быть как дуги, так и неориентированные рёбра.

Термин граф может использоваться вместо любого из обобщений этого понятия, если из контекста ясно, о каком определении идёт речь. Поэтому чтобы отличать граф в исходном определении от других, используется понятие простого графа — неориентированного графа без петель и кратных рёбер.

Деревья

Дерево — связный граф, не содержащий циклов. [1]

Ориентированный граф [math]D = (V, A)[/math] называется ориентированным деревом с корнем [math]r \in V[/math] , если каждая его вершина достижима из [math]r[/math] и основание [math]D_b[/math] графа [math]D[/math] является деревом.

Лес (или ациклический граф) — граф без циклов. Каждая компонента леса является деревом. Заметим, что речь здесь идёт только о неориентированном простом графе.

Ациклический орграф — орграф без циклов. Стоит отметить, что основание ациклического орграфа может не являться ациклическим графом (лесом).

Подграфы

Граф [math]H[/math] называется подграфом (или частью) графа [math]G[/math] , если [math]V(H) \subseteq V(G)[/math] и [math]E(H) \subseteq E(G)[/math] .

Остовный подграф (или фактор) — подграф, содержащий все вершины исходного графа.

Остов (или каркас) графа [math]G[/math] — максимальный по включению лес, являющийся подграфом графа [math]G[/math] . Другими словами, остов — это подграф графа [math]G[/math] , состоящий из одного остовного дерева для каждой компоненты связности графа [math]G[/math] . Стоит отметить, что не всякий остовный лес является остовом, поскольку, к примеру, пустой остовный подграф является лесом, но не является остовом, если граф содержит хотя бы одно ребро.

Если множество вершин подграфа [math]H[/math] графа [math]G[/math] есть [math]S[/math] , а сам подграф [math]H[/math] максимальный (по включению) среди всех таких подграфов, то подграфа [math]H[/math] называется подграфом, порождённым множеством [math]S[/math] , или просто порождённым подграфом. Другими словами, подграф [math]H[/math] графа [math]G[/math] называется порождённым, если он содержит все возможные (для своего множества вершин) рёбра графа [math]G[/math] .

Цепи, циклы, пути

В неориентированном графе

Маршрут — чередующаяся последовательность [math]v_0, e_1, v_1, e_2, \ldots, e_, v_ \tag[/math] вершин и рёбер, в которой [math]e_i = \, v_i\,\>\label[/math] ( [math]i = \overline[/math] ). Вершины [math]v_0[/math] и [math]v_[/math] называются крайними, а все остальные — промежуточными (или внутренними). Маршрут, содержащий вершины [math]v_0[/math] и [math]v_[/math] в качестве крайних, называется [math](v_0, v_)[/math] -маршрутом.

Если в графе нет кратных рёбер, то маршрут можно однозначно задать последовательностью вершин.

Цепь — маршрут, все рёбра которого попарно различны.

Простая цепь — цепь, все вершины которой, кроме, возможно, крайних, попарно различны.

Цепь в графе также можно рассматривать как подграф этого графа. Тем не менее подграф, соответствующий цепи, однозначно (с точностью до направления) задаёт эту цепь, если и только если она является простой.

Циклический маршрут — маршрут, крайние вершины которого совпадают.

Цикл (или циклическая цепь) — циклический маршрут, являющийся цепью.

Простой цикл — простая циклическая цепь.

Гамильтонов цикл — простой цикл, содержащий все вершины графа.

Эйлеров цикл — цикл, содержащий все рёбра графа.

В ориентированном графе

Ориентированный маршрут (или просто маршрут) — последовательность вида (1) для ориентированного графа, в которой [math]e_i = (v_, v_i)[/math] . Понятия цепи, циклического маршрута и цикла переносятся на случай ориентированного графа без изменений.

Путь — ориентированный маршрут, все вершины которого, кроме, возможно, крайних, различны.

Контур — циклический путь.

Полумаршрут — последовательность вида (1), в которой [math]e_i = (v_, v_i)[/math] или [math]e_i = (v_i, v_)[/math] . Аналогично определяются полуцепь, полупуть и полуконтур.

Если в орграфе существует [math](u, v)[/math] -маршрут, то говорят, что вершина [math]v[/math] достижима из вершины [math]u[/math] . Любая вершина считается достижимой из самой себя.

Связность

В неориентированном графе

Связный граф — граф, любые две несовпадающие вершины которого соединены маршрутом.

Связная компонента (или компонента связности, или просто компонента) графа [math]G[/math] — максимальный (по включению) связный подграф графа [math]G[/math] .

Область связности графа — множество всех вершин одной компоненты связности этого графа.

Точкой сочленения называется вершина, при удалении которой число компонент графа увеличивается.

Связный граф, не содержащий точек сочленения, называется двусвязным или вершинно двусвязным.

Мостом называется ребро, при удалении которого число компонент графа увеличивается.

Связный граф, не содержащий мостов, называется рёберно двусвязным.

В ориентированном графе

Орграф называется сильным (или сильносвязным), если любые две его вершины достижимы друг из друга.

Орграф называется односторонним (или односторонне связным), если для любой пары его вершин по меньшей мере одна достижима из другой.

Орграф называется слабым (или слабосвязным, или просто связным), если любые две его вершины соединены полупутём.

Сильная и слабая компоненты определяются аналогично компоненте в неориентированном графе.

Замечания

  1. ↑ Существуют альтернативные эквивалентные определения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *