Показать что функция удовлетворяет уравнению онлайн решение
Перейти к содержимому

Показать что функция удовлетворяет уравнению онлайн решение

  • автор:

Примеры нахождения частных производных

Задача 2. Найти частные производные , и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x 2 y e z – cos(x 3 – z) + 2y 2 + 3x = 0.
Решение находим с помощью калькулятора.
Для F(x, y, z) = 4x 2 y e z – cos(x 3 – z) + 2y 2 + 3x получаем:
Fx= (4x 2 ye z – cos(x 3 – z) + 2y 2 + 3x)’x = [считаем y и z постоянными] =
= 8x y e z + sin( x 3 – z)3x 2 + 3 = 8x y e z + 3x 2 sin( x 3 – z) + 3;
Fy= (4x 2 y e z – cos(x 3 – z) + 2y 2 + 3x)’y = [считаем x и z постоянными] =
= 4x 2 e z + 4y;
Fz = (4x 2 y e z – cos(x 3 – z) + 2y 2 + 3x)’z = [считаем x и y постоянными] =
= 4x 2 y e z – sin (x 3 – z).
По формулам находим частные производные:
;
и по формуле (3) получаем: .
Ответы: ;
.

Задание. Найти частные производные функции z в точке A(-1;0) .
z = ln(x 2 +y 2 )+y/x
Решение.
Находим частные производные:

Задание №2. Найти частные производные 1-го и 2-го порядка.
z = x 3 + 3x 2 y – sin(xy)
Скачать решение

Задача 1. Дана функция z = f(x,y). Требуется:
1) найти частные производные dz/dx и dz/dy;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: d 2 z/dxdy = d 2 z/dydx.

Пример 1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение.
Найдем частные производные и .
,
.
Подставим их в уравнение

Получим тождество. Следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.

Пример 2. Дана функция и две точки A(4;2 )и B(4.03;1.96). Требуется: 1) вычислить значение функции в точке В;
2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, возникшую при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение.

Частные производные

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.
Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам:
Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Также решают
Правила ввода функции, заданной в явном виде
  1. Примеры
    x 2 +xy ≡ x^2+x*y .
    cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
    ≡ (x-y)^(2/3)
Правила ввода функции, заданной в неявном виде
  1. Все переменные выражаются через x,y,z
  2. Примеры
    ≡ x^2/(z+y)
    cos 2 (2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
    ≡ z+(x-y)^(2/3)

Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции.

Частные производные функции нескольких переменных

Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x ; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у .
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x ;
– это частная производная функции z по аргументу у .
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента. Пример 1 . z=2x 5 +3x 2 y+y 2 –4x+5y-1

Пример 2 . Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).

Находим частные производные:

Найдем частные производные в точке А(1;1)

Находим вторые частные производные:

Найдем смешанные частные производные:
Упростить логическое выражение

Решение по шагам
( a →c)→ b → a
Упростим функцию, используя основные законы логики высказываний.
Замена импликации: A → B = A v B

Учебно-методический

√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия

Библиотека материалов

√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ

  • Задать вопрос или оставить комментарий
  • Помощь в решении
  • Поиск
  • Поддержать проект

Правила ввода данных

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поиск

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

2. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .

Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:

где и — координаты точек и М соответственно.

Определим направляющие косинусы вектора , для чего найдем модуль вектора :

Вычислим частные производные функции в точке :

Таким образом, производная функции в точке по направлению вектора равна .

Так как , то функция

возрастает по направлению вектора .

3. Найти градиент функции в точке и наибольшую скорость изменения функции в этой точке.

Для нахождения градиента функции воспользуемся формулой

Находим частную производную первого порядка по х, считая, что у — постоянная:

Её значение в точке А (2; 1) равно

Находим частную производную первого порядка по у, считая, что х — постоянная:

Её значение в точке А (2; 1) равно

Следовательно, градиент функции

в точке А (2; 1) равен , т. е. .

Наибольшую скорость изменения функции в точке А (2; 1) найдем по формуле

4. Исследовать функцию на экстремум.

Критические точки (возможного экстремума) функции двух переменных находятся из системы двух уравнений:

(необходимое условие экстремума функции). Найдем частные производные первого и второго порядка:

Для нахождения точек возможного экстремума решим систему уравнений

Таким образом, получили две критические точки и . Исследуем каждую из полученных точек на экстремум, используя достаточное условие экстремума:

а) для точки получим:

, так как , то функция имеет экстремум в точке , а именно – максимум, т. к. (достаточное условие экстремума).

б) для точки получим:

, так как , то функция не имеет экстремума в точке .

Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Показать, что функция y= e — x (2cos5x -3sin 5x) удовлетворяет уравнению y» + 2y’ + 26y = 0.

Решение от преподавателя:

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *