Найди все x при которых t x 3
Перейти к содержимому

Найди все x при которых t x 3

  • автор:

Дискриминант

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 (х — переменная; а, b, с — действительные числа, или коэффициенты; а не равно 0) называют квадратным уравнением.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет. Способов решить квадратное уравнение много:

  • выделение полного квадрата;
  • по формуле дискриминанта;
  • по формулам теоремы Виета;
  • разложение квадратного трехчлена на множители;
  • графический и другие.

При выполнении задания можно выбрать для себя любой способ, но, как показывает практика, наиболее востребованными являются формулы теоремы Виета и формулы корней квадратного уравнения.

Что такое дискриминант в алгебре

Дискриминант — это многочлен, составленный из коэффициентов квадратного трехчлена, с помощью которого можно определить, сколько корней имеет данное уравнение, и найти их.

Полезная информация о дискриминанте

\(\frac D4\;=\;m^2\;–\;ac,\;\\x_1\;=\;\;\frac>a;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\x_2\;=\;\frac>a.\)

Формула дискриминанта

Дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c равен D = b 2 – 4ac

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Если дано уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, выполняем следующие шаги:

  1. Находим коэффициенты a=; b=; c=.
  2. Находим дискриминант по формуле D = b 2 – 4ac.
  3. Определяем знак дискриминанта, количество корней.
  4. Находим корни.
  5. Записываем ответ.

Корни, если дискриминант равен нулю

Если дискриминант (D = 0), то квадратное уравнение имеет один корень (вернее, два одинаковых корня):

\(\;x\;=\;\frac<-b>\;=\;-\frac b\)
это интересно
Разложение числа на простые множители
Преподаватель математики – об умножении простых чисел и разложении числа на простые множители

Корни, если дискриминант больше нуля

Если дискриминант больше нуля (D > 0), то квадратное уравнение имеет два корня:

\(x_1\;=\;\frac\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_2\;=\;\frac\)

Корни, если дискриминант меньше нуля

Если дискриминант меньше нуля (D

Задачи и примеры по теме «Дискриминант»

Квадратные уравнения, а также задачи и различные задания, сводящиеся к их решению, занимают большой объем в школьном курсе не только алгебры, а также геометрии и других предметов. Умение решать квадратные уравнения очень востребованы на ОГЭ и ЕГЭ.

Задача 1

Решите квадратное уравнение x 2 – x – 56 = 0.

Задача 2

При каком значении t уравнение 9х 2 – tx+1=0 имеет один корень?

Задача 3

Выберите правильный вариант ответа.

1. Чему равны коэффициенты в уравнении –3х 2 + 4х – 2=0?

а) a = 4; b = 2; c = –3
б) a = –3; b = 4; c = – 2
в) a = 3; b = 4; c = 2

2. При каком значении дискриминанта квадратное уравнение не имеет корней?

а) D < 0
б) D > 0
в) D = 0

Ответы к задачам

Давайте посмотрим, как решаются задачи

Задача 1

Нам дано уравнение x 2 – x – 56 = 0.

ax 2 + bx + c = 0
1x 2 – 1x – 56 = 0

1. a =1; b = – 1; c = – 56
2. D = b 2 – 4ac D = (– 1) 2 – 4 • 1 • (– 56) = 1 + 224 = 225
3. D = 225 > 0, два корня
4.

Ответ: -7; 8

Задача 2

Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0. Найдем его:

9х 2 – tx+1=0
a=9 ; b=-t ; c=1
D = b 2 – 4ac
D = (-t) 2 – 4 • 9 • 1 = t 2 – 36

По условию D = 0, значит

При t1= 6
9х 2 –(– 6)x + 1=0
9х 2 + 6x + 1=0
(3х + 1) 2 =0
3х + 1=0

При t2= 6
9х 2 – 6x+1=0
(3х – 1) 2 =0
3х – 1=0

Ответ: при t1= 6 или t2= 6 уравнение 9х 2 – tx+1=0 имеет один корень.

Задача 3

  1. б) a = –3; b = 4; c = – 2
  2. а) D < 0

Популярные вопросы и ответы

Почему дискриминант изучают в 8 классе?

В 8 классе школьники знакомятся с понятием квадратного уравнения и способами его решения. Чтобы найти корни уравнения по формуле с использованием дискриминанта, необходимо знать, что такое арифметический квадратный корень, а с ним ребята знакомятся также в 8 классе.

Сколько корней у уравнения, если дискриминант равен 1?

Если дискриминант равен 1, то квадратное уравнение имеет два различных корня.

В каком задании ЕГЭ по математике проверяется умение находить дискриминант?

Квадратные уравнения часто встречаются при решении логарифмических, показательных, иррациональных, тригонометрических уравнений и неравенств, текстовых задач и других заданий. Для их решения можно применить знание формул с дискриминантом.
В базовом варианте ЕГЭ по математике для выполнения заданий №17, 18, 20, а профильном для заданий №6, 7, 9, 10 нужно уметь решать квадратные уравнения. Это можно сделать с помощью дискриминанта, однако выбор способа решения остается за учеником.

Трилогия о математике. (Диалоги о математике. Письма о вероятности. Дневник. — Записки студента по теории информации) 5891551446, 9785891551442

Методическое пособие по математике для поступающих в вузы 5891551446

В методическое пособие включены задачи по математике, предлагавшиеся абитуриентам на вступительных экзаменах в Московском физико-техническом институте с 1991 по 2004 год. Для систематизации знаний и удобства задачи структурированы по тематическим разделам. Для школьников старших классов и преподавателей, абитуриентов, а также студентов технических вузов, техникумов, студентов младших курсов вузов и лиц, занимающихся само­ образованием. Авторы задач: профессора Шабунин М. И., Сидоров Ю. В., доценты Агаханов Η. X., Ба­ лашов М. В., Коновалов С. П., Константинов Р. В.. Самарова С. С.. Трушин В. Б., Чехлов В. И. Решения задач представлены Самаровой С. С, (1991-1992 г. г.), Агахановым Η. X. (1993-1995 г. г.), Шабуниным М. И. (1996-2004 г. г.)

IS B N 5 -89155-144-6

9 7 8 5 8 9 1 55 4 4 2

Коллектив авторов, 2006 «Ф изматкнига», 2006

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА 1.1.

Решить систему уравнений

6χζ + Зх = 2ζ — 2, . х у + z y = 2 (z — х + 1 ), zy — 6χ ζ + у = Зх + 3. (Билет 1, 1991)

1.2. Решить систему уравнений (4х + у) (ζ + 1) + 4z = О, ■я? + У ~ х — — 1» х у — zy + 2z = 1 + х. (Билет 2, 1991)

Решить систему уравнений 3x z + 1 = 4х + 3z, . 4ху — 3xz = 4у — 3z + 9, х у — zy = х + 3 — 2 z. (Билет 3, 1991)

1.4. Решить систему уравнений (х + 2y)(3z + 1) = 11 + 8у, . х у — zy + 3 = 2х + z, х у — 2х = у — 1 . (Билет 4, 1991)

1.5. Решить систему уравнений х 2 + х у — 2 у 2 + 8х + 10у + 12 = О, х 2 + 3 ху + 2 у2 — х + у — 6 = 0. (Билет 9, 1996)

Решить систему уравнений

8х 2 — 2х у — у 2 — ЗОх — 9у — 8 = О, 8х 2 + бху + у2 — 2у — 8 = 0 . (Билет 10, 1996)

Решить систему уравнений [ 2х 2 — х у — у 2 — 10 х — 8у — 12 = О, |2 х 2 + Зху + у2 + х — у — 6 = 0. (Билет 11, 1996)

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я, СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА

1.8. Решить систему уравнений х 2 + 2 ху — 8у1 + 9х + ЗОу + 8 = 0, х 1 + Ьху + 8у2 — 2х — 8 = 0. (Билет 12, 1996)

1.9. Решить неравенство 13 —Зл + У л 2 — л —6

1.10. Решить неравенство 7 — З х + У л 2 + 3л — 4 л -3

1.12. Решить неравенство 26 — Зл + У л 2 — 2л — 24 л — 10

1.18. Решить неравенство V3x 2 — 8х — 3 > (Билет 2, 1998)

1.19. Решить неравенство V 2 x 2 + 7х — 4 > х — i

1.20. Решить неравенство V3x 2 + 8х — 3 > ±^2* (Билет 4, 1998)

1.21. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным равенство х 3 — 6х 2 — х у + 13х + Зу + 7 = 0. (Билет 1, 1998)

1.22. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным равенство х 3 — х у — 7х + 2у + 23 = 0. (Билет 2, 1998)

1.23. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным равенство х 3 — χ 2 — х у — 17х — Зу + 8 = 0. (Билет 3, 1998)

1.24. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным равенство х 3 — Зх 2 — х у — 8х — 2у + 27 = 0. (Билет 4, 1998)

1.25. Найти действительные решения системы уравнений [х 2 — 4х — 2у — 1 = 0, [у 2 — 2х + 6у + 14 = 0. (Билет 1, 1999)

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я, СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА

1.26. Найти действительные решения системы уравнений f х 2 — 4х + 4у + 27 = О, [у 2 + 2 х + 8у + 10 = 0. (Билет 2, 1999)

1.27. Найти действительные решения системы уравнений | х 2 — б* — Зу — 1 = 0 , I у 2 + 2х + 9 у + 14 = 0. (Билет 3, 1999)

1.28. Найти действительные решения системы уравнений \хг + 7 х — у + \ \ = 0 , |^у2 + Зх — у + 15 = 0. (Билет 4, 1999)

1.29. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны неравенства Зу — х 26,

Зу — х 1 . (Билет 2, 1999)

1.31. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера­ венства Зу — 2х 24,

1.44. Решить неравенство V — х 2 — 2х +

2 — sin X. (Билет 5, 1998)

2.66. Решить неравенство —cos 4 х

> — 2 cos x. (Билет 6, 1998)

2.67. Решить неравенство 4 /7 —cos Ах

> — 2 sin x. (Билет 7, 1998)

2.68. Решить неравенство 4 /5 4 — 3 cos Αχ

— COS X. (Билет 8, 1998)

2.69. Решить уравнение cos Зх —sin x cos 5 x — sin 3 x

2.70. Решить уравнение sin Зх —cos x cos 3x — sin 5x

2.71. Решить уравнение cos 5 x + s in 3x cos 3x + sin x

2.72. Решить уравнение cos З х + sin 5 x cos x + sin 3 x

-1 . (Билет 4, 1999)

Т РИ ГО Н О М ЕТРИ Ч ЕС К И Е УРАВНЕНИ Я, СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА

2.73. Решить уравнение 2 + V3 sin 2х — | cos 2х \ = 4 sin 2 у. (Билет 5, 1999)

2.74. Решить уравнение

2 + V3 cos х + | sin х | = 4 sin 2 x. (Билет 6, 1999)

2.75. Решить уравнение 2 + V3 sin х + | cos x I = 4 cos 2 x. (Билет 7, 1999)

2.76. Решить уравнение V2 + cos x — Isin x I = 2V2 sin 2 x. (Билет 8, 1999)

2.77. Решить уравнение 2

— 2— = 1 6 cos 4 x (l + 2 cos 4x) H sin x

2.78. Решить уравнение sin2 9x

— z— = 16 ctg 2 x sin lOx

Решить уравнение . 2

24 cos 2χ x (Билет 3, 2000)

Решить уравнение 2

Решить уравнение sin x cos 2х cos Зх

sin х cos Зх cos 4х

= sin 4х — tg 2х. (Билет 5, 2000)

Решить уравнение sin Зх —cos η 5х cos х-2х

;—————Б cos 5х cos 8х — = sln

~ tg 2 х. (Билет 6, 2000)

ТРИГОНОМ ЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИ Я, СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА

Решить уравнение sin x cos 6х cos Ί x

sin л» cos l x cos 8x

= sin 8х — tg 6х. (Билет 7, 2000)

2.84. Решить уравнение sin x . sin x a г — H cos 5=——7 cos 4 x cos 5 x x cos 6x

= sin 6x — tg 4x. (Билет 8, 2000)

2.85. Решить уравнение cos3 x sin З х . . 2 :———- h sin sin X

X COS ЭХ = 0 cos 2х cos X. (Билет 1, 2001)

2.86. Решить уравнение cos 2 х

3 sin 2 х cos x.

2.87. Решить уравнение sin

—————- h cos X sin Зх = 6 cos 2х sin X. COS X

2.88. Решить уравнение ■з

—————- V cos x sin Зх + 6 cos 2 х sin x = ϋ. COS X

2.89. Решить уравнение tg x + tg Зх = 4 1sin x I. (Билет 5, 2001)

2.90. Решить уравнение ctg x + ctg Зх = V 1 + ctg2 x . (Билет 6, 2001)

2.91. Решить уравнение ctg x + ctg Зх = 4 1cos x I. (Билет 7, 2001)

2.92. Решить уравнение tg x + tg Зх = V 1 + tg 2 х . (Билет 8, 2001)

Т РИ ГО Н О М Е Т РИ Ч Е С К И Е УРА ВН ЕН И Я, СИСТЕМ Ы И НЕРАВЕНСТВА

2.93. Решить уравнение cos 4 х + cos З х + cos 2 х + cos x sin 4x + sin 3x — sin 2 x —sin x

2.94. Решить уравнение sin 4 x + sin 3x —sin 2 x — sin x cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4x

^ 2 sin χ sin (Билет 10, 2001)

2.95. Решить уравнение cos 4 x — cos 3x + cos 2 x — cos x sin 4 x — sin 3x — sin 2 x + sin x

VT12 cos x — 1 1 sin x cos (Билет 11, 2001)

2.96. Решить уравнение sin 4 x — sin 3 x — sin 2 x + s i n x i 4x — cos З х + c o s 2x — cos x

Icos 2x | ^ 2 sin (Билет 12, 2001)

2.97. Решить уравнение 3 -t-cos 4x — 8 cos’ x 4(cos x + s in x)

1 sin x (Билет 1, 2002)

2.98. Решить уравнение 3 + cos 4x — 8 sin4 x 4(sin x + c o s x)

1 COSX (Билет 2, 2002)

2.99. Решить уравнение

1 3 + 4 cos 2x — 8 cos4 x sin 2x — cos 2x — sin 2 x ‘ (Билет 3, 2002)

2.100. Решить уравнение 3 — 4 cos 2x — 8 sin4 x sin 2 x + c o s 2 x

1 sin 2 х ‘ (Билет 4, 2002)

Т Р И П Ш О М Е Т Р И Ч Е С К И Е УРАВНЕНИ Я, СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА

2.101. Решить уравнение ,

2.102. Решить уравнение ,

2.103. Решить уравнение , ι —χ , . η π arctg -γ γ — + arcsm Зх = γ. (Билет 7, 2002)

2.104. Решить уравнение .

2.105. Решить уравнение ■ 2ί ■ 2л cos 2х sin 2х +ι sin 4х = i1 ——г-. cos Зх (Билет 9, 2002)

2.106. Решить уравнение sin 2 x + sin 2 2 х = 1

cos Зх cos 2 х ‘ (Билет 10, 2002)

2.107. Решить уравнение cos 2 x + cos 2 2х = 1 + ctg Зх. (Билет 11, 2002)

2.108. Решить уравнение

cosz x + cosz 2х = 1 Н——cos 2х

2.109. Решить уравнение sin х + | cos x I + sin 4х = cos 2х. (Билет 1, 2003)

2.110. Решить уравнение cos х + | sin х | + cos 2х = sin 4х. (Билет 2, 2003)

Т РИ ГО Н О М ЕТРИ Ч ЕС К И Е УРАВНЕНИ Я, СИСТЕМ Ы И НЕРАВЕНСТВА

2.111. Решить уравнение sin х + | cos x I = sin 4х + cos 2х. (Билет 3, 2003)

2.112. Решить уравнение cos х + | sin х | + sin 4х = —cos 2х. (Билет 4, 2003)

2.113. Решить уравнение COS Зх / 1 (1 cos X 4

— sirr x cos 2х — 2 sin x)’ = 1 . (Билет 5, 2003)

2.114. Решить уравнение cos- х- ( —1 — sin 2 x cos 2 х + 2 cos 2 x) = 1 . cos x

2.115. Решить уравнение cos 5х , 4 Х _

Решить неравенство log. [ х2- 4 + 4

ctg 2 x. 3.15. Найти все решения уравнения

V7 — log^· (Зх 2 — 24х) = log9 (х 2 — 8х ), удовлетворяющие неравенству sin x tg 6x. 3.17. Решить неравенство

i l o g , ( 1 — 2 — 7 — ‘ ) > 1. (Билет 9, 1992)

3.18. Решить неравенство x l °Si/2 ( | “ 21/Χ) > L (Билет 10, 1992)

Л О ГА РИ Ф М И Ч ЕСКИ Е, ПО КА ЗА ТЕЛЬН Ы Е УРАВНЕНИЯ

3.19. Решить неравенство ю (Билет И , 1992)

3.20. Решить неравенство

х1°ёш ( т ~ 3′ 31/Х| > L (Билет 12, 1992)

3.21. Решить неравенство log5 (31 — 6-5

х ) > х. (Билет 1, 1993)

3.22. Решить неравенство logi (3 — V2 * — 1) > х. 2

3.23. Решить неравенство log4 (21 — 5 ·4 2 -* ) > x. (Билет 3, 1993)

3.24. Решить неравенство logi (4 — V3 * — 2 ) > х. 3 (Билет 4, 1993)

3.25. Найти область определения функции у = Vlog4 (1 + 6х) + | logi (1 + 7х) I · (Билет 5, 1993)

3.26. Найти область определения функции У = V Il°g 27 (1 +

| — logi (1 + 2 х ) . (Билет 6, 1993)

3.27. Найти область определения функции у = V |logg (1 + \ х ) I — logi (1 + З х ) . (Билет 7, 1993)

Л О ГА РИ Ф М И Ч ЕСКИ Е, П О КАЗАТЕЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ

Найти область определения функции У = ψ ο β 4 (1 + Зх) + |log^ (1 + γ — x) I . (Билет 8, 1993)

Решить неравенство V32* + 4 — V | 3 2 x — 7 | 0. (Билет 5, 1994)

3.34. Решить неравенство

1о82|х| + 1 (Зх + 2) — log 3x+2 ( 2 | х | + 1) > 0. (Билет 6, 1994)

3.35. Решить неравенство 4 1о£ з |х | + 1

l o g y ^ y ( 3 1x I

3.36. Решить неравенство lo g 2 |* |+ i ( 7 * +

1οε 7χ + 4 ( 2 1 х ! +

3.37. Решить неравенство ‘-X

> 1° ё 3 т £ (Билет 9, 1994)

ЛОГА РИ Ф М И ЧЕСКИ Е, П О КА ЗА ТЕЛЬН Ы Е УРАВНЕНИЯ

З.ЗМ. Решить неравенство ‘0 g 8

Ί~χ 3/ V i^ T lV ‘ (Билет 10, 1994)

Решить неравенство ί Ι ο 8 | , + ι/2 | ( i —

Решить неравенство !°ё2 7 ( f —

3.41. Решить уравнение log3 (sin Зх — sin x) = 2 log9 (17 sin 2x) — 1. (Билет 1, 1995)

3.42. Решить уравнение log/7 (sin x — cos x) + 1 = log7 (7 + 3 cos 4x). (Билет 2, 1995)

3.43. Решить уравнение log6 (cos x + cos 3x) = 2 log36 (sin 2x) — 1. (Билет 3, 1995)

3.44. Решить уравнение log/ττ sin ^x +

= logn (6 + cos 4x) — 1. (Билет 4, 1995)

3.45. Решить неравенство log 1 + 1 . (Билет 5, 1995)

3.46. Решить неравенство log* ΐ ΐ τ > 2 logi r *· (Билет 6, 1995)

Л О ГА РИ Ф М И Ч ЕСКИ Е, ПО КАЗАТЕЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ

3.47. Решить неравенство 1оё б * + 1 ( 2 5 х ) —

2 1оё 2 5 * ( 6 х +

3.48. Решить неравенство

1оё 6*-1 6Ϊ ~ Γ > 2 loSx ( Ь х — 1 ) . (Билет 8, 1995)

3.49. Решить неравенство 5 — 3 | 3* — 1 1 У 2х+1- 1 . (Билет 10, 1995)

3.51. Решить неравенство 7 — 2 12* — 2 1 р х+1~ 2 . (Билет 12, 1995)

3.53. Решить неравенство l° g u + 2| (4-* — О 2· (Билет 1, 1997)

3.66. Решить неравенство log x2 | Здс + 1 1 2· (Билет 3, 1997)

3.68. Решить неравенство log x2 15х + 2 1 0 . logi log2 x + 3

3.78. Решить неравенство ,

х + I x I — 30 п — —— 0. (Билет 3, 1999)

.3.80. Решить неравенство log8 logi

x — |х + 1| — 5 5 х+ 7

’“ 5 = 4, | V2x + у2 = х + у. (Билет 2, 2001)

.1.45. Решить систему уравнений [5 *+у+1 + 1 6 — 5 ^ 2 = 10 , | Vx + у2 = X + у. (Билет 3, 2001)

Решить систему уравнений Г3 Х+У+1 + 16-33’-3 = 10 , |V 2x + j r = х + у. (Билет 4, 2001)

3.97. Решить неравенство 1оё(2х + 9) (24

10gV24 + 2 x-x2 ( 2х

AD, А В = 1 4 . Точка C’ симметрична точке С относительно прямой BD, а точка С” симметрична точке С’ относительно прямой АС и лежит на продолжении диагонали B D за точку D. Найти площадь параллелог­ уГЗВС =

рамма ABCD, если ВС» = | BD.

4.21. Высоты равнобедренного остроугольного треугольника ABC, в котором А В = ВС, пересекаются в точке О. Найти площадь тре­ угольника ABC, если АО = 5, а длина высоты AD равна 8 . (Билет 9, 1992)

4.22. Около трапеции A BC D описана окружность, центр которой лежит на основании AD. Найти площадь трапеции, если АВ = 3/4, АС = 1. (Билет 10, 1992) 4.23. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD диагонали пересекаются в точке О. Найти периметр трапеции, если ВО = 7/8, OD = 25/8, L A B D = 90°. (Билет 11, 1992) 4.24. В равнобедренном треугольнике ABC основание А В является диаметром окружности, которая пересекает боковые стороны АС и СВ в точках D v i E соответственно. Найти периметр треугольника ABC, ес­ ли AD = 2, А Е = 8/3. (Билет 12, 1 992) 4.25. Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину В, касается стороны АС и пересекает сторону А В в точке К такой, что ВК:АК = 5:1. Найти длину стороны ВС. (Билет 1, 1993)

4.26. Биссектриса AD и высота В Е остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересе­ кает сторону АВ в точке К такой, что АК:КВ = 1:3. Найти длину СТОРОНЫ ВС. (Билет 2, 1993) 4.27. Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, касается стороны ВС и пересекает сторону АС в точке М такой, что АМ :М С = 4:1. Найти длину стороны АВ. (Билет 3, 1993) 4.28. Биссектриса В К и высота C Z остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину В, середину стороны ВС и пересе­ кает сторону АВ в точке М такой, что АМ’.МВ = 2:1. Найти длину стороны АС. (Билет 4, 1993) 4.29. Внутри параллелограмма ABC D взята точка К так, что тре­ угольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки

К до прямых AD, АВ и ВС равны соответственно 3, 6 и 5. Найти периметр параллелограмма. (Билет 5, 1993) 4.30. На стороне CD параллелограмма ABCD с тупым углом при вершине D построен равносторонний треугольник СОЕ так, что точ­ ки Л и £ лежат по разные стороны от прямой CD. Известно, что растояния от точек D и Е до прямой ВС равны соответственно 3 и 8, а расстояние от точки Е до прямой АВ равно 13. Найти площадь параллелограмма ABCD. (Билет 6, 1993) 4.31. Внутри параллелограмма K L M N взята точка Р так, что тре­ угольник Κ Ρ Ν равносторонний. Известно, что расстояния от точки Р до прямых K L , L M и Μ Ν равны соответственно 10, 3 и 6. Найти периметр параллелограмма. (Билет 7, 1993) 4.32. На стороне Κ Ν параллелограмма K L M N с тупым углом при вершине М построен равносторонний треугольник Κ Τ Ν так, что точ­ ки Т и М лежат по разные стороны от прямой ΚΝ. Известно, что растояния от точек Т и К до прямой Μ Ν равны соответственно 8 и 5, а расстояние от точки Т до прямой L M равно 10. Найти площадь параллелограмма K L M N . (Билет 8, 1993) 4.33. Продолжения медиан А М и ВК треугольника ABC пере­ секают описанную около него окружность в точках Е и F соот­ ветственно, причем А Е : А М = 2:1, B F :B K = 3:2. Найти углы тре­ угольника ABC. (Билет 9, 1993) 4.34. Продолжения высоты С Н и биссектрисы CL треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках Р и М 9

соответственно, причем СР = 2 СН, С М = — CL. Найти углы тре­ угольника ABC. (Билет 10, 1993) 4.35. Продолжения медиан А Е и CF треугольника ABC пере­ секают описанную около него окружность в точках D и N соот­ ветственно, причем AD :AE = 2:1, CN-.CF — 4:3. Найти углы тре­ угольника ABC. (Билет 11, 1993) 4.36. Продолжения высоты ВО и биссектрисы BF треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках К и L g соответственно, причем В К = 2ВО, B L = j BF. Найти углы тре­ угольника ABC. (Билет 12, 1993) 4.37. Дан ромб ABC D с тупым углом при вершине А. На продол­ жении стороны AD за точку D взята точка К. Отрезки ВК и СО пересекаются в точке L. Найти площадь треугольника АКК, если BL = 2, K L = 5, а высота ромба равна 1. (Билет 1, 1994) 4.38. Даны треугольник ABC и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC, а угол при вершине Е — ту­ пой. Найти площадь треугольника ABC , если АЕ = 3, СЕ = 7, а ра­ диус ОКРУЖНОСТИ, ВПИСаННОЙ В ромб, равен 1. (Билет 2, 1994) 4.39. На продолжении стороны ВС ромба ABC D за точку В взята точка М так, что угол M D C — тупой. Отрезки АВ и D M пересекаются

в точке Ν. Найти площадь треугольника СОМ, если D N = 3, Μ Ν = 4, а высота ромба равна 2. (Билет з, 1994) 4.40. Даны треугольник ABC с тупым углом при вершине А и ромб CDEF, все вершины которого лежат на сторонах тре­ угольника ABC. Найти площадь треугольника ABC, если А Е = 2, В Е = 7, а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1/2. (Билет 4,

4.50. Окружность с центром О проходит через вершину В ромба ABCD и касается лучей СВ и CD. Найти площадь ромба, если DO = | , ОС = | . 4

4.51. Через вершины В, С и D трапеции A BC D (AD\\BC) прове­ дена окружность. Известно, что окружность касается прямой АВ, а ее центр лежит на диагонали BD. Найти периметр трапеции, если ВС = 9, AD = 25. (Билет 3, 1995) 4.52. Окружность с центром О проходит через вершину С ромба ABCD и касается лучей DC и DA. Найти площадь ромба, если О А — 4 , OD = 5. (Билет 4, 1995) 4.53. Через середину гипотенузы АС прямоугольного тре­ угольника A BC проведена прямая, пересекающая катет ВС в точке D, а продолжение катета А В за точку А — в точке Е. Найти площадь з треугольника ABC, если C D = 1, А Е = 2, А С А В = arccos — . (Билет 5, 1995)

4.54. Через середину стороны АС равнобедренного треугольника ЛВС (А С — ВС) проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке К, а продолжение стороны А В за точку А — в точке Р. Найти площадь треугольника ABC, если С К = 2, АР = 5, Z. ABC = arccos

4.55. Через середину катета АВ прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая гипотенузу АС в точке Е, а продолжение катета ВС за точку В — в точке F. Найти площадь треугольника ABC, если А Е = 2, BF = 3 , А А С В = Ь 0 ° . (Билет 7, 1995)

4.56. Через середину стороны ВС равнобедренного треугольника ABC (А В — ВС) проведена прямая, пересекающая сторону А В в точке D, а продолжение стороны А С за точку С — в точке Е. Найти площадь треугольника ABC, если BD = 3, СЕ = 4 , А В А С = arccos -j.

4.57. В равнобедренный треугольник АБС (А В — ВС) вписана окружность с центром О. Касательная к окружности пересекает стороны ВС и СЛ треугольника в точках М и N соответственно. Найти радиус окружности, если A M N C = 2 A N M C , О М = VT0, ОЫ = Ц~. 4

4.58. Вокруг окружности с центром О описана трапеция ABCD, в которой BC\\AD, ВС =6vT3, А Е = 8. (Билет 1 , 2003) 4.134. Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC\\AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е. Найти площадь тра­ пеции ABCD, если В Е = 26, DE = 9vT3. (Билет 2, 2003) 4.135. Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC\\AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е. Найти площадь тра­ пеции ABCD, если ВС = 2, CD = 10V26. (Билет 3, 2003) 4.136. Окружность с центром на диагонали А С трапеции ABCD (BC\\AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в

точке С и пересекает основание AD в точке Е. Найти площадь тра­ пеции ABCD, если A B = 5V2, CD — 10VT3. (Билет 4, 2003) 4.137. В трапеции A BC D с меньшим основанием ВС и площадью, равной 2, прямые ВС и AD касаются окружности диаметром Ί 2 в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции А В и CD пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина M N равна 1. Найти величину угла M B N и длину основания AD. (Билет 5, 2003)

4.138. В трапеции ABC D с большим основанием ВС и площадью, равной 4 / 3 , прямые ВС и AD касаются окружности диаметром 2 в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции А В и CD пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина M N равна V 3 . Найти величину угла M D N и длину основания ВС. (Билет 6, 2003)

4.139. В трапеции ABC D с меньшим основанием ВС и площадью, равной 4, прямые ВС и AD касаются окружности диаметром 2 в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции А В и CD пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина M N равна V2. Найти величину угла M B N и длину основания AD. (Билет 7, 2003)

4.140. В трапеции A BC D с большим основанием ВС и площадью, равной 1 2 /3 , прямые ВС и A D касаются окружности диаметром 2 /3 в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции АВ и CD пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина M N равна 3. Найти величину угла M D N и длину основания ВС. (Билет 8, 2003)

4.141. Дан треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 5, медиана AD =

На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что CF = Щ-.

Через точку F проведена прямая I, параллельная ВС. Найти рассто­ яние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до прямой I. (Билет 9, 2003) 4.142. Дан треугольник ABC, в котором А В = ВС = 5, а радиус 25

описанной окружности равен -g-. На высоте CD выбрана точка Е такая, что СЕ =

и через точку Е проведена прямая I, параллель­

ная ВС. Найти расстояние от центра окружности, вписанный в тре­ угольник ABC, ДО прямой I. (Билет 10, 2003) 4.143. Дан треугольник ABC, в котором А В = ВС, АС = 6, а радиус вписанной окружности равен Е такая, что СЕ =

На медиане CD выбрана точка

Через точку Е проведена прямая I, парал­

лельная ВС. Найти расстояние от центра окружности, описанный около треугольника ABC, до прямой I. (Билет 11, 2003)

4.144. Дан треугольник ABC, в котором А В = ВС, АС = 6, высота 24

AD = -у. На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что CF = — . Через точку F проведена прямая /, параллельная ВС. Найти рассто­ яние от центра окружности, вписанной в треугольник ABC, до пря­ мой /. (Билет 12, 2003) 4.145. В параллелограмме ABCD прямые /j и /2 являются биссек­ трисами углов А и С соответственно, а прямые т 1 и т 2 — биссект­ рисами углов В и D соответственно. Расстояние между и 12 в V3 раз меньше расстояния между т 1 и т 2. Найти угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, если АС = у/ 22/3, BD — 2. (Билет 1, 2004) 4.146. В параллелограмме ABCD прямые и /2 являются биссек­ трисами углов А и С соответственно, а прямые т 1 и т г — биссект­ рисами углов В и D соответственно. Расстояние между и 12 в V3 раз больше расстояния между т 1 и т г. Найти угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если АС — 4, BD — V 22. (Билет 2, 2004) 4.147. В параллелограмме ABCD прямые Ιγ и 12 являются биссек­ трисами углов А и С соответственно, а прямые т 1 и т 2 — биссект­ рисами углов В и D соответственно. Расстояние между и 12 в V3 раз меньше расстояния между т 1 и т 2. Найти угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, если АС = V41/3, BD — 3 . (Билет 3, 2004) 4.148. В параллелограмме ABCD прямые /, и /2 являются биссек­ трисами углов А и С соответственно, а прямые т 1 и т 2 — биссект­ рисами углов В и D соответственно. Расстояние между /j и /2 в V3 раз больше расстояния между т < и т г. Найти угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если АС = 3, BD = V59/3 . (Билет 4, 2004) 4.149. Какая наименьшая площадь может быть у треугольника АОС, вершина О которого лежит на катете ВС прямоугольного тре­ угольника ABC и является центром окружности радиуса R, касаю­ щейся гипотенузы А С и проходящей через точку Β Ί (Билет 5, 2004) 4.150. Какая наименьшая площадь может быть у прямоугольного треугольника ABC, в котором окружность радиуса R с центром на катете АВ касается гипотенузы АС и проходит через точку В2 (Билет 6, 2004)

4.151. Какая наименьшая длина может быть у гипотенузы АС прямоугольного треугольника ABC, в котором окружность радиуса R с центром на катете ВС касается стороны АС и проходит через точку В1 (Билет 7, 2004)

4.152. Какое наименьшее значение может быть у суммы длин ка­ тета ВС и гипотенузы А С прямоугольного треугольника ABC, в ко­ тором окружность радиуса R с центром на катете А В касается сторо­ ны АС И ПРОХОДИТ ч е р е з Т О Ч К у В’! (Билет 8, 2004) 4.153. Четырехугольник, один из углов которого равен arctg(4/3), вписан в окружность радиуса V6 и описан около окружности радиуса 1. Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями. (Билет 9, 2004)

4.154. Четырехугольник, один из углов которого равен arsin(4/5), вписан в окружность радиуса VT5 и описан около окружности ради­ уса 2. Найти площадь четырехугольника и угол между его диагона­ лями. (Билет 10, 2004) 4.155. Четырехугольник, один из углов которого равен 2 arcctg ( 2 ), вписан в окружность радиуса 2V3 и описан около ок­ ружности радиуса 1. Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями. (Билет 11, 2004) 4.156. Четырехугольник, один из углов которого равен arccos (3 /5 ), вписан в окружность радиуса 2VT0 и описан около ок­ ружности радиуса 3. Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями. (Билет 12, 2004)

5. СТЕРЕОМ ЕТРИЯ 5.1. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти обьем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, A A B S = ^r, / — B S C = -pr, E S C B = %. (Билет 1, 1991) 2 12 4

5.2. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду K L M N , касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности. Найти обьем пирамиды, если М К = | , Δ Ν Μ Κ = j , L K M L = 3 arctg j , LNML

5.3. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, ЕВАС

5.4. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду EFGH, касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань ок­ ружности. Найти объем пирамиды, если FG = 3V5, L H F G = γ, LEFG = ~

— 3 arctg V 5 , Z . E F H — arctg V 5 . (Билет 4, 1991)

5.5. В четырехугольной пирамиде SABC D основанием является трапеция ABC D ( BC\\AD), ВС — (4/5)AD , L A S D = L C D S = л/2. Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, вы­ сота которого равна 2, а радиус основания равен 5 /3 . Найти объем пирамиды. (Билет 5, 1991) 5.6. В четырехугольной пирамиде SABC D основанием является па­ раллелограмм ABCD, /-B SC = LAS.B = л/2. Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований усеченного конуса, высота которого равна 4/3, а радиусы оснований равны 1/2 и 5/6. Найти объем пира­ миды. (Билет 6, 1991) 5.7. В четырехугольной пирамиде S K L M N основанием является трапеция K L M N (L M \\K N ), L M = ·| K N , E K S N = Δ Μ Ν Ξ = л/2. Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, вы­ сота которого равна 3, а радиус основания равен 5/2. Найти объем пирамиды. (Билет 7, 1991) 5.8. В четырехугольной пирамиде S K L M N основанием является параллелограмм K L M N , L L S M = L K S L = Все вершины пирами­ ды лежат на окружностях оснований усеченного конуса, высота ко­ торого равна 3 /2 , а радиусы оснований равны 1 и 5 /4 . Найти объем пирамиды. (Билет 8, 1991)

СТЕРЕО М ЕТРИ Я

5.9. В основании четырехугольной пирамиды SABC D лежит ромб ABCD с острым углом при вершине А. Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вер­ шины S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоско­ стей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от центра сферы до прямой АС равно

5.10. В сферу радиуса 5 /8 вписана четырехугольная пирамида SABCD, основанием которой служит параллелограмм ABCD. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ортогональной проекцией вершины S на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды касается второй сферы, расстояние от центра которой до прямой AD вдвое больше расстояния до прямой ВС. Найти радиус второй сферы и расстояние от ее центра до вершины S, если AD.AB = 5:3. (Билет 10, 1991) 5.11. В основании четырехугольной пирамиды SABC D лежит ромб ABCD с тупым углом при вершине А. Высота ромба равна 2, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вер­ шины S на плоскость основания. Сфера радиуса 1 касается плоско­ стей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние уТ4 от центра сферы до прямой BD равно — γ — Α Β . (Билет 11, 1991) 5.12. В сферу радиуса 13/3 вписана четырехугольная пирамида SABCD, основанием которой служит параллелограмм ABCD. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ортогональной проекцией вершины S на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды касается второй сферы, расстояние от центра которой до прямой А В втрое больше расстояния до прямой CD. Найти радиус второй сферы и расстояние от ее центра до вершины S, если AB-.AD = 1:4. (Билет 12, 1991) 5.13. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) точки D и Е являются серединами ребер АС и ВС соответственно. Че­ рез точку Е проведена плоскость β, пересекающая ребра АВ и SB и уда­ ленная от точек D и В на одинаковое расстояние, равное 1/2. Найти длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB, если ВС = 4, SC = 3. (Билет 1, 1992) 5.14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вер­ шина) A D = 1 / 5 и SD = 1 . Через точку В проведена плоскость а , пересекающая ребро SC и удаленная от точек Л и С на одинаковое расстояние, равное 1 / 1 0 . Найти длины отрезков, на которые плоско­ сть а делит ребро SC, если известно, что а не параллельна пря­ мой АС. (Билет 2, 1992) 5.15. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) точки К и L являются серединами ребер АВ и АС соответственно. Через точку L проведена плоскость β, пересекающая ребра ВС и SC и удаленная от точек К и С на одинаковое расстояние, равное 1/3. 1»

Найти длины отрезков, на которые плоскость β делит ребро 5С, если АВ = 4/3, SB = 4/5. (Билет 3, 1992) 5.16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (5 — вершина) ЛВ — 5, 5/1 = 4. Через точку А проведена плоскость а, пересекающая ребро SD и удаленная от точек β и В на одинаковое расстояние, равное 5 /4 . Найти длины отрезков, на которые пло­ скость а делит ребро SD, если известно, что а не параллельна прямой BD. (Билет 4, 1992) 5.17. Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SABCD, осно­ ванием которой является трапеция ABCD, а также вписана в пра­ вильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды SABCD. Найти радиус сферы, если объем пирами­ ды SABC D равен 64. (Билет 5, 1992) 5.18. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SABC (5 — вершина), а также вписана в прямую треугольную призму K L M K ‘L ‘M ‘, у которой K L = К М = \/Έ, а боковое ребро KK’ лежит на прямой АВ. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SC параллельна плоскости L L ‘M ‘M. (Билет 6, 1992) 5.19. Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SK L M N , осно­ ванием которой является трапеция K L M N , а также вписана в пра­ вильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды S K L M N . Найти радиус сферы, если площадь тра­ пеции K L M N равна 3V3. (Билет 7, 1992) 5.20. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду S K L M (5 — вершина), а также вписана в прямую треугольную призму А В С А ‘В ‘С ‘, у которой А В = АС, ВС = 4V2, а боковое ребро АА’ ле­ жит на прямой KL. Найти радиус сферы, если известно, что прямая S M параллельна плоскости В В ’С ’С. (Билет 8, 1992) 5.21. Основание прямой призмы А В С А ‘В ’С’ — равнобедренный тре­ угольник ЛВС, в котором А В = ВС = 5, Z.ABC = 2 arcsin (3 /5 ). Пло­ скость, перпендикулярная прямой А’С, пересекает ребра АС и А’С’ в точках D v iE соответственно, причем AD = АС/Ъ, ЕС’ = А’С’/Ъ. Найти площадь сечения призмы этой плоскостью. (Билет 9 ,1 9 9 2 ) 5.22. Основание прямой призмы ABCDA’B’C’D’ — равнобедрен­ ная трапеция ABCD, в которой BC\\AD, ВС = 1, AD = 5 , L B A D = arctg ( 3 /2 ) . Плоскость, перпендикулярная прямой A’D, пересекает ребра AD и A’D’ в точках Е и F соответственно, при­ чем А Е = FD’ = 5/3. Найти площадь сечения призмы этой плоско­ стью. (Билет 10, 1992) 5.23. Основание прямой призмы АВСА’В’С’ — равнобедренный треугольник ABC, в котором АС = С В — 2, А Л С В = 2 arcsin (4/5). Плоскость, перпендикулярная прямой А’В, пересекает ребра АВ и 7

А’В’ в точках К и L соответственно, причем А К = —/1£, L B ’ = — А’В’. Найти площадь сечения призмы этой плоскостью.

5.24. Основание прямой призмы ABCDA’B’C’D’ — равнобедренная трапеция ABCD, в которой BC\\AD, ВС = 5, AD = 10, L B A D = arctg 2. Плоскость, перпендикулярная прямой AD’, пересекает ребра AD и A’D’ в точках М и N соответственно, причем M D = Α ‘Ν = 1. Найти пе­ риметр сечения призмы этой ПЛОСКОСТЬЮ. (Билет 12,1992) 5.25. Через середину ребра АС правильной треугольной пирамиды SABC (S — вершина) проведены плоскости а и β, каждая из которых образует угол — с плоскостью ABC. Найти площади сечений пирами­ ды SABC плоскостями а и β, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, а плоскость а перпендикулярна ребру S A (Билет 1, 1993) 5.26. На сторонах ВС и AD правильной четырехугольной пирами­ ды SABC D (S — вершина) взяты точки Р и Q. Сечения пирамиды SABCD двумя взаимно перпендикулярными плоскостями а и β, про­ ходящими через прямую PQ, — трапеции с равными основаниями. Грань S A B образует угол ~ с пересекающей ее плоскостью сечения, а угол между гранями SA B и ABC D равен arctg 2. Найти площади сечений пирамиды плоскостями а и β, если P Q = 13. (Билет 2, 1993) 5.27. Через середину ребра ВС правильной треугольной пирамиды SABC (S — вершина) проведены плоскости а и β, каждая из которых образует угол arctg ^ с плоскостью ЛВС. Найти площади сечений пирамиды SABC плоскостями а и β, если эти сечения имеют общую сторону длины 3, лежащую в грани ABC, а плоскость а перпендику­ лярна ребру SC. (Билет 3, 1993) 5.28. На сторонах АВ и CD правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина) взяты точки К и Z. Сечения пирамиды SABCD двумя взаимно перпендикулярный плоскостями а и β, проходящими через прямую Κ Ζ , — трапеции с равными основаниями. Грань SAD об­ разует угол j с пересекающей ее плоскостью сечения, а угол между гранями SAD и ABCD равен arctg 3. Найти площ ади сечен и й пирамиды ABCD плоскостям и а и β, если Κ Ζ = 1 9 . (Билет 4,1993) 5.29. О снование прям ой призмы K L M N K ‘L ‘M ‘N ‘ — ромб K L M N с углом 60° при верш и не К. Т очки Е и F — середины ребер L L ‘ и L M призм ы . Р ебр о SA правильной четы рехугольной пирамиды SABCD (S — верш ин а) л еж и т на прям ой L N , вершины D и В — на прямых M M ‘ и E F соответственно. Н айти отнош ен и е объемов п риз­ мы И пирам иды , если S21 = 2Αβ. (Билет 5, 1993) 5.30. Точки Е и F — середины ребер CC’ и C’D’ прямоугольного па­ раллелепипеда ABC D A’B’C ‘D ‘. Ребро K L правильной треугольной пи­ рамиды K L M N (К — вершина) лежит на прямой АС, а вершины N и М — на прямых DD’ и E F соответственно. Найти отношение объемов призмы и пирамиды, если АВ.ВС = 4:3, K L :M N = 2:3. (Билет 6, 1993)

5.31. Точки Р и Q — середины ребер K L и L M правильной тре­ угольной призмы K L M K ‘L ‘M ‘. Ребро SB правильной четырехуголь­ ной пирамиды SABC D ( S — вершина) лежит на прямой QK, а вер­ шины А и С — на прямых K ‘Р и LL’ соответственно. Найти отноше­ ние объемов призмы и пирамиды, если SA = 5AB. (Билет 7, 1993) 5.32. Основание прямой призмы P Q R P ‘Q ’R’ — треугольник PQR, в котором L P Q R = 90°, P Q :Q R = 1:3. Точка К — середина катета PQ. Ребро АВ правильной треугольной пирамиды ABCD (А — вер­ шина) лежит на прямой PR, а вершины С и D — на прямых Р ‘К и QQ’ соответственно. Найти отношение объемов призмы и пирамиды, если A B : C D = 2:3. (Билет 8, 1993) 5.33. Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы принадлежит основанию пирамиды, другая грань — боко­ вой грани пирамиды. Какой наибольший объем может иметь приз­ ма, если ребро основания пирамиды равно 2 , а высота пирамиды равна 2V2″? (Билет 9, 1993) 5.34. Внутри правильной четырехугольной пирамиды расположе­ на прямая призма K L M N K ‘L ‘M ‘N ‘, в основании которой лежит ромб K L M N с углом 60° при вершине L. Ребро K K’ принадлежит основа­ нию пирамиды, а ребро L L ‘ — диагонали этого основания. Какой наибольший объем может иметь призма, если диагональ основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна V3 ? (Билет ю, 1993) 5.35. Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы принадлежит основанию пирамиды, другая грань — боко­ вой грани пирамиды. Какой наибольший объем может иметь приз­ ма, если ребро основания пирамиды равно 2 , а высота пирамиды равна 1? (Билет 11, 1993) 5.36. Внутри правильной четырехугольной пирамиды расположе­ на прямая призма ABC D A’B’C ‘D ‘, в основании которой лежит ромб ABCD, в котором BD = V2 АС. Ребро AA’ призмы принадлежит осно­ ванию пирамиды, а ребро BB’ — диагонали этого основания. Какой наибольший объем может иметь призма, если ребро основания пира­ миды равно 2, а высота пирамиды равна 1? (Билет 12, 1993) 5.37. В основании прямой призмы A B C D A lB l C lD l лежит ромб ABCD с углом BAD, равным 2 arccos 1/3. Сфера касается всех звень­ ев ломаной ABCCj-Aj и пересекает ребро В В 1 в точках В х и М. Найти объем призмы и радиус сферы, если Β χΜ = 1. (Билет 1, 1994) 5.38. Дан прямоугольный параллелепипед A B C D A lB lC lD v у ко­ торого АВ : ВС = 2 : 3 . Точки F и F i — середины ребер ВС и В

С ТЕРЕО М ЕТРИ Я

СТЕРЕО М ЕТРИ Я

ного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии 8 друг ОТ друга. (Билет 10, 1994) 5.47. Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении 2 : 6 : 1 , считая от центра од­ ного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии V6 друг ОТ друга. (Билет 11, 1994) 5.48. Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его верхнего основания и делит ось цилиндра в отношении 1 : 6 : 2 , считая от центра од­ ного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии 4 друг ОТ друга. (Билет 12, 1994) 5.49. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вер­ шина) АВ — 3V 2, высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды дву­ мя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку А, а другая — через точки В и D, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SC плоскости сечений? Найти рассто­ яние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на ко­ торые пирамида разбивается этими плоскостями. (Билет ι, 1995) 5.50. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ABC, АВ = 2, АС = 1, А В А С = 120°, SH = 3V2. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку С и середину ребра АВ, а другая — через точку В, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро S21 плоскости се­ чений? Найти объемы многогранников, на которые разбивают пира­ миду плоскости сечений, а также расстояние между этими плоско­ стями. (Билет 2, 1995) 5.51. В основании пирамиды SABC D лежит ромб ABCD, ребро SD перпендикулярно плоскости основания, SD = 6, BD = 3, АС = 2. Се­ чения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку В, а другая — через точки А и С, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SD плоскости сечений? Най­ ти расстояние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями. (Билет з, 1995) 5.52. Ребро SB пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ЛВС, ЛВ = 4, ВС = 2, А АС В = 90°, SB = 3. Сечения пирамиды дву­ мя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку С и середину ребра АВ, а другая — через точку А, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SB плоскости се­ чений? Найти объемы многогранников, на которые разбивают пира­ миду плоскости сечений, а также расстояние между этими плоско­ стями. (Билет 4, 1995)

СТЕРЕО М ЕТРИ Я

5.53. В правильной четырехугольной призме A B C D A lB l C lD l боко­ вое ребро равно VT4, длина стороны основания ABC D призмы равна 6. Окружность основания прямого кругового конуса вписана в тре­ угольник B C lD, а вершина конуса лежит в плоскости А В С Х. Найти объем конуса. (Билет 5, 1995) 5.54. Окружность основания прямого кругового цилиндра вписана в боковую грань SA B правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина), центр другого основания цилиндра лежит в плоскости SBC. Найти объем цилиндра, если АВ = 6, SB = 5. (Билет 6, 1995) 5.55. В правильной четырехугольной призме A B C D A lB l ClD l сто­ рона основания ABC D равна 2, боковое ребро равно VT4. Основание прямого кругового конуса вписано в треугольник A B xD y, а вершина конуса лежит в плоскости АВ,С,. Найти объем конуса. (Билет 7, 1995) 5.56. Окружность основания прямого кругового цилиндра вписана в боковую грань SBC правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина), центр другого основания цилиндра лежит в плоскости SBD. Найти объем цилиндра, если ВС = 4, SA = 3 . (Билет 8, 1995) 5.57. На ребре АС правильной треугольной призмы А В С А 1В 1С 1 взята точка К так, что А К =

С К = — . Через точку К проведена пло-

скость, образующая с плоскостью ЛВС угол arctg ^ и рассекающая призм у на два м ногогранника, площ ади п оверхностей которых равны. Найти объем призм ы , если и звестн о, что около одного из эти х м ного­ гранников МОЖНО ОПИСатЬ Сферу, а ОКОЛО Другого — Нет. (Билет 9, 1995)

5.58. В основании прямой призмы А В С А 1В 1С 1 лежит треугольник ЛВС со сторонами А В = АС = 25, ВС = 40. На ребре АВ взята точка М так, что В М = 15. Через точку М проведена плоскость, образую­ щая с плоскостью A BC угол arctg

и рассекающая призму на два

многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет. (Билет 10, 1995) 5.59. На ребре АВ правильной треугольной призмы А В С А 1В1С1 взята точка D так, что AD =

BD = 3. Через точку D проведена пло­

скость, образующая с плоскостью ЛВС угол arctg -у и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих много­ гранников можно описать сферу, а около другого — нет. (Билет 1 1 ,1 995) 5.60. В основании прямой призмы А В С А ХВ ХС Х лежит треугольник ЛВС со сторонами АВ = ВС = 5, А С = 6. На ребре ВС взята точка D так, что DC = 4. Через точку D проведена плоскость, образующая с плоскостью ЛВС угол arctg j и рассекающая призму на два много­

СТЕРЕО М ЕТРИ Я

гранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем приз­ мы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет. (Билет 12, 1995) 5.61. В основании призмы A B C D A XB XC XD X лежит прямоугольник ABCD. Острые углы D yDA и D yDC равны между собой, угол между ре­ бром D XD и плоскостью основания призмы равен arccos ^===, а CD = 5V6. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину ВС, угол между плоскостями D XDC и ABC, а также расстояние от точ­ ки D до центра сферы. (Билет 1, 1996) 5.62. Все грани призмы A B C D A lB i ClD l касаются некоторого шара. Основанием призмы служит квадрат ABC D со стороной, равной 5. Угол CXCD — острый, a L C XCB = arctg

Найти L C XCD, угол между

боковым ребром и плоскостью основания призмы, а такж е расстояние от точки С до точки касания ш ара с плоскостью A A XD. (Билет 2, 1996)

5.63. В основании призмы A B C D A lB l ClD l лежит параллелограмм ABCD. Длина А В равна 8 , a A B A D = π/З. Острые углы А ХАВ и A XAD равны между собой, а угол между ребром А ХА и плоскостью основания призмы равен arcsin ‘\j~. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину ребра AD, угол между плоскостями Α Α χΒ и ABC, а также расстояние от точки А до центра сферы. (Билет з, 1996) 5.64. Все грани призмы AB C D A lB l ClD l касаются некоторого шара. Основанием призмы служит ромб ABCD. Угол В ХВС — острый, А В ХВА = arctg ^=, А А В С = р а АВ =

Найти L B KBC, угол между

боковым ребром и плоскостью основания призмы, а такж е расстояние от точки В до точки касания ш ара с плоскостью D XDC. (Билет 4, 1996)

5.65. В кубе A B C D A XB XC XD V ребро которого равно 6, точки М и N — середины ребер АВ и В ХС Х соответственно, а точка К располо­ жена на ребре DC так, что D K = 2 КС. Найти: 1) расстояние от точки N до прямой АК\ 2) расстояние между прямыми M N и АК; 3) расстояние от точки А х до плоскости треугольника M N K . (Билет 1, 1996)

5.66. В кубе A B C D A xB lC lD 1, ребро которого равно 4, точки Е и F — середины ребер А В и В ХС Х соответственно, а точка Р располо­ жена на ребре CD так, что СР = 3PD. Найти: 1) расстояние от точки F до прямой АР; 2) расстояние между прямыми E F и АР; 3) расстояние от точки А < до плоскости треугольника EFP. (Билет 6, 1996)

СТЕРЕО М ЕТРИ Я

5.67. В кубе A B C D A XB XCYD Y, ребро которого равно 6, точки М и N — середины ребер А В и В ХС Х соответственно, а точка ЛТ располо­ жена на ребре DC так, что С К = 2KD. Найти: 1) расстояние от точки N до прямой АК; 2) расстояние между прямыми M N и АК; 3) расстояние от точки ylj до плоскости треугольника M K N . (Билет 7, 1996)

5.68. В кубе А В С О А хВ хСхО ь ребро которого равно 4, точки Е и F — середины ребер А В и В ХС Хсоответственно, а точка Р расположена на ребре CD так, что PD = 3РС. Найти: 1) расстояние от точки F до прямой АР’, 2) расстояние между прямыми E F и АР; 3) расстояние от точки А х до плоскости треугольника EFP. (Билет 8, 1996)

5.69. В правильной треугольной пирамиде ABC D сторона осно­ вания ABC равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окруж­ ность основания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса является точка О, лежащая на высоте В Е треугольника ABC так, что В Е : ОВ = 3. Найти радиус основания конуса и ра­ диус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей ТОЧКОЙ В. (Билет 9, 1996) 5.70. В правильной треугольной пирамиде ABC D сторона основа­ ния ABC равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ABD, а вершина конуса расположена на средней линии треугольника ABC, параллельной сто­ роне АВ. Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой С. (Билет 10, 1996) 5.71. В правильной треугольной пирамиде ABC D сторона основа­ ния ABC равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса является точка О, где OD — высота пирамиды. Найти радиус осно­ вания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пи­ рамиды С общей ТОЧКОЙ В. (Билет 11, 1996) 5.72. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона осно­ вания A BC равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окруж­ ность основания которого вписана в треугольник ABD, а вершиной конуса является точка О, лежащая на медиане СЕ треугольника ABC так, что СЕ : ОЕ = 4. Найти боковое ребро пирамиды и ра­ диус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой С. (Билет 12, 1996) 5.73. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один шар радиузг са -у так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности цилиндра, причем первые два равных шара касаются нижнего основа­

ния, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найти ради­ ус основания цилиндра, если его высота равна 4г. (Билет 1, 1997) 5.74. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один шар радиуса ^ так, что каждый шар касается двух других, нижнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания цилиндра. (Билет 2, 1997) 5.75. Внутри цилиндра лежит шар радиуса г и два равных шара радиуса Ц- так, что каждый шар касается двух других и боковой п оверхности ц и ли н д р а, п р и че м ш ар радиуса г ка са е тся н и ж н его о сн о ва н и я ц и л и н д р а, а д ва д р уги х ш ар а к а са ю тс я верх него о сн о ­ в а н и я ц и л и н д р а . Н а й т и р а д и у с о с н о в а н и я ц и л и н д р а , е с л и его в ы ­ с о т а р а в н а 4г. (Билет 3, 1997)

5.76. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один шар радиуса 2 г так, что каждый шар касается двух других, верхнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания цилиндра. (Билет 4, 1997) 5.77. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ре­ бро равно а и равно диагонали основания ABCD. Через точку А парал­ лельно прямой BD проведена плоскость Р, образующая с прямой AD угол, равный arcsin ~ . Найти площадь сечения пирамиды плоскостью Р и радиус ш ар а, касаю щ его ся плоскости Р и четы р ех п р ям ы х , ко то ­ р ы м п р и н а д л е ж а т б о к о в ы е р е б р а п и р а м и д ы . (Билет 5, 1997) 5.78. В кубе A B C D A lB l C lD l с ребром а через точку А параллель­ но прямой BD проведена плоскость Р, образующая с прямой А В угол, равный arcsin

Найти площадь сечения куба плоскостью Р и ра­

диус шара, касающегося плоскости Р и граней ABCD, В С С 1В 1 и D C C XD V (Билет 6, 1997) 5.79. В треугольной пирамиде SABC все ребра, кроме SA, равны а, а ребро S/1 равно высоте треугольника ABC. Через точку А парал­ лельно прямой ВС проведена плоскость Р, образующая с прямой гх ЛВ угол, равный arcsin Найти площадь сечения пирамиды пло­ скостью Р и радиус шара с центром на прямой, проходящей через точку S перпендикулярно плоскости треугольника ABC, касающегося ПЛОСКОСТИ Р И ПЛОСКОСТИ треугольника SBC. (Билет 7, 1997) 5.80. В правильной четырехугольной призме A B C D A 1B i CiD l сто­ рона основания А В равна а, боковое ребро А А Х равно aV2. Через точку А параллельно прямой BD проведена плоскость Р, образующая с прямой АВ угол, равный

Найти площадь сечения призмы пло­

скостью Р и радиус шара, касающегося плоскости Р и граней A XB XC XD X, Α Β Β χΑ χ и A D D XA V (Билет 8, 1997)

С ТЕРЕО М ЕТРИ Я

5.81. В треугольной пирамиде A BC D ребра А В и CD взаимно пер­ пендикулярны, A D = В С , расстояние от середины Е ребра АВ до пло­ скости AC D равно h, L D A C = j , Δ ACD = ~ , угол между ребром DC и гранью A B C равен ~. Найти расстояние от точки Е до плоско­ сти BCD, угол между ребром АВ и гранью A C D , а также угол между гранями A B D и ABC. (Билет 9, 1997) 5.82. В треугольной пирамиде A BC D ребра АС и BD взаимно пер­ пендикулярны, АВ = BD = AD = а, середина ребра ЛС равноудалена от плоскостей A B D и BCD, угол между ребром А С и гранью CBD равен arcsin ^=. Найти длину ребра CD, угол CAD и угол между BD и г р а н ь ю ACD. (Билет 10, 1997) 5.83. В треугольной пирамиде A BC D ребра ВС и AD взаимно пер­ пендикулярны, А В = CD, расстояние от середины О ребра ВС до пло­

скости ABD равно h, L CAD = L CDA — у , угол между ребром AD и гранью ABC равен arccos

Найти расстояние от точки О до пло­

скости ACD, угол между ребром ВС и гранью ABD, а также угол между гранями ABC И BCD. (Билет 11, 1997) 5.84. В треугольной пирамиде A BC D ребра АВ и DC взаимно пер­ пендикулярны, L A D B = j , A A B D = у , угол между ребром CD и гранью ABD равен у, AD = а, середина ребра CD равноудалена от пло­ скостей ABD и ABC. Найти длину ребра ВС, угол CDB и угол между ребром АВ и гранью BCD. (Билет 12, 1997) 5.85. Сторона основания ABC правильной треугольной призмы J А В С А ХВ ХС Х равна 6, а высота равна ^ψ. На ребрах АС, А ХС Х и В В Х расположены соответственно точки Р, F и К так, что А Р = \ , A XF = 3 и В К = K B V Построить сечение призмы плоскостью, прохо­ дящей через точки Р, F и К. Найти площадь сечения и угол между ПЛОСКОСТЬЮ основания призмы И ПЛОСКОСТЬЮ сечения. (Билет 1, 1998) 5.86. Правильная треугольная призма А В С А >В ХСХ пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, А ХСХ, В В у По­ строить сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сто­ рона основания равна 2, а высота призмы равна Щ-.

5.87. Сторона основания ABC правильной треугольной призмы А В С А ХВ ХС Х равна 12, а высота равна

На ребрах АС, А ХС Х и

АВ расположены соответственно точки Р, F и Е так, что АР = 2, A XF = 6 и А Е = 6. Построить сечение призмы плоскостью, проходя­

щей через точки Р, F и Е, найти площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения. (Билет 3, 1998) 5.88. Правильная треугольная призма А В С А 1В 1С1 пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, A tC t, B B V. По­ строить сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сто.

рона основания равна 4, а высота призмы равна

^42″ — у — . (Билет 4, 1998)

5.89. Две противоположные боковые грани четырехугольной пира­ миды SA B C D перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна V5. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD ( AD = B C ), описанная около окружности и такая, что АВ = 6, I-BAD = у . Найти расстояние от точки D до плоскости SAB. В н у т р и п и р а м и д ы р а с п о л о ж е н к о н у с т а к , ч т о о к р у ж н о с т ь его о сн о ­ в а н и я в п и с а н а в т р е у г о л ь н и к SCD, а в е р ш и н а п р и н а д л е ж и т г р а н и SAB. Н а Й Т И о б ъ е м к о н у с а . (Билет 5, 1998)

5.90. В основании четырехугольной пирамиды S K L M N лежит рав­ нобедренная трапеция K L M N , описанная около окружности и такая, что K N = L M = 4, M N > K L и угол между прямыми K N и L M равен у . Две противоположные боковые грани этой пирамиды перпендику­

лярны основанию и S M = 12. Найти расстояние от точки М до пло­ скости SKL. Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник SM N , а вершина принадлежит грани SK L. Вычислить высоту конуса. (Билет 6, 1998) 5.91. В четырехугольной пирамиде SABCD две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию, расстояние от вершины 5 до прямой А В равно 4VT. В основании пирамиды лежит равнобедрен­ ная трапеция ABC D (AD = ВС), описанная около окружности и такая, что CD = 2, L A D C —

Найти расстояние от точки С до плоскости

В н у т р и п и р а м и д ы р а с п о л о ж е н к о н у с т а к , ч т о о к р у ж н о с т ь его о с н о в а н и я в п и с а н а в т р е у г о л ь н и к SCD, а в е р ш и н а п р и н а д л е ж и т г р а н и SAB. Н а Й Т И о б ъ е м к о н у с а . (Билет 7, 1998)

СТЕРЕО М ЕТРИ Я

F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и КЕ, расстоя­ ние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки А, В, Е и F. (Билет 1, 1999) 5.94. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — се­ редина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и Е С : ED = 1 : 3, точка F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и КЕ, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки А, В, Е И F. (Билет 2, 1999) 5.95. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — се­ редина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED = 2 : 1 , точка F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и КЕ, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через ТОЧКИ А, В, Е И F. (Билет 3, 1999) 5.96. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — се­ редина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и Е С : ED = 3 : 1 , точка F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и КЕ, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через ТОЧКИ А, В, Е И F. (Билет 4, 1999) 5.97. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABC D рав­ на 2, высота пирамиды, опущенная на основание, равна Ъ П . На ре­ брах SA и SD расположены точки Е и F так, что А Е = 2ES, SF = 5DF. Через точки Е и F проведена плоскость а, параллельная CD. Найти: 1 ) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло­ скостью а; 2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а; 3) уГОЛ между ПЛОСКОСТЬЮ а И ПЛОСКОСТЬЮ ABC. (Билет 5, 1999) 5.98. Сторона основания ABC D правильной пирамиды SABC D рав­ на 2, угол между боковым ребром и основанием равен arccos

брах S A и SD расположены точки Е и F так, что А Е = 2ES, DF = 8SF. Через точки Е й F проведена плоскость а, параллельная АВ. Найти: 1 ) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло­ скостью а; 2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а; 3) угол между плоскостью а и плоскостью ABC. (Билет 6, 1999) 5.99. Сторона основания A BC D правильной пирамиды SABCD равна 2, длина бокового ребра равна VT0. На ребрах SA и SD распо­ ложены точки Е и F так, что S E = 5АЕ, DF = 2SF. Через точки Е и F проведена плоскость а, параллельная CD. Найти: 1 ) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плос­ костью а; 2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а; 3) УГОЛ м е ж д у ПЛОСКОСТЬЮ а И ПЛОСКОСТЬЮ ABC (Билет 7, 1999) 5.100. Сторона основания A BC D правильной пирамиды SABCD равна 2 , двугранный угол между основанием и боковой гранью равен

arccos ·|. На ребрах SA и SD расположены точки Е и F так, что А Е = 8ES, D F = 2SF. Через точки Е и F проведена плоскость а, параллельная АВ. Найти: 1 ) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло­ скостью а; 2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а; 3) УГОЛ между ПЛОСКОСТЬЮ а И ПЛОСКОСТЬЮ ABC. (Билет 8, 1999) 5.101. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основа­ ния A BC равна 12, A A D B = 2 arctg (3/4). В треугольнике ABD про­ ведена биссектриса В А Х, а в треугольнике BCD проведены медиана /iC, и высота C BV Найти: 1) объем пирамиды A XB XCXD; 2) площадь проекции треугольника А ХВ ХС Х на плоскость ABC. (Билет 1, 2000)

5.102. В правильной треугольной пирамиде ABC D сторона основа­ ния ABC равна 6, угол между боковыми гранями равен arccos (1/10). В треугольнике ABD проведена биссектриса В А Х, а в треугольнике B C D проведены медиана В С 1 и высота СВХ. Найти: 1) объем пирамиды A XB XC XD\ 2) площадь проекции треугольника А ХВ ХСХ на плоскость ABC. (Билет 2, 2000)

5.103. В правильной треугольной пирамиде ABC D сторона основа­ ния ABC равна 3, угол между основанием и боковой гранью равен arccos (V 3/4). В треугольнике ABD проведена биссектриса В А Х, а в треугольнике BC D проведены медиана В С 1 и высота С В Х. Найти: 1) объем пирамиды A XB XCXD\ 2) площадь проекции треугольника А ХВ ХСХ на плоскость ABC. (Билет 3, 2000)

5.104. В правильной треугольной пирамиде ABC D сторона основа­ ния ABC равна 12, высота пирамиды DO — V33. В треугольнике ABD проведена биссектриса В А Х, а в треугольнике BC D проведены медиана В С Х и высота С В Х. Найти: 1) объем пирамиды A XB XC XD; 2) площадь проекции треугольника А ХВ ХСХ на плоскость ABC. (Билет 4, 2000)

5.105. В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC равен 2 arcsin

а сторона основания ABC равна 2. Точки К, Μ , N — сере­

дины ребер АВ, CD, АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке К М и ЪМЕ = КЕ. Через точку Е проходит плоскость Ψ перпендику­ лярно отрезку К М . В каком отношении плоскость Ψ делит ребра пи­

СТЕРЕО М ЕТРИ Я

рамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью 9° и расстоя­ ние ОТ ТОЧКИ N ДО ПЛОСКОСТИ 9°. (Билет 5, 2000) 5.106. В правильной треугольной пирамиде A BC D угол ADB равен 2 arcsin ·|, сторона основания ABC равна 2. Точки К, Μ , N — середи­ ны отрезков АВ, DK, АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке С М и ЪМЕ — СЕ. Через точку Е проходит плоскость 9° перпендику­ лярно отрезку СМ. В каком отношении плоскость Ψ делит ребра пи­ рамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью 9° и расстоя­ ние ОТ ТОЧКИ N ДО ПЛОСКОСТИ 9°. (Билет 6, 2000) 5.107. В правильной треугольной пирамиде ABC D длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием ABC и боковой гранью равен arccos

Точки К, Μ , N — середины ребер АВ, CD, АС соответст­

венно. Точка Е лежит на отрезке К М и 2M E = КЕ. Через точку Е про­ ходит плоскость 9° перпендикулярно отрезку КМ . В каком отношении плоскость 9° делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирами­ ды ПЛОСКОСТЬЮ И расстояние ОТТОЧКИ N ДО ПЛОСКОСТИ Ψ . (Билет 7, 2000) 5.108. В правильной треугольной пирамиде ABC D сторона осно­ вания A B C равна 4, угол между плоскостью основания и боковой гранью равен arccos -~j^. Точки К, Μ , N — середины отрезков АВ, DK, А С соответственно, точка Е лежит на отрезке С М и 5 М Е = СЕ. Через точку Е проходит плоскость 9° перпендикулярно отрезку СМ. В каком отношении плоскость Ψ делит ребра пира­ миды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью 9° и рассто­ яние ОТ ТОЧКИ N ДО ПЛОСКОСТИ 9й. (Билет 8, 2000) 5.109. Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами по­ ставлено гранью ABC на плоскость. Точка F — середина ребра CD, точка S лежит на прямой АВ, S ^ А, АВ = BS. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный ИМ путь был минимальным? (Билет 1, 2001) 5.110. Тело в форме тетраэдра A BC D с одинаковыми ребрами по­ ставлено гранью A BC на плоскость. Точка F — середина ребра CD, точка S лежит на прямой АВ, 2А В = B S и точка В лежит между А и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы Пройденный ИМ путь был МИНИМаЛЬНЫМ? (Билет 2, 2001) 5.111. Тело в форме тетраэдра ABC D с одинаковыми ребрами по­ ставлено гранью A B C на плоскость. Точка F — середина ребра CD, точка S лежит на прямой АВ, А В = 2BS, точка В лежит между А и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы Пройденный ИМ путь был МИНИМаЛЬНЫМ? (Билет 3, 2001) 5.112. Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью A BC на плоскость. Точка F лежит на ребре CD и 2D F = FC, точка S лежит на прямой АВ, АВ = 3B S и точка В лежит между А и S. В точку S сажают муравья. Как должен

м уравей п олзти в точк у F, чтобы пройденны й им путь был м и­ нимальным? (Билет 4, 2001)

5.113. Сторона основания ABC правильной пирамиды ABCD равна 4V3, L D A B = arctg )|γ -. Точки А х, В х, С х — середины ребер AD, BD, CD соответственно. Найти: 1) угол между прямыми В А Х и А С Х; 2) расстояние между прямыми В А Х и А С Х; 3) радиус сферы, касающейся плоскости ABC и отрезков А С Х, В А 1 И С В у (Билет 1, 2001)

5.114. Сторона основания ABC правильной пирамиды ABC D равна 8л/3, высота пирамиды DO = 6. Точки Α ν Β χ, С, — середины ребер AD, BD, CD соответственно. Найти: 1) угол между прямыми В А Х и А С Х; 2) расстояние между прямыми В А Х и А С Х\ 3) радиус сферы, касающейся плоскости ABC и отрезков А С Х, Β Α χ И С В у (Билет 2, 2001)

5.115. Боковое ребро правильной пирамиды ABC D с основанием ABC равно 8VT0, L A D B = arcsin γ γ — . Точки

ребер AD, BD, CD соответственно. Найти: 1) угол между прямыми В А Х и А С Х; 2) расстояние между прямыми В А Х и А С Х; 3) радиус сферы, касающейся плоскости ABC и отрезков ΒΑχ И СВу

5.116. Боковое ребро правильной пирамиды ABC D с основанием ABC равно 20, A D A B — arcsin

бер AD, BD, CD соответственно. Найти: 1) угол между прямыми В А Х и А С Х\ 2) расстояние между прямыми В А Х и А С Х; 3) радиус сферы, касающейся плоскости ABC и отрезков

Β Α χ И С В у (Билет 4, 2001)

5.117. Три шара радиуса г касаются друг друга и шара радиуса R внешним образом. При каком соотношении г я R это возможно? Считая, что R > г, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров внешним образом. (Билет 5, 2001) 5.118. Три шара радиуса г касаются друг друга внешним образом и каждый шар касается внутренним образом сферы радиуса R. При каком соотношении между г и R это возможно? Найти радиус наи­ меньшего из шаров, касающихся трех шаров радиуса г внешним об­ разом, а сферы радиуса R внутренним образом. (Билет 6, 2001)

5.119. Три шара радиуса г касаются друг друга и шара радиуса R внешним образом. При каком соотношении между г и R это воз­ можно? Считая, что R > г, найти радиус сферы, такой, что все че­ тыре шара касаются ее внутренним образом. (Билет 7, 2001) 5.120. Три шара радиуса г касаются друг друга внешним образом и каждый шар касается внутренним образом сферы радиуса R. При ка­ ком соотношении между г я R это возможно? Найти радиус наиболь­ шего из шаров, касающихся трех шаров трех шаров радиуса г внеш­ ним образом, а сферы радиуса R внутренним образом. (Билет 8, 2001) 5.121. Апофема правильной пирамиды SABC D равна 2, боковое ре­ бро образует с основанием ABC D угол, равный arctg Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, что АЕ AF SK 1 Т1 „ Е В ~~ F D ~ К С ~ 2 ‘ Н а и т и :

1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK; 2) расстояние от точки D до плоскости EFK; 3) угол между прямой SD и плоскостью EFK . (Билет 9, 2001) 5.122. Сторона основания A BC D правильной пирамиды SABCD равна 1, боковое ребро образует с основанием угол, равный arctg 4. Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, АЕ ч т 0 АВ

1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK; 2) расстояние от точки D до плоскости EFK; 3) угол между прямой SD И ПЛОСКОСТЬЮ EFK . (Билет 10, 2001) 5.123. Высота правильной пирамиды SABC D с основанием ABCD равна 3, угол между соседними боковыми ребрами равен arccos у^. Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, АЕ ЧТ0

AB = A D = l c : = y

1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK; 2) расстояние от точки D до плоскости EFK’, 3) угол между прямой SD И ПЛОСКОСТЬЮ E FK . (Билет 11, 2001) 5.124. Сторона основания A BC D правильной пирамиды SABCD равна 2 , боковая грань образует с основанием угол, равный arctg 2 . Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, что АЕ ЕВ

Наити. 1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK; 2) расстояние от точки D до плоскости E F K ; 3) УГОЛ между прямой SD И ПЛОСКОСТЬЮ EFK . (Билет 12, 2001) 5.125. Сторона основания ABC D правильной пирамиды SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SC и AD, пересекает

пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность, причем пе32

риметр сечения равен —. Найти:

1 ) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды; 2 ) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пирамиду; 3 ) р асстояние от ц ен тра описанной около пирамиды сферы до пло­ скости а. (Билет 1, 2002)

5.126. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SB и AD, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность, причем пе­ риметр сечения равен — . Найти:

1 ) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды; 2 ) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пирамиду; 3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до пло­ скости а. (Билет 2, 2002) 5.127. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SB и AD, пересекает пи­ рамиду так, что в сечение можно вписать окружность радиуса VT5/5. Найти: 1 ) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды; 2 ) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пирамиду; 3 ) расстояние от ц ентра описанной около пирамиды сферы д о пло­ скости а. (Билет 3, 2002)

5.128. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SC и AD, пересекает пи­ рамиду так, что в сечение можно вписать окружность радиуса V35/7. Найти: 1 ) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды; 2 ) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пирамиду; 3 ) расстояние от ц ентра описанной около пирамиды сферы до п ло­ скости а. (Билет 4, 2002)

5.129. Расстояние от центра О шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4Ί ί . Найти: 1 ) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки О до боковой грани пирамиды; 3 ) р адиус вписанного в пирам иду ш ара. (Билет 5, 2002)

5.130. Расстояние от центра О шара радиуса 6V1, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до боковой грани равно 3. Найти:

СТЕРЕО М ЕТРИ Я

1) вы соту пирамиды; 2 ) расстояние от точки О до бокового ребра пирамиды; 3 ) радиус вписанного в пирам иду ш ара. (Билет 6, 2002) 5.131. Р асстояни е от центра О ш ара, описанного около правиль­ ной четы рехугольной пирамиды до бокового ребра, равно 2V 2, а от О до боковой грани равно 6 /V 5 . Найти: 1) высоту пирамиды; 2 ) р адиус описанного вокруг пирамиды шара; 3 ) р адиус вписанного в пирам иду шара. (Билет 7, 2002) 5.132. Р асстояни е от центра О ш ара радиуса 9 , описанного около правильной четы рехугольной пирам иды , до бокового ребра в V T 0/3 раз больш е расстояния от точки О до боковой грани пирамиды. Найти: 1) вы соту пирамиды; 2 ) расстояни е от точки О до боковой грани пирамиды; 3 ) радлус вписанного в пирам иду ш ара. (Билет 8, 2002) 5.133. С торона основания A BC D правильной пирамиды SABCD равна 8 , высота SO равна 3. Т очка М — середина ребра SB, точка К — середи н а ребра ВС. Найти: 1) объем пирамиды AMSK; 2 ) угол м еж д у прямы ми А М и SK; 3 ) расстояние м еж д у прямыми А М и SK. (Билет 9, 2002) 5.134. С торона основания ABC D правильной пирамиды SABCD равна 4 V 2 , угол м еж д у боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен arctg

Т очка М — середина ребра SD, точка К —

середина ребра AD. Найти: 1) объем пирам иды C M S К; 2 ) угол м еж д у прямы ми С М и S K ; 3 ) расстояние м еж д у прямыми С М и SK. (Билет 10, 2002) 5.135. Д иагональ основания A BC D правильной пирамиды SABCD равна 8 V 2 , угол м еж д у боковой гранью и плоскостью основания равен

Т очка М — середи н а ребра SA, точка К — середина ребра АВ.

Найти: 1) объем пирамиды D M S K ; 2 ) угол м еж д у прямы ми D M и SK; 3 ) расстояние м еж д у ПРЯМ Ы М И D M И SK. (Билет 11, 2002) 5.136. Д и агональ основания ABC D правильной пирамиды SABCD равна 8, высота пирамиды SO равна 1. Т очка М — се­ редина ребра SC, точка К — середи н а ребра CD. Найти: 1) объем пирамиды BMSK; 2 ) угол м еж д у прямы ми В М и SK; 3 ) р асстояние м еж д у прямыми В М и SK. (Билет 12, 2002) 5.137. Д аны пирам ида ABCD и цилиндр. О круж ность ниж него основания цилиндра вписана в грань ABC. О круж ность верхнего осно­ вания ц или ндра п ер есек ает ребра DA, DB и DC, а ее центр л еж и т на

грани ABD. Радиус цилиндра равен 3, объем пирамиды ABCD равен 27V2, ребро АВ = 24. Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD и радиус описанной около ABCD сферы. (Билет 1, 2003) 5.138. Даны пирамида ABCD и цилиндр. Окружность нижнего основания цилиндра вписана в грань ABC. Окружность верхнего осно­ вания цилиндра пересекает ребра DA, DB и DC, а ее центр лежит на грани ABD. Радиус цилиндра равен 2, двугранный угол между граня­ ми ABC и ABD равен arctg V 2 , ребро АВ = 20. Найти объем пирамиды ABC D и радиус описанной около ABCD сферы. (Билет 2, 2003) 5.139. Даны пирамида ABCD и цилиндр. Окружность нижнего основания цилиндра вписана в грань ABC. Окружность верхнего осно­ вания цилиндра пересекает ребра DA, DB и DC, а ее центр лежит на грани ABD. Радиус цилиндра равен 2, объем пирамиды ABCD равен 28V2, ребро А В = 12. Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD и радиус описанной около ABCD сферы. (Билет 3, 2003) 5.140. Даны пирамида ABCD и цилиндр. Окружность нижнего основания цилиндра вписана в грань ABC. Окружность верхнего осно­ вания цилиндра пересекает ребра DA, DB и DC, а ее центр лежит на грани ABD. Радиус цилиндра равен 4, двугранный угол между граня­ ми ABC и ABD равен arctg (1/V 6), ребро АВ = 24. Найти объем пира­ миды ABCD и радиус описанной около ABCD сферы. (Билет 4, 2003) 5.141. Ребро куба A B C D A lB l ClD l равно 1. Найти радиус сферы, касающейся: а) ребер ВА, В В Х, В С и плоскости A

1) площадь сечения призмы плоскостью П; 2) угол между плоскостью П и плоскостью ABC; 3) расстояние от точек С, и С д о плоскости П. (Билет 9, 2003) 5.146. Основание прямой призмы АВСА^В^С^ — треугольник ABC, в котором А В = ВС = 5, АС = 6. Высота призмы равна ΊΈ. На сторонах A l C1, В

D так, что ClD i = —^~, B 1E i = С1Е 1, AD — — , и через эти точки проведена плоскость П. Найти: 1) площадь сечения призмы плоскостью П; 2) угол между плоскостью П и плоскостью ABC; 3) р асстояние от точек С, и С д о плоскости П. (Билет ю, 2003) 5.147. Основание прямой призмы А В С А 1В 1С1 — треугольник ABC, в котором А В — ВС = 5, АС = 6. Высота призмы равна ΊΈ. На сторонах АС, ВС и Л , С, выбраны соответственно точки D, Е w Dl

так, что AD = — , А Е = ВЕ, С ,/>, = —3—, и через эти точки прове­ дена плоскость П. Найти: 1) площадь сечения призмы плоскостью П; 2) угол между плоскостью П и плоскостью A B C ; 3) расстояние ОТ точек Л, И А ДО ПЛОСКОСТИ П. (Билет 11, 2003) 5.148. Основание прямой призмы А В С А 1В 1С1 — треугольник ABC, в котором А В = ВС — 5, А С = 6. Высота призмы равна V6 . На сторонах A l Cl , Л ,/i, и АС выбраны соответственно точки D v Е 1 и D так, что A lD l =

A 1E l = B 1E l , CD = — , и через эти точки

проведена плоскость П. Найти: 1) площадь сечения призмы плоскостью П; 2) угол между плоскостью П и плоскостью ABC; 3) расстояние ОТ точек Л И Л! ДО ПЛОСКОСТИ П. (Билет 12, 2003) 5.149. В пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 5/2, точка Е — середина АВ, a F — точка пересечения медиан грани BCD, причем E F = 8. Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках Е и F соответственно. Найти двугранный угол между гранями ABD и BCD, площадь грани BCD и объем пирамиды ABCD. (Билет 1, 2004) 5.150. В пирамиде ABC D длина отрезка BD равна 8/3, точка Е — середина АВ, a F — точка пересечения медиан грани BCD, причем E F = 6. Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках Е и F соответственно. Найти двугранный угол между гранями ABD и BCD, площадь грани BCD и объем пирамиды ABCD. (Билет 2, 2004) 5.151. В пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 6, точка Е — середина АВ, a F — точка пересечения медиан грани BCD, причем EF = 10. Сфера радиуса 25/4 касается плоскостей ABD и BCD в точ­ ках Е и F соответственно. Найти двугранный угол между гранями

и объем пирамиды

5.152. В пирамиде A B C D длина отрезка B D равна 4/3, точка Е — середина А В , a F — точка пересечения медиан грани B C D , причем E F = 8. Сфера радиуса 20/3 касается плоскостей A B D и B C D в точ­ ках Е ά F соответственно. Найти двугранный угол между гранями A B D и B C D , площадь грани B C D и объем пирамиды A B C D . (Билет 4, 2004)

5.153. Вписанные окружности граней S B C , S A C и S A B треугольной пирамиды S A B C попарно пересекаются и имеют радиусы V 3 , V5 и vT соответственно. Точка К является точкой касания окружностей со сто­ роной S A , причем S K = 5. Найти длину отрезка А К , периметр и ради­ ус вписанной окружности треугольника A B C . (Билет 5, 2004) 5.154. Вписанны е окруж ности граней S B C , S A C и S A B треугольной пирамиды S A B C попарно пересекаю тся и и м ею т радиусы V5, Vb и VT соответственно. Т очка К является точкой касания ок руж н остей со сто­ роной 5/1, причем S K = 3. Найти дли н у отрезка А К , перим етр и ради­ у с ВПИСаННОЙ ОКруЖНОСТИ Треугольника A B C . (Билет 6, 2004)

5.155. Вписанные окружности граней S B C , S A C и S A B треугольной пирамиды S A B C попарно пересекаются и имеют радиусы \/ 8 , VTT и VT5 соответственно. Точка К является точкой касания окружностей со стороной S A , причем S K = 5. Найти длину отрезка А К , периметр и ра­ диус вписанной окружности треугольника A B C . (Билет 7, 2004) 5.156. Вписанные окружности граней S B C , S A C и S A B треугольной пирамиды S A B C попарно пересекаются и имеют радиусы Vb, VTT и VT4 соответственно. Точка К является точкой касания окружностей со стороной 5/1, причем S K = 7. Найти длину отрезка А К , периметр и ра­ диус вписанной окружности треугольника A B C . (Билет 8, 2004) 5.157. Задан куб A B C D A l B l C l D l с ребром длины 1. Найти: а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину В середину ребра A D и параллельной прямой А ХС Х; б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину В х и параллельной прямой А ХС Х, у которой площадь проекции сечения на плоскость А ХС ХЛ максимальна. (Билет 9, 2004) 5.158. Задан куб A B C D A l B l C 1D 1 с ребром длины 1. Найти: а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину С, середину ребра А ХВ Х и параллельной прямой B D \ б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину С и параллельной прямой B D , у которой площадь проекции сечения на плоскость B D B X максимальна. (Билет 10, 2004) 5.159. Задан куб A B C D A XB XC XD X с ребром длины 1. Найти: а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину D x, середину ребра В С и параллельной прямой А ХС Х;

б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину Dj и параллельной прямой A^Cv y которой площадь проекции сечения на плоскость А 1С1А максимальна. (Билет 11, 2004) 5.160. Задан куб A B C D A lB l ClD l с ребром длины 1. Найти: а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину А, середину ребра C1D 1 и параллельной прямой BD; б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину Л и параллельной прямой BD, у которой площадь проекции сечения на П ЛО СКО СТЬ BD B1 максимальна. ( Б и л е т 12, 2004)

6 . ЗА Д А Ч И С ПАРАМ ЕТРАМ И 6.1. При каких значениях параметра а уравнение log5 л: + 4( 1 — a2) log25x 5 — 2 = 0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 24/5? (Билет 1, 1991)

6.2. Найти все значения параметра а, при которых расстояние между корнями уравнения 2 loga х + 3 logax2 а + 5 = 0 6 /2 5 . (Билет 2, 1991) 6.3. При каких значениях параметра а уравнение

log 3 х + (а2 — 4) log3x | — 3 = 0 и м е е т д в а к о р н я , р а с с т о я н и е м е ж д у к о т о р ы м и б о л ь ш е 8 ? (Билет 3, 1991)

6.4. Найти все значения параметра а, при которых расстояние между корнями уравнения loga х + 8 logax3 x — 3 = 0 3 /2 . (Билет 4, 1991) 6.5. При каких значениях параметра a вершина параболы

у(х) = x 2 — (2V5cos a — 3)х —

л е ж и т н а п р я м о й у = Зх, п р и ч е м п а р а б о л а п е р е с е к а е т о с ь С о т р и ц а т е л ь н о й о р д и н а т о й ? (Билет 9, 1991)

6. 6. Найти все значения параметра а, при которых парабола у(х) = х 2 — 8 ctg сгх + 5 cos 2а к а с а е т с я п р я м о й у = — 7, т е л ь н а . (Билет 10, 1991)

абсц и сса то ч к и

6.7. При каких значениях параметра а вершина параболы у(х) = х 2 4- (2 sin a — V3 )х 4- cos 4a л е ж и т н а п р я м о й у = —у/ З х , п р и ч е м п а р а б о л а п е р е с е к а е т о с ь Т О Ч К е С ПОЛОЖИТеЛЬНОЙ о р д и н а т о й ? (Билет 11, 1991)

6.8 . Найти все значения параметра а, при которых парабола у(х) = ^ х 2 — 6 tg α ·χ — 10 cos 2 a. к а с а е т с я п р я м о й у — — 11, п р и ч е м а б с ц и с с а т о ч к и к а с а н и я п о л о ж и ­ т е л ь н а . (Билет 12, 1991)

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

6.9. Числа х и у являются решениями системы уравнений (ах + у = а + 1 , | х 4- 4ау = 3, где а — параметр. Какое наибольшее значение принимает выраже­ ние х 2 — 6у2? При каком а это происходит? (Билет 5, 1992) 6.10. Числа x νι у являются решениями системы уравнений — х + ау = 2а, Iах — у = За — 5, где а — параметр. Какое наименьшее значение принимает выраже­ ние X 2 + у2? При каком а ЭТО происходит? (Билет 6, 1992) 6.11. Числа х и у являются решениями системы уравнений i ах + 9у = а + 3, ^х 4- ау = 2, где а — параметр. Какое наибольшее значение принимает выраже­ ние Зу2 — X2? При каком а ЭТО ПРОИСХОДИТ? (Билет 7, 1992) 6.12. Числа х и у являются решениями системы уравнений [х 4- ау = За, Iах + у = а + 4, где а — параметр. Какое наименьшее значение принимает выраже­ ние 2х 2 4- у2? При каком а ЭТО ПРОИСХОДИТ? (Билет 8, 1992) 6.13. Числа x ί 0, у > 0 — решения системы уравнений Зх 2 — 8ху — Зу2 —

р — параметр. При каких р выражение х 2 4- у2 принимает: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение? В Ы Ч И С Л И Т Ь Э ТИ значения. (Билет 5, 1993) 6.14. Числа х ^ О , у > 0 — решения системы уравнений 2х 2 4- 9ху — 5 у2 = — Р2Т-^ — , р +4

х 2 4- бху 4- 5у 2 = П^- 4р, р +4

р — параметр. При каких р выражение х 2 4- у 2 принимает: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение? В Ы Ч И С Л И Т Ь Э ТИ Значения. (Билет 6, 1993)

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

6.15. Числа х > О, у > О — решения системы уравнений 2х2 + 7х у + 6у2 = р* 5 , 4р + 1

2 х 2 + х у — 3у2 =

р — параметр. При каких р выражение х 2 + у2 принимает: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение? ВЫЧИСЛИТЬ ЭТИ З н а ч е н и я . (Билет 7, 1993)

6.16. Числа х ^ 0, у > 0 — решения системы уравнений х 2 — 5 ху + 4 у2 =

2 х 2 — 7х у — 4 у2 =

р — параметр. При каких р выражение х 2 + у2 принимает: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение? ВЫЧИСЛИТЬ ЭТИ зн ач ен ия. (Билет 8. 1993)

6.17. При каких значениях р каждое решение неравенства

1ο£χ+ι( 3 — Ρχ ) > 0 удовлетворяет также неравенству х2+

х — 4 2-р> 0 1 (Билет 9, 1993)

6.18. При каких значениях р каждое решение неравенства х 2 + (3 — 2 р2) х — 2р 2 + 2 0 удовлетворяет также неравенству 2 , 3 —2р

х Ч— x— ^ х — ■=>0 / 2р 2р (Билет 11, 1993)

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

6.20. При каких значениях р каждое решение неравенства

8х 2 + (12 — 2р 2) х — р 2 + 4 —5, ближайшая к графику функции у = Ул? + р точка прямой А В лежит на от­ резке АВ? (Билет 10, 1994) 6.27. На координатной плоскости даны точки А ( —4; 2) и Б(0; 3). При каких значениях параметра р, р —2, ближайшая к графику функции з’ = Vx3″+ р точка прямой АВ лежит на отрез­ ке АВ’! (Билет 12, 1994) 6.29. Найти все значения параметра р, при которых сумма всех корней уравнения (Х _ 1 Р) — 4 р ( р — 1 ) ^ х — f p j

меньше —5 р 2 + 11р + 7. (Билет 1, 1995) 6.30. Найти все значения параметра р, при которых сумма всех корней уравнения О — 3p f + 2р ( р — 5 ) 0 — Ър)2 — 1р2(р2 — 9) = 0 меньше —2Р2 + 1 5 p -f 5. (Билет 2, 1995) 6.31. Найти все значения параметра р, при которых сумма всех корней уравнения ( х — 12р)4 — 6 р ( р — 1 ) ( х — 12р ) 2 -f р 3(р + 4) = 0 меньше —р 2 + 48р + 25. (Билет 3, 1995) 6.32. Найти все значения параметра р , при которых сумма всех корней уравнения + 2ρ ( ρ —

меньше —2р 2 + 14Р + 9. (Билет 4, 1995) 6.33. Найти все значения а, при которых неравенство 8х2-2 0 х 4 -1 6 _

является верным при в сех зн ач ен и ях х. (Билет 5, 1996)

6.34. Найти все значения а, при которых неравенство 6х2 — 2х 4- 1 ^

— ———— 2= а 9х — 3 x 4 — 1

является верным при всех значениях х. (Билет 6, 1996) 6.35. Найти все значения а, при которых неравенство 8 х 2 —4 x 4 -3 _

является верным при всех значениях х. (Билет 7, 1996) 6.36. Найти все значения а, при которых неравенство Зх2 — 4х 4-8

является верным при всех значениях

5 а х. (Билет 8, 1996)

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

6.37. Найти все значения а, при которых уравнение sin х = = (4а — 2 ) 2 имеет корни, а числа -—

27 а (Билет 5, 1998)

6.38. Найти все значения а, при которых уравнение cos х = / η\ 2 \ —Ьа = (оа — 2 ) имеет корни, а ч и сл а г- являются целыми. 32 а

6.39. Найти все значения а, при которых уравнение sin х = /п

= ( 2 а — 2 ) имеет корни, а ч и сл а

27 а (Билет 7, 1998)

6.40. Найти все значения а, при которых уравнение cos х — = (За — 4 ) 2 имеет корни, а числа 27(1

а) являются целыми. (Билет 8, 1998)

6.41. Найти все значения а, при которых уравнение \og4x (1 + ах) = \ им еет еди н ств ен ное р еш ен ие. (Билет 1, 2000)

6.42. Найти все значения а, при которых уравнение log2x (1 — ах) = ^ им еет еди н ств ен н ое р еш ен ие. (Билет 2, 2000)

6.43. Найти все значения а, при которых уравнение log9jc (1 + ах) = ^ имеет единственное решение. (Билет з, 2000) 6.44. Найти все значения а, при которых уравнение log*-i

им еет еди н ств ен ное реш ен и е. (Билет 4, 2000)

6.45. Найти все значения а, при которых уравнение Vx — 9 = ах + Та — 3 имеет единственное решение. (Билет 5, 2000) 6.46. Найти все значения а, при которых уравнение Vx — 9 = 3 — ах — Та имеет единственное решение. (Билет 6 , 2000) 6.47. Найти все значения а, при которых уравнение Vx — 8 = ах — За — 2 имеет единственное решение. (Билет 7, 2000) 6.48. Найти все значения а, при которых уравнение Vx — 8 = — ах + За + 2 имеет единственное решение. (Билет 8, 2000)

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

6.49. Найти все а , при которых уравнение log 5 (x + V2 — а ) + log 1/5 (а — 1 — x) = log^ 9 им еет реш ен и е. (Билет 9, 2001)

6.50. Найти все а, при которых уравнение log 3 (x + V5 — а ) + log 1/3 (а — 2 — x) = Iog9 4 им еет реш ен и е. (Билет 10, 2001)

6.51. Найти все а, при которых уравнение Iog2 (x + V3 — а ) + log 1/2 (а + 1 — x) = log4 9 и м еет р еш ен и е. (Билет п , 2001)

6.52. Найти все а, при которых уравнение log4 (x + V4 — а ) + log 1/4 (а + 2 — x) = log 16 9 имеет решение. (Билет 12, 2001) 6.53. Найти все значения а, при которых система Гlog 2 (3 — X + у) + 3 = log 2 (25 — 6х + 7у), | у + 2 = (х — 2 а ) 2 + а + 2 х. и м еет ровно два реш ения. (Билет 5, 2002)

6.54. Найти все значения а, при которых система Гlog 3 (2 — х — у) + 2 = log 3 (17 — 8х — 10у), |( х — а )2 + х = у + а + 6 и м еет ровно два реш ения. (Билет 6, 2002)

6.55. Найти все значения а, при которых система ГIog2 (5х + 7у + 2) = log 2 (x + 2у + 1) + 2, < ( у + 2 а ) 2 + у — х + а + 1/2 и м еет ровно два реш ения. (Билет 7, 2002)

6.56. Найти все значения а, при которых система | log 3 (7х + 4у — 11) = log 3 (2х + у — 3) + 1, | ( у + а )2 + х + у + а = 7 им еет ровно два реш ения. (Билет 8, 2002)

6.57. Найти все значения параметра а, при которых уравнение (α + 3 — |х + 2 | ) ( а + х 2 + 4х) = 0 имеет:

1 ) ровно три корня; 2) ровно два корня.

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

6.58. Найти все значения параметра а, при которых уравнение (а — 6 + | х — 1 1 ) (а — х 2 + 2 х ) = О имеет:

1 ) ровно три корня; 2) ровно два корня. (Билет Ю, 2002) 6.59. Найти все значения параметра

а, прикоторых уравнение

(а — 2 — |х + 3 | ) ( а + х 2 + 6х) = 0 имеет:

1 ) ровно три корня; 2) ровно два корня. (Билет 11, 2002) 6.60. Найти все значения параметра 0 — 3 +

а, прикоторых уравнение

| х + 2 | ) 0 — x 2 — 4х) = 0

имеет: 1) ровно три корня; 3 ) ровно два корня. (Билет 12, 2002)

6.61. Найти все значения а, при которых система уравнений Ix | + 2 | у | + 12у — Зх | = 12, х 2 + у2 — а им еет ровно два действительны х реш ения. (Билет 5, 2003)

6.62. Найти все значения а, при которых система уравнений 2 1х | + | у| + | Зх — 4у| = 10, х 2 + у2 = а имеет ровно два действительны х реш ения. (Билет 6, 2003)

6.63. Найти все значения а, при которых система уравнений 3 1x | + \у\ + |х + 3у| = 9 , х 2 + у2 = а имеет ровно два действительны х реш ения. (Билет 7, 2003)

6.64. Найти все значения а, при которых система уравнений 2 1х | + 3 | у | + | Зх + 2у| = 1 1 , х 2 + у2 = а им еет ровно два действительны х реш ения. (Билет 8, 2003)

6.65. Найти все значения а, при которых уравнение 4ах 2 + (4 а — 3)х + а — 14 = 0 имеет на отрезке [0, 1] единственный корень. 4

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

6. 66. Найти все значения а, при которых уравнение 3 а х 2 + ( 6а — 5 )х + За — 2 = О имеет на отрезке [—3, 0] единственный корень. (Билет 10, 6.67. Найти все значения а, при которых уравнение

а х 2 + (2а — 5 )х + а — 6 = 0 им еет на от р езк е [0, 2] единственны й корень. (Билет 11, 2003)

6. 68. Найти все значения а, при которых уравнение а х 2 + (4а — 7)х + 4а — 5 = 0 имеет на отрезке [—4, 0] единственный корень. (Билет 12, 2003) 6.69. Найти всё значения параметра а, при которых система не­ равенств \ х 2 + 2х — а «S 0 , [х 2 — 4х + 6а ^ 0 и м еет ед и н ств ен ное реш ен и е. (Билет 5, 2004)

6.70. Найти все значения параметра а, при которых система не­ равенств \ х 2 — х + а 0, [х 2 + 2 х — 6а «S 0 и м еет еди н ств ен н ое реш ен и е. (Билет 6, 2004)

6.71. Найти все значения параметра а, при которых система не­ равенств [Зх 2 + х — а =£ 0 , [Зх 2 — 2 х + 6а ^ 0 им еет еди н ств ен ное р еш ен ие. (Билет 7, 2004)

6.72. Найти все значения параметра а, при которых система не­ равенств [Зх 2 — 6х + 2а «S О, [х 2 + 4х — 4а sg О им еет еди н ств ен н ое реш ен и е. (Билет 8, 2004)

6.73. Найти все значения параметра а, при которых уравнение log 7 (Т — log7 а) = 2 х имеет единственное решение. (Билет 9, 2004) 6.74. Найти все значения параметра а, при которых уравнение log 5 (25х — log5 а) = х имеет единственное решение.

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

6.75. Найти все значения параметра а , при которых уравнение log 3 (3х + log 3 а) = 2х им еет еди н ств ен ное р еш ен ие. (Билет 11, 2004)

6.76. Найти все значения параметра а, при которых уравнение log2 (4х + log 2 а) = х им еет еди н ств ен ное реш ен и е. (Билет 12, 2004)

7. РА ЗН Ы Е ЗА Д А ЧИ 7.1. Числа — sin х, 4 s i n x c t g 2 x , cosx являются членами ариф­ метической прогрессии с номерами к, к + 1 , к + 2 соответственно. Найти все значения х и к, если седьмой член этой прогрессии равен 1/5. (Билет 5, 1991) 7.2. Числа V2 cos x, Vcos 2 х , ^ cos (х +

геометрической прогрессии с номерами к, к + 1 , к + 2 соответст­ венно. Найти все значения х и к, если пятый член этой прогрессии равен

7.3. Числа 2 cos x, — sin х, (16/7) cos x-ctg 2х являются членам арифметической прогрессии с номерами к, к + 1 , к + 2 соответствен­ но. Найти все значения х и к, если пятнадцатый член этой прогрессии равен 2. (Билет 7, 1991) 7.4. Числа

sin x, V — cos 2 х , 3 cos (х —

геометрической прогрессии венно. Найти все значения грессии равен

с номерами к, к + 1 , к + 2 соответст­ х и к, если четвертый член этой про-

7.5. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состо­ ящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют сис­ теме неравенств: ■

Изобразить фигуру М и найти ее площадь. (Билет 5, 1991) 7.6. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состо­ ящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют сис­ теме неравенств:

у2 + 25 гг 10у + \ X2, х 2 + у2 + Юх $ 0. Изобразить фигуру М и найти ее площадь. (Билет 6, 1991) 7.7. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состо­ ящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют сис­ теме неравенств:

Изобразить фигуру М и найти ее площадь.

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку (4; 3) и имеет с фигурой Ф един­ ственную общую точку. (Билет 12, 1991) 7.13. Рассматриваются всевозможные параболы, симметричные от­ носительно прямой х = —2 и касающиеся прямой у = 1 — 8х; ветви парабол направлены вверх. Найти уравнение той из них, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей ординатой. (Билет 1, 1992) 7.14. Рассматриваются всевозможные параболы, касающиеся оси Ох и прямой у — х/2 — 3; ветви парабол направлены вниз. Найти уравнение той из них, для которой сумма расстояний от начала ко­ ординат до точек пересечения параболы с осями координат мини­ мальна. (Билет 2, 1992) 7.15. Рассматриваются всевозможные параболы, симметричные от­ носительно прямой х = 1 и касающиеся прямой у = — 2 х — 3; ветви парабол направлены вниз. Найти уравнение той из них, которая пе­ ресекает ОСЬ Оу В Т О Ч К е С наибольшей ординатой. (Билет 3, 1992) 7.16. Рассматриваются всевозможные параболы, касающиеся оси Ох и прямой у = ~ х + 8; ветви парабол направлены вверх. Найти ур авн ен и е той из н и х, для которой сум м а расстояний от начала ко­ ординат до точек п ер есеч ен и я параболы с осями координат м ини­ мальна. (Билет 4, 1992)

7.17. Два велосипедиста движутся по кольцевой велотрассе длины 1/5 часть которой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по городским улицам. Скорость первого велосипедиста на стадионе равна ν, а на городских улицах равна 16ν/3. Скорость второго велосипедиста на стадионе равна 4ν, а на городских улицах равна 16г/5. Велосипеди­ сты одновременно въезжают на стадион. Через какое время после этого ОДИН из НИХ впервые совершит обгон другого? (Билет 1, 1992) 7.18. Автомобили «Вольво» и «Мерседес» движутся по кольцевой дороге, 1 /3 часть которой проходит по городу. Скорость «Вольво» в городе равна ν, а за пределами города равна 3ν/2. Скорость «Мерсе­ деса» в городе равна Зг/4, а за пределами города равна 5ν/3. Авто­ мобили одновременно въезжают в город. Через какое время один из них впервые совершит обгон другого, если длина городского участка К О Л Ь Ц е В О Й дороги равна S? (Билет 2, 1992) 5,

7.19. Д ва лы ж ника бегут по кольцевой лы ж не длины 5, 1/6 часть которой п роходи т по стади он у, а оставш аяся часть — по л есу . С ко­ рость первого лы ж ника на стади оне равна ν, а в л есу равна 5υ. С ко­ рость второго лы ж ника на стадион е равна 8г/5, а в л есу равна 4г. Л ы ж ники одн оврем ен но вбегаю т на стадион. Ч ерез какое время после ЭТОГО ОДИН ИЗ НИХ Впервые СОВерШИТ обгОН ДРУГОГО? (Билет 3, 1992) 7.20. Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой до­ роге, 1/4 часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в городе равна 2ν, а за пределами города равна 9ν/4. Скорость «Крайслера» в городе равна ν, а за пределами города равна 3ν. Автомобили одно­

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

временно въезжают в город. Через какое время один из них впервые совершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой до­ роги равна 5? (Билет 4, 1992) 7.21. На берегу реки шириной 8/ вниз по течению на расстоянии / друг от друга расположены пункты П0, П,, П 100. От П 0 до П 100 со скоростью 6ν и с остановками только в пунктах П0, П 100 идут автобусы, которые отправляются из П0 один за другим с интерва­ лом времени ί/10ν. Турист, находящийся на противоположном берегу реки напротив П0, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П0 очередного автобуса. Доплыв по прямой до одного из пунктов, ту­ рист добирается до П 100 на автобусе. Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей воде равны у. В какой пункт должен доплыть турист, чтобы затратить на весь путь до П 100 наименьшее время? Найти все решения. (Временем стоянки автобусов пренебречь). (Билет 9, 1992) 7.22. На берегу реки шириной 9 / вниз по течению на расстоянии / друг от друга расположены пункты П0, . П40. От П40 до П0 со скоростью 8υ и с остановками только в пунктах П40, . П 0 идут дили­ жансы, которые отправляются из П 40 один за другим с интервалом вре­ мени //4ν. Путешественник, находящийся на противоположном берегу реки напротив П0, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П40 очередного дилижанса. Доплыв по прямой до одного из пунктов, путешественник добирается до П 0 в дилижансе. Скорость течения реки и лодки в стоячей воде у. В какой пункт должен плыть путешествен­ ник, чтобы затратить на весь путь до П 0 наименьшее время? Найти все решения. (Временем стоянки дилижансов пренебречь). (Билет ю, 1992) 7.23. На берегу реки шириной 6 / вниз по течению на расстоянии / друг от друга расположены пункты П0, Пр . П 100. От П 0 до П 100 со скоростью 5ν и с остановками в пунктах П ,, . П ]00 идут электрички, которые отправляются из П 0 одна за другой с интервалом времени 2l / \ l v . Студент, находящийся на противоположном берегу реки на­ против П 0, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П 0 оче­ редной электрички. Доплыв по прямой до одного из пунктов, студент добирается до П 100 в электричке. Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей воде равны у. В какой пункт должен плыть студент, чтобы затратить на весь путь до Hj 00 наименьшее время? Найти все ре­ шения. (Временем стоянки электричек пренебречь). (Билет 11, 1992) 7.24. На берегу реки шириной 11/ вниз по течению на расстоянии / друг от друга расположены пункты П0, П р . П25. От П25до П0 со ско­ ростью 4у и с остановками только в пунктах П25, . П 0 идут кабриоле­ ты, которые отправляются из П 25 один за другим с интервалом времени ЦЪу . Курьер, находящийся на противоположном берегу реки напротив

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

П0, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П 25 очередного кабриолета. Доплыв по прямой до одного из пунктов, курьер добирает­ ся до П0 в кабриолете. Скорость течения реки и скорость лодки в сто­ ячей воде равны ν. В какой пункт должен плыть курьер, чтобы затра­ тить на весь путь до П 0 наименьшее время? Найти все решения. (Вре­ менем стоянки кабриолетов пренебречь). (Билет 12,1992) 7.25. На координатной плоскости изображена фигура М, состо­ ящая из точек, координаты (х; у) которых таковы, что выражение

12 + 2р(у — х 2 + | ) — 2 ~Р(х2 + 4х + у) неотрицательно при всех р. Из точки А проведены лучи а х и а2, а из точки С — лучи сх и с2, каждый из которых касается границы множества М. Лучи а х и с х пе­ ресекаются в точке В , а лучи а2 и с 2 — в точке D, причем ABC D — прямоугольник, одна из диагоналей которого параллельна оси Ох. Изобразить на координатной плоскости фигуру М , найти коорди­ наты центра прямоугольника ABCD и его площадь. (Билет 1, 1993) 7.26. На координатной плоскости изображена фигура М, состо­ ящая из точек, координаты (х; у) которых таковы, что выражение 4 + р 2(2у — х 2 + 14) — р~2( х 2 + 4х + 2 у) неотрицательно при всех р Ф 0. Из точки А проведены лучи а х и а2, а из точки С — лучи с х и с2, каждый из которых касается границы множества М. Лучи й , и с , пе­ ресекаются в точке В, а лучи а2 и с2 — в точке D, причем ABC D — прямоугольник, одна из диагоналей которого параллельна оси Ох. Изобразить на координатной плоскости фигуру М, найти коорди­ наты центра прямоугольника ABC D и его площадь. (Билет 2, 1993) 7.27. На координатной плоскости изображена фигура М , состоя­ щая из точек, координаты (х; у) которых таковы, что выражение 8 + 5~Р(2у — х 2 + 26) — 5Р(х2 + 4х + 2у) неотрицательно при всех р. Из точки А проведены лучи ах и а2, а из точки С — лучи с х и с2, каждый из которых касается границы множества М. Лучи а х и с х пе­ ресекаются в точке В, а лучи й 2 и с 2 — в точке D, причем ABC D — прямоугольник, одна из диагоналей которого параллельна оси Ох. Изобразить на координатной плоскости фигуру М , найти коорди­ наты центра прямоугольника ABC D и его площадь. (Билет 3, 1993) 7.28. На координатной плоскости изображена фигура М, состоя­ щая из точек, координаты (х; у) которых таковы, что выражение

6 + Vp( y — х 2 + γ ) — неотрицательно при всех p > 0 .

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

пересекают оси координат: первая — в точках А и В, вторая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если известно, что она в 4 раза меньше площади треугольника COD. (Билет 10, 1993) 7.31. Две параллельные касательные к графику функции ■х 2 у = x + j пересекают оси координат: первая — в точках А и В, вто­ рая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если извест­ но, что она в 4 раза меньше площади треугольника COD. (Билет 11,1993) 7.32. Две параллельные касательные к графику функции у =

пересекают оси координат: первая — в точках А и В, вторая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если известно, что она в 4 раза меньше площади треугольника COD. (Билет 12,1993) 7.33. Корни уравнения

*3 — (logp/8 р ) х 2 +

являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения X3 — Ί3 yfpx2 + 77 * г 15

— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь тре­ угольника. (Билет 1, 1994) 7.34. Корни уравнения з

32 2 I 5 15 л X Ч 7= X — — = 0 р ур 64

являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни урав­ нения * 3 — 4 Il°g2 Ρ \ χ2 + (log8V2я Ρ)χ — TTT7F = 0 — длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь тре­ угольника. (Билет 2, 1994)

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

Корни уравнения *3 —

являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни урав­ нения X3 — — X2 Н——30р2 2 х —7р 7 + 1, ■= 0 Ър — длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь тре­ угольника. (Билет 3, 1994) 7.36. Корни уравнения х 3 — ^ х 2 + Е- х — — = 0 25

являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения X3 — I | logvs (5р) IX2 + ^

logp/VI (5р) j х — ^ = 0

— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь тре­ угольника. (Билет 4, 1994) 7.37. При каких х числа arcsin (3“х) и arctg ( 5 -3х — 7) являются величинами двух уГ Л О В П РЯ М О У ГО Л ЬН О ГО треугольника? (Билет 5 ,1 9 9 4 ) 7.38. При каких х числа arccos (4~ХЛ?2) и arcctg ( 2· 4Χ— 3) яв­ ляются величинами двух углов прямоугольного треугольника? (Билет 6, 1994)

7.39. При каких х числа arcsin ( 2· 7_χ) и arctg (7 х — 2) являются величинами двух углов прямоугольного треугольника? (Билет 7, 1994) 7.40. При каких х числа arccos (5~X/V 5) и arcctg (3 ·5 Χ— 2) явля­ ются величинами двух углов прямоугольного треугольника? (Билет 8, 1994)

7.41. В прямоугольном треугольнике ABC точка D — середина гипотенузы АВ, а медианы треугольника пересекаются в точке Е. Треугольник ABC расположен на координатной плоскости Оху так, что точка А лежит на оси Оу, точка D симметрична точке С относительно оси Оу, а точки С, D и Е лежат на графике функции у = ( х 2 — 5 )2. Найти уравнение прямой CD и площадь треугольника ABC. (Билет 1, 1995) 7.42. Медианы прямоугольного треугольника ABC ( А С = 90°) пе­ ресекаются в точке D. Треугольник ABC расположен на координат­ ной плоскости Оху так, что точка А лежит на оси Оу, начало коор­ динат О является серединой гипотенузы, а точки D и С лежат на графике функции у = х (х — 4) ( х — 8). Найти уравнение прямой О С И ДЛИНу гипотенузы АВ. (Билет 2, 1995) 7.43. В прямоугольном треугольнике K L M точка Р — середина гипотенузы К М , а медианы треугольника пересекаются в точке Q. Треугольник K L M расположен на координатной плоскости

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

Оху так, что точка К лежит на оси Оу, точка Р симметрична точке L относительно оси Оу, а точки Р, Q и L лежат на графике функции у = ( х 2 — I ) 2. Найти уравнение прямой P L и площадь треугольника K L M . (Билет 3, 1995) 7.44. Медианы прямоугольного треугольника K L M ( А М = 90°) пересекаются в точке Р. Треугольник K L M расположен на коорди­ натной плоскости О ху так, что точка К лежит на оси Оу, начало координат О является серединой гипотенузы, а точки Р и М лежат на графике функции у = х ( х — 3) ( х — 5). Найти уравнение прямой О М И длину гипотенузы KL. (Билет 4, 1995) 7.45. Парабола П 2 симметрична параболе П ( у = а х 2, а 0. Некоторая прямая пересекает каждую из парабол ровно в одной точке: П ( — в точке Β χ, П 2 — в точке В 2 так, что угол Β χΒ2Ν — прямой. Касательная к параболе Пр проведенная в точке В х, пересекает отрезок B 2N в точке L. Опре­ делить, в каком отношении точка L делит отрезок B2N. Найти зна­ чения параметров а и Ь, при которых длина отрезка B XL минималь­ на, если площадь треугольника Β χΒ2Ν равна |·.

7.46. Парабола П 2 симметрична параболе П, у = ах2, а 0. Некоторая прямая пересекает каждую из парабол ровно в одной точке: П ( — в точке Β χ, П 2 — в точке В 2 так, что угол В ХВ 2К — прямой. Касательная к параболе П,, проведенная в точке К, пересекает отрезок Β χΒ2 в точке L. Опре­ делить, в каком отношении точка L делит отрезок В ХВ2. Найти зна­ чения параметров а и Ъ, при которых длина отрезка K L минимальна, если площадь треугольника В ХВ 2К равна

7.47. Парабола П 2 симметрична параболе П, у = ах2, а > 0 от­ носительно точки M( b; ab2), где b > 0. Некоторая прямая пересе­ кает каждую из парабол ровно в одной точке: П ( — в точке А х, П 2 — в точке А 2 так, что угол Α χΑ 2Μ — прямой. Касательная к параболе П ,, проведенная в точке А х, пересекает отрезок А 2М в точке К. Определить, в каком отношении точка К делит отрезок Л2М. Найти значения параметров а и Ь, при которых длина от­ резка А ХК минимальна, если площадь треугольника А ХА 2М равна 3 . (Билет 7, 1995)

7.48. Парабола П 2 симметрична параболе ^

у = ах2, а > 0 отно­

сительно точки T(b; аЪ2), где Ъ > 0. Некоторая прямая пересекает каждую из парабол ровно в одной точке: П ( — в точке А х, П 2 — в точке А 2 так, что угол А ХА 2Т — прямой. Касательная к параболе

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

П,, проведенная в точке Т, пересекает отрезок А уА г в точке К. Опре­ делить, в каком отношении точка К делит отрезок А 1 А 1. Найти зна­ чения параметров а и Ь, при которых длина отрезка Т К минимальна, если площадь треугольника А

7.49. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, со­ стоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе неравенств ( 2 у — 2 ху) 2′ 1*1 + |у | С 2 .

Изобразить фигуру Ф и найти ее площадь. (Билет 11, 1995) 7.52. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, со­ стоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе неравенств jlo g x+3,_2 (х 2 + у2 — 4) > 2, [ | у — х | *=3. Изобразить фигуру Ф и найти е е площадь. (Билет 12, 1995) 7.53. График функции у = / ( х ) , где / ( х ) = —2х 3 — 8пх 2 — — 4а2х + 5, а 0 и прямая I, заданная уравнением у = а2х — 2 , име­ ют ровно две общие точки. 1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функ­ ции у = / ( х ) и прямой I, равна 1 / 2 . 2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = / ( х ) в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей ординатой. НаЙТИ Эту Ординату. (Билет з, 1996) 7.56. График функции y — f ( x ) , где / ( х ) = — х 3 — 4ах 2 — — 3а2х + 2 , а > 0 и прямая I, заданная уравнением у = а2х + 2 , име­ ют ровно две общие точки. 1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функ­ ции у = / ( х ) и прямой I, равна у^. 2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = / ( х ) в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей ординатой. НаЙТИ эту ординату. (Билет 4, 1996) 7.57. Графику функции у = х 3 + а х 2 + Ъх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точке А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку ( 0; —1 ), а другая — через точку (0; —5 ). Найти значения а, Ъ и с. (Билет 1, 1997) 7.58. Графику функции у = — х 3 + ах 2 + Ъх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = —2. Касатель­ ные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку ( 0 ; —2 ), а другая — через точку (0; —6 ) . Найти значения а, Ъ и с. (Билет 2, 1997) 7.59. Графику функции у = х 3 + а х 2 + Ъх + с принадлежат точки Л и В, симметричные относительно прямой х = —2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку ( 0 ; 1 ), а другая — через точ­ ку (0; 5). Найти значения а, Ъ и с. (Билет 3, 1997)

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

7.60. Графику функции у = — х 3 + а х 2 + Ъх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку ( 0 ; 2 ), а другая — через точ­ ку (0; 6). Найти значения а, b и с. (Билет 4, 1997) х2

7.61. К графику функции у = -^— х + — проведена касательная, пересекающая график функции у = ^ — 2 | х + 2| в точках А и В. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершина­ ми в точках А, В и С f—2; ^ , если L C A B = 2 arccos ^ + L CB A . (Билет 5, 1997)

7.62. К графику функции у = —

γ проведена касатель-

ная, пересекающая график функции у = 3 |х + 6 | — ^ в точках А и В. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вер­ шинами в точках А, В я С ί—6; — j j , если L C A B = 2 arccos

+ L CBA . (Билет 6, 1997)

7.63. К графику функции У = -3— 3 х ^ з проведена касательная, з пересекающая график функции у = 1 — — | х + 1 | в точках А и В. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершина3 ми в точках А, В я С ( —1; 1), если L C A B = 2 arccos + L CBA . (Билет 7, 1997)

х2 8 7.64. К графику функции у = — ^— х — — проведена касательная,

пересекающая график функции у = 3 \х — 3 1 — ^ в точках А и В. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершина­ ми в точках Л, В, и С (3; —

, если L C A B = 2 arccos

+ L CBA . (Билет 8, 1997)

7.65. Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа х, у и 6 — 2х являются длинами сторон не­ которого треугольника. Найти площадь фигуры М. Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство i 2 + 2tx + 4х — у > 0 выполняется при всех значениях параметра t. Найти площадь фигуры Ф. (Билет 9, 1997) 7.66. Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа Зх, 2у и 9 — у являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры М.

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство I2 + 2ί (χ — 2) + 7 — у > 0 выполняется при всех значениях парамет­ ра t. Найти площадь фигуры Ф. (Билет 10, 1997) 7.67. Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа 2 х, у и 3 — х являются длинами сторон не­ которого треугольника. Найти площадь фигуры М. Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство I2 — 2 tx + 2 х — у + 3 > 0 выполняется при всех значениях параметра /. Найти площадь фигуры Ф. (Билет 11, 1997) 7.68. Пусть М — множество точек плоскости с координатами (х; у) таких, что числа Зх, у и 18 — 2у являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры М. Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство t 2 + 2 ίχ + 4х + у — 6 > 0 выполняется при всех значениях параметра /. Найти площадь фигуры Ф. (Билет 12, 1997) 7.69. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций у = Зеа* и у = 7 — 2е~ах и имеет единственную общую точку с прямой у = 9х + 3. Найти а и площадь фигуры М. (Билет 1, 1998)

7.70. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций у = 9е~ах и у = 1 5 — 4еах и имеет единственную общую точку с прямой у — — 18х + 9. Найти а и площадь фигуры М. (Билет 2,

7.71. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций у = 2еах и у = 7 — Зе~ах и имеет единственную общую точку с прямой у = 4х + 2. Найти а и площадь фигуры М. (Билет 3, 1998)

7.72. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций у = 4е-а * и у = 1 2 — 5еах и имеет единственную общую точку с прямой у = — 12х + 4. Найти а и площадь фигуры М. (Билет 4,

7.73. График функции у = х 3 + а х 2 + Ьх + с, с О пересек ает ось ординат в точк е D и и м еет ровно дв е общ ие точки А и В с осью абсцисс. П рям ая, касаю щ аяся этого графика в точке В , п роходи т ч ерез точку D. Н айти а, Ь, с, если площ адь треугольника A BD рав­ на 1. (Билет 8, 1998)

7.77. Дана система неравенств

1*1 + Ы 3(2 у — 2х — 3), (2х + у — 3 ) ( х + 5у + 3) « 0 . Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют: а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в) всем трем неравенствам системы. (Билет 6, 1999)

7.79. Дана система неравенств 1*1 + \у\ —8 (х + у + 2 ), (7у — х — 4) ( 3у — 5х + 12)

Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют: а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в) всем трем неравенствам системы. (Билет 7, 1999) 7.80. Дана система неравенств: 1*1 + \у\ 5(2х — 2у — 5), (7х + Зу + 15)(х + 4у — 5) *= 0. Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют: а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в) всем трем неравенствам системы. (Билет 8, 1999)

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

7.81. Дано число а = 2 2002 + З2002. Найти последнюю цифру числа а и остаток от деления а на 11. (Билет 1 , 2002) 7.82. Дано число а = З2002 + 72002. Найти последнюю цифру числа а и остаток от деления числа а на 11. (Билет 2, 2002) 7.83. Дано число а = 2 2002 + 132002. Найти последнюю цифру чис­ ла а и остаток от деления числа а на 11. (Билет 3, 2002) 7.84. Дано число а = 2 2002 + 7 2002. Найти последнюю цифру числа а и остаток от деления числа а на 11. (Билет 4, 2002) 7.85. Дана система неравенств •

x 2 + у2 si 4 1х | , \ Х\ + \ у \ * 2 , х 2 — у 2 + 16 — 8х == 0.

Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворя­ ют: а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в ) в сем т р е м н е р а в е н с т в а м си ст ем ы . (Билет 1, 2003)

7.86. Дана система неравенств x 2 + у 2 4 1у | , • И + \У\ > 2 , у2 — X2 + 16 — 8х ^ 0 . Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворя­ ют: а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в) всем трем неравенствам системы. (Билет 2, 2003) 7.87. Дана система неравенств х 2 + у2 =£ 4 1х | , • \ Х\ + Ы SS 2, X2 — у2 + 16 + 8x ^ 0. Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворя­ ют: а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в) всем трем неравенствам системы. (Билет з, 2003) 7.88. Дана система неравенств x 2 + y2 *s 4| y| , ■

х 2 — у 2 + 1 6 + 8x ^ 0 .

РА ЗН Ы Е ЗАДАЧИ

Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворя­ ют: а) первому неравенству системы; б) первым двум неравенствам системы; в ) в сем т р е м н е р а в ен ст в а м си ст ем ы . (Билет 4, 2003)

ОТВЕТЫ И РЕШ ЕНИ Я 1. А Л ГЕБРА И ЧЕС КИ Е УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА 1.1.

Р е ш е н и е . Складывая первое уравнение системы с третьим, пере­ пишем систему в виде 6 x 2 + Зх = 2z — 2, . х у + zy = 2 z — 2х + 2 , 2У + У = 2z + 1. Выразив из первого уравнения х через ζ, а из третьего — у через ζ, подставим эти выражения во второе уравнение: X

2 ζ-2 6ζ + 3 ’ 2ζ + 1 ζ+ 1’

10ζ2 + 23ζ + 2 = 0.

Исходная система равносильна системе (1) —(3). Уравнение (3) имеет корни z l = — у , z 2 = — у . Подставляя найденные значения ζ в уравнения ( 1 ), ( 2 ), находим два решения исходной системы. 1.2. 1.3. 1.4.

_I. _!■ 2 ■ r; 3; 2 . 2’ ’ 3 I’ 3;I).

1.5. ( —2; 0); ( — 3 ; 3); ( — 4 ; 2). У к а з а н и е . Решить каждое из уравнений системы как квад­ ратное относительно х или у. Тогда исходная система преобразу­ ется к виду [(х + 2 у + 2 )( х — у + 6) = 0 , (х + 2 у — 3 ) ( х + у + 2 ) = 0. и равносильна совокупности четырех систем линейных уравнений. 1.6. ( 0 , 5 ; — 3 ) , ( 2 ; — 4 ) , (| ; — δ ) . 1.7. (3; — 3 ) , (2; — 4 ) , (0; — 2 ) . 1.8. ( —3; 0,5), ( — 4 ; 2), ( — 5 ; 1,5). 1.9. x —2, 3 s£ x 7. 1.10. x ^ —4, 1 ^ x 5.

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

Р е ш е н и е . Исходное неравенство равносильно неравенству .ν

4 —2x + V * 2 + 3x —4

———- 731 ———- 2х — 4 х 1 . а) При х > 3 обе части первого неравенства системы (2) положи­ тельны, а система ( 2 ) равносильна каждой из систем

откуда следует, что х > 5. б) Системе (3) удовлетворяют значения x sg —4, так как при x =s —4 левая часть первого неравенства системы (3) определена и неотрицательна, а правая отрицательна; значения х $ —4 удовлетво­ ряют и второму неравенству системы (3). Значения х из отрезка [ 1, 2] удовлетворяют системе (3), а при х > 2 система (3) равносильна каждой из систем

откуда следует, что 2 14. 1.13. х, = 4, χ 2 = — +2^ . 1.14. х = 9. Решение. Полагая x — 2Vx = ί, получаем \t + 2 \ + \ t — 1 1 = 7 , откуда = —4, t 2 = 3.

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕШ ЕН И Я

Если t = —4, то х — Ъ1х + 4 = 0. Это уравнение не имеет дейст­ вительных корней. Если t = 3, то x — 2Vx — 3 = 0, откуда х = 9. 1.15.

1.16. х = 16. _ 1 5 -V 2 9 0

1.17. х χ ^ 3 . 1.19. x =£ —4, х >

^ 2 9 0 -1 5 4 30V2-34 23

Решение. Так как уравнение Зх 2 + 8х — 3 = 0 имеет корни x t = —3, х 2 = то область Е допустимых значений неравенства тервалов Е х = ( —

Поэтому решениями исходного неравенства на множестве Е г яв­ ляются все точки интервала (х 2, +°°) . 1.21. (4; 27), (2; — 1 7 ) , (22; 423), ( — 1 6 ; 307). 1.22. (3; 29), (1; — 1 7 ) , (13; 397), ( — 1 5 ; 191). 1.23. ( — 2 ; 30), ( — 4 ; 4), (20; 316), (- 2 6 ; 774). 1.24. ( — 1 ; 31), ( — 3 ; 3), (21; 339), (- 2 5 ; 751) Решение.

АЛ ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

Выразим у через х, получим: х 3 — Зх2 — 8х + 27

Выделим целую часть, преобразовав дробь:

, т , 23 5х + 2 + 7 Т 2 ·

Целые значения у примет при целых х тогда и только тогда, когда 23

+ 2 примет целые значения, т. е. в следующих случаях: х +

х + 2 = —1, х + 2 = 23, х + 2 = —23. Отсюда находим Xj = —1, х 2 = —3, х 3 = 21, х 4 = —25, а затем соответствующие значения у. 1.25. (3; — 2 ) . Р е ш е н и е . Сложив уравнения системы, получим ( х — 3 ) 2 + ( у + 2 )2 = 0 , откуда х = 3,

Пара чисел х = 3, у = —2, как показывает проверка, образует реше­ ние системы. 1.26. ( 1 ; — 6). 1.27. (2; — 3 ) . 1.28. х = — 5 , у = 1. 1.29. х = 20, у = 8. Р е ш е н и е . Умножая первое неравенство на 3 и складывая с третьим, получаем 7у 6 j . Итак, 6 4.

АЛ ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

Обозначим / ( х ) = 3 |х — y j (х — 4). а) Пусть х > 4, тогда / ( х ) > 0. В этом случае исходное неравенст­ во равносильно каждому из следующих неравенств Vx / ( х ) 5= / ( x ) , Vx S* V / ( x ) , х > / ( х ) , Зх 2 — 23х + 40 = 3 (x —

откуда, учитывая условие х > 4, получаем 4 0 и исходное неравен10

ство равносильно неравенству Vx / ( х ) $ / (х). Значение х = у явля­ ется решением этого неравенства, а если 0 ^ х 0 и неравенство примет вид Зх 2 — 23х + 40 = 3 Jx —

откуда, с учетом условия 0 ^ х \ g(x) | равносильно каж­ дому из неравенств / 2(х) > g2(x), (f ( x ) + # ( х ) ) ( / ( х ) — g ( x )) > 0 , то исходное неравенство равносильно системе неравенств — x 2 + х + 9 3= 0, ■(2х 2 — 8х + 4) ( — 6х + 8 ) > 0. Квадратный трехчлен — x 2 + х + 6 имеет корни—2 и3, корнями квадратного трехчлена х 2 — 4х + 2 являются числах, = 2 — V2 и х 2 = 2 + V2 , а система ( 1 ) равносильна системе (х + 2 )(х — 3) sS 0 ,

( х — х , ) ^ х — | | ( х — х 2) 3. Р е ш е н и е . Область Е допустимых значений неравенства опреде­ ляется условиями х2 — х — 2 = ( х — 2 ) ( х + 1 ) ^ 0 и Vx 2 — х — 2 =*= 2 , умшмтмттт» т. е. Е — объединение промежутков ~2 2 3 ·γ х 3. к задаче 1.45. Следовательно, Е — внешность ин­ тервала ( —1 , 2 ) с выброшенными точками —2 и 3 (см. рис.). Рассмотрим два возможных случая: 2 — Vx 2 — х — 2 0.

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

а) Пусть 2 — Vx 2 — х — 2 0. Поэтому числа из проме­ жутков х 3 — решения исходного неравенства, так как левая часть исходного неравенства отрицательна при условии ( 1 ), а правая положительна при всех х. б) Пусть

Множество Е х решений неравенства (2) — это множество реше­ ний системы

Следовательно, Е х — объединение промежутков ( —2, 1] и [2, 3). На множестве Е х исходное неравенство равносильно каждому из нера­ венств 2 — Vx2 — х — 2 з= Vx2 + 3

2 — Vx2 + 3 3= Vx2 — x — 2.

На множестве Е х левая часть (3) отрицательна при х ^ — 1 и равна нулю при х = —1. Правая часть (3) положительна при x G Е х, х ^ — 1 и равна нулю при х = —1. Следовательно, х = —1 — единст­ венное решение исходного неравенства при выполнении условия ( 2 ). 1.46. х 4 . 1.47. х 6. 1.48. х 1. 1.49.х, = —6, х 2 = 4. Р е ш е н и е . Пусть t — Vx2 + 2х — 8 , тогда 2 х 2 + 4х — 23 = и уравнение можно записать в виде

V2ί 2 — 7 = ί + 1 . Возводя обе части полученного уравнения в квадрат, имеем 2t 2 — 7 = z2 + 2z + 1, или t 2 — 2i — 8 = 0, откуда ί> = —2, t 2 — 4. Так как t 3 0 , то Vx2 + 2 х — 8 = 4 , х 2 + 2 х — 24 = 0 , х, = —6, х 2 = 4. Числа х, и х 2 являются корнями исходного уравнения. 1.50. х, = 6 , х 2 = —2. 1.51. X! = —3, х 2 = 9.

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

1.52. х 1 = —6, х 2 = 10. 1.53.

Р е ш е н и е . Складывая первое неравенство со вторым, умножен­ ным на 3, находим х 2 — бху + 9у 2 + 6 (х — Зу)+ 9 ί 0, или | (х — Зу) + З ]2 ^ 0, откуда х — Зу + 3 = 0. Подставляя х = Зу — 3 в исходную систему, получаем систему неравенств Г9у2 — 18у + 9 + 9у2 — 18у ί 0, | 6у — 6 + 3 — 2(3у — 3)у ί 0 , которую можно записать в виде [ 2у 2 — 4у + 1 ί 0, |2 у 2 — 4 у + 1 г 0 , откуда следует, что 2у 2 — 4у + 1 = 0. Решив систему уравнений ίχ = Зу — 3, [2у 2 — 4 у + 1 = 0 , найдем два ее решения, которые являются решениями исходной си­ стемы неравенств.

1.55. 1.56. ( — 1 + V 2 ; — 3 V 2 ) ; ( — 1 — V 2 ; 3^2). 1.57. x ί — 3 , — 2 ί x —1 , то неравенство ( 2 ) равносильно каждому из неравенств 4 (х 2 + 2 х + 1 ) х г > ~ 1 ’ т0 решения неравенства (3), удовлетворяющие условию х > —1 , образуют интервал —1 2 —

а если у = —7, то х = 7, z = —7.

1.62. (0; 0 0 ) , ( — § ; — | ; — l ) ,

1.63. (0; 0; 0), (4; 1 2 ; — 4 ) , (1; 6 ; — 4 ) .

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИЯ · ОТВЕТЫ И Р Е Ш Е НИЯ

1.65. x — —4, у = 20. Р е ш е н и е . Пусть и — у/ х + у, v = у/х + 2у, тогда х + у = и2, x + 2у = v 2, откуда л: = 2ы2 — υ2, y = v 2 — и2. Поэтому исходная си­ стема примет вид \и + v = 10 , [и + Ъи2 — v 2 = 16, откуда 2и 2 + 21и — 116 = 0, и 1 = — 29/2, и 2 = 4. Так как и ^ 0, то и = 4, т. е. Vx + у = 4, v = Vx + 2у = 6, откуда х + у = 1 6 , х + 2у = 36, х = — 4, у = 20. 1.66. х = 1/2, у = 3/2. 1.67. х = 13, у = —3. 1.68. х = 1/7, у = — 5 8 /7 . 1.69. х = 4, у = —2. Р е ш е н и е . Так как ху ^ 0, то систему можно записать в виде i у2(х 2 + у3) = х (х 2 + у3), |х 2 + у3 = — 4 у. Е с л и х 2 + у3 = 0, то из второго уравнения следует, что у = 0. Если у2 = х, то из второго уравнения системы следует, что У3 + у2 + 4 = 0 или (у + 2) (у 2 — у + 2) = 0, откуда у = —2 (уравне­ ние у2 — у + 2 = 0 не имеет действительных корней). Итак, у = —2, х = у2 = 4. 1.70. х = 4, у = —2. 1.71. х = — 2 , у = 1/4. 1.72. х — —2, у = 1/4. 1.73. —18 х 9. Р е ш е н и е . Так как х 2 + 9х — 162 = (х + 18)(х — 9), то ОДЗ не­ равенства — совокупность двух промежутков —18 «S х 9, то левая часть исходного нера­ венства неотрицательна, а правая отрицательна. Поэтому указанные значения х являются решениями исходного неравенства. Число х = —9 также является решением этого неравенства, а число х = 9 не есть решение неравенства. б) Пусть —9 (х + 9 )2,

> (х 2 + 18х + 81) ( х — 2), х 3 + 15х2 + 36х > 0, х (х + 12)(х + 3) > 0, откуда, с учетом условия —9 ( 9 — х),

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

> 9 — х, х 2 — 12 х 15. 1.76. х 0 .

Первое уравнение системы преобразуем так: 2у + 6у 2 = х — у Vx — 2у, (Vx — 2 у )2 — у Vx — 2у — 6у2 = О, (Vx — 2 у — 3 y)(Vx — 2у + 2у) = 0.

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИЯ · ОТВЕТЫ И Р Е Ш Е НИЯ

1) Если Vx — 2у — Зу = О, то Vх — 2у = Зу, yS* 0.

Из (2) и второго уравнения системы получаем Vx + 3у = == (х + Зу) — 2 или (Vx + Зу — 2)(Vx + Зу + 1) = 0, откуда Vx + Зу = 2, так как Vx + Зу + 1 > 0. Тогда х + 3у = А, х = = —Зу + 4. Отсюда и из (2) находим ν’4 — 5у = Зу, 9у2 + 5у — — 4 = 0, у, = —1, у2 =

Так как у ^ О, то у, отбрасываем, а если

у = 4/9, то х = | . Пара чисел ^

удовлетворяет условиям (1).

2) Если Ух — 2у = —2у, т о у ^ О и х — 2у = 4у2, а из второго урав­ нения находим Vx — 2у = х + Зу — 2. Поэтому х + Зу — 2 = —2у, х = 2 — 5у, 2 — 7у = 4у2, yj = ^ (не годится), у2 = —2, х 2 = 12. Пара чисел (12, —2) — решение исходной системы. 1.82. ( 6 . 3 0 ) . 1.83. ( 4 2 , 6 ) , I са 8

S + V 2 2 T . 33 + ν ‘2 ΐΓ \ 49 ’ 7 ‘

— 4 — V6 7, тогда обе части исходного неравенства положи­ тельны, и оно равносильно (при х > 7) каждому из неравенств V x 2 — 4х — 5 > 2х + 3, х 2 — 4х — 5 > (2х + З )2, Зх 2 + 16х + 14 7 не являются решениями исходного неравенства. д 3) Пусть x —2 (х + 2 ) — 5, Vx2 — 4х — 5 > —2 х — 5, х 2 — 4х

— 5 = ( —2х — 5 )2, х 2 + 8х + 10 —j , которое

равносильно неравенству 5/ + 6 — 3 V6 — / 6-3 V6^T

так как t = x 2 + х е (0, 6 ] при х е | —3, —1). φ(ί) = 6 — 3 V6 — t = 3(2 — V6 — ί ) , тогда

φ(ί) 0 при t е ( 2 , 6].

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

Пусть g ( t ) = 5t + 6 — 3 V6 — t , и рассмотрим уравнение g(t) = О, т. е. уравнение 5t + 6 = 3 V 6 ^ 7 .

Возводя обе части уравнения (2) в квадрат, получаем уравнение 25ί2 + 6 0 ί + 36 = 9 ( 6 — 0 или 25ί2 + 6 9 ί — 18 = 0.

Уравнение (3), являющееся следствием уравнения (2), имеет корни l x = ^ , t 2 = — 3 , где 0 е ( 0 , 6 ], a t 2 £ ( 0 , 6 ]. Если t е ^0,

6 , то g(i) > 0. Итак,

, то g(i ) g(x) при x е ( 1 , 2 ], т. е. значение x е ( 1 , 2 ] — решения неравенства (4). 1.106. —1 ( 1 ;~T8; —б)·

А Л ГЕБРА И ЧЕСКИ Е УРАВНЕНИ Я · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

2. ТРИГОНОМ ЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА 2.1.

Р е ш е н и е . Возводя в квадрат обе части уравнения, получаем 13 8 sin х + — = 4 cos 2 x + 8 sinx + 4 tg2 x, или 12 cos 4 x — 25 cos 2 x + 12 = 0, откуда COS

Поскольку cos 2 x ^ 1, то cos X = x =

Непосредственная проверка показывает, что при х = ± ^ + 2 л к правая часть исходного уравнения отрицательна, и решениями явля­ ются лишь х =

2.2. x — — arccos ^ j + лк; x — arccos

2.3. х = — | + к л , к G Z. 2.4. x = arccos 2.5

+ лк; х = л — arccos 775- + 2 л к , к G Z. ■75″

Нет решений. x = arccos g + 2 π&,

2.9. у = ( —l ) marcsin -^ΐ + rem,

У = (~ О к G Z, m G Z.

x = arctg 4 -I- 2π&, у = arccos ^

x = arctg 4 + (2& + 1)π,

у = arccos ^ + ( 2 m + 1 ) π,

Т РИ ГО Н О М ЕТРИ Ч ЕС К И Е УРАВНЕНИЯ · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

x = — arcsin j + ( 2 к + 1 )π , νττ у = ± arccos — j y + ( 2 m + 1 ) π,

x = arcsin j + 2 пк, 2 . 11 . : arccos

к G Z, m G Z. x = arctg j +

x = arctg ~ + ( 2 m + 1 )π ,

у = arctg 2 V2 + 2 πη,

у = arctg 2 V 2 + ( 2 η + 1 )π ,

x = πη;, x = ^ + 2πη, x = j + и , n G Z.

π + 2 πη, x = —+ πη, η G Ζ .

Р е ш е н и е . Рассмотрим два случая: a)cos x > О, 6)cos x 0 , получаем: x = γ + πη, x = ^ -f- 2 πη, η G Ζ. б) cos 3χ — cos x = sin 2χ, — 2 sin x sin 2χ = sin 2χ, + 2sin χ) = 0, откуда sin 2χ = 0, либо sin x = —

венство cos x П7 = — — , откуда д = ± — + у , η £ Ζ .

ТРИ ГО Н О М Е Т РИ Ч Е С К И Е УРАВНЕНИЯ · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

2.51. X = ± f + f , к е Z, / тах = 1, / min = i 2.52. x = ± f + π*, Л e Ζ, / max = f , / min = ή . 2.53. x = πη, x = ^

2.54. χ = Ξ + ^ , n e Ζ. 2.55. χ = | + πη, χ = i + HL, n G Z 2.56. χ = ± · | + πη, n e Ζ. Р е ш е н и е . Исходное уравнение равносильно уравнению sin x sin 4х

а допустимые значения х для уравнения ( 1 ) определяются условием sin 4х cos Зх

При выполнении условия (2) уравнение sin x cos Зх = sin 4х является следствием уравнения ( 1 ) и равносильно уравнению sin Зх cos х = 0.

Корнями уравнения (1) являются все те и только те корни урав­ нения (3), которые удовлетворяют условию ( 2 ). Так как sin Зх = sin х (3 — 4 sin 2 x) = sin x (1 + 2 cos 2х), а sin x cos χ Ф 0 в силу ( 2 ), то из (3) следует, что cos 2х = —

Корни уравнения (4) удовлетворяет условию (2) и являются кор­ нями исходного уравнения. 2.57. χ = ± χ + πη + л к , у = ± χ + πη — π£, n G Z . , к G Z. О о 2.58. χ = — · | + ( — 1 ) * γ | + ^ + πη, у = — f + ( — 1)*+I ~ — ψ + πη, k G Z, n G Z. Р е ш е н и е . Полагая sin x cos y — u, cos x sin у = v, получаем сис­ тему уравнений , 16u + 2 ν = —3, |5ы — 3t> = 1, ι

откуда и = — υ = — ^· Исходная система равносильна каждой из следующих систем: 1

sin x cos у = — j , 3 cos x sin у = — — ,

sin (x + у) = —1, sin (x — у) = γ2

Т РИ ГО Н О М ЕТРИ Ч ЕС К И Е УРАВНЕНИЯ · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

х = ± у 4- у + πη + π£,

у = ± у + у — πη + π£,

+l π 60. x = у + ( — l )\n n+1 π

2.61. x = — y + 2πη, n G Z. 2.62. x = ± ^ + 2πη, n G Z 4

2.63. x = — -χ + 2πη, x = — ^ + 2πη, n G Z. 4

2.64. x = ± ηρ + 2πη, x = π + 2πη, η G Z. Решение. , cos Зх Пусть t = ——- .

2 Ί а) Если cos х > 0 , то ί 4- у = —1 или ( + 1 + 2 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. б) Если cos х 0 при 0 Sjn4 х

5 + 3 cos 4х > 2( 1 — 2 cos 2х + cos2 2 х ),

cos 2 х (1 + cos 2 х) > 0 , Так ,

ляются все числа из интервала

Корни первой серии при л = Ък + 1 не удовлетворяют условию cos 2х ^ 0 и удовлетворяют этому условию при п = Ък и п = Ък + 2. Для корней второй серии условие cos 2х ^ 0 не выполняется б) Пусть cos 2х

cos 2x sin 6x = ^ (sin 8x + sin 4*) = ^ sin 4x (1 + 2 cos 4x) = = sin 2x cos 2x (1 + 2 cos 4 x ) . Тогда исходное уравнение можно записать в виде

16 cos 4х sin 2 х cos 2 х

Уравнение (2) при условии (1) равносильно уравнению cos 4х (1 + 2 cos 4х) cos 2х = cos 4х (1 + 2 cos 4х),

а уравнение (3) равносильно совокупности уравнений cos 4х — 0,

cos 4х = — cos 2 х = 1 . Уравнения x= ±у +

n S Z соответственно, и эти корни удовлетворяют ус­

ловию ( 1 ), а из ( 6) следует, что sin 2х = 0 . 2.78.

к * 5 р , n e Z, к G Z , р G Z.

Т РИ ГО Н О М Е Т РИ Ч Е С К И Е УРАВНЕНИЯ · ОТВЕТЫ И РЕ Ш Е Н И Я

2.80. Χ = ψ , п Ф З к , η Β Ζ , к

2.81. х — π η, п б Ζ. Р е ш е н и е . Используя формулу ^

^ β = tg α — tg β, преобра­

зуем исходное уравнение в виду tg Зх — tg 2х + tg 4х — tg Зх = sin 4х — tg 2х.

Область допустимых значений х для уравнения (1) определяется условиями cos 2х Ф 0, cos Зх Ф 0, cos 4х Ф 0,

а при выполнении условий ( 2 ) исходное уравнение равносильно уравнению tg 4х = sin 4х.

Уравнение (3) равносильно совокупности уравнений sin 4х = 0,

причем все корни уравнения (5) содержатся среди корней урав­ нения (4). Из (4) следует, что либо s i n x = 0, и тогда х = л/г, п В Z, либо cos х = 0 (и тогда cos Зх = 0 ), либо cos 2х = 0. 2.82. х = п Ф 2 + 4 к , п ф 4 + 8Л, п В Z, к В Z. 2.83. х =

η Ф 2+ Ак , п ф А + 8к , п

Пережевывая логистическую регрессию

В этой статье, мы будем разбирать теоретические выкладки преобразования функции линейной регрессии в функцию обратного логит-преобразования (иначе говорят, функцию логистического отклика). Затем, воспользовавшись арсеналом метода максимального правдоподобия, в соответствии с моделью логистической регрессии, выведем функцию потерь Logistic Loss, или другими словами, мы определим функцию, с помощью которой в модели логистической регрессии подбираются параметры вектора весов .

  1. Повторим о прямолинейной зависимости между двумя переменными
  2. Выявим необходимость преобразования функции линейной регрессии в функцию логистического отклика
  3. Проведем преобразования и выведем функцию логистического отклика
  4. Попытаемся понять, чем плох метод наименьших квадратов при подборе параметров функции Logistic Loss
  5. Используем метод максимального правдоподобия для определения функции подбора параметров :

5.1. Случай 1: функция Logistic Loss для объектов с обозначением классов 0 и 1:

5.2. Случай 2: функция Logistic Loss для объектов с обозначением классов -1 и +1:

Данная статья в большей мере рассчитана на датасайнтистов с начальным уровнем познаний в основах машинного обучения.

В статье также будет приведен код для отрисовки графиков и расчетов. Весь код написан на языке python 2.7. Заранее поясню о «новизне» используемой версии — таково одно из условий прохождения известного курса от Яндекса на не менее известной интернет-площадке онлайн образования Coursera, и, как можно предположить, материал подготовлен по мотивам этого курса.

01. Прямолинейная зависимость

Вполне резонно задать вопрос — причем здесь прямолинейная зависимость и логистическая регрессия?

Все просто! Логистическая регрессия представляет собой одну из моделей, которые относятся к линейному классификатору. Простыми словами, задачей линейного классификатора является предсказание целевых значений от переменных (регрессоров) . При этом считается, что зависимость между признаками и целевыми значениями линейная. Отсюда собственно и название классификатора — линейный. Если очень грубо обобщить, то в основе модели логистической регрессии лежит предположение о наличии линейной зависимости между признаками и целевыми значениями . Вот она — связь.

В студии первый пример, и он, правильно, о прямолинейной зависимости исследуемых величин. В процессе подготовки статьи наткнулся на пример, набивший уже многим оскомину — зависимость силы тока от напряжения («Прикладной регрессионный анализ», Н.Дрейпер, Г.Смит). Здесь мы его тоже рассмотрим.

В соответствии с законом Ома:

, где — сила тока, — напряжение, — сопротивление.

Если бы мы не знали закон Ома, то могли бы найти зависимость эмпирически, изменяя и измеряя , поддерживая при этом фиксированным. Тогда мы бы увидели, что график зависимости от дает более или менее прямую линию, проходящую через начало координат. Мы сказали «более или менее», так как, хотя зависимость фактически точная, наши измерения могут содержать малые ошибки, и поэтому точки на графике, возможно не попадут строго на линию, а будут разбросаны вокруг нее случайным образом.

График 1 «Зависимость от »

Код отрисовки графика

import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline import numpy as np import random R = 13.75 x_line = np.arange(0,220,1) y_line = [] for i in x_line: y_line.append(i/R) y_dot = [] for i in y_line: y_dot.append(i+random.uniform(-0.9,0.9)) fig, axes = plt.subplots(figsize = (14,6), dpi = 80) plt.plot(x_line,y_line,color = 'purple',lw = 3, label = 'I = U/R') plt.scatter(x_line,y_dot,color = 'red', label = 'Actual results') plt.xlabel('I', size = 16) plt.ylabel('U', size = 16) plt.legend(prop = ) plt.show()

02. Необходимость преобразований уравнения линейной регрессии

Рассмотрим очередной пример. Представим, что мы работаем в банке и перед нами задача определить вероятность возврата кредита заемщиком в зависимости от некоторых факторов. Для упрощения задачи, рассмотрим только два фактора: месячная зарплата заемщика и месячный размер платежа на погашение кредита.

Задача очень условная, но на этом примере мы сможем понять, почему для ее решения недостаточно применения функции линейной регрессии, а также узнаем какие преобразования с функцией требуется провести.

Возвращаемся к примеру. Понятно, что чем выше зарплата, тем больше заемщик сможет ежемесячно направлять на погашение кредита. При этом, для определенного диапазона зарплат эта зависимость будет вполне себе линейная. Например, возьмем диапазон зарплат от 60.000Р до 200.000Р и предположим, что в указанном диапазоне заработных плат, зависимость размера ежемесячного платежа от размера заработной платы — линейная. Допустим, для указанного диапазона размера заработных плат было выявлено, что соотношение зарплаты к платежу не может опускаться ниже 3 и еще у заемщика должно оставаться в запасе 5.000Р. И только в таком случае, мы будем считать, что заемщик вернет кредит банку. Тогда, уравнение линейной регрессии примет вид:

где , , , — зарплата -го заемщика, — платеж по кредиту -го заемщика.

Подставляя в уравнение зарплату и платеж по кредиту с фиксированными параметрами можно принять решение о выдаче или отказе кредита.

Забегая вперед, отметим, что, при заданных параметрах функция линейной регрессии, применяемая в функции логистичиеского отклика будет выдавать большие значения, которые затруднят проведение расчетов по определению вероятностей погашения кредита. Поэтому, предлагается уменьшить наши коэффициенты, скажем так, в 25.000 раз. От этого преобразования в коэффициентах, решение о выдачи кредита не изменится. Запомним этот момент на будущее, а сейчас чтобы было еще понятнее, о чем речь, рассмотрим ситуация с тремя потенциальными заемщиками.

Таблица 1 «Потенциальные заемщики»

Код для формирования таблицы

import pandas as pd r = 25000.0 w_0 = -5000.0/r w_1 = 1.0/r w_2 = -3.0/r data = df = pd.DataFrame(data) df['f(w,x)'] = w_0 + df['Salary']*w_1 + df['Payment']*w_2 decision = [] for i in df['f(w,x)']: if i > 0: dec = 'Approved' decision.append(dec) else: dec = 'Refusal' decision.append(dec) df['Decision'] = decision df[['The borrower', 'Salary', 'Payment', 'f(w,x)', 'Decision']]

В соответствии с данными таблицы, Вася при зарплате в 120.000Р хочет получить такой кредит, чтобы ежемесячного гасить его по 3.000Р. Нами было определено, что для одобрения кредита, размер заработной платы Васи должен превышать в три раза размер платежа, и чтобы еще оставалось 5.000Р. Этому требованию Вася удовлетворяет: . Остается даже 106.000Р. Несмотря на то, что при расчете мы уменьшили коэффициенты в 25.000 раз, результат получили тот же — кредит может быть одобрен. Федя тоже получит кредит, а вот Леше, несмотря на то, что он получает больше всех, придется поумерить свои аппетиты.

Нарисуем график по такому случаю.

График 2 «Классификация заемщиков»

Код для отрисовки графика

salary = np.arange(60000,240000,20000) payment = (-w_0-w_1*salary)/w_2 fig, axes = plt.subplots(figsize = (14,6), dpi = 80) plt.plot(salary, payment, color = 'grey', lw = 2, label = '$f(w,x_i)=w_0 + w_1x_ + w_2x_$') plt.plot(df[df['Decision'] == 'Approved']['Salary'], df[df['Decision'] == 'Approved']['Payment'], 'o', color ='green', markersize = 12, label = 'Decision - Loan approved') plt.plot(df[df['Decision'] == 'Refusal']['Salary'], df[df['Decision'] == 'Refusal']['Payment'], 's', color = 'red', markersize = 12, label = 'Decision - Loan refusal') plt.xlabel('Salary', size = 16) plt.ylabel('Payment', size = 16) plt.legend(prop = ) plt.show()

Итак, наша прямая, построенная в соответствии с функцией , отделяет «плохих» заемщиков от «хороших». Те заемщики, у кого желания не совпадают с возможностями находятся выше прямой (Леша), те же, кто способен согласно параметрам нашей модели, вернуть кредит, находятся под прямой (Вася и Федя). Иначе можно сказать так — наша прямая разделяет заемщиков на два класса. Обозначим их следующим образом: к классу отнесем тех заемщиков, которые скорее всего вернут кредит, к классу или отнесем тех заемщиков, которые скорее всего не смогут вернуть кредит.

Обобщим выводы из этого простенького примера. Возьмем точку и, подставляя координаты точки в соответствующее уравнение прямой , рассмотрим три варианта:

  1. Если точка находится под прямой, и мы относим ее к классу , то значение функции будет положительным от до . Значит мы можем считать, что вероятность погашения кредита, находится в пределах . Чем больше значение функции, тем выше вероятность.
  2. Если точка находится над прямой и мы относим ее к классу или , то значение функции будет отрицательным от до . Тогда мы будем считать, что вероятность погашения задолженности находится в пределах и, чем больше по модулю значение функции, тем выше наша уверенность.
  3. Точка находится на прямой, на границе между двумя классами. В таком случае значение функции будет равно и вероятность погашения кредита равна .

Благодаря функции мы знаем кому можно дать кредит, а кому нужно отказать. Но с такой информацией к директору идти нельзя, ведь от нас хотели получить вероятность возврата кредита каждым заемщиком. Что делать? Ответ простой — нам нужно как-то преобразовать функцию , значения которой лежат в диапазоне на функцию, значения которой будут лежать в диапазоне . И такая функция существует, ее называют функцией логистического отклика или обратного-логит преобразования. Знакомьтесь:

Посмотрим по шагам как получается функция логистического отклика. Отметим, что шагать мы будем в обратную сторону, т.е. мы предположим, что нам известно значение вероятности, которое лежит в пределах от до и далее мы будем «раскручивать» это значение на всю область чисел от до .

03. Выводим функцию логистического отклика

Шаг 1. Переведем значения вероятности в диапазон

На время трансформации функции в функцию логистического отклика мы оставим в покое нашего кредитного аналитика, а вместо этого пройдемся по букмекерским конторам. Нет, конечно, ставки делать мы не будем, все что нас там интересует, так это смысл выражения, например, шанс 4 к 1. Шансы, знакомые всем делающим ставки игрокам, являются соотношением «успехов» к «неуспехам». С точки зрения вероятностей, шансы — это вероятность наступления события, деленная на вероятность того, что событие не произойдет. Запишем формулу шанса наступления события :

, где — вероятность наступления события, — вероятность НЕ наступления события

Например, если вероятность того, что молодой, сильный и резвый конь по прозвищу «Ветерок» обойдет на скачках старую и дряблую старушку по кличке «Матильда» равняется , то шансы на успех «Ветерка» составят к и наоборот, зная шансы, нам не составит труда вычислить вероятность :

Таким образом, мы научились «переводить» вероятность в шансы, которые принимают значения от до . Сделаем еще один шаг и научимся «переводить» вероятность на всю числовую прямую от до .

Шаг 2. Переведем значения вероятности в диапазон

Шаг этот очень простой — прологарифмируем шансы по основанию числа Эйлера и получим:

Теперь мы знаем, что если , то вычислить значение будет очень просто и, более того, оно должно быть положительным: . Так и есть.

Ради любопытства проверим, что если , тогда мы ожидаем увидеть отрицательное значение . Проверяем: . Все верно.

Теперь мы знаем как перевести значение вероятности от до на всю числовую прямую от до . В следующем шаге сделаем все наоборот.

А пока, отметим, что в соответствии с правилами логарифмирования, зная значение функции , можно вычислить шансы:

Этот способ определения шансов нам пригодится на следующем шаге.

Шаг 3. Выведем формулу для определения

Итак, мы научились, зная , находить значения функции . Однако, на самом деле нам нужно все с точностью до наоборот — зная значение находить . Для этого обратимся к такому понятию как обратная функция шансов, в соответствии с которой:

В статье мы не будем выводить вышеобозначенную формулу, но проверим на цифрах из примера выше. Мы знаем, что при шансах равными 4 к 1 (), вероятность наступления события равна 0.8 (). Сделаем подстановку: . Это совпадает с нашими вычислениями, проведенными ранее. Двигаемся далее.

На прошлом шаге мы вывели, что , а значит можно сделать замену в обратной функции шансов. Получим:

Разделим и числитель и знаменатель на , тогда:

На всякий пожарный, дабы убедиться, что мы нигде не ошиблись, сделаем еще одну небольшую проверку. На шаге 2, мы для определили, что . Тогда, подставив значение в функцию логистического отклика, мы ожидаем получить . Подставляем и получаем:

Поздравляю вас, уважаемый читатель, мы только что вывели и протестировали функцию логистического отклика. Давайте посмотрим на график функции.

График 3 «Функция логистического отклика»

Код для отрисовки графика

import math def logit (f): return 1/(1+math.exp(-f)) f = np.arange(-7,7,0.05) p = [] for i in f: p.append(logit(i)) fig, axes = plt.subplots(figsize = (14,6), dpi = 80) plt.plot(f, p, color = 'grey', label = '$ 1 / (1+e^)$') plt.xlabel('$f(w,x_i) = w^Tx_i$', size = 16) plt.ylabel('$p_$', size = 16) plt.legend(prop = ) plt.show()

В литературе также можно встретить название данной функции как сигмоид-функция. По графику хорошо заметно, что основное изменение вероятности принадлежности объекта к классу происходит на относительно небольшом диапазоне , где-то от до .

Предлагаю вернуться к нашему кредитному аналитику и помочь ему с вычислением вероятности погашения кредитов, иначе он рискует остаться без премии 🙂

Таблица 2 «Потенциальные заемщики»

Код для формирования таблицы

proba = [] for i in df['f(w,x)']: proba.append(round(logit(i),2)) df['Probability'] = proba df[['The borrower', 'Salary', 'Payment', 'f(w,x)', 'Decision', 'Probability']]

Итак, вероятность возврата кредита мы определили. В целом, это похоже на правду.

Действительно, вероятность того что Вася при зарплате в 120.000Р сможет ежемесячно отдавать в банк 3.000Р близка к 100%. Кстати, мы должны понимать, что банк может выдать кредит и Леше в том случае, если политикой банка предусмотрено, например, кредитовать клиентов с вероятностью возврата кредита более, ну скажем, 0.3. Просто в таком случае банк сформирует больший резерв под возможные потери.

Также следует отметить, что соотношение зарплаты к платежу не менее 3 и с запасом в 5.000Р было взято с потолка. Поэтому нам нельзя было использовать в первоначальном виде вектор весов . Нам требовалось сильно уменьшить коэффициенты и в таком случае мы разделили каждый коэффициент на 25.000, то есть по сути мы подогнали результат. Но это сделано было специально, чтобы упростить понимание материала на начальном этапе. В жизни, же нам потребуется не выдумывать и подгонять коэффициенты, а находить их. Как раз в следующих разделах статьи мы выведем уравнения, с помощью которых подбираются параметры .

04. Метод наименьших квадратов при определении вектора весов в функции логистического отклика

Нам уже известен такой метод подбора вектора весов , как метод наименьших квадратов (МНК) и собственно, почему бы нам тогда не использовать его в задачах бинарной классификации? Действительно, ничто не мешает использовать МНК, только вот данный способ в задачах классификации дает результаты менее точные, нежели Logistic Loss. Этому есть теоретическое обоснование. Давайте для начала посмотрим на один простой пример.

Предположим, что наши модели (использующие MSE и Logistic Loss) уже начали подбор вектора весов и мы остановили расчет на каком-то шаге. Неважно, в середине, в конце или в начале, главное, что у нас уже есть какие-то значения вектора весов и допустим, что на этом шаге, вектора весов для обеих моделей не имеют различий. Тогда возьмем полученные веса и подставим их в функцию логистического отклика () для какого-нибудь объекта, который относится к классу . Исследуем два случая, когда в соответствии с подобранным вектором весов наша модель сильно ошибается и наоборот — модель сильно уверена в том, что объект относится к классу . Посмотрим какие штрафы будут «выписаны» при использовании МНК и Logistic Loss.

Код для расчета штрафов в зависимости от используемой функции потерь

# класс объекта y = 1 # вероятность отнесения объекта к классу в соответствии с параметрами w proba_1 = 0.01 MSE_1 = (y - proba_1)**2 print 'Штраф MSE при грубой ошибке =', MSE_1 # напишем функцию для вычисления f(w,x) при известной вероятности отнесения объекта к классу +1 (f(w,x)=ln(odds+)) def f_w_x(proba): return math.log(proba/(1-proba)) LogLoss_1 = math.log(1+math.exp(-y*f_w_x(proba_1))) print 'Штраф Log Loss при грубой ошибке =', LogLoss_1 proba_2 = 0.99 MSE_2 = (y - proba_2)**2 LogLoss_2 = math.log(1+math.exp(-y*f_w_x(proba_2))) print '**************************************************************' print 'Штраф MSE при сильной уверенности =', MSE_2 print 'Штраф Log Loss при сильной уверенности =', LogLoss_2

Случай с грубой ошибкой — модель относит объект к классу с вероятностью в 0,01

Штраф при использовании МНК составит:

Штраф при использовании Logistic Loss составит:

Случай с сильной уверенностью — модель относит объект к классу с вероятностью в 0,99

Штраф при использовании МНК составит:

Штраф при использовании Logistic Loss составит:

Этот пример хорошо иллюстрирует, что при грубой ошибке функция потерь Log Loss штрафует модель значительно сильнее, чем MSE. Давайте теперь разберемся, каковы теоретические предпосылки использования функции потерь Log Loss в задачах классификации.

05. Метод максимального правдоподобия и логистическая регрессия

Как и было обещано в начале, статья изобилует простыми примерами. В студии очередной пример и старые гости — заемщики банка: Вася, Федя и Леша.

На всякий пожарный, перед тем как развивать пример, напомню, что в жизни мы имеем дело с обучающей выборкой из тысяч или миллионов объектов с десятками или сотнями признаков. Однако здесь цифры взяты так, чтобы они легко укладывались в голове начинающего датасайнтеста.

Возвращаемся к примеру. Представим, что директор банка решил выдать кредит всем нуждающимся, несмотря на то, что алгоритм подсказывал не выдавать его Леше. И вот прошло достаточно времени и нам стало известно кто из трех героев погасил кредит, а кто нет. Что и следовало ожидать: Вася и Федя погасили кредит, а Леша — нет. Теперь давайте представим, что этот результат будет для нас новой обучающей выборкой и, при этом у нас как будто исчезли все данные о факторах, влияющих на вероятность погашения кредита (зарплата заемщика, размер ежемесячного платежа). Тогда интуитивно мы можем полагать, что каждый третий заемщик не возвращает банку кредит или другими словами вероятность возврата кредита следующим заемщиком . Этому интуитивному предположению есть теоретическое подтверждение и основывается оно на методе максимального правдоподобия, часто в литературе его называют принципом максимального правдоподобия.

Для начала познакомимся с понятийным аппаратом.

Правдоподобие выборки — это вероятность получения именно такой выборки, получения именно таких наблюдений / результатов, т.е. произведение вероятностей получения каждого из результатов выборки (например, погашен или не погашен кредит Васей, Федей и Лешей одновременно).

Функция правдоподобия связывает правдоподобие выборки со значениями параметров распределения.

В нашем случае, обучающая выборка представляет собой обобщённую схему Бернулли, в которой случайная величина принимает всего два значения: или . Следовательно, правдоподобие выборки можно записать как функцию правдоподобия от параметра следующим образом:

Вышеуказанную запись можно интерпретировать так. Совместная вероятность того, что Вася и Федя погасят кредит равна , вероятность того что Леша НЕ погасит кредит равна (так как имело место именно НЕ погашение кредита), следовательно совместная вероятность всех трех событий равна .

Метод максимального правдоподобия — это метод оценки неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия. В нашем случае требуется найти такое значение , при котором достигает максимума.

Откуда собственно идея – искать значение неизвестного параметра, при котором функция правдоподобия достигает максимума? Истоки идеи проистекают из представления о том, что выборка – это единственный, доступный нам, источник знания о генеральной совокупности. Все, что нам известно о генеральной совокупности, представлено в выборке. Поэтому, все, что мы можем сказать, так это то, что выборка – это наиболее точное отражение генеральной совокупности, доступное нам. Следовательно, нам требуется найти такой параметр, при котором имеющаяся выборка становится наиболее вероятной.

Очевидно, мы имеем дело с оптимизационной задачей, в которой требуется найти точку экстремума функции. Для нахождения точки экстремума необходимо рассмотреть условие первого порядка, то есть приравнять производную функции к нулю и решить уравнение относительно искомого параметра. Однако поиски производной произведения большого количества множителей могут оказаться делом затяжным, чтобы этого избежать существует специальный прием — переход к логарифму функции правдоподобия. Почему возможен такой переход? Обратим внимание на то, что мы ищем не сам экстремум функции, а точку экстремума, то есть то значение неизвестного параметра , при котором достигает максимума. При переходе к логарифму точка экстремума не меняется (хотя сам экстремум будет отличаться), так как логарифм — монотонная функция.

Давайте, в соответствии с вышеизложенным, продолжим развивать наш пример с кредитами у Васи, Феди и Леши. Для начала перейдем к логарифму функции правдоподобия:

Теперь мы можем с легкостью продифференцировать выражение по :

И наконец, рассмотрим условие первого порядка — приравняем производную функции к нулю:

Таким образом, наша интуитивная оценка вероятности погашения кредита была теоретически обоснована.

Отлично, но что нам теперь делать с такой информацией? Если мы будем считать, что каждый третий заемщик не вернет банку деньги, то последний неизбежно разорится. Так-то оно так, да только при оценке вероятности погашения кредита равной мы не учли факторы, влияющие на возврат кредита: заработная плата заемщика и размер ежемесячного платежа. Вспомним, что ранее мы рассчитали вероятность возврата кредита каждым клиентом с учетом этих самых факторов. Логично, что и вероятности у нас получились отличные от константы равной .

Давайте определим правдоподобие выборок:

Код для расчетов правдоподобий выборок

from functools import reduce def likelihood(y,p): line_true_proba = [] for i in range(len(y)): ltp_i = p[i]**y[i]*(1-p[i])**(1-y[i]) line_true_proba.append(ltp_i) likelihood = [] return reduce(lambda a, b: a*b, line_true_proba) y = [1.0,1.0,0.0] p_log_response = df['Probability'] const = 2.0/3.0 p_const = [const, const, const] print 'Правдоподобие выборки при константном значении p=2/3:', round(likelihood(y,p_const),3) print '****************************************************************************************************' print 'Правдоподобие выборки при расчетном значении p:', round(likelihood(y,p_log_response),3)

Правдоподобие выборки при константном значении :

Правдоподобие выборки при расчете вероятности погашения кредита с учетом факторов :

Правдоподобие выборки с вероятностью, посчитанной в зависимости от факторов оказалось выше правдоподобия при константном значении вероятности. О чем это говорит? Это говорит о том, что знания о факторах позволили подобрать более точно вероятность погашения кредита для каждого клиента. Поэтому, при выдаче очередного кредита, правильнее будет использовать, предложенную в конце 3-го раздела статьи, модель оценки вероятности погашения задолженности.

Но тогда, если нам требуется максимизировать функцию правдоподобия выборки, то почему бы не использовать какой-нибудь алгоритм, который будет выдавать вероятности для Васи, Феди и Леши, например, равными 0.99, 0.99 и 0.01 соответственно. Возможно такой алгоритм и хорошо себя проявит на обучающей выборке, так как приблизит значение правдоподобия выборки к , но, во-первых, у такого алгоритма будут, скорее всего трудности с обобщающей способностью, во-вторых, этот алгоритм будет точно не линейным. И если, методы борьбы с переобучением (равно слабая обобщающая способность) явно не входят в план этой статьи, то по второму пункту давайте пройдемся подробнее. Для этого, достаточно ответить на простой вопрос. Может ли вероятность погашения кредита Васей и Федей быть одинаковой с учетом известных нам факторов? С точки зрения здравой логики конечно же нет, не может. Так на погашение кредита Вася будет отдавать 2.5% своей зарплаты в месяц, а Федя — почти 27,8%. Также на графике 2 «Классификация клиентов» мы видим, что Вася находится значительно дальше от линии, разделяющей классы, чем Федя. Ну и наконец, мы знаем, что функция для Васи и Феди принимает различные значения: 4.24 для Васи и 1.0 для Феди. Вот если бы Федя, например, зарабатывал на порядок больше или кредит поменьше просил, то тогда вероятности погашения кредита у Васи и Феди были бы схожими. Другими словами, линейную зависимость не обманешь. И если бы мы действительно рассчитали коэффициенты , а не взяли их с потолка, то могли бы смело заявить, что наши значения лучше всего позволяют оценить вероятность погашения кредита каждым заемщиком, но так как мы условились считать, что определение коэффициентов было проведено по всем правилам, то мы так и будем считать — наши коэффициенты позволяют дать лучшую оценку вероятности 🙂

Однако мы отвлеклись. В этом разделе нам надо разобраться как определяется вектор весов , который необходим для оценки вероятности возврата кредита каждым заемщиком.

Кратко резюмируем, с каким арсеналом мы выступаем на поиски коэффициентов :

1. Мы предполагаем, что зависимость между целевой переменной (прогнозным значением) и фактором, оказывающим влияние на результат — линейная. По этой причине применяется функция линейной регрессии вида , линия которого делит объекты (клиентов) на классы и или (клиенты, способные погасить кредит и не способные). В нашем случае уравнение имеет вид .

2. Мы используем функцию обратного логит-преобразования вида для определения вероятности принадлежности объекта к классу .

3. Мы рассматриваем нашу обучающую выборку как реализацию обобщенной схемы Бернулли, то есть для каждого объекта генерируется случайная величина, которая с вероятностью (своей для каждого объекта) принимает значение 1 и с вероятностью – 0.

4. Мы знаем, что нам требуется максимизировать функцию правдоподобия выборки с учетом принятых факторов для того, чтобы имеющаяся выборка стала наиболее правдоподобной. Другими словами, нам нужно подобрать такие параметры, при которых выборка будет наиболее правдоподобной. В нашем случае подбираемый параметр — это вероятность погашения кредита , которая в свою очередь зависит от неизвестных коэффициентов . Значит нам требуется найти такой вектор весов , при котором правдоподобие выборки будет максимальным.

5. Мы знаем, что для максимизации функции правдоподобия выборки можно использовать метод максимального правдоподобия. И мы знаем все хитрые приемы для работы с этим методом.

Вот такая многоходовочка получается 🙂

А теперь вспомним, что в самом начале статьи мы хотели вывести два вида функции потерь Logistic Loss в зависимости от того как обозначаются классы объектов. Так повелось, что в задачах классификации с двумя классами, классы обозначают как и или . В зависимости от обозначения, на выходе будет соответствующая функция потерь.

Случай 1. Классификация объектов на и

Раннее, при определении правдоподобия выборки, в котором вероятность погашения задолженности заемщиком рассчитывалась исходя из факторов и заданных коэффициентов , мы применили формулу:

На самом деле — это значение функции логистического отклика при заданном векторе весов

Тогда нам ничто не мешает записать функцию правдоподобия выборки так:

Бывает так, что иногда, некоторым начинающим аналитикам сложно сходу понять, как эта функция работает. Давайте рассмотрим 4 коротких примера, которые все прояснят:

1. Если (т.е. в соответствии с обучающей выборкой объект относится к классу +1), а наш алгоритм определяет вероятность отнесения объекта к классу равной 0.9, то вот этот кусочек правдоподобия выборки будет рассчитываться так:

2. Если , а , то расчет будет таким:

3. Если , а , то расчет будет таким:

4. Если , а , то расчет будет таким:

Очевидно, что функция правдоподобия будет максимизироваться в случаях 1 и 3 или в общем случае — при правильно отгаданных значениях вероятностей отнесения объекта к классу .

В связи с тем, что при определении вероятности отнесения объекта к классу нам не известны только коэффициенты , то мы их и будем искать. Как и говорилось выше, это задача оптимизации, в которой для начала нам требуется найти производную от функции правдоподобия по вектору весов . Однако предварительно имеет смысл упростить себе задачу: производную будем искать от логарифма функции правдоподобия.

Почему после логарифмирования, в функции логистической ошибки, мы поменяли знак с на . Все просто, так как в задачах оценки качества модели принято минимизировать значение функции, то мы умножили правую часть выражения на и соответственно вместо максимизации, теперь минимизируем функцию.

Собственно, сейчас, на ваших глазах была много страдальчески выведена функция потерь — Logistic Loss для обучающей выборки с двумя классами: и .

Теперь, для нахождения коэффициентов, нам потребуется всего лишь найти производную функции логистической ошибки и далее, используя численные методы оптимизации, такие как градиентный спуск или стохастический градиентный спуск, подобрать наиболее оптимальные коэффициенты . Но, учитывая, уже не малый объем статьи, предлагается провести дифференцирование самостоятельно или, быть может, это будет темой для следующей статьи с большим количеством арифметики без столь подробных примеров.

Случай 2. Классификация объектов на и

Подход здесь будет такой же, как и с классами и , но сама дорожка к выводу функции потерь Logistic Loss, будет более витиеватой. Приступаем. Будем для функции правдоподобия использовать оператор «если. то. ». То есть, если -ый объект относится к классу , то для расчета правдоподобия выборки используем вероятность , если объект относится к классу , то в правдоподобие подставляем . Вот так выглядит функция правдоподобия:

На пальцах распишем как это работает. Рассмотрим 4 случая:

1. Если и , то в правдоподобие выборки «пойдет»

2. Если и , то в правдоподобие выборки «пойдет»

3. Если и , то в правдоподобие выборки «пойдет»

4. Если и , то в правдоподобие выборки «пойдет»

Очевидно, что в 1 и 3 случае, когда вероятности были правильно определены алгоритмом, функция правдоподобия будет максимизироваться, то есть именно это мы и хотели получить. Однако, такой подход достаточно громоздок и далее мы рассмотрим более компактную запись. Но для начала, логарифмируем функцию правдоподобия с заменой знака, так как теперь мы будем минимизировать ее.

Подставим вместо выражение :

Упростим правое слагаемое под логарифмом, используя простые арифметические приемы и получим:

А теперь настало время избавиться от оператора «если. то. ». Заметим, что когда объект относится к классу , то в выражении под логарифмом, в знаменателе, возводится в степень , если объект относится к классу , то $e$ возводится в степень . Следовательно запись степени можно упростить — объединить оба случая в один: . Тогда функция логистической ошибки примет вид:

В соответствии с правилами логарифмирования, перевернем дробь и вынесем знак «» (минус) за логарифм, получим:

Перед вами функция потерь logistic Loss, которая применяется в обучающей выборке с объектами относимых к классам: и .

Что ж, на этом моменте я откланиваюсь и мы завершаем статью.

Предыдущая работа автора — «Приводим уравнение линейной регрессии в матричный вид»

Вспомогательные материалы

1. Литература

1) Прикладной регрессионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит – 2-е изд. – М.: Финансы и статистика, 1986 (перевод с английского)

2) Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман — 9-е изд. — М.: Высшая школа, 2003

3) Теория вероятностей / Н.И. Чернова — Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2007

4) Бизнес-аналитика: от данных к знаниям / Паклин Н. Б., Орешков В. И. — 2-е изд. — Санкт-Петербург: Питер, 2013

5) Data Science Наука о данных с нуля / Джоэл Грас — Санкт-Петербург: БХВ Петербург, 2017

6) Практическая статистика для специалистов Data Science / П.Брюс, Э.Брюс — Санкт-Петербург: БХВ Петербург, 2018

Tracmax X-Privilo TX3 Tracmax X-Privilo TX3 275/55 R19 111W Артикул 0D147079

  • Tracmax X-Privilo TX3 275/55 R19 111W
  • Tracmax X-Privilo TX3 275/55 R19 111W
  • Tracmax X-Privilo TX3 275/55 R19 111W
  • Внимание! Данного товара нет в вашем городе. Поставка осуществляется через Транспортные Компании (далее ТК) по их расценкам. Доставка до ТК в городе отправки осуществляется по стандартному тарифу доставки по городу. Без предварительной оплаты 100% заказ в работу не поступит.

    — наши филиалы

    TRACMAX TX3

    Летние шины Трэкмакс ТХ3 отличаются оригинальным асимметричным рисунком и непревзойденными ездовыми характеристиками. Покрышки обладают достаточно высокой прочностью, что делает их отличным выбором для обладателей мощных кроссоверов, спортивных купе и других авто. Они рассчитаны на интенсивную эксплуатацию и агрессивный стиль вождения, позволяют безопасно выполнять динамичные маневры. Высококачественная резиновая смесь содержит кремниевые противоизносные присадки, которые увеличивают ресурс шин TRACMAX TX3 и предотвращают преждевременное истирание протекторных ребер.

    TRACMAX_TX3_1

    Улучшенный водоотвод

    Продольные дренажные канавки, предназначенные для удаления влаги из-под колес, имеют увеличенную ширину. Соответственно, они быстрее очищают контактную зону от дождевой воды и лучше справляются с аквапланированием. Водитель может разгонять машину до 80-90 км/час на мокрой трассе, не рискуя потерять контроль из-за всплытия колес над тонкой водяной пленкой. Этот скоростной рубеж типичен для многих шин класса High Performance. У бюджетных моделей данный показатель зачастую не превышает 65-70 км/час.

    Закрытые плечевые зоны

    Внешние и внутренние плечи летних шин Тракмакс ТХ3 укреплены дополнительными ребрами жесткости, которые объединяют резиновые шашки и снижают их деформации. Внешне они заметно отличаются: наружная плечевая секция имеет ламелизацию, тогда как внутреннее плечо, наоборот, состоит из гладких шашек без ламелей.

    Их функции схожи — оба ребра используются для повышения боковой устойчивости автомобиля во время маневрирования. Также они обеспечивают беспрепятственный вывод влаги через поперечные межблочные канавки.

    Топливосбережение и экологичность

    В составе автомобильных шин TRACMAX TX3 присутствует силика и современные полимерные присадки. Они уменьшают показатель трения между блоками протектора и поверхностью асфальта. За счет уменьшения этих сил облегчается качение колес и сокращается расход топлива. Вместе с тем уменьшается и выброс токсичных газов в атмосферу.

    Производитель использует в автошинах TX3 только сертифицированные и безопасные компоненты. Сырье, которое применяется для изготовления покрышек, проходит сертификацию и многоуровневый контроль. Высокое качество шин подтверждено допусками TUV SUD.

    Синонимы: Tracmax X-Privilo TX3, Тракмакс ТХ3, Трэкмакс ТХ3, Трекмакс Х-Привило ТХ3.

    Оставить отзыв

    Отзывы о шинах

    Рейтинг

    21 пользователь оставил свой отзыв
    Игорь на Opel Mokka, 55/215 R18
    Игорь на Opel Mokka, 55/215 R18

    Комментарий: Решил поделиться отзывом после покупки новых шин TracMax, шины на самом деле оказались Даже лучше чем я ожидал ,очень много разных слухов ходят о китайских шинах, о том что они не очень хорошего качества, Но на самом деле всё оказалось с точностью до наоборот .Раньше у меня стояли шины Yokohama ,Если сравнивать эти две модели ,то в принципе я как обычный Рядовой пользователь автолюбитель какой-то прям кардинальной разницы не заметил. по мокрой дороге Они идут отлично ,торможение отличное ,сцепление с асфальтовым тоже очень хорошая, причём именно вот на мокрой дороге Я прямо отметил что они на каких-то моментах даже немного лучше чем мои старые шины, Ну может именно потому что они новые. Также хочу отметить что они очень хорошо держат дорогу именно на скорости, на трассе сцепление Великолепное ,при маневрировании машину не качает, и хорошо справляется с колеёй, даже когда выбрасывает из колеи в принципе достаточно быстро находятся снова сцепление. ещё хочу добавить по поводу именно самой покупки ,по самому процессу покупки, всё прошло замечательно .привезли всё вовремя ,с момента как заказал Привезли мой заказ на третий или на четвёртый день ,сразу же пригласили на шиномонтаж, всё установили, шиномонтажник мастер хороший ,сделали Всё качественно ,сервиса отличный, хорошее оборудование, чистый и удобная зона ожидания, в общем мне здесь понравилось, с удовольствием вернусь ещё и могу порекомендовать

    Владимир на Peugeot 307 2.0, 50/205 R17
    Владимир на Peugeot 307 2.0, 50/205 R17
    Комментарий: Отличная покрышка. Был приятно удивлен и очень доволен соотношением цена/качество
    Подробные оценки
    Торможение
    Вождение на сухой дороге
    Износостойкость
    Вождение на мокрой дороге
    Аквапланирование
    Соответствие цена/качество
    Скоростная езда
    Качество изготовления
    Устойчивость
    Уровень шума
    Ярослав, 225/50 R17
    Ярослав, 225/50 R17

    Комментарий: САМ НА САМОМ ДЕЛЕ УДИВЛЕН ЧТО поставил пятерку китайской резине, но на самом деле отличная резина, я не знаю че так много фигни негативной про нее пишут, я вот уже сезон отъездил и вообще полностью ей доволен, да и почему бы Китайцы , которые сейчас производят все что только можно и производят хорошо, производить плохие покрышки? Китайцы давно впереди планеты всей и резина не исключение. нет, я не говорю что это какая то топовая резина, нет, она полностью соответствует своей цене, но просто за эту цену я получил качественную , комфортную в управлении резину. во-первых по управляемости она ничем не хуже той же нокиан, у меня стояла перед ней именно какая то нокиан и я могу сравнивать с ней. ну реально вообще не хуже, ничем. на сухой асфальтированной дороге вообще супер как держит дорогу, зацеп отличный, на разгоне и на торможении это особенно чувствуется. при мокрой погоде конечно езжу поаккуратнее, но все равно отличное сцепление, не швыряет, не болтает, ничего подобного, очень уверенная и предсказуемая езда. по комфорту тоже , кстати за комфорт я бы поставил ей твердую пятерку потому что она очень, прям очень тихая, вообще от нее шума никакого нет а так же отлично проходит неровные дороги и всякие стыки и выбоины. просто за такие деньги сейчас из известных более менее брендов вообще уже ничего не купишь, разве что Б/У , но я реально лучше возьму новый трекмакс чем чьи то поношенные континенталь. магазин кстати отличный, все сделали четко, привезли резину вовремя, записали на шиномонтаж , все сделали отлично, полностью доволен сервисом. рекомендую. сюда можно обращаться!

    Артур, 55/235 R17
    Артур, 55/235 R17

    Комментарий: Отъездил два сезона на шинах Tracmax X-Privilo TX3. Поначалу боялся покупки китайских шин, но ценник на бренды сейчас стоит просто космических денег. В итоге шинами пока остался доволен. Посмотрим как поведут себя дальше. Управляемость ничем не хуже привычных нам брендов, резина в меру тихая, вот как раз золотая середина по жесткости, не дубовый пластик и не мягкая как зима, дорогу держат уверено в любую погоду. Износ за два сезона приемлемый, думаю спокойно еще этот и следующий откатают до индикаторов.

    Илья Коротков на Volvo XC 60, 55/235 R19
    Илья Коротков на Volvo XC 60, 55/235 R19

    Комментарий: Заказывали Tracmax X-Privilo TX3 на Volvo XC 60 в начале июня 2023. На момент заказа, выбирал как одни из дешевых шин с более-менее положительными отзывами. Весь комплект обошелся чуть дороже 30.000 рублей. Шины забирал из наличия в Москве в районе Строгино. Приятным бонусом помимо цены был бесплатный шиномонтаж. Что касается самих шин, спустя 4-4.5 месяца эксплуатации: резина мягкая и отлично держит дорогу, даже в дождь какого-то акваплана не наблюдал, отлично подходит для города, на трассе максимально разгонялся до 160, поведение адекватно при перестроениях и обгонах. Смело берите, не пожалеете, да еще и денег сэкономите.

    Подробные оценки
    Торможение
    Вождение на сухой дороге
    Износостойкость
    Вождение на мокрой дороге
    Аквапланирование
    Соответствие цена/качество
    Скоростная езда
    Качество изготовления
    Устойчивость
    Уровень шума

    Шиномонтаж в подарок или со скидкой 50%.

    Внимание! Заказ и доставка более 2-3 комплектов колес новому клиенту без предварительной оплаты невозможны.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *