Когда существует обратный оператор
Перейти к содержимому

Когда существует обратный оператор

  • автор:

Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор

Оператор A : X → Y называется линейным, если:

Матрица линейного оператора. [ править ]

A : X → Y , d i m ( X ) = m , d i m ( Y ) = n .

Покажем, что если известны результаты действия оператора А на базис, то оператор А полностью определён:

A ( e → i ) = h → i ∈ Y , i = 1 … m . >_)=>_\in Y,i=1\dots m.>

∀ x → ∈ X : x → = ∑ j = 1 m x j e → j ⇒ A ( x → ) = A ( ∑ j = 1 m x j e → j ) = ∑ j = 1 m x j A ( e → j ) = ∑ j = 1 m x j h → j . >\in X:>=\sum \limits _^x_>_\Rightarrow A(>)=A(\sum \limits _^x_>_)=\sum \limits _^x_A(>_)=\sum \limits _^x_>_.>

Матрица оператора A e f = | | a i j | | n × m = ( a 11 a 12 … a 1 m … … … … a n 1 a n 2 … a n m ) =||a_||_=\left(a_&a_&\dots &a_\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_&a_&\dots &a_\end>\right)>

Утверждение. Если матрица B = | | b i j | | m × n ||_> осуществляет действие оператора А, то В является матрицей оператора А.

( b 11 b 12 … b 1 m … … … … b n 1 b n 2 … b n m ) ( 1 0 ⋮ 0 ) = ( b 11 b 21 ⋮ b m 1 ) = ( a 11 a 21 ⋮ a m 1 ) ⇒ b_&b_&\dots &b_\\\dots &\dots &\dots &\dots \\b_&b_&\dots &b_\end>\right)\left(<\begin1\\0\\\vdots \\0\end>\right)=\left(<\beginb_\\b_\\\vdots \\b_\end>\right)=\left(<\begina_\\a_\\\vdots \\a_\end>\right)\Rightarrow > первый столбец В совпадает с первым столбцом A e f > , аналогично все остальные тоже совпадают ⇒ B = A e f >

Утверждение. Если оператор C = A + B . \\ ( A : L → M ; B : L → M ; C : L → M ) , то C e f = A e f + B e f =A_+B_> (матрица оператора С равна сумме матриц оператора А и В)

Обратный оператор [ править ]

Если А — изоморфизм, то: y → → x → , ∀ y → ∈ M ∃ ! x → : A x → = y → ⇒ >\rightarrow >,\forall >\in M\exists !>:A>=>\Rightarrow > возникает некоторое отображение A − 1 : A − 1 ( y → ) = x → . :A^(>)=>.>

Покажем, что A − 1 > линейный оператор:

2) A − 1 ( λ y → ) = λ x → = λ A − 1 ( y → ) , ( т.к. A ( λ x → ) = λ A ( x → ) = λ y → ) . (\lambda >)=\lambda >=\lambda A^(>),(>A(\lambda >)=\lambda A(>)=\lambda >).>

Условие обратимости: A : L → M — оператор обратим ⇔ оператор А осуществляет изоморфизм.

Матрица обратного оператора

A : L → M осуществляет изоморфизм (Ограниченный линейный оператор A между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число c такое, что | | A x | | ≥ c | | x | | для всех векторов x ) ( n = m ) тогда ∃ A − 1 : M → L :M\rightarrow L> .

Возьмём e → 1 , … , e → n >_,\dots ,>_> — базис в L, f → 1 , … , f → n >_,\dots ,>_> — базис в M, тогда:

Y = A e f X ⇔ A e f − 1 Y = A e f − 1 A e f X ⇔ A e f − 1 Y = X ⇒ X\Leftrightarrow A_^Y=A_^A_X\Leftrightarrow A_^Y=X\Rightarrow > матрица A e f − 1 <\displaystyle A_^> осуществляет действие оператора A − 1 ⇒ A e f − 1 <\displaystyle A^\Rightarrow A_^> — матрица обратного оператора.

Обратные операторы

где x – неизвестная функция из некоторого пространства X; y – известная функция из некоторого пространства Y; A – заданный линейный оператор из пространства X в пространство Y. При исследовании уравнения (1) необходимо по возможности дать ответы на следующие вопросы: 1) существует ли решение уравнения (1) для произвольного y; 2) единственно ли это решение; 3) если не единственно, то сколько решений существует; 4) если не для любого y существует решение, то какие условия нужно наложить на y для существования решения; 5) как найти x точно или приближенно.

Рассмотрим, с какими свойствами оператора A связаны перечисленные свойства уравнения (1).

Определение 2.1. Пусть A : X ® Y. Оператор B : Y ® X называется правым обратным к оператору A, если A B = IY. Оператор B называется левым обратным к оператору A, если B A = IX. Оператор B называется обратным к оператору A (обозначается A – 1 ), если A B = IY, B A = IX, т. е. является одновременно левым обратным и правым обратным.

Заметим, что в определении не выдвигается требование линейности или ограниченности оператора B.

Множество Ker A = < x : x Î A, A x = 0> называется ядром оператора A, множество Im A = < y : $ x Î X, y = A x > – образом оператора A.

Лемма 2.1. Для линейного оператора A следующие утверждения эквивалентны:

1) решение уравнения A x = y единственно для любого y Î Im A;

3) для оператора A существует левый обратный оператор.

Доказательство. 2) ) 1). Если A x 1 = y и A x 2 = y, т. е. x 1 и x 2 – два решения, то A (x 1x 2) = 0 и x 1 = x 2.

1) ) 2). Достаточно положить y = 0.

1) ) 3). Для y Î Im A существует и единственно решение уравнения A x = y. Построим оператор B, который y Î Im A ставит в соответствие решение x (для остальных y оператор B определен произвольным образом или вообще не определен). Тогда если y = A x, то по построению B y = B A x = x, т. е. B A = IX.

3) ) 1). Если существует левый обратный оператор B к оператору A и если A x 1 = y, A x 2 = y, то x 1 = B y, x 2 = B y, т. е. x 1 = x 2. Лемма доказана.

Лемма 2.2. Следующие утверждения эквивалентны:

1) решение уравнения A x = y существует для любого y Î Y;

2) Im A = Y;

3) для оператора A существует правый обратный оператор B.

Доказательство. Эквивалентность 1) , 2) следует из определения множества Im A.

1) ) 3). Для каждого y Î Y выберем одно из решений x * уравнения A x = y. Тем самым определено отображение B : Y ® X, B y = x * . По построению если B y = x * , то x * – решение уравнения, т. е. A x * = y или A B y = y, т. е. A B = IY.

3) ) 1). Если существует правый обратный оператор B к оператору A, то для любого y Î Y точка x = B y является решением уравнения A x = y, так как A x = A (B y) = y. Лемма доказана.

Пример 2.1. Пусть A – оператор дифференцирования : C 1 [0, 1] ® C [0, 1]. Обычно говорят, что обратной к дифференцированию является операция интегрирования B : C [0, 1] ® C 1 [0, 1], .

Значит, A B = I, B A ¹ I и оператор интегрирования является правым обратным к оператору дифференцирования, но не является левым обратным.

Замечание 2.1. Существование линейных ограниченных обратных операторов связано с более тонкими свойствами. Для существования линейного ограниченного левого обратного к оператору A необходимо, чтобы образ Im A был дополняемым замкнутым линейным подпространством в Y, для существования линейного ограниченного правого обратного необходимо, чтобы подпространство Ker A имело дополнение в X.

В практических задачах функция y получается в результате измерений и, следовательно, с некоторой погрешностью, т. е. практически вместо точного решения x уравнения A x = y находим решение приближенного уравнения A =. Может оказаться, что, несмотря на то, что близко к y, решение сильно отличается от x. Расчеты (решение приближенного уравнения) имеют смысл только тогда, когда для близких y решения близки. Так как x = A – 1 y, = A – 1 , то требование непрерывной зависимости решения от правой части является фактически требованием непрерывности оператора
A – 1 .

Уравнение A x = y называется корректно разрешимым, если 1) решение существует для любой правой части; 2) решение единственно; 3) решение непрерывно зависит от правой части.

Из предыдущих рассуждений следует, что корректная разрешимость уравнения A x = y эквивалентна существованию ограниченного обратного оператора A – 1 . Заметим, что свойство корректной разрешимости существенно зависит от рассматриваемых пространств и норм на них.

Приведем несколько теорем, которые позволяют получить существование ограниченного обратного к оператору A.

Оператор A называется обратимым, если для него существует линейный ограниченный обратный оператор.

Теорема 2.1. Пусть X – банахово пространство, Y – нормированное пространство, A : X ® Y – ограниченный линейный оператор и пусть:

1) (образ плотен в Y);

2) существует постоянная C > 0 такая, что || A x || ³ C || x ||.

Тогда оператор A обратим.

Доказательство. Из условия 2) получаем, что если A x = 0, то x = 0, т. е. Ker A = .

Проверим, что в действительности образ Im A замкнут и совпадает с Y. Пусть y Î Y и пусть yn ® y, yn Î Im A, т. е. yn = A xn. Покажем, что y Î Im A. Используя неравенство 2), получаем

|| xnxm || £ (1 / C) || A xnA xm || = (1 / C) || ynym || ® 0.

Значит, < xn > – последовательность Коши в X и, в силу полноты пространства X, < xn > сходится к некоторому элементу x Î X. Тогда ввиду непрерывности A имеем , т. е. y Î Im A. Таким образом, в силу лемм 2.1 и 2.2 существует обратный A – 1 . Проверим, что он ограничен. Действительно, в силу неравенства 2)

|| A – 1 y || £ (1 / C) || A (A – 1 y) || £ (1 / C) || y ||.

Замечание 2.2. Несмотря на внешнюю сложность условий 1) и 2), в ряде задач их проверка легко осуществляется. Например, если уравнение A x = y рассматривается в пространстве функций на отрезке, то часто для функций, являющихся многочленами, решение строится в явном виде. Так как множество многочленов всюду плотно в ряде пространств, например в Lp [0, 1], 1 £ p < + ¥, для этих пространств таким образом можем проверить условие 1). Неравенство из условия 2) в некоторых задачах, имеющих физический смысл, является следствием закона сохранения энергии. В связи с этим неравенства такого вида иногда называют энергетическими.

Замечание 2.3. Очевидно, что условия теоремы являются необходимыми для существования ограниченного обратного оператора.

Теорема 2.2. Пусть X – банахово пространство и A Î L (X), || A || < 1. Тогда оператор T = IA обратим.

Доказательство. В случае, если A есть число и | A | < 1, то число
(IA) – 1 является суммой бесконечной геометрической прогрессии
(IA) – 1 = 1 + A + A 2 + ¼ Покажем, что аналогичное равенство имеется и в случае, когда A есть оператор.

Рассмотрим в пространстве L (X) линейных ограниченных операторов ряд

I + A + A 2 + ¼ (2)

Докажем, что этот ряд сходится и его сумма есть обратный оператор к T. Так как || A 2 || £ || A || 2 , ¼, || A n || £ || A || n , ¼, то получаем мажорирующий сходящийся ряд

1 + || A || + || A || 2 + ¼ = 1 / (1 – || A ||).

Так как пространство L (X) полно, то ряд (2) сходится (см. теорему 14.2 курса «Функциональный анализ. Часть 1»). Пусть S – его сумма, Sn = I + A + ¼ + A n – частичная сумма. Тогда в силу непрерывности умножения

Замечание 2.4. Из доказательства имеем оценки

|| (IA) – 1 || £ 1 / (1 – || A ||), || I – (IA) – 1 || £ || A || / (1 – || A ||).

Теорема 2.2 является некоторым усилением принципа сжимающих отображений для линейных операторов в банаховых пространствах. Решение уравнения xA x = y (y – фиксированная точка) есть неподвижная точка отображения f (x) = A x + y. Отображение f является сжимающим тогда и только тогда, когда || A || < 1.

Теорема 2.3. Пусть X и Y – банаховы пространства и пусть оператор A Î L (X, Y) имеет ограниченный обратный. Если оператор B удовлетворяет условию || AB || < 1 / || A – 1 ||, то оператор B имеет ограниченный обратный.

Доказательство. Рассмотрим произведение A – 1 B = A – 1 [ A – (AB)] =
= IA – 1 (AB). Так как || A – 1 (AB) || £ || A – 1 || || AB || < 1 по условию, то оператор IA – 1 (AB) имеет ограниченный обратный в силу теоремы 2.2 и
<[ IA – 1 (AB)] – 1 A – 1 > B = I, т. е. оператор, стоящий в фигурных скобках, является ограниченным левым обратным к оператору B. Аналогично, рассмотрев
B A – 1 = I – (AB) A – 1 , получаем

т. е. оператор B имеет правый ограниченный обратный. Тогда левый и правый обратные совпадают и у оператора B существует ограниченный обратный. Теорема доказана.

Следствие 2.1. Множество обратимых операторов в L (X, Y) есть открытое множество.

Доказательство. Теорема 2.3 утверждает, что у обратимого оператора A существует целая окрестность (шар радиуса 1 / || A – 1 ||), состоящая из обратимых операторов, т. е. по определению открытого множества в метрическом пространстве множество обратимых операторов открыто. Следствие доказано.

Следствие 2.2. Пусть A Î L (X, Y) – обратимый оператор (пространства X и Y – банаховы) и пусть An ® A по норме, где An Î L (X, Y). Тогда, начиная с некоторого номера n 0, все операторы An обратимы и An – 1 ® A – 1 по норме.

Доказательство. Возьмем номер n 0 так, чтобы при n ³ n 0 выполнялось || AnA || < 1 / || A – 1 ||. Тогда по теореме 2.3 все операторы An при n ³ n 0 обратимы. Оператор An – 1 имеет вид (из доказательства теоремы)

An – 1 = [ IA – 1 (AAn)] – 1 A – 1 .

Так как (замечание к теореме 2), то в силу непрерывности умножения получаем, что An – 1 ® A – 1 по норме. Это утверждение, в частности, означает, что переход к обратному оператору как отображение, определенное на множестве обратимых операторов, является непрерывным. Следствие доказано.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Обратные операторы

Оператор имеет обратный тогда и только тогда, когда он биективен.

Ниже — множество значений (образ) оператора А, Ker A:= – ядро (множество нулей) оператора А.

Определение. Оператор , удовлетворяющий условию ВА=IX, называется левым обратным к А.

Лемма. ПустьX, Y – векторные пространства над К, — линейный оператор. Следующие утверждения равносильны:

1) оператор А имеет левый обратный;

2) оператор А инъективен;

Для нахождения левого обратного решают уравнение (1) с

Теорема (Банаха об обратном операторе). ПустьX, Y – банаховы пространства над полем , — ограниченный линейный оператор. Если оператор А обратим, то его обратный тоже ограничен.

3.3.1. При каких значениях параметра обратим данный оператор ? Найдите обратный оператор , когда он существует (таблица 3.3.1).

Вариант A
1 2

Окончание таблицы 3.3.1

1 2

3.3.2. Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его (таблица 3.3.2).

Вариант X Y A
1 2 3 4

Окончание таблицы 3.3.2

1 2 3 4

3.3.3. Пусть .

1) Что представляет собой множество значений оператора А?

2) Существует ли на левый обратный оператор ?

3) Является ли оператор ограниченным, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор (таблица 3.3.3)?

Вариант X Y A
1 2 3 4

Окончание таблицы 3.3.3

1 2 3 4

3.3.4 Пусть , где – числовой параметр, , Y − банаховы пространства. Выяснить, при каких значениях существует обратный оператор к оператору , и построить его. При каких значениях оператор непрерывно обратим? (таблица 3.3.4)?

Вариант Y х
1 2 3 4

Окончание таблицы 3.3.4

1 2 3 4

Примеры решения типовых задач. 1.При каких значениях параметра обратим данный оператор ?

1. При каких значениях параметра обратим данный оператор ? Найдите обратный оператор , когда он существует.

Пример 1. .

Решение. В соответствии с определением обратного оператора рассмотрим уравнение . В нашем случае оно равносильно следующей системе линейных уравнений с параметром:

Обратный оператор существует тогда и только тогда, когда эта система имеет единственное решение при любом у из . По правилу Крамера это произойдет тогда и только тогда, когда главный определитель этой системы отличен от нуля. Но легко подсчитать, что

Таким образом, обратный оператор существует тогда и только тогда, когда . Решая при этих значениях параметра систему (1), получим Следовательно,

2. Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.

Пример 1.

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А является биекцией. Рассмотрим уравнение , которое равно-сильно системе уравнений

Но последовательность ограничена сверху, поскольку является сходящейся: . Если С – одна из ее верхних границ, то

а потому . Мы получили, что для любого уравнение имеет единственное решение х из пространства . Значит, А – биекция. Более того, из (2) следует, что обратный оператор задается формулой

Ограниченность этого оператора следует из оценки (см. (3))

Пример 2.

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Запишем его в виде

и рассмотрим уравнение , то есть

Тогда (4) примет вид , откуда . Мы получили общий вид решения уравнения (4) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это выражение в (5), без труда находим, что

Итак, для любого уравнение (4) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (6).

Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме при всех t имеем

а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (6) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).

3. Пусть

1) Что представляет собой множество значений оператора А?

2) Существует ли на левый обратный оператор ?

3) Является ли оператор ограниченным (в случае, если он существует)?

4) Существует ли обратный оператор ?

Пример 1. .

Решение. Очевидно, что

множество всех точек из пространства , первая координата которых равна нулю. Заметим, что

Так как уравнение очевидно имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор существует. Решая уравнение , находим, что

Оператор ограничен, так как .

Поскольку , то оператор А не является сюрьекцией. Следовательно, А необратим.

Пример 2. .

Решение. По теореме о дифференцировании интеграла с перемен-ным верхним пределом (теореме Барроу) функция дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что .

Обратно, если и , то по формуле Ньютона-Лейбница имеем . Поэтому

Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу)

при всех , то – левый обратный для оператора А.

Покажем, что не является ограниченным оператором. Допустим противное, т. е.

Полагая здесь , получаем . Противоречие.

Поскольку , оператор А не является сюръекцией. Следовательно, не существует .

4. Пусть , где – числовой параметр, , Y − банаховы пространства. Выяснить, при каких значениях существует обратный оператор к оператору , и построить его. При каких значениях оператор непрерывно обратим?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *