Как определить принадлежит ли точка прямой
Перейти к содержимому

Как определить принадлежит ли точка прямой

  • автор:

Лежит ли точка на прямой

Напоминаю закрывающим, что простые вопросы не запрещены даже в том случае когда автор вопроса явно прогулял школьную математику.

3 мар 2018 в 7:05

1 ответ 1

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

Уравнение прямой, проходящей через точки (x1;y1) и (x2;y2), обычно записывается как

x - x1 y - y1 ------- = ------- x2 - x1 y2 - y1 

Чтобы избавиться от деления, можно преобразовать уравнение:

(x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 

Осталось сюда подставить точку (x3, y3).

Отслеживать
ответ дан 3 мар 2018 в 6:17
Pavel Mayorov Pavel Mayorov
58.6k 7 7 золотых знаков 73 73 серебряных знака 147 147 бронзовых знаков

«обычно записывается как» — первый раз вижу такую форму. Каноническое уравнение выглядит по другому: (x — x1) / (x2 — x1) = (y — y1) / (y2 — y1) . Хотя, конечно, они эквивалентны, но в канонической записи точки не пропадают

3 мар 2018 в 7:53

@АндрейNOP этот вариант не обобщается на три и более точек. Впрочем, он тоже существует и объективно лучше. Спасибо за напоминание.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP1P2 – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P1M, P1P2) 2 .

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Видео: Вариант 47, № 3. Как определить, принадлежит ли точка с заданными координатами прямой ax+by=c. Пр. 2 Скачать

Вариант 47, № 3. Как определить, принадлежит ли точка с заданными координатами прямой ax+by=c. Пр. 2

Принадлежность точки отрезку. Почему не работает классика?

IP76 > Векторная графика > Принадлежность точки отрезку. Почему не работает классика?

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Определить принадлежность точки отрезку, казалось бы, вполне себе тривиальная задача из школьного курса геометрии. Однако, есть определенные нюансы, которые заставляют усомниться в верности классической формулы:

Видео: Вариант 48, № 3. Как определить, принадлежит ли точка с заданными координатами прямой ax+by=c? Скачать

Вариант 48, № 3. Как определить, принадлежит ли точка с заданными координатами прямой ax+by=c?

Причины и постановка задачи

Запросы «как найти принадлежность точки отрезку» уводят на страницу «Пересечение прямых, угол и координаты пересечения», где есть пункт «Принадлежность точки отрезку». В нем рассматривается факт принадлежности точки отрезку, уже после того, как мы определили точку пересечения прямых. То есть точка уже принадлежит прямым, и это абсолютно точно. Осталось только определиться, точка в отрезке между двумя точками отрезка, либо где-то на прямой мимо них.

Людям свойственно искать готовые решения, и код, представленный в статье вряд ли удовлетворит запросу «как найти принадлежность точки отрезку, заданный двумя точками«. Поэтому здесь задачу так и сформулируем:

Есть отрезок, заданный точками P1(x1,y1) и P2 (x2,y2) . Необходимо определить, принадлежит ли точка P(x,y) этому отрезку.

Видео: Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом. Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Классическое уравнение

Предположим, вы делаете векторный редактор. Необходимо по курсору мыши определить попадает ли точка в ранее нарисованный отрезок. В этом многотрудном деле такая задача возникает всегда.

Для совместимости с Delphi 7 введем тип вещественной точки:

Почему бы не сделать сразу TPointF вместо типа TxPoint? Просто у меня гора старых исходников, где используется этот тип, а никакого TPointF не было ни в помине, ни в планах. Delphi 7 казалась вершиной инженерной мысли на тот момент.

В предложение uses дописываем следующее (ради TPointF, и чтобы компилятор XE не доставал хинтами):

Почему именно XE5? Если честно, нет возможности проверить, не ставить же ради этого всю линейку дельфей. Но в XE5 вещественная точка точно есть, а в Delphi 7 ее точно нет. Вот этим и объясняется выбор версии компилятора в директиве. Одни говорят, что TPointF появился в XE2, другие — аж в Delphi 2010. Короче, с таким директивным условием будет работать везде и точка.

Пишем небольшую функцию, которая использует классическое уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости, представленное выше.

SameValue — сравнивает два вещественных числа с учетом погрешности Epsilon. Находится в модуле Math, который надо подключить в предложении uses секции implementation.

Что происходит. Вначале проверяется допустимость координаты точки внутри координат отрезка. Условие необходимое, но недостаточное. Если координата может принадлежать отрезку, третьим условием проверяем нахождение точки на прямой, проходящей через точки отрезка.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Рис.1. Курсор точно на линии, но не определяет, что точка принадлежит отрезку

Если мы попытаемся по координатам курсора мыши определить, попала ли точка в отрезок, нас ждет фиаско. Складывается ощущение, что формула не работает, алгебра — отстой, все в жизни не так.

Видео: Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс. Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Расширенная классика

Для начала навесим на функцию еще пару условий, чтобы определить попадание в точки, задающие отрезок.

Ну, во-первых, вот и разгадка, куда делись значения 1 и 2 из результатов предыдущей функции. Во-вторых, теперь в конечные точки отрезка попадает отлично, но между ними по-прежнему не хочет работать.

На самом деле — математика по-прежнему царица наук, а мы пытаемся повенчать розу белую с черной жабой.

Выведем в интерфейс значения dx = (p2.x-p1.x), dy = (p2.y-p1.y) и т.д. Плюс результат работы функции (p.x-p1.x)*(p2.y-p1.y) — (p.y-p1.y)*(p2.x-p1.x). И убедимся, что при самых казалось бы максимально возможных приближениях к отрезку, результат ошеломляет своей двух- или трехзначной непохожестью на ноль.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Рис.2. Теперь определяет конечные точки, но между ними по-прежнему работает так себе…

Конечно, используя операцию умножения вместо деления, мы избегаем деления на ноль, укорачиваем код. Но при этом надо помнить, что умножение даже 1 на 12, это уже далеко от нуля, а если появляется еще и минус в разницах, то от нуля мы улетаем очень быстро и очень ощутимо.

На рисунке 2 прицел точно на линии, но разность координат, которую получаем из классического уравнения, и которая должна быть равна нулю, между тем равна:

Функция применима в точных расчетах, но не в векторном редакторе.

Видео: Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика Скачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Модификация уравнения

Очевидно, надо вычислять как-то иначе. Например вычислять Y по имеющейся координате X и сравнивать с имеющейся координатой Y. Если разница меньше заданного Epsilon — точка принадлежит отрезку. Выразим Y из используемого уравнения прямой. Итак, дано:

Выразим Y:

И напишем еще одну функцию, в которой учтем ситуацию, когда (X2-X1) может быть равно нулю. Это ситуация вертикальной (или почти вертикальной) прямой.

Epsilon уже выступает, и как точность вычислений, и как допуск, при котором мы считаем, что точка на отрезке. Невозможно скрупулезно попасть мышкой в нужную точку отрезка, которая сама по себе уже есть огромное приближение к действительности. Все мы помним и любим Брезенхэма.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Рис.3. Все здорово определяет с учетом погрешности Epsilon=12 pix

Но, даже если мы упростили себе процесс «попадания» в отрезок, мы должны знать точные координаты на отрезке. Для этого у нас и появился тип вещественной точки TxPoint и возвращаемый параметр res. В этой версии функции мы производим расчет реальной точки на отрезке.

На рисунке 3 расчетная точка и ее координаты выделена коричневым цветом.

Однако, все равно есть нюанс. Если линия сильно вертикальна, то есть расстояние (X2-X1) невелико, попадать в линию все равно трудно.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Рис.3.1. На почти вертикальной линии функция снова капризничает

Связано с тем, что при уменьшении делителя, коим разность по X выступает в нашем случае, сильно вырастает результат, и чем расстояние (X2-X1) меньше, тем труднее попасть в Epsilon.

Видео: Составляем уравнение прямой по точкам Скачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Итоговая функция

В стремлении к совершенству, всегда что-то незамысловатое, в пару строк кода, разрастается в какую-то все учитывающую портянку листинга.

Давайте проверять, что больше (X2-X1) или (Y2-Y1), и в зависимости от результата, будем высчитывать либо Y, либо X. Формулу для X не привожу, он очевидна.

Видео: Попадание точки в заданную область. Два сектора. Уроки программирования на С++. Скачать

Попадание точки в заданную область. Два сектора. Уроки программирования на С++.

Почему такая большая функция получилась?

В функции помимо факта принадлежности точки отрезку, также осуществляется проверка на конечные точки — чтобы можно было менять их расположение мышкой. Также, функция возвращает «истинную» точку на отрезке, полученную из приближенной, содержащую погрешность Epsilon.

Можно сократить, не считать конечные точки, не анализировать «вертикальность» и «горизонтальность». Можно взять за настоящую ту точку, которую анализируем и не считать «истинную». Код в этом случае сильно сократиться. Поэтому лучше иметь полный комплект, из которого можно удалить «лишнее» на ваш взгляд.

Зачем нужны такие ощутимо большие проверки на вертикальность и горизонтальность. Ну, во-первых мы освобождаем от условий последний блок вычислений, во-вторых, если убрать, скажем, проверку на dy, погрешность станет в два раза меньше. Потому что отработает это условие: Abs(p1.Y-p.Y) + Abs(p2.Y-p.Y). Имея идеальную горизонтальную линию, подведя курсор на Epsilon допустимый интервал, мы получим в итоге Epsilon + Epsilon = 2 * Epsilon и условие конечно не сработает. Сработает, если подведем на расстояние в два раза меньшее Epsilon.

Если всех этих тонкостей не требуется, можно смело использовать либо эту, либо вообще эту функцию.

Видео: Определить точки, принадлежащие прямой Скачать

Определить точки, принадлежащие прямой

Классика всегда в моде или Математика — царица наук

Теперь давайте полученную в результате предыдущей функции вещественную точку res подставим в первую функцию. И убедимся, что теоретическая принадлежность точки отрезку работает прекрасно, просто в пространстве грубых целочисленных точек мы не в состоянии гарантированно получить такую точку, которая удовлетворила бы уравнению. Но если мы ее рассчитаем и получим значения с плавающей запятой — все заработает как надо.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Рис.5. Результат применения рассчитанной точки для первой функции

На рисунке 5 добавлен результат функции f(x,y)=(x-x1) * (y2-y1) — (y-y1) * (x2-x1) для рассчитанной точки на отрезке. Он равен, как и следовало ожидать, нулю. А также результат вызова первой функции, которая использует это уравнение и возвращает 3, если точка принадлежит отрезку. Что мы воочию и видим.

1)Поэтому в графике надо избегать типов TPoint, даже если это вызывает необходимость постоянно их округлять для функций GDI.

2)Поэтому функция правильная, классическая формула работает, просто в пространстве компьютерных упрощений надо использовать ту же самую формулу, но в другом качестве.

Видео: Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости. Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Скачать

Друзья, спасибо за внимание!

Надеюсь, материал был полезен.

Не пропустите новых интересных штуковин, подписывайтесь на телегу. )))

Если есть вопросы, с удовольствием отвечу.

Исходники и исполняемый файл для GDI и Delphi 7. Проверен в XE 7, XE 10.

Исходники (Delphi 7, XE7, XE10) 11 Кб

Исполняемый файл (zip) 213 Кб

Как подключить GDI+ в Delphi 7 и без проблем скомпилировать в XE 7, XE 10 читаем в этой статье. Там же забираем исходники.

Чтобы нарисовать отрезок, нажмите мышь и, не отпуская, ведите курсор. При отпускании отрезок зафиксируется. При повторном нажатии начнет рисоваться новый отрезок.

За концы отрезка можно таскать. Если попали на отрезок, т.е. видна коричневая точка, можно таскать весь отрезок.

Исходники намеренно выложены в D7 варианте.

При компиляции в XE10 следует снять галочку с Enable High-DPI

Видео: 33 Задача: Принадлежит ли точка кругу с центром в начале координат? Скачать

33 Задача: Принадлежит ли точка кругу с центром в начале координат?

Проверка принадлежности точки прямой

Видео: Как проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику данной функции Скачать

Как проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику данной функции

Проверка принадлежности точки прямой (Паскаль)

Пример. Составить программу для определения лежит ли точка (x3;y3), на прямой проходящей через точки (x1;y1),C(x2;y2) >

program z20;
uses crt;
var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;
begin
clrscr;
write(‘x1=’);readln(x1);
write(‘y1=’);readln(y1);
write(‘x2=’);readln(x2);
write(‘y2=’);readln(y2);
write(‘x3=’);readln(x3);
write(‘y3=’);readln(y3);
if (x3-x1)*(y2-y1)-(y3-y1)*(x2-x1)=0
then write(‘лежит’)
else write(‘не лежит’);
readln;
end.

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель!

Сегодня мы рассмотрим еще одну типовую задачу из серии геометрические алгоритмы. Напишем функцию, которая будет проверять принадлежность произвольной точки отрезку, заданному координатами своего начала и конца.

Для реализации операций сравнения над вещественными данными напишем еще две функции: функцию EqPoint(), которая ,будет проверять, совпадают ли две точки на плоскости и функцию RealMoreEq() , которую будем использовать для проверки отношения «>=» (больше или равно). Причина ввода специальных функций нам уже известна.

Задача. Проверить, принадлежит ли точка отрезку.

Пусть точки — начальная и конечные точки отрезка. — произвольная точка на плоскости.

Вектор с началом в точке и концом в точке будет иметь координаты (x2-x1, y2-y1).

Если P(x, y) – произвольная точка, то координаты вектора равны: (x-x1, y – y1).

Точка Р будет принадлежать отрезку если:

  1. Векторы в и коллинеарны (равно нулю их векторное произведение):
    , т.е. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1) = 0
  2. Абсцисса точки P удовлетворяет условию: или . Иначе точка будет находиться на прямой левее или правее отрезка.

Результаты выполнения программы.

Введите координаты точек: x1, y1, x2, y2, x,y
0.5 1 2.5 2.8 1.203 1.633
Да.

Результаты тестирования в программе GeoGebra:

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Сегодня мы написали функцию AtOtres() , которая проверяет принадлежность произвольной точки отрезку, заданному своими координатами.

Ввели еще две функции: EqPoint() и RealMoreEq() для реализации операций сравнения над вещественными данными. Первая проверяет, совпадают ли две точки на плоскости, вторая — используется для проверки отношения «>=».

На следующем уроке, на основе ранее написанных процедур, напишем процедуру определения координат точки пересечения двух отрезков.

На этом я с вами прощаюсь. До встречи на следующем уроке.

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP1P2 – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P1M, P1P2) 2 .

Как определить принадлежит ли точка прямой заданной уравнением

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

�� Видео

Как найти проекцию точки на прямую. Линейная алгебра Скачать

Как определить принадлежит ли точка прямой

pc.gastello71.ru

Принадлежность точки прямой – одна из основных задач геометрии и математики. Она актуальна как для школьников и студентов, изучающих математику, так и для профессионалов, работающих в сфере проектирования и строительства. Узнать, принадлежит ли точка прямой, позволяет решить множество задач, связанных с определением геометрических отношений и расположением объектов в пространстве.

В данной статье рассмотрим основные способы и алгоритмы, позволяющие определить, принадлежит ли точка прямой.

Первый способ заключается в анализе уравнения прямой и координат точки. Если подставив значение координат в уравнение прямой, мы получаем истинное равенство, то можно сделать вывод о том, что точка принадлежит прямой. В противном случае, точка не принадлежит прямой.

Второй способ основан на геометрическом подходе. Для этого необходимо провести отрезок, соединяющий данную точку с произвольной точкой на прямой. Если этот отрезок пересекает прямую только в одной точке, то можно сделать вывод о том, что исходная точка принадлежит прямой. В противном случае, точка не принадлежит прямой.

Таким образом, знание способов и алгоритмов, позволяющих определить, принадлежит ли точка прямой, является важным для решения геометрических задач и применения математических моделей в различных сферах деятельности.

Определение принадлежности точки прямой

Для определения принадлежности точки прямой можно использовать различные методы и алгоритмы. Ниже приведены некоторые из них:

  • Метод подстановки — данный метод основан на подстановке координат точки в уравнение прямой. Если при подстановке в уравнение получается верное утверждение, то точка принадлежит прямой, иначе — точка не принадлежит прямой.
  • Метод расстояний — данный метод основан на расстоянии от точки до прямой. Если расстояние равно нулю, то точка принадлежит прямой.
  • Метод скалярного произведения векторов — данный метод основан на свойстве перпендикулярности векторов, если произведение векторов равно нулю, то точка принадлежит прямой, иначе — точка не принадлежит прямой.
  • Метод использования уравнения прямой — данный метод основан на использовании уравнения прямой в основных его видах: уравнение прямой в декартовой системе координат, параметрическое уравнение прямой, уравнение прямой в отрезковых координатах.

Определение принадлежности точки прямой может быть полезным при решении различных задач в геометрии, математике, физике и других науках. Использование разных методов позволяет более точно определить принадлежность точки прямой и использовать эту информацию в дальнейших расчетах и анализе данных.

Графический метод

Графический метод — один из способов определить, принадлежит ли точка прямой или нет. Он основан на построении графика прямой и проверке нахождения точки на этом графике.

Для начала необходимо задать уравнение прямой, например, в виде y = kx + b, где k — коэффициент наклона, b — свободный член.

Далее вводятся координаты точки, которую необходимо проверить, принадлежит ли она этой прямой.

Для построения графика прямой можно использовать координатную сетку. Постройте оси координат и разметьте их, используя нужный масштаб. Затем на графике отметьте точку с координатами, которую необходимо проверить.

Если точка лежит на графике прямой, то ее координаты будут удовлетворять уравнению прямой. Для этого подставьте значения координат точки в уравнение прямой и проверьте его.

Например, если у вас есть уравнение прямой y = 2x + 1, а точка имеет координаты (2, 5), то подставим их в уравнение: 5 = 2 * 2 + 1. Получаем утверждение 5 = 5, которое верно. Значит, точка (2, 5) лежит на графике прямой.

Если же точка не лежит на графике прямой, то ее координаты не будут удовлетворять уравнению прямой.

Графический метод является одним из самых простых и интуитивных способов определить, принадлежит ли точка прямой или нет. Однако он не всегда точен и может быть затруднительным при работе с большими объемами данных.

Аналитический метод

Аналитический метод является одним из способов определения принадлежности точки прямой. Он основан на использовании уравнений прямой и координат точки.

Для применения аналитического метода необходимо знать уравнение прямой, на принадлежность которой мы хотим проверить точку. Уравнение прямой может иметь различный вид в зависимости от формы записи:

  • Уравнение вида y = kx + b, где k — коэффициент наклона, b — свободный член. В этом случае принадлежность точки прямой можно определить путем подстановки координат точки в уравнение и проверки равенства.
  • Уравнение вида ax + by + c = 0, где a, b и c — коэффициенты. В этом случае также необходимо подставить координаты точки в уравнение и проверить удовлетворение равенства.

При использовании аналитического метода необходимо быть внимательным и аккуратным при вычислениях и подстановках координат, чтобы исключить возможные ошибки.

Преимуществом аналитического метода является его простота и доступность для понимания. Кроме того, данный метод может применяться для различных видов прямых, что делает его универсальным.

Способы использования аналитического метода

Аналитический метод является одним из наиболее эффективных способов определения принадлежности точки прямой. В данном методе используется анализ уравнения прямой и координат точки, что позволяет получить точный ответ на вопрос о принадлежности точки прямой. Вот некоторые способы использования аналитического метода:

    1. Первый способ: задание координат точки и уравнения прямой

Данный способ заключается в подстановке координат точки в уравнение прямой и проверке выполняется ли равенство. Если левая и правая часть уравнения прямой совпадают, то точка принадлежит прямой, в противном случае точка не принадлежит прямой.

В этом способе основой является знание границ прямой. Если координаты точки находятся в пределах границы прямой, то точка принадлежит прямой, в противном случае — не принадлежит.

Данный способ основан на вычислении расстояния от заданной точки до прямой. Если расстояние полученное при вычислении равно нулю, то точка принадлежит прямой, в противном случае — не принадлежит.

Каждый из этих способов использует анализ геометрических и аналитических данных для определения принадлежности точки прямой. Выбор способа зависит от конкретной задачи и доступных данных.

Метод с использованием уравнения прямой

Для определения принадлежности точки прямой можно использовать уравнение прямой. Уравнение прямой задается в виде ax + by + c = 0, где a, b и c — коэффициенты, а x и y — координаты точки.

Чтобы проверить, принадлежит ли точка прямой, нужно подставить ее координаты в уравнение прямой и проверить, выполняется ли равенство.

  1. Если равенство выполняется, то точка принадлежит прямой.
  2. Если равенство не выполняется, то точка не принадлежит прямой.

Пример применения метода с использованием уравнения прямой:

Уравнение прямой Точка Принадлежность
2x + 3y — 6 = 0 (2, 1) Да
4x — 8y + 10 = 0 (-2, 3) Нет

В приведенном примере для первого уравнения точка (2, 1) является решением уравнения, поэтому она принадлежит прямой. Вторая точка (-2, 3) не является решением второго уравнения, поэтому она не принадлежит прямой.

Метод с использованием координатных осей

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка прямой, можно использовать метод с использованием координатных осей. Этот метод основан на анализе координат точки и коэффициентов прямой.

  1. Найдите уравнение прямой, заданной в виде y = kx + b, где k — коэффициент наклона прямой, а b — свободный член.
  2. Подставьте координаты точки в уравнение прямой и вычислите значение выражения.
  3. Если полученное значение равно y-координате точки, то точка принадлежит прямой. В противном случае, точка не принадлежит прямой.
Прямая Точка Результат
y = 2x + 1 (3, 7) Не принадлежит
y = -0.5x + 3 (-4, 5) Принадлежит

В данном примере, уравнение прямой y = 2x + 1 имеет коэффициент наклона k = 2 и свободный член b = 1. Подставив координаты точки (3, 7) в уравнение прямой, получим 7 = 2 * 3 + 1, что не является равным y-координате точки. Следовательно, точка (3, 7) не принадлежит прямой y = 2x + 1. В случае с уравнением прямой y = -0.5x + 3 и точкой (-4, 5), получим 5 = -0.5 * -4 + 3, что равно y-координате точки. Следовательно, точка (-4, 5) принадлежит прямой y = -0.5x + 3.

Практическое применение

Знание методов и алгоритмов для определения принадлежности точки прямой имеет множество практических применений. Вот некоторые из них:

  1. Геометрия и физика:
    • В геометрии точка может лежать на прямой или за ее пределами. Зная координаты точки и уравнение прямой, можно определить, принадлежит ли точка этой прямой или нет.
    • В физике точка может представлять физический объект и двигаться по заданной траектории. Если известны начальные координаты и скорость объекта, то можно определить его положение в определенный момент времени и выяснить, проходит ли объект через заданную прямую.
  2. Структуры данных:
    • Определение принадлежности точки прямой может быть полезным при работе с различными структурами данных, такими как графы и деревья. Используя алгоритмы для определения принадлежности точек прямым, можно определить, находятся ли вершины графа на одной прямой или нет.
    • Также, зная начальную и конечную точки прямой, можно определить, находится ли данная прямая полностью внутри заданного прямоугольника или нет. Это может быть полезно при реализации алгоритмов поиска пересечений объектов в компьютерной графике или играх.
  3. Анализ данных:
    • Определение принадлежности точки прямой может быть использовано для анализа данных и выявления закономерностей. Например, если имеется набор данных, представленных в виде точек на графике, можно применить алгоритмы для определения того, лежат ли точки на одной прямой или нет. Это может помочь в анализе тренда или зависимости между переменными.

Это лишь несколько примеров, демонстрирующих практическое применение методов и алгоритмов для определения принадлежности точки прямой. Знание этих методов может быть полезным во многих областях, где требуется проведение геометрических вычислений или анализ данных.

Вопрос-ответ

Как проверить, принадлежит ли точка прямой?

Существует несколько способов проверки, принадлежит ли точка прямой. Один из них — подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить, выполняется ли равенство. Если равенство выполняется, то точка принадлежит прямой, если нет — то не принадлежит.

Какие еще есть алгоритмы проверки принадлежности точки прямой?

Еще один распространенный алгоритм — использовать уравнение прямой в виде y = kx + b. Подставляем координаты точки в это уравнение и проверяем, выполняется ли равенство. Если равенство выполняется, то точка принадлежит прямой.

Есть ли более эффективные способы проверки принадлежности точки прямой?

Да, существуют еще более эффективные методы. Например, если у нас дано две точки на прямой — A(x1, y1) и B(x2, y2), то можно воспользоваться уравнением прямой в виде (y — y1) = ((y2 — y1) / (x2 — x1)) * (x — x1). Из этого уравнения легко проверить, принадлежит ли заданная точка этой прямой.

Определить,принадлежит ли точка с координатами (х,у)прямой см,внутри

Определить,принадлежит ли точка с координатами (х,у)прямой: у=1-х
Если это имеет место,то вывести на печать координаты точки. В противном случае вывести на печать сообщение:» Точка не принадлежит прямой».
Исходные данные: (-0.5, 1.5)

Лучший ответ

Подставить заданные координаты в уравнение. Если левая часть равна правой — принадлежит, если нет — то не принадлежит.

Остальные ответы
это задача по информатике? на каком языке?

var x,y: real;
begin
writeln(x);
readln(x);
writeln(y);
readln(y);
if y=1-x then
writeln(‘(‘+x+’,’+y+’)’)
else
writeln(‘точка не принадлежит прямой’)
end

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *