Как определить пересекаются ли окружности
Перейти к содержимому

Как определить пересекаются ли окружности

  • автор:

Как определить пересекаются ли окружности

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.

Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

Относительное взаимоположение окружностей.

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Как определить пересекаются ли окружности

есть 2 окружности, известны центры окружностей и их радиус, как узнать пересекаются они или нет?
понятно что две окружности пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов.
есть массив окружностей, прохожусь по ним циклом, в цикле поставил условие
if ((p[i].r+r>=abs(p[i].p.X-t.X))and(p[i].r+r>=abs(p[i].p.y-t.y))) then
как-то не корректно работает.
На форме видно что они не пересекаются а условие говорит что пересекаются
Где:
p[i].r — радиус очередной окружности из массива
r — радиус окружности какую мы проверяем на пересечение с ней других окружностей
p[i].p.X — центр по х очередной окружности из массива
t.X — центр по х окружности какую мы проверяем на пересечение с ней других окружностей
p[i].p.y — аналогично p[i].p.X
t.y — аналогично t.X

Регистрация: 09.01.2008
Сообщений: 26,238

Э!! Так Вы же расстояние неправильно вычисляете!

Расстояние между двумя точками — это корень квадратный из суммы квадратов разности соответствующих координат.

Пусть есть точка A с координатами (Xa, Ya) и точка B с с координатами (Xb, Yb)
тогда расстояние Lab между ними будет:

Lab := sqrt( sqr(Xa-Xb) + sqr(Ya-Yb) );
Serge_Bliznykov
Посмотреть профиль
Найти ещё сообщения от Serge_Bliznykov

Форумчанин
Регистрация: 17.03.2009
Сообщений: 318

аааа точно, я ж делал такое.
Счас исправлю

вооо, совсем другое дело

Последний раз редактировалось Stilet; 17.06.2011 в 15:37 .

Похожие темы
Тема Автор Раздел Ответов Последнее сообщение
как узнать занят порт или нет DeDoK Работа с сетью в Delphi 3 12.09.2010 21:51
Как узнать программа запущена или нет? ilSMoKEli Общие вопросы Delphi 5 02.05.2010 23:01
обновление в блоге — Как узнать, запущена программа с правами администратора или нет Pblog Обсуждение статей 0 05.03.2010 20:50
Как узнать открыл пользователь окно или нет? KaimNotark Общие вопросы Delphi 5 09.02.2010 09:38
как узнать что введено а Edit1 цифры или нет doncova1 Компоненты Delphi 9 05.02.2007 10:43

Анализ алгоритма

Следует рассмотреть варианты внешнего и внутреннего касания, а также возможность расположения одной окружности внутри другой. Окружности имеют бесконечное количество точек пересечения только в случае их совпадения.

Пусть dist 2 = (x2x1) 2 + ( y2y1) 2 – квадрат расстояния между центрами окружностей. Тогда:

· Окружности касаются извне, если ( r 1 + r2 ) 2 = dist 2.

· Окружности имеют точку внутреннего касания, если ( r 1 – r 2 ) 2 = dist 2.

· Окружности не имеют общих точек и не содержатся друг в друге, если ( r 1 + r2 ) 2 dist 2.

Изначально положим, что у нас имеются две точки пересечения.

Читаем входные данные.

Вычисляем квадрат расстояния между центрами окружностей.

dist2 = (xx2-xx1)*(xx2-xx1) + (yy2-yy1)*(yy2-yy1);

Проверяем, не совпадают ли окружности.

Проверяем условие внешнего касания двух окружностей.

if (fabs((r1 + r2) * (r1 + r2) — dist2) dist2 + EPS) res = 0;

Выводим ответ. Если ни одно из выше перечисленных условий не выполняется, то имеем две точки пересечения.

Пересечение отрезка и окружности

Помогите с алгоритмом. Есть отрезок, координаты концов которого извесни и окружность с извесными координатами центра и радиусом. как определить пренадлежит ли хоть одна точка отрезка данной окружности?

18 ответов

27 января 2010 года
380 / / 02.01.2008

Самый очевидный способ. Открываем учебник по линейной алгебре и аналитической геометрии, смотрим там уравнения.
Записываем уравнение в общем виде для окружности и отрезка (уравнение прямой и два двойных неравенства, ограничивающих прямую до отрезка). Решаем систему из этих двух уравнений и четырех неравенств относительно (х,у). Если решение существует — пересечение или касание есть. В программе надо подставить коэффициенты (рассчитать их по исходным данным возможно) и попытаться найти корни.
К слову, если корень единствнный, то отрезок касается окружности, если корня два — является хордой.

27 января 2010 года
874 / / 21.12.2007

Помогите с алгоритмом. Есть отрезок, координаты концов которого извесни и окружность с извесными координатами центра и радиусом. как определить пренадлежит ли хоть одна точка отрезка данной окружности?

Вот код на C# 3, умеющий пересекать явно заданные линии и окружности и даже определять принадлежность точки таким линиям. Это ~97% решения.

static class Doubles
public static double Square(this double x)
return x * x;
>

public static double Sqrt(this double x)
return Math.Sqrt(x);
>

public static bool SafeEquals(this double left, double rigth)
const double epsilon = 1e-7;
return Math.Abs(left — rigth) >
>

struct Vector
public Vector(double x, double y)
: this()
X = x;
Y = y;
>

public double X
public double Y

public static Vector operator+(Vector left, Vector right)
return new Vector(left.X + right.X, left.Y + right.Y);
>

public static Vector operator-(Vector minuend, Vector substrahend)
return new Vector(minuend.X — substrahend.X, minuend.Y — substrahend.Y);
>

public static double operator*(Vector left, Vector right)
return left.X*right.X + left.Y*right.Y;
>

public static Vector operator *(double ratio, Vector v)
return new Vector(v.X*ratio, v.Y*ratio);
>

public static Vector operator * (Vector v, double ratio)
return ratio * v;
>

public Vector Normalize()
double length = Length;
if (length.SafeEquals(0.0))
throw new InvalidOperationException(«Attempt to normalize zero-length vector»);

return new Vector(X / length, Y / length);
>
>

struct Pair
public Pair(T first, T second)
: this()
First = first;
Second = second;
>

class Circle
public Circle(Vector center, double radius)
Center = center;
Radius = radius;
>

struct Line
public Line(Vector pivot, Vector direction)
: this()
U = pivot;
V = direction;
>

public static Line FromPoints(Vector p1, Vector p2)
return new Line(p1, p2 — p1);
>

public Vector U
public Vector V

public Pair? Intersect(Circle circle)
Vector g = U — circle.Center;

double a = V * V;
double b = 2 * (V * g);
double c = g*g — circle.Radius.Square();
double d = b.Square() — 4*a*c;

public Line Normalize()
return new Line(U, V.Normalize());
>

public Vector PointFromRatio(double ratio)
return U + V*ratio;
>

public bool Contains(Vector p)
if (V.X.SafeEquals(0d))
return p.X.SafeEquals(U.X);

if (V.Y.SafeEquals(0d))
return p.Y.SafeEquals(U.Y);

return ((p.X — U.X) / V.X).SafeEquals((p.Y — U.Y) / V.Y);
>
>

Линию можно задавать и по-другому (неявно). Почитать об этом можно (на аглицком), набрав в гугол запрос:
Glassner A. (ed.) Graphics gems, vol.1 (AP, 1995)(T)(666s).djvu

27 января 2010 года
4 / / 27.01.2010

Впринципе эта задачя у меня сводится до того что б найти количество отрезков, в которых хотя бы одна точка лежит в кругу

Тоесть все отрезки кроме В подходят по условию.

31 января 2010 года
451 / / 20.07.2008

Впринципе эта задачя у меня сводится до того что б найти количество отрезков, в которых хотя бы одна точка лежит в кругу

1. Находите расстояние от точки (центр окружности) до прямой заданной двумя точками (концы отрезков). Алгоритм например такой.
2. Если расстояние меньше, чем радиус окружности, значит с прямой пересекается.
3. Осталось проверить пересекается ли отрезок, лежащий на этой прямой — это можно сделать через проверку пересечения диапозонов по оси x, в которых лежит окружность и отрезок. Для окружности это [Cx — r, Cx + r], для отрезка [x1, x2].

31 января 2010 года
874 / / 21.12.2007

3. Осталось проверить пересекается ли отрезок, лежащий на этой прямой — это можно сделать через проверку пересечения диапозонов по оси x, в которых лежит окружность и отрезок. Для окружности это [Cx — r, Cx + r], для отрезка [x1, x2]

Прямая может проходить вертикально. Впрочем, ерунда: достаточно проверить на равенство нулю x-компоненты вектора направления прямой, и, в случае чего, проверить попадание ординат отрезка по аналогичной формуле.
Да, хорошее решение.

31 января 2010 года
451 / / 20.07.2008

Прямая может проходить вертикально. Впрочем, ерунда: достаточно проверить на равенство нулю x-компоненты вектора направления прямой, и, в случае чего, проверить попадание ординат отрезка по аналогичной формуле.
Да, хорошее решение.

Эх, к сожалению, не очень хорошее. есть случае даже не с вертикальной прямой, когда это не сработает ��

Тогда однозначно решать систему уравнений, как предлагает MaitreDesir.
А для случая, когда отрезок внутри окружности и не пересекает ее — проверить расстояние от центра окружности до концов отрезка, которые должны быть меньше радиуса.

02 февраля 2010 года
76 / / 27.09.2009

Нужно проверить, что хотя бы одно из расстояний от центра круга до концов отрезка или расстояние до прямой, которой принадлежит отрезок (только в том случае, если ближайшая точка прямой к центру круга принадлежит отрезку), меньше или равно радиусу круга.

03 февраля 2010 года
874 / / 21.12.2007

Нужно проверить, что хотя бы одно из расстояний от центра круга до концов отрезка или расстояние до прямой, которой принадлежит отрезок (только в том случае, если ближайшая точка прямой к центру круга принадлежит отрезку), меньше или равно радиусу круга.

Концы отрезка могут лежать за пределами окружности.
Э-э-х, ладно:

public Pair? Intersect(Circle circle)
Vector g = U — circle.Center;

double a = V * V;
double b = 2 * (V * g);
double c = g*g — circle.Radius.Square();
double d = b.Square() — 4*a*c;

public bool IntersectsWith(Circle circle)
Line line = Line.FromPoints(Start, End);
Pair? intersection = line.Intersect(circle);

if (!intersection.HasValue)
return false;

Pair value = intersection.Value;
double first = value.First;
double second = value.Second;

// Не пересекает в двух случаях:
// 1. first 1 && second > 1.

03 февраля 2010 года
76 / / 27.09.2009

Вот и я о том же. В этом случае нужно проверять расстояние между центром и прямой, но только в случае, если ближайшая точка прямой в центру принадлежит отрезку.

14 февраля 2010 года
11 / / 11.02.2010

форумчане и гости форума.
Вопрос у меня такой — как построить В канве точку, которая двигалась бы по окружности? как построить точку я знаю . В общем вопрос сводится к круговому движению.
x-a2y-b2=R2 — формула окружности.

23 мая 2010 года
2 / / 23.05.2010

Попробуйте через параметрические уравнения окружности:
x = x0 + R*sin(t)
y = y0 + R*cos(t)
где t [0; 2*Pi]
, если я правильно вас понял.

24 мая 2010 года
2 / / 19.05.2010

Пересечение отрезка с вертикальным отрезком.

Проблема в том, что K если принимать линию, на которой лежит отрезок как описанную уравнением y= kx b тут не рассчитаешь получается, на ноль делить надо. Вопрос: как быть? Может, кто-то сталкивался с такой проблемой?

26 мая 2010 года
2 / / 23.05.2010

Не утверждаю, что это лучшее решение, я делал так: проверял значение на равенство нулю, и если равно, то присваивал конечно малое значение, например 0.00001. После чего все нормально считалось. Потом округлял, в конце вычислений.

26 мая 2010 года
619 / / 12.09.2005

Пересечение отрезка с вертикальным отрезком.

Проблема в том, что K если принимать линию, на которой лежит отрезок как описанную уравнением y= kx b тут не рассчитаешь получается, на ноль делить надо. Вопрос: как быть? Может, кто-то сталкивался с такой проблемой?

разверните систему на 90 градусов — считайте относительно y

26 мая 2010 года
123 / / 14.12.2005

когда мне нужно было пересекать различные фигуры, я применял функции из этой библиотеки

PS но там есть заморочки со сборкой.

27 мая 2010 года
619 / / 12.09.2005

1. Находите расстояние от точки (центр окружности) до прямой заданной двумя точками (концы отрезков). Алгоритм например такой.
2. Если расстояние меньше, чем радиус окружности, значит с прямой пересекается.
3. Осталось проверить пересекается ли отрезок, лежащий на этой прямой — это можно сделать через проверку пересечения диапозонов по оси x, в которых лежит окружность и отрезок. Для окружности это [Cx — r, Cx + r], для отрезка [x1, x2].

оптимизируем немного алгоритм.
1. определяем расстояние от концов отрезка до центра окружности (d1, d2)
2. если ((d1 =r)) || ((d1>=r) && (d2

// пересечение линии, проходящей через отрезок, с окружностью;
// возвращает число точек пересечения: 0 или 1 или 2;
// если 1, результат в xa, xb
int LineCircleIntersection ( double x0, double y0, double r, // центр и рдиус окружности
double x1, double y1, // точки
double x2, double y2, // отрезка
double & xa, double & ya, // резуль-
double & xb, double & yb ) // тат

double A = s * s + p * p ;
double B = s * s * k + 2.0 * z * p + s * l * p ;
double C = q * s * s + z * z + s * l * z ;

double D = B * B — 4.0 * A * C ;

if ( D
else if ( D
else

// единственное пересечение отрезка с окружностью
// результат — если единственное, то точка пересечения xa, ya
bool SegmentCircleIntersection ( double x0, double y0, double r, // центр и рдиус окружности
double x1, double y1, // точки
double x2, double y2, // отрезка
double & xa, double & ya ) // результат
r && d2 > r )

if ( d1

double xa_ = 0.0 ;
double ya_ = 0.0 ;
double xb_ = 0.0 ;
double yb_ = 0.0 ;

if ( LineCircleIntersection ( x0,y0,r,x1,y1,x2,y2,xa_,ya_,xb_,yb_ )

double xmin = min2 ( x1,x2 ) ;
double xmax = max2 ( x1,x2 ) ;
double ymin = min2 ( y1,y2 ) ;
double ymax = max2 ( y1,y2 ) ;

Пересечение двух окружностей

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Точки пересечения двух окружностей
Первая окружность
Вторая окружность

Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Проверка расстояния между окружностями
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Загрузить
Ссылка Сохранить Виджет

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

separate.png

contained.png

twopoints.png

twopoints2.png

onepoint.png

onepoint2.png

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Two intersection points

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

Как определить, пересекаются ли окружности в Python? ����

Для определения пересекаются ли окружности в Python, можно использовать геометрический подход. Если расстояние между центрами окружностей меньше, чем сумма их радиусов, то они пересекаются. Вот пример кода:

 import math def circles_intersect(x1, y1, r1, x2, y2, r2): distance = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2) if distance < r1 + r2: return True else: return False x1, y1, r1 = 0, 0, 3 x2, y2, r2 = 4, 0, 2 if circles_intersect(x1, y1, r1, x2, y2, r2): print("Окружности пересекаются") else: print("Окружности не пересекаются") 

Детальный ответ

Как определить, пересекаются ли окружности в Python

Пересечение окружностей - одна из основных задач геометрии, с которой вы можете столкнуться при программировании на Python. Если у вас есть две окружности в двумерном пространстве, вам может потребоваться определить, пересекаются ли они или нет. Для начала рассмотрим, как представить окружность в Python. Одним из самых удобных способов является использование класса и его методов. Вот простой пример класса, представляющего окружность:

 class Circle: def __init__(self, center, radius): self.center = center self.radius = radius def is_intersecting(self, other_circle): distance = ((self.center[0] - other_circle.center[0]) ** 2 + (self.center[1] - other_circle.center[1]) ** 2) ** 0.5 if distance  

В этом примере класс Circle имеет два атрибута: center (центр окружности) и radius (радиус). Класс также имеет метод is_intersecting, который проверяет, пересекается ли текущая окружность с другой окружностью. Для определения пересечения окружностей в методе is_intersecting мы вычисляем расстояние между центрами окружностей с использованием формулы расстояния между двумя точками в двумерном пространстве. Затем мы сравниваем полученное расстояние с суммой радиусов окружностей. Если полученное расстояние меньше или равно сумме радиусов, значит, окружности пересекаются. Давайте рассмотрим пример использования класса Circle:

 circle1 = Circle((0, 0), 5) circle2 = Circle((3, 3), 4) if circle1.is_intersecting(circle2): print("Окружности пересекаются") else: print("Окружности не пересекаются") 

В этом примере мы создаем две окружности: circle1 с центром (0, 0) и радиусом 5, и circle2 с центром (3, 3) и радиусом 4. Затем мы проверяем, пересекаются ли эти окружности, используя метод is_intersecting. Если они пересекаются, выводится сообщение "Окружности пересекаются", в противном случае выводится сообщение "Окружности не пересекаются". Теперь вы знаете, как определить, пересекаются ли окружности в Python. Используя класс Circle и его метод is_intersecting, вы можете легко проверить пересечение двух окружностей и выполнить соответствующие действия на основе результата.

Пересекающиеся линии

На этой странице вы найдете все о секущих линиях: что они означают, какие существуют типы, как узнать, являются ли две прямые секущими, как найти их общую точку… Вы также сможете увидеть несколько примеров и решенных упражнений. секущих линий.

Что такое две пересекающиеся прямые?

В математике определение секущих линий следующее:

Две прямые пересекаются, когда они пересекаются только в одной точке. Следовательно, пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. Более того, две пересекающиеся прямые обязательно должны находиться в одной декартовой плоскости.

Идея о том, что две линии, пересекающиеся в одной точке, важна, потому что, если бы у них было более одной точки пересечения, они были бы совпадающими линиями, а с другой стороны, если бы у них не было точки пересечения, они были бы параллельными линиями.

Примеры пересекающихся линий

После того, как мы поняли значение двух пересекающихся линий, давайте теперь посмотрим на 2 разных примера линий этого типа:

Как видите, линии r и s пересекаются, потому что соприкасаются в одной точке. И точно так же линия t пересекает линию u , поскольку существует точка их пересечения.

Виды пересекающихся линий

Существует два типа пересекающихся линий:

  • Перпендикулярные линии : линии, пересекающиеся под прямым углом 90°.
  • Косые линии: состоят из линий, пересекающихся под острым углом от 0° до 90° (не входят в комплект).

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные линии – это линии, которые пересекаются, образуя четыре угла по 90 градусов.

Аналогично, наклоны двух перпендикулярных прямых всегда удовлетворяют следующему условию:

m_r = -\cfrac<1></p>
<p>

Еще одним свойством перпендикулярно пересекающихся линий является то, что скалярное произведение их векторов направления (вектор, указывающий направление линии) равно нулю.

\vv</p><div class='code-block code-block-15' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 15theinternet -->
<script src=

>_r \cdot \vv>_s = 0" width="79" height="15" />

Если вас больше интересуют перпендикулярные линии, по этой ссылке вы можете увидеть примеры перпендикулярных линий . Кроме того, вы также узнаете, как рассчитать линию, перпендикулярную другой, свойства этого типа линии, пошагово решаемые упражнения и т. д.

косые линии

Косые линии — это линии, которые пересекаются, образуя попарно острые и тупые углы. То есть сделайте два острых угла (менее 90°) и два тупых угла (больше 90°). Однако, согласно определению угла двух линий, угол между двумя линиями является наименьшим из тех, которые он образует.

Угол между двумя косыми линиями с их наклонами можно рассчитать по следующей формуле:

\displaystyle \text<tg></p>
<p>(\alpha) =\begin \cfrac \end

Как узнать, что две прямые пересекаются?

В основном существует 3 метода определения взаимного положения двух линий:

  • С векторами направления двух линий.
  • Со склонами двух линий.
  • С неявным (или общим) уравнением двух линий.

Затем мы увидим объяснение трех методов, которые существуют, чтобы узнать, когда пересекаются две линии.

По векторам направления линий

Если координаты векторов направления (вектор, обозначающий направление линии) двух разных линий не пропорциональны , эти две линии пересекаются.

Давайте посмотрим, как поэтапно решается упражнение из двух пересекающихся линий:

\displaystyle r: \ \begin</p><div class='code-block code-block-16' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 16theinternet -->
<script src=

x=1+2t \\[2ex] y= 5-3t \end\qquad \qquad s: \ \begin x=1+t \\[2ex] y=2+4t \end" width="341" height="65" />

Обе линии выражаются в виде параметрических уравнений, поэтому компонентами вектора направления каждой линии являются числа перед параметром

\vv<r></p>
<p> =(2,-3) \qquad \qquad \vv=(1,4)

Итак, чтобы увидеть, пропорциональны ли векторы направления, нам нужно разделить между ними координаты. Если мы получим одинаковый результат в обоих делениях, они будут пропорциональны; с другой стороны, если результат будет другим, это будет означать, что векторы не пропорциональны.

\cfrac<2></p>
<p> \neq \cfrac

Деления компонентов не равнозначны, поэтому векторы не пропорциональны и поэтому прямые пересекаются.

в начале склонов

Если две линии имеют разные наклоны , это означает, что линии пересекаются.

Например, следующие две линии пересекаются, поскольку они имеют разные наклоны:

r: \ y=-2x+4 \qquad \qquad s: \ y=3x+1

равно -2 и наклон линии

Поскольку две линии не имеют одинакового наклона, они пересекаются.

Из неявного уравнения линии

Также можно узнать, пересекаются ли две прямые или нет, с помощью неявных уравнений (или общих уравнений) линий. Неявное уравнение линии имеет следующий вид:

Таким образом, две прямые пересекаются, когда их коэффициенты A и B не пропорциональны.

Давайте посмотрим пример двух пересекающихся линий, определенных с помощью неявного уравнения:

r: \ 3x-y+5=0 \qquad \qquad s: \ -2x+6y-1=0

Чтобы убедиться, что это две пересекающиеся прямые, надо проанализировать пропорциональность коэффициента А (числа перед переменной

) с коэффициентом B (цифра перед переменной

\cfrac<3></p>
<p> \neq \cfrac

Эти два члена не пропорциональны, поэтому две линии эффективно пересекаются.

Найдите общую точку двух пересекающихся прямых

Как мы видели, пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. Таким образом, чтобы вычислить точку пересечения двух секущих линий , необходимо решить систему уравнений, образованную двумя прямыми.

В качестве примера найдем точку пересечения следующих двух линий:

r: \ x+2y-5=0 \qquad \qquad s: \ 2x-3y+3=0

Чтобы определить точку пересечения двух линий, мы должны решить систему линейных уравнений, образованную двумя линиями:

\left.\begin</p>
<p> x+2y-5=0\\[2ex] 2x-3y+3=0\end\right\>

В этом случае будем решать систему методом замены. Поэтому мы изолируем переменную

из первого уравнения и подставим его во второе уравнение:

\left.\begin</p>
<p> x+2y-5=0\\[2ex] 2x-3y+3=0\end\right\> \begin\longrightarrow \ x=5-2y \\[2ex]&\end

2(5-2y)-3y+3=0

y=\cfrac</p>
<p> = 1

И как только мы узнаем, сколько стоит неизвестное

Подставим его значение в найденное выражение для

x=5-2y \ \xrightarrow<y \ = \ 1></p>
<p> \ x=5-2\cdot 1

Таким образом, решением системы уравнений является точка пересечения двух линий. И этот момент

\bm<(3,1)></p>
<p>.

линия, пересекающая окружность

Обычно, когда мы говорим, что две линии пересекаются, мы имеем в виду только что увиденную концепцию. Однако в геометрии существует и другое значение секущей линии:

Линия, пересекающая окружность, — это линия, пересекающая окружность (или кривую) в двух разных точках.

В отличие от понятия о двух пересекающихся линиях, которое обычно преподают в начальной школе, это определение линии, пересекающейся с кругом, часто изучается в более поздних классах вместе со всеми относительными положениями линий с кругами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *