Как найти высоту тетраэдра
Перейти к содержимому

Как найти высоту тетраэдра

  • автор:

Высота тетраэдра, формула

Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:

\[CF = FS = \frac>a ; CS = a \]Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).

Чему равна высота тетраэдра, рёбра которого равны 12

Соответствующую формулу не пробовала посмотреть (об изучении скромно умолчим)?
Высота тетраэдра равна корню квадратному из двух третьих, помноженному на длину ребра тетраэдра: h=a√(2/3), a — длина ребра тетраэдра
Следовательно, h=12√(2/3)≈9.7979589711327.
Справочно. Если не знаешь этой формулы, то ее легко вывести (см. рисунок ниже):
1. Проведи высоты соответствующих правильных треугольников (основания и, например, одной из граней). Вычисли их значение через ребро тетраэдра (получишь (а*√3)/2, a — длина ребра тетраэдра).
2. Зная все стороны тр-ка FSC (а, (а*√3)/2, (а*√3)/2), составленного из высот равносторонних треугольников и ребра тетраэдра, легко вычислить его полупериметр: p=a(1+√3)/2
3. Используя формулу, выражающую зависимость высоты треугольника, опущенную на одну из сторон, от сторон тр-ка (h =(2√(p(p-m)(p-n)(p-k)))/m, m= (а*√3)/2 (сторона, на которую опущена высота SO), n= (а*√3)/2, k=a — стороны треугольника FSC), легко получить h=a√(2/3).

Источник: В Google доступ закрыли?
٭هЅᴷỲ Ɲᴱᵀ ‮ 上早Высший разум (113705) 6 лет назад

бывает, что и к Гуглу проблемы с доступом

АС Высший разум (145766) Так ведь справочники по арифметике (бумажные) законодательством, в том числе и РФ, не относятся к категории запрещенной литературы.

Высота тетраэдра

Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2 Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2 Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2) Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8 В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4

Как найти высоту тетраэдра

Применение формул последнего параграфа к правильному тетраэдру позволяет получить ряд интересных соотношений для последнего. В этом параграфе мы приведем полученные формулы для данного конкретного случая и, кроме того, найдем выражения для некоторых характеристик правильного тетраэдра, таких как, например, объем, площадь полной поверхности и т. п.

Следуя обозначениям предыдущего параграфа, рассмотрим правильный тетраэдр с длиной ребра . Обозначения для его углов оставим теми же и вычислим их.

Рисунок 8.5.1

В правильном треугольнике длина высоты равна Так как этот треугольник является правильным, то его высота одновременно является биссектрисой и медианой. Медианы, как известно, точкой своего пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Несложно найти и точку пересечения медиан. Так как тетраэдр правильный, то этой точкой будет точка – центр правильного треугольника Основание высоты правильного тетраэдра, опущенной из точки , также проектируется в точку . Значит, В правильном треугольнике длина апофемы тетраэдра равна Применим теорему Пифагора для : Отсюда Таким образом, высота правильного тетраэдра равна

Площадь правильного треугольника – основания тетраэдра – Значит, объем правильного тетраэдра равен

Площадь полной поверхности тетраэдра в четыре раза больше площади его основания:

Двугранный угол при боковой грани для правильного тетраэдра, очевидно, равен углу наклона боковой грани к плоскости основания:

Плоский угол при вершине правильного тетраэдра равен

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания можно найти из

Радиус вписанной сферы для правильного тетраэдра можно найти по известной формуле связывающей его с объемом и площадью полной поверхности тетраэдра (отметим, что последняя формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу). В нашем случае имеем

Найдем радиус описанной сферы. Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на его высоте, так как именно прямая перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр, а на этой прямой должна лежать точка, равноудаленная от всех вершин основания тетраэдра. Пусть это точка тогда Имеем Применим теорему Пифагора к треугольникам и

Отметим, что

Интересно вычислить то есть тот угол, под которым видно ребро правильного тетраэдра из центра описанной сферы. Найдем его:

Значит, Это знакомая нам величина из курса химии: это угол между связями в молекуле метана, который удается очень точно измерить в эксперименте, а поскольку ни один атом водорода в молекуле СН4, очевидно, ничем не выделен, то разумно предположить, что эта молекула имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

Рисунок 8.5.2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *