Как найти уравнение медианы
Перейти к содержимому

Как найти уравнение медианы

  • автор:

Прямая на плоскости. Примеры решений

Задание. Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС.
а) Найти уравнения сторон треугольника АВС.
б) Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС.
в) Найти уравнение одной из высот треугольника АВС.
г) Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС.
д) Найти площадь треугольника АВС.

Решение проводим с помощью калькулятора.
Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj — xi; Y = yj — yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi — координаты точки Аi; xj, yj — координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 — x1; Y = y2 — y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:

γ = arccos(0.6) = 53.13 0
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:

Найдем проекцию вектора AB на вектор AC

5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) — вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:

Координаты точки А находятся по формулам:

Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:

или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC

или
y = 1 /3x + 1 /3 или 3y -x — 1 = 0
Уравнение прямой BC

или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)

9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1 /3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1 /3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1 /3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1 /3(x-(-1))
или
y = -1 /3x — 1 /3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:

Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x — 1 = 0

^A ≈ 53 0
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 26.5 0
Тангенс угла наклона AB равен 3 (т.к. y -3x +5 = 0). Угол наклона равен 72
^NKA≈ 180 0 — 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 — (108 0 + 26.5 0 ) ≈ 45.5 0
tg(45.5 0 ) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y — y0 = k(x — x0)
y — 1 = 1(x — 2)
или
y = x -1
Скачать

Пример. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2).
Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

  1. составить уравнение медианы, проведенной из вершины B, и вычислить ее длину.
  2. составить уравнение высоты, проведенной из вершины A, и вычислить ее длину.
  3. найти косинус внутреннего угла B треугольника ABC.

  • Решение
  • Видео решение

Координаты векторов находим по формуле: X = xj — xi; Y = yj — yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi — координаты точки Аi; xj, yj — координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 — x1; Y = y2 — y1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Длина сторон треугольника
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) — вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или
y = -3 /4x -15 /4 или 4y + 3x +15 = 0
Угловой коэффициент прямой AB равен k = -3 /4
Уравнение прямой AC

или
y = 13 /16x + 65 /16 или 16y -13x — 65 = 0
Угловой коэффициент прямой AB равен k = 13 /16

  1. Записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов.
  2. Найти угол между векторами.
  3. Найти проекцию вектора на вектор.
  4. Найти площадь грани ABC.
  5. Найти объем пирамиды ABCD.
  • Решение
  • Видео решение

Площадь грани находим по формуле:

Тогда площадь грани A1A2A3 будет равна:

где определитель матрицы равен: ∆ = 1 • (2 • (-3)-(-1) • (-2))-(-2) • (1 • (-3)-(-1) • (-1))+(-3) • (1 • (-2)-2 • (-1)) = -16
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2 находим как:

(x-1)(1 • (-2)-2 • (-1)) — (y-0)(1 • (-2)-(-2) • (-1)) + (z-2)(1 • 2-(-2) • 1) = 4y + 4z-8 = 0
или y + z — 2 = 0
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

т.е. уравнение высоты равно:

Задание. По координатам вершин пирамиды А1,А2,А3,А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3;4) объем пирамиды А1А2А3А4
A1(3;5;4,0,0), A2(8;7;4,0,0), A3(5;10;4,0,0), A4(4;7;9,0,0):Пример №10

Пример. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите длину ребра AB, косинус угла между векторами, уравнение ребра, уравнение грани, уравнение высоты.
Решение

Пример. Даны вершины треугольника А(1, –1, -3), В(2, 0, -10), С(3, 0, -2).
а) Найти уравнение биссектрисы и высоты данного треугольника, проведенных из вершины A .
б) Найти уравнения всех его медиан и координаты точки их пересечения.
см. также Как найти периметр треугольника

Учебно-методический

√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия

Библиотека материалов

√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ

Инвестиции с JetLend

Удобный сервис для инвестора и заемщика. Инвестируйте в лучшие компании малого бизнеса по ставкам от 16,9% до 37,7% годовых.

  • Задать вопрос или оставить комментарий
  • Помощь в решении
  • Поиск
  • Поддержать проект

Правила ввода данных

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поиск

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

  1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
  2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.

\[x_{A_1 } = \frac{{x_B + x_C }}{2} = \frac{{6 + ( - 3)}}{2} = 1,5;\]

\[y_{A_1 } = \frac{{y_B + y_C }}{2} = \frac{{ - 3 + ( - 7)}}{2} = - 5.\]

Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA1: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC

\[x_{B_1 } = \frac{{x_A + x_C }}{2} = \frac{{3 + ( - 3)}}{2} = 0;\]

\[y_{B_1 } = \frac{{y_A + y_C }}{2} = \frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3.\]

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:

\[x_{C_1 } = \frac{{x_A + x_B }}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = 4,5;\]

\[y_{C_1 } = \frac{{y_A + y_B }}{2} = \frac{{1 + ( - 3)}}{2} = - 1.\]

\[\left\{ \begin{array}{l} - 7 = k \cdot ( - 3) + b; \\ - 1 = k \cdot 4,5 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = 0,8;b = - 4,6.\]

Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.

Уравнение медианы треугольника.

Даны координаты вершин треугольника A(-1;1;-2), B(-2;1;2), C(-3;2;-2). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины А к ВС.

Лучший ответ

1) найдем координаты точки M — середины BC
x=(-2+(-3))/2=-5/2
y=(1+2)/2=3/2
z=(2+(-2))/2=0

Остальные ответы
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *