Как найти угол между прямыми по координатам
Перейти к содержимому

Как найти угол между прямыми по координатам

  • автор:

2.5.7. Как найти угол между прямыми?

Новая картинка за очередным поворотом:
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или отрицательно ориентированный «малиновый» угол . Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принять любой из 4 углов.
…что-то не понятно? Срочно изучаем Приложение Тригонометрия!

Однако ещё раз: чем отличаются углы ? Ориентацией (направлением «прокрутки» угла). Напоминаю, что отрицательно ориентированный угол «прокручивается» по часовой стрелке и записывается со знаком «минус». Следует отметить, что ориентацию угла часто не принимают во внимание, и рассматривают «просто угол», который .

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют три основные формулы.

Способ первый. Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями в декартовой системе координат:

Если , то прямые перпендикулярны ( либо ).

Если , то прямые не перпендикулярны и ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Задача 83

Найти угол между прямыми , заданными в декартовой системе координат.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим произведение:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём с помощью формулы:

И с помощью обратной функции (см. Приложение Тригонометрия) легко найти сам угол, при этом используем нечётность арктангенса:

Ответ:

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного, вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи «первым номером» идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё. Если очень хочется получить положительное значение, то нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты – из первого уравнения . Короче говоря, начать нужно
с прямой .

Скрывать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того.

Способ второй, он удобен, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: (в декартовых координатах).

Если , то прямые перпендикулярны ( либо ).

Если , то ориентированный угол между ними можно найти с помощью формулы:
, и на самом деле это частный случай предыдущей формулы.

К слову, из равенства следует полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется в некоторых задачах.

Решим Задачу 83 вторым способом, для этого перепишем прямые в нужном виде:

Таким образом, угловые коэффициенты: , и алгоритм похож:

1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Используем формулу:

Ответ:

И третий способ состоит в нахождении угла между направляющими векторами прямых с помощью скалярного произведения: , но здесь не принимается во внимание ориентация угла (по любому получится ). Кроме того, он может оказаться тупым, и тогда придётся делать оговорку, что угол между прямыми – это меньший угол, и из радиан (не из !) вычитать получившийся арккосинус.

Какой способ выбрать? Ориентируйтесь на вашу задачу, методичку или ситуацию.

Задача 84

Найти угол между прямыми .

Самостоятельно, всеми тремя способами! Решение и ответ в конце книги.

И по просьбам учащихся ещё один пункт:

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Как найти угол между прямыми по координатам

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим плоскость с декартовой системой координат. И рассмотрим прямую l лежащую на этой плоскости.

Пор. Углом наклона прямой l к оси абсцисс называется угол, на который надо повернуть ось Х чтобы она стала параллельной данной прямой. Этот угол называется положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки.

Опр. Углом наклона между прямыми l 1 и l 2 называется угол между направляющими векторами этих прямых.

Найдем выражение угла через cosφ .

Даны вектора m 1 (- B 1; A 1) и m 2 (- B 2ж A 2)

Тогда угол можно найти из ab =/ a /*/ b /* cosφ

Пусть прямые заданы с помощью угловых коэф.

tg a =tg( a 2- a 1)=(k2-k1)/(1+k2*k1 )

Угол между прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j 1 или j = 180 0 — j 1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

Условия параллельности и перпендикулярности

прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

Угол между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением , а прямая — . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 90 0 — j , где a — угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

Угол между двумя прямыми

Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

Формула скалярного произведения

Посмотрим, как эта формула работает на конкретных примерах:

Куб

Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.

Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A1B1, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).

Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B1C1. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

Косинус угла между векторами

Задача. В правильной трехгранной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.

Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA1. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A1B1. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).

Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C1B1 — чуть сложнее. Имеем:

Координаты точки E и вектора BE

Осталось найти косинус угла:

Косинус второго угла между векторами

Шестигранная призма

Задача. В правильной шестигранной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL.

Введем стандартную для призмы систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y — через середины отрезков AB и DE, а ось z — вертикально вверх. Единичный отрезок снова равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек:

Координаты точек A, B, K и L

Точки K и L — середины отрезков A1B1 и B1C1 соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL:

Координаты векторов AK и BL

Теперь найдем косинус угла:

Косинус третьего угла между векторами

Четырехугольная пирамида

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F — середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1.

Точки E и F — середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Координаты точек E и F

Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AE и BF:

Координаты векторов AE и BF

Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, поскольку точка A — начало координат. Осталось найти косинус угла:

Косинус четвертого угла между векторами

Смотрите также:

  1. Задача 14: Угол между плоскостями сечения
  2. Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
  3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Текстовые задачи про рельсы
  6. Задача B4: Семья из трех человек едет из Москвы в Нижний Новгород
  • Вход для учеников
  • ЕГЭ-2024
  • Часть 1
  • 1. Уравнения
  • 2. Вероятность
  • 3. Планиметрия
  • 4. Тригонометрия
  • 5. Стереометрия
  • 6. Производные
  • 7. Формулы
  • 8. Текстовые задачи
  • 11. Экстремумы функций
  • Часть 2
  • 12. Тригонометрические уравнения
  • 13. Сложная стереометрия
  • 14. Сложные неравенства
  • 15. Экономические задачи
  • 16. Сложная планиметрия
  • 17. Задачи с параметром
  • 18. Теория чисел
  • Архив
  • X1. Движение и время
  • X2. Графики
  • X3. Площади
  • X4. Стереометрия
  • X5. Экономика
  • Об экзамене
  • Советы
  • 2014
  • 2015
  • 2016
  • 2017
  • 2018
  • 2019
  • Школьникам
  • Студентам
  • Реклама
  • Обо мне
  • © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
    ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
  • При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
    Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
  • Карта сайта

Угол между скрещивающимися прямыми. Метод координат. Задание С2

В этой статье я расскажу, как находить угол между скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

Если мы решили использовать этот метод, то будем придерживаться такого алгоритма:

1. Вводим систему координат.

2. Находим координаты направляющих векторов данных прямых.

3. По формуле косинуса угла между векторами находим косинус угла между направляющими векторами.

Косинус угла между векторами vec(x_1;y_1;z_1) и vec<b>(x_2;y_2;z_2)» /> вычисляется по формуле:</p>
<p><img decoding=

=++>/> >» />

Вот, собствено, и все.

Важное уточнение: за угол между прямыми принимают меньший из двух углов, образованный этими прямыми, поэтому косинус угла между прямыми должен быть больше нуля, и он равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

В правильной шестиугольной призме A. F_1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA_1и DB_1: 1 . Введем систему координат:

2 . а) Найдем координаты направляющего вектора прямой A_1B, для этого найдем координаты точек A_1и B.

Длину отрезка AEнайдем по тереме косинусов из треугольника AOE:

AE =sqrt<1^2+1^2-2*1*1cos<120^<circ></p>
<p>>>=sqrt» /></p>
<p><img decoding=, для этого найдем координаты точек B_1и D

B_1 (1;sqrt<3></p>
<p>;1)» /></p>
<p><img decoding=

vec<B_1D ></p>
<p>(0;-sqrt;-1)» /></p>
<p><strong>3</strong> . Найдем косинус угла <img decoding=между векторами vec<A_1B >» /> и <img decoding=Как добавить музыку на сайт html

  • Как организовать вывод элементов множества
  • Как отключить кнопки f1 f12 на ноутбуке lenovo
  • Что такое размер страницы в ms publisher
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *