Как найти угол между диагоналями параллелепипеда
Перейти к содержимому

Как найти угол между диагоналями параллелепипеда

  • автор:

Вычислить угол между диагоналями параллелограмма.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить угол между диагоналями параллелограмма через формулы. Чтобы вычислить угол между диагоналями параллелограмма, просто введите ваши данные.

Содержимое

  1. Острый угол между диагоналями параллелограмма через площадь и диагонали.
  2. Угол между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону.
  3. Угол между диагоналями параллелограмма через две стороны и диагонали.

параллелограмм

  1. Четыре угла (∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD + ∠ DOA ) между диагоналями параллелограмма в сумме равны 360 градусам.
  2. Два смежных угла (∠ AOB + ∠ BOC ) или (∠ COD + ∠ DOA ) между диагоналями параллелограмма равны 180 градусам.
  3. Два противоположных угла (∠ AOD = ∠ BOC ) между диагоналями параллелограмма острые и равные, другие два противоположных угла (∠ AOB = ∠ COD ) тупые и равные.
  4. Острый угол между диагоналями параллелограмма равен отношению двух площадей параллелограмма на произведение диагоналей.

Острый угол между диагоналями параллелограмма через площадь и диагонали.

Острый угол между диагоналями параллелограмма через площадь и диагонали

sin α = 2 S D d

Где: d , D — диагонали, S — площадь.

Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, онлайн калькулятор

vkontakte

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник и ромб. Квадрат одновременно является частным случаем и прямоугольника и ромба, поэтому все выявленные для параллелограмма зависимости справедливы для прямоугольника, квадрата и ромба.

На практике необходимость определения угла между диагоналями на основе прочих элементов может возникнуть, в частности, при необходимости производства построений на местности и для перепроверки уже проведенных построений.

Калькуляторы

  • Острый угол между диагоналями параллелограмма через площадь и диагонали
  • Угол между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону
  • Угол между диагоналями параллелограмма через две стороны и диагонали

Через площадь и диагонали

Рис 1

Для нахождения острого угла между диагоналями параллелограмма следует воспользоваться формулой:

sin α = 2S/(Dd)

где α – острый угол между диагоналями, S – площадь параллелограмма, D и d – его диагонали.

Площадь ( S ):
Кор.диагональ ( d ):
Дл.диагональ ( D ):
Цифр после запятой:
Результат в:
Угол ( α ) = градус

Приведем пример расчета по формуле для наглядного случая, когда диагонали перпендикулярны, и площадь данного ромба равняется половине площади прямоугольника, в который данный ромб можно вписать.

При D = 20 мм, d = 10 мм, площадь описанного прямоугольника равна 20*10=200 мм² , откуда S = 200/2=100 мм² .

Вычисления дают sin α = 2S/(Dd) = 2*100/(20*10) = 1 , откуда α = 90° . Известный факт – диагонали ромба перпендикулярны.

Через две стороны и диагонали

Рис 3

В предыдущей формуле угол определялся через диагонали и одну сторону, в данной задаче требуется определить угол по диагоналям и 2 сторонам. Тем самым, одно из условий является избыточным, и фигура по произвольным данным может не оказаться параллелограммом. Но для случая параллелограмма, т.е. взаимной увязки данных, формулы таковы:

cos α = (b2-a2)/(Dd), cos β = (a2-b2)/(Dd)

где a и b – стороны параллелограмма, α и β – углы между диагоналями (взаимно дополнительные до 180°).

Сторона ( b ):
Сторона ( a ):
Дл.диагональ ( D ):
Кор.диагональ ( d ):
Цифр после запятой:
Результат в:
Угол ( α ) = градус

Пример приведем по предыдущему случаю, остается только рассчитать недостающую сторону b, которая из простых соображений (воспользовавшись правилом длины катета против угла в 30°) оказывается равной 20 мм. Вычисляем: cos α = (b²-a²)/(Dd) = (20²-34,64²)/(40*40) = -0,5 , откуда α = 120° .

Через диагонали и сторону

Рис 2

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону формула такова:

cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd)

где a – сторона параллелограмма, остальные обозначения прежние.

Дл.диагональ ( D ):
Кор.диагональ ( d ):
Сторона ( a ):
Цифр после запятой:
Результат в:
Угол ( α ) = градус

Здесь следует считаться с тем, что если в предыдущей задаче угол по условию являлся острым, в данной задаче он может быть и тупым, с отрицательным значением косинуса угла.

Пример расчета опять-таки по наглядному случаю, когда обе диагонали равны. Это прямоугольник с диагоналями D = 40 мм и d = 40 мм. При угле между диагоналями 120° половина диагонали составит 40/2 = 20 мм , половина высоты прямоугольника (она же – половина короткой стороны) составит половину от половины диагонали (в прямоугольном треугольнике противолежащий углу в 30° катет равен половине гипотенузы), т.е. 10 мм, откуда половина стороны параллелограмма составит √(20²-10²)=√300=17,32 мм , а сторона параллелограмма a = 2*17,32=34,64 мм .

Подставляем в формулу: cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd) = (40²+40²-4*34,642) = ‑1600/(2*40*40) = -0,5 . Значению косинуса -0,5 соответствует угол 120°. Это же значение даст и калькулятор.

Квадрат достаточно задать одним элементом – стороной. Для задания прямоугольника необходимо задать уже две его смежные стороны; для ромба сторону и угол между сторонами. Для задания же параллелограмма необходимо задание 3 его взаимно независимых элементов. Это могут быть 2 смежные стороны и угол между ними, но возможно и иное задание.

В любом четырехугольнике можно провести 2 диагонали, и они также могут входить в набор элементов для задания фигуры. В данной статье приводятся справочные формулы для определения угла между диагоналями параллелограмма через другие его элементы. Рассчитать же этот угол для каждого из 3 рассматриваемых случаев позволят калькуляторы сайта, в которые необходимо ввести известные элементы, и в результате получить синус или косинус искомого угла либо сам угол в градусах или радианах.

Как найти угол между диагоналями параллелепипеда

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите угол между скрещивающимися диагоналями двух граней с общим ребром a .

Решение

Пусть ABCDA 1B 1C 1D 1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA 1|| BB 1|| CC 1|| DD 1 , AB = a , AD = b , AA 1 = c . Найдём угол между диагональю A 1C 1 грани A 1B 1C 1D 1 и диагональю AB 1 грани AA 1B 1B . Так как A 1C 1|| AC , то угол между скрещивающимися прямыми A 1C 1 и AB 1 равен углу между пересекающимися прямыми AC и AB 1 . Проведём сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершины A , B 1 и C . Получим треугольник со сторонами
AC = , AB 1 = , B 1C = .
По теореме косинусов находим, что
cos CAB 1 = =

= = > 0.
Следовательно, угол между прямыми A 1C 1 и AB 1 равен
arccos .

Пусть ABCDA 1B 1C 1D 1 – прямоугольный параллелепипед, в котором AA 1|| BB 1|| CC 1|| DD 1 , AB = a , AD = b , AA 1 = c . Обозначим = , = , = . Тогда
= + , = — .
Если γ – угол между прямыми A 1C 1 и AB 1 , то
cos γ = = = > 0.
Следовательно,
γ = arccos .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8315

Как найти угол между диагоналями параллелепипеда

Параллелепипед и куб

    1) Все его грани — прямоугольники. Противоположные грани — равные прямоугольники. 2) Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали. 3) Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам. 4) Все диагонали параллелепипеда равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 5) Точка пересечения диагоналей является центром описанного шара. 6) Квадрат диагонали AK прямоугольного параллелепипеда равен квадратному корню из суммы квадратов длин его измерений, то есть АК 2 = a 2 + b 2 + c 2 . 7) Объем любого прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его измерений, то есть V = abc . 8) Площадь боковой поверхности S=2ab+2bc+2ac . 9) Объем куба V =a 3 . 10) Свойство диагоналей куба: диагональ MC куба ABCDMNKP перпендикулярна плоскостям ( ANP ) и ( KBD ) и делится этими плоскостями на три равных отрезка: MQ=QE=EC .
Перейти к выполнению теста: Тест. Параллелепипед и куб

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *