Как найти точку пересечения двух прямых
Перейти к содержимому

Как найти точку пересечения двух прямых

  • автор:

Как найти точку пересечения двух прямых

Пример:

Даны две прямые, которые заданы уравнениями

Найти точку пересечения этих прямых.

Решение:

1. В первом уравнении выводим значение y:

2. Во второе уравнение вносим полученное значение y, образовав тем самым подобные пары с x:

Теперь уже легко можно вычислить числовое значение x. Раскрываем скобки, сводим подобные числа и находим x:

3. Найдя числовое значение x, мы сможем теперь найти и числовое значение y. Это проще сделать с помощью первого уравнения:

Ответ: точка пересечения двух прямых (–3; –7).

Нахождение точки пересечения двух линий по углам и известным точкам (биангуляция)

Найти точку пересечения двух прямых отложенных от двух точек с известными координатами и азимутов от этих точек.

Применение

Для изучения поведения животных часто используют радиотелеметрический метод: исследуемый объект помечается радиопередатчиком, который испускает радиосигнал определенной частоты и далее исследователь при помощи приемника и принимающей антенны следит за перемещениями этого объекта. Одним из возможных способов определения точного местоположения объекта является метод биангуляции. Для этого исследователю требуется взять 2 азимута на исследуемый объект с точек с известными координатами. Местоположение объекта будет соответствовать точке пересечения этих двух азимутов. Координаты точек, с которых засекаются азимуты можно снять с помощью спутникового навигатора (GPS), либо азимуты снимаются с реперных точек, координаты которых известны заранее. Азимут в этом случае – направление на источник наиболее сильного сигнала, исходящего от меченного передатчиком объекта, измеряемое обычно в градусах.

Перед расчетами необходимо точки полученные с помощью GPS перевести в спроецированную систему координат, например соответствующую зону UTM, это можно сделать с помощью DNRGarmin.

Для того чтобы рассчитанное местоположение исследуемого объекта наиболее точно соответствовало реальному положению нужно учитывать следующее:

1) необходимо стараться дождаться момента, чтобы ошибка определения координат в навигаторе была как можно меньше.

2) чтобы угол между азимутами стремился к 90 градусам (по крайней мере, был больше 30 и меньше 150 градусов).

Расстояние, с которого следует снимать азимут, зависит от дальности действия передатчика, при этом применяется эмпирическое правило, что погрешность в определении азимута увеличивается на 1 метр с удалением от исследуемого объекта на каждые 10 м. Т.о. при снятии азимута с расстоянием до объекта 100 м погрешность составит 10 м. Однако, это правило применимо на ровной открытой местности. Следует учитывать, что неровности рельефа и древесно-кустарниковая растительность экранируют и отражают сигнал. Следует избегать нахождения в непосредственной близости от исследуемого объекта, т.к. во-первых, слишком сильный сигнал затруднит определение точного азимута, а, во-вторых, в некоторых случаях будет невозможно рассчитать точку пересечения из-за того, что второй азимут будет проходить за точкой снятия первого азимута. Временной интервал между снятием пары азимутов должен быть минимизирован, но, конечно, зависит от подвижности исследуемого животного.

Решение

Задача решается с помощью простейшей геометрии и решения системы уравнений.
Для начала из точки и азимута получаем уравнение прямой, для этого:

Из уравнения общего вида:

ax + by + c = 0

при условии, что b<>0 получаем

y = kx + d, где k=-(a/b), d=-(c/b)

таким образом, получаем

Далее решив систему уравнений:

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Получаем координаты X и Y общей точки двух прямых (точки пересечения).

В уравнении необходимо предусмотреть два особых случая, когда прямые параллельны (k1=k2).

Так как мы имеем дело не с векторами и не с лучами, то есть у линий нет начала и конца, то так же необходимо предусмотреть случай пересечения прямых вне области интереса, т.н. ложное пересечение. Решение этой задачи достигается измерением азимута из ложной точки a3 на точку 2, если азимут a3 = a2, то пересечение ложное, обратный азимут от полученной точки обратно на исходные 2 не должен быть равен одному из исходных азимутов.

Необходимая процедура на языке Avenue выглядит так:

 a1rad = (90-a1)*pi/180 
a2rad = (90-a2)*pi/180
'в случае если линия параллельна оси абсцисс
if ((a1 = 0) or (a1 = 180)) then
l1a = 1
l1b = 0
l1c = x1
else
l1a = -(a1rad.tan)
l1b = 1
l1c = y1 - (a1rad.tan*x1)
end
if ((a2 = 0) or (a2 = 180)) then
l2a = 1
l2b = 0
l2c = x2
else
l2a = -(a2rad.tan)
l2b = 1
l2c = y2 - (a2rad.tan*x2)
end
D1 = l1a*l2b
D2 = l2a*l1b
D3 = D1 - D2
'
Если линии параллельны, в поле результата записываются несуществующие значения
if (D3 = 0) then
resX = 9999
resY = 9999
else resX = ((l1c*l2b) - (l2c*l1b))/D3
resY = ((l1a*l2c) - (l2a*l1c))/D3 end

Здесь находится расширение для Arcview GIS для расчета точек пересечения двух прямых, включая проверку ложных пересечений.

В качестве исходных данных для работы используется точечная тема Arcview (в формате shape или заданная как Event theme таблица). Тема должна быть выделена (активна). Пары исходных координат (засечек) в таблице должны располагаться друг за другом.

Названия полей должны быть следующими:
X — долгота
Y — широта
Bear — азимут (угол от оси Y по часовой стрелке)
(скрипт легко модифицируется если у вас другие названия полей).

В названиях полей не должно содержаться символа #. Такие поля следует переименовать. Покрытия Arcinfo некоторые поля которых как правило содержат такой символ нужно сконвертировать в shape-файл и также переименовать поля, убрав #.

Результатом работы скрипта является shape-файл в атрибутивной таблице которого будут находится расчетные координаты точки пересечения для каждой пары засечек. Полей в исходной таблице может быть больше чем 3 (x, y, bear), дополнительные поля перенесутся в результирующую тему. Они будут заполнятся значениями из первой точки пары из исходной таблицы.

Ссылки по теме

  • Уравнение прямой
  • Решение линейных систем уравнений (систем уравнений 1-й степени) с двумя неизвестными
  • Вычисление радиуса окружности ошибки для оценки точности GPS-измерений
  • Усреднение данных о перемещении с учетом ошибки локации
  • Построение минимального конвексного полигона с учетом ошибки локации

Онлайн калькулятор. Точка пересечения прямых

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления координат точки пересечения прямых.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление координат точки пересечения двух прямых и закрепить пройденный материал.

Найти точку пересечения прямых

Точка пересечения прямых

Уравнение 1-ой прямой:

Уравнение 2-ой прямой:

Ввод данных в калькулятор для вычисления координат точки пересечения прямых

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления координат точки пересечения прямых

  • Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Координаты точки пересечения двух прямых

Точка пересечения прямых

Определение. Точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых.

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Аналитический метод решения. Для поиска точки пересечения прямых, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

И вот вам, кстати, геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые. И реже:
– если система несовместна (без решений), то прямые параллельны;
– если , то прямые совпадают, то есть, фактически нам дано не два, а одно уравнение.

Задача 77

Найти точку пересечения прямых

Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:
Искомая точка: .

Для проверки следует подставить её координаты в уравнение каждой прямой, они должны подойти и там, и там. Графический способ, конечно, неплох, но существует и заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему, уравнения проще всего сложить почленно:

Ответ:

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы. К слову, этой задачей мы заодно рассмотрели графический способ решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Задача 78

Найти точку пересечения прямых , если известны координаты точек

Это задача для самостоятельного решения, которое удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что нужно:

1) составить уравнение прямой ;
2) составить уравнение прямой ;
3) выяснить взаимное расположение прямых ;
4) если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

В первой части параграфа мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, и сейчас избушка на курьих ножках разворачивается на 90 градусов:

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *