Как найти точку пересечения биссектрис треугольника
Перейти к содержимому

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника

  • автор:

Точка пересечения биссектрис треугольника

В треугольнике есть три характерные линии: высоты, медианы и биссектрисы. Для каждой из этих линий есть своя точка пересечения, характеризующая треугольник. Первой всегда изучают точку пересечения биссектрис, потому что именно она дает представление о взаимосвязи величин треугольника и связанных с ним окружностей.

Определение

Точка соединения биссектрис это одна из самых проблемных точек. Она ведет к пониманию вписанных и описанных фигур, восприятие которых очень затруднено. Приходится думать не только о треугольнике, а еще и об окружностях, вписанной и описанной, что затрудняет решение задачи.

Но с другой стороны, значения радиусов вписанной и описанной окружности фигурирует во многих формулах, что позволяет упростить решение многих задач. Но для начала разберемся, что такое вписанная и описанная окружность, а потом узнаем, как это связано с точкой пересечения биссектрис и связано ли вообще.

В произвольном остроугольном треугольнике характерные точки не совпадают, а соединив их можно получить золотое сечение треугольника, для правильного треугольника золотое сечение является точкой. В равнобедренном треугольнике золотое сечение становится линией.

Вписанная окружность, это окружность, которая касается каждой из сторон треугольника.

Центр такой окружности называется инцентром треугольника. При этом, инцетр, или точка пересечения биссектрис тупоугольного треугольника всегда находится внутри треугольника, в отличие от высот.

Расстояние от инцентра до каждой из сторон одинаково и является радиусом вписанной окружности. Треугольник в таком случае будет считаться описанным вокруг окружности.

Описанной окружностью считается окружность, касающаяся каждой из вершин треугольника. То есть, каждая вершина должна входить в границу окружности. Треугольник в этом случае наоборот будет считаться вписанным, а расстояние от вершин треугольника до центра окружности будет всегда одинаковым и равным радиусу описанной окружности.

Теоремы о точке пересечения биссектрис

Теорема, на самом деле, одна, но доказательство разбито на две части. Формулировка звучит так: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности.

Сначала докажем, что три биссектрисы пересекаются в одной точке. Для этого в треугольнике АВС проведем биссектрисы ВМ, СР и АК. Точку пересечения обозначим О. Тогда рассмотрим каждую биссектрису в отдельности. Для биссектрисы АК расстояния до сторон треугольника а и в, должны быть одинаковы. Для биссектрисы СР расстояния с и а должны быть одинаковы. Для биссектрисы ВМ расстояния в и с должны быть одинаковы. Отрезки а, в и с равны между собой по свойству биссектрисы: любая геометрическая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.

А точка равноудаленная от каждой из сторон может быть только одна. Достаточно попробовать поставить точку пересечения в другом месте и сразу станет заметно, что условие не соблюдается, что невозможно.

Мы уже сказали, что в треугольнике только одна точка может быть равноудалена от всех сторон. Это означает, что окружность с центром в этой точке будет вписана в треугольник, так как радиус этой окружности будет перпендикулярен стороне треугольника. Теперь докажем, что в треугольнике может быть только одна вписанная окружность. Если точку о переместить в любое другое место треугольника и опустить перпендикуляры на стороны, то станет ясно, что перпендикуляры не равны между собой, а значит в этой точке центр находиться не может. Что и требовалось доказать.

Что мы узнали?

Мы узнали о точке пересечения биссектрис треугольника, выделили и доказали две части теоремы. Доказали, что в треугольнике может быть только одна вписанная окружность и узнали о золотом сечении треугольника.

Точка пересечения биссектрис

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Для этого надо сначала составить уравнения биссектрис треугольника и найти точку их пересечения.

Дан треугольник ABC с вершинами в точках A(0;-3), B(12;-12) и C(3,36;-0,48).

1) Найти точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

2) Найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

3) Составить уравнение вписанной в треугольник ABC окружности.

1) Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

\[\frac{{y - ( - 3)}}{{ - 12 - ( - 3)}} = \frac{{x - 0}}{{12 - 0}}, \]

Уравнение прямой AC:

\[\frac{{y - ( - 3)}}{{ - 0,48 - ( - 3)}} = \frac{{x - 0}}{{3,36 - 0}},\]

\[3,36(y + 3) = 2,52x,\]

\[2,52x - 3,36y - 10,08 = 0,\]

Уравнение прямой BC:

\[ \frac{{y - ( - 12)}}{{ - 0,48 - ( - 12)}} = \frac{{x - 12}}{{3,36 - 12}},\]

\[ - 8,64(y + 12) = 11,52(x - 12),\]

\[- 3(y + 12) = 4(x - 12),\]

Составим уравнение биссектрисы треугольника ABC, исходящей из угла B. Она образована прямыми AB и BC:

\[ \frac{{3x + 4y + 12}}{{\sqrt {3^2 + 4^2 } }} = \pm \frac{{4x + 3y - 12}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }}, \]

откуда уравнения биссектрис угла B: x-y-24=0 или x+y=0. Чтобы понять, которое из двух уравнений является биссектрисой внутреннего угла треугольника, следует подставить в уравнения координаты точек A и C. Поскольку они лежат по разные стороны от биссектрисы внутреннего угла B, то подстановка их координат в уравнение биссектрисы даёт числа разных знаков.

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x+y=0: 0+(-3)0. Получили числа разных знаков, x+y=0 — биссектриса угла B треугольника ABC.

Составим уравнение биссектрисы угла C. Угол C образован прямыми AC и BC, откуда

\[\frac{{3x - 4y - 12}}{{\sqrt {3^2 + ( - 4)^2 } }} = \frac{{4x + 3y - 12}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }},\]

уравнения биссектрис угла C: 7x-y-24=0 и x+7y=0.

A(0;-3), B(12;-12) в 7x-y-24=0: 7·0-(-3)-240. Получили числа разных знаков, значит 7x-y-24=0 — уравнение биссектрисы внутреннего угла C.

Поскольку все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, третью биссектрису находить не требуется.

Точку пересечения биссектрис углов B и C найдём из системы уравнений

O(3;-3) — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

2) Радиус вписанной в треугольник ABC окружности можно найти как расстояние от точки O до прямой AB, BC или AC. Найдем, например, расстояние от O до AB:

\[ r = \left| {OF} \right| = \frac{\left \right|}}{{\sqrt {4^2 + 3^2 } }} = \frac{9}{5}. \]

3) Чтобы найти уравнение вписанной в треугольник ABC окружности, в уравнение окружности подставляем координаты центра O(3;-3) и r=9/5:

Найти точку пересечения бессектрис треугольника, если даны координаты его вершин.

Если известны координаты точек, то Вы можете найти длины сторон, а потом найти точки, в которых биссектрисы пересекают противоположные стороны, пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении и и теоремой о том, что биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Например, если у Вас треугольник АВС и нужно найти биссектрису ВЕ, то сначала нужно вспомнить, что АЕ/ЕС=АВ/ВС. Потом обозначаете это отношение за лямбда найдёте координаты Е, как точки, делящей отрезок АС в отношении лямбда. Ну а зная координаты двух точек на биссектрисе, можно найти ей уравнение. Достаточно найти уравнение двух биссектрис и потом решить их как систему, чтобы найти точки пересечения.

Остальные ответы

Тяжеловато, но можно так. Составить ур-я прямых треуг-ка, сост-ть ур-е биссектрис (наверное коэф при х будет средним
среди коэф прямых) , потом пересечение посчитать. Если очень нужно могу эту версию на выходных на бумаге прикинуть

Построить точку пересечения биссектрисс за наименьшее число операций

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

У меня не совсем обычная задача. Дан треугольник, требуется построить точку пересечения биссектрисс, НО! есть ограничение — 6 элементарных операций. Элементарная операция — это построение окружности (по центру и точке на ней) либо прямой (через две точки). Отметить точку — «бесплатно».

Что делаю я?
Пусть треугольник у нас ABC.
(«о» — строю окружность)
1. o AB -> K на AC.
2. o BA
3. o KA
4. линия через точки пересечения о BA и о KA.
Получаю одну биссектрису. А надо две.
Остаётся всего две операции.
А надо хотя бы ещё две окружности.
Подсказка гласит, что набор операций следующий: O O O | O | (O — окружность, | — линия.)

(PS. Откуда задачка? Из игры Euclidea.)

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти точку пересечения высот и точку пересечения биссектрис треугольника
Привет всем. Помогите срочно пожалуйста! Не знаю как решить задачу на делфи : Найти точку.

Определите, какое наименьшее число операций необходимо, чтобы получить из числа 1 число N
Имеется калькулятор, который выполняет три операции: 1. Прибавить к числу X единицу. 2. Умножить.

Определите, какое наименьшее число операций необходимо для того, чтобы получить из числа 1 заданное число N
Имеется калькулятор, который выполняет три операции: Прибавить к числу X единицу. Умножить.

6833 / 4893 / 2066
Регистрация: 02.02.2014
Сообщений: 13,057

о АВ уже построена
5. о КВ
6. прямая от В к точке пересечения АВ и КВ

Эксперт Python

4632 / 2050 / 361
Регистрация: 17.03.2012
Сообщений: 10,134
Записей в блоге: 6

Нашёл решение тут
https://www.youtube.com/watch?v=JVedsjkq00k
(да, я читер, признаю). чёрт, и ведь не так сложно.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Возведение числа в степень за наименьшее число операций
Подскажите как число возвести в степень ( и число и степень надо задать), и надо сделать при этом.

Получить значение за наименьшее число произведенных операций
дано число x. получить значение -2x+3x^2-4x^3 с наименьшим числом произведенных операций в scilab

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *