Как найти сторону параллелепипеда
Перейти к содержимому

Как найти сторону параллелепипеда

  • автор:

Боковое ребро параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед является прямой призмой, в основании которой лежит квадрат или прямоугольник, таким образом, совокупность ребер прямоугольного параллелепипеда может представлять собой два или три разных параметра. Если же они все равны между собой, то можно с уверенностью сказать, что такой параллелепипед является кубом, и его ребро можно найти по формулам, приведенным в разделе «Ребро куба».
Ребро прямоугольного параллелепипеда можно найти, зная объем тела и другие ребра: Также можно рассчитать ребро прямоугольного параллелепипеда через площадь боковой или полной поверхности, тоже зная остальные два ребра: Как и в случае с кубом, внутри прямоугольного параллелепипеда можно провести диагональ, которая соединит противоположные вершины оснований. В прямоугольном треугольнике диагональ параллелепипеда D будет гипотенузой, а диагональ основания d и ребро a – катетами. Тогда боковое ребро параллелепипеда можно будет найти через теорему Пифагора.

Если дана диагональ параллелепипеда, но нужно найти ребро, не входящее во внутренний прямоугольный треугольник, а являющееся стороной основания, то формула придет к точно такому же виду.

Как найти сторону основания параллелепипеда, если его высота равна 8 см?

А полная поверхность прямоугольного параллел. (основание квадрат) = 264 см^2.

Голосование за лучший ответ

Не понял, что значит выражение в скобках. Если его не учитывать, то основание, умноженное на высоту дает площадь параллелепипеда. Следовательно 264 делим на 8, узнаем длинну стороны основания.

Юлия СкабаЗнаток (446) 11 лет назад

основание параллелепипеда-квадрат

из уравнения
2a^2+4a*8=264

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Боковое ребро параллелепипеда

Четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм, является параллелепипедом. В параллелепипеде 6 граней: 4 — боковые и 2 — его основание. Грани, как правило, представляют собой параллелограмм. Противолежащие грани параллельны и равны. Параллелепипеды бывают прямыми и наклонными. У прямого параллелепипеда боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным. У него все шесть граней — прямоугольники, противоположные стороны которых параллельны и равны, а все углы — прямые. Прямоугольный параллелепипед строится на трех ребрах, расположенных друг к другу под прямым углом. Длины этих ребер, обладающих общим концом, называются его измерениями.

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда можно рассчитать несколькими способами, в зависимости от исходных данных.
Если известны объем (V) и два ребра (b, c) правильного параллелепипеда, третье ребро (а) будет равно частному от деления объема на произведение двух ребер (b×c):

a = V / bc

Если известна площадь боковой поверхности и два ребра (b, c), находим неизвестное ребро (а) путем деления площади боковой поверхности (S) на удвоенную сумму двух известных ребер 2 (b+c).

a = Sб.п. / 2 (a+c)

Если известны два ребра (b, c) и полная площадь поверхности (S п.п.), неизвестное ребро (а) находим по формуле:

a = (Sп.п. — 2bc) / 2 (b+c)

Проведенный внутри параллелепипеда отрезок, соединяющий противоположные вершины двух его оснований, является диагональю параллелепипеда (D). Отрезок, соединяющий противоположные вершины одного из оснований, является диагональю основания (d). Внутри прямоугольного параллелепипеда можно построить прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой будет диагональ параллелепипеда D, одним из катетов — диагональ основания d, другим — боковое ребро параллелепипеда (а). Используя теорему Пифагора, выразим квадрат диагонали основания d (гипотенузу) как сумму квадратов его сторон (катетов) b, с. Отсюда, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда (D) равен сумме квадратов трёх его измерений (а,b,с). Зная ребра и диагональ параллелепипеда, находим боковое ребро по формуле:

a = √D 2 + d 2 = √D 2 + b 2 + c 2

где b, c — ребра параллелепипеда, a — боковое ребро параллелепипеда, D — диагональ параллелепипеда, d — диагональ основания.

Объем параллелепипеда

Каждый ученик 5 класса должен научиться вычислять объем параллелепипеда – многогранника, обладающего, пожалуй, самым смешным названием в школьном курсе геометрии. Но как, а главное, зачем ему это делать – разберемся вместе с экспертом-математиком.

Что такое объем параллелепипеда

Объем – это геометрическая характеристика любого трехмерного объекта, им обладает в том числе и параллелепипед. Объемом называется размер (или вместимость) занимаемого трехмерной фигурой пространства.

Говоря об объеме параллелепипеда простыми словами, можно привести в пример обыкновенный прямоугольный аквариум: сколько воды в него поместится – таков и его объем.

Полезная информация об объеме параллелепипеда

Термин «параллелепипед» пришел из латинского языка Где parallelepipedum представляет собой сложение греческих слов parallelos – «параллельный» и epipedon – «поверхность».
Параллелепипед – частный случай призмы А точнее, это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами, потому к нему применимы формулы вычисления объема призмы.
В математике существует общепринятое обозначение для объема Объем обозначается заглавной латинской буквой V, что является сокращением от латинского слова volume – «объем».
Объем параллелепипеда не меняется при его наклоне То есть объемы прямоугольного параллелепипеда высотой h и наклонного с такой же высотой и площадью основания будут равны.

Формулы объема прямоугольного параллелепипеда

Как и любую геометрическую величину, объем параллелепипеда можно выразить через другие измерения рассматриваемого объекта. В случае с прямоугольным параллелепипедом для вычисления его объема достаточно параметров, которые можно определить простым измерением. Рассмотрим несколько формул.

Через три стороны

Самый простой способ нахождения объема прямоугольного параллелепипеда – измерить его стороны, выходящие из одной вершины, то есть из одного угла. После этого полученные длины необходимо перемножить.

V = a ∙ b ∙ c, где V – объем параллелепипеда, a, b и c – длины трех его сторон.

Через через площадь основания и высоту

Еще одним популярным способом вычисления объема параллелепипеда является перемножение площади его основания и высоты.

V = S ∙ h, где V – объем параллелепипеда, S – площадь основания, h – высота

Через длины сторон основания и высоту

Так как площадь основания легко вычислима перемножением длин его сторон, легко вывести еще одну формулу – через длины сторон основания и высоту фигуры.

V = a ∙ b ∙ h, где V – объем параллелепипеда, a, b – длины сторон основания, h – высота.

Формулы объема наклонного параллелепипеда

Наклонный параллелепипед – это такой шестигранник, каждая грань которого представляет собой параллелограмм.

Перед вычислением объема наклонного параллелепипеда первым делом необходимо определить его высоту. Для этого опускаем перпендикуляр – вектор, направленный из вершины под прямым углом к плоскости основания, причем точка пересечения с плоскостью может лежать вне пределов основания.

Длину высоты вычисляем с помощью формулы высоты параллелограмма. Нам необходимо знать длину бокового ребра, а также угол между основанием и этим ребром.

h = с sin(aс), где h – высота, с – длина стороны, sin(aс) – синус угла между стороной и основанием.

Если основание рассматриваемой фигуры – прямоугольник, тогда вычисляем его площадь простым перемножением длин сторон. Если же основание – параллелограмм, тогда вычисляем площадь по следующей формуле:

S = a ∙ b ∙ sin(ab), где S – площадь основания, a и b – длины сторон, sin(ab) – синус угла между ними.

Заметим, что для прямоугольного основания эта формула также применима, поскольку синус прямого угла равен единице.

Получим итоговую формулу для объема наклонного параллелепипеда:

V = a ∙ b ∙ c ∙ sin(ab)sin(ac) = S*h, где V – объем параллелепипеда, a, b, c – длины ребер, ab и ac – углы между соответствующими ребрами

Задачи на нахождение объема параллелепипеда с решением

Для закрепления знаний решим несколько задач на нахождение объема параллелепипеда.

Задача 1

Маша Васечкина очень любит ванильную пастилу, но мама не разрешает ей съедать больше трех кусочков за один раз. Маша придумала хитрость и решила расплавить свое любимое лакомство, залить в форму и снова остудить, сделав одну огромную конфету из множества маленьких. В качестве формы девочка использовала прямоугольный контейнер с основанием 10 на 15 сантиметров и высотой 6 сантиметров. Сколько килограммов сладости понадобится Маше для исполнения хитрого плана, если размеры одного прямоугольного кусочка пастилы – 2 ∙ 2 ∙ 5 сантиметров, а его масса – 25 граммов?

Решение:

Прямоугольный контейнер – это ни что иное, как параллелепипед. Поэтому для того, чтобы узнать, сколько расплавленной сладости помещается в контейнер, вычислим его объем, воспользовавшись формулой нахождения объема параллелепипеда через три стороны. По той же формуле определим объем одного кусочка пастилы.

V(контейнера) = 10 ∙ 15 ∙ 6 = 900 см 3

V(кусочка) = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20 см 3

Определим требуемое количество сладости:

900 ÷ 20 = 45 штук

45 ∙ 0,025 = 1,125 килограмма

Ответ: Маше понадобится 1 килограмм 125 граммов пастилы.

это интересно
Площадь параллелограмма
Свойства параллелограмма и формулы для расчета его площади

Задача 2

Валера Мячиков решил выкопать на своем дачном участке прямоугольный пруд и завести в нем красивых рыб. В его распоряжении площадка 2 на 4 метра, а необходимая глубина – 1,5 метра. Сколько карпов кои Валера сможет запустить в свой пруд, если для одной крупной рыбы в среднем необходимо 800 литров воды.

Примечание: один кубометр равен 1000 литров.

Решение:

Для начала определим объем бассейна в литрах, воспользовавшись формулой вычисления объема параллелепипеда через длины сторон основания и высоту и переводом величин. Основанием будет служить площадка, а высотой – глубина пруда.

V = 2 ∙ 4 ∙ 1,5 = 12 м 3 = 12 000 литров

Разделим объем бассейна на тот, что необходим для одной рыбы и получим количество:

12 000 ÷ 800 = 15 карпов

Ответ: у Валеры получится пруд для 15 крупных карпов кои.

Задача 3

Кондитер тетя Зина получила заказ на создание муссового торта в виде накренившегося небоскреба. Для этого заказа она соорудила форму: наклонный параллелепипед с основанием 20 на 30 сантиметров и боковой стороной 50 сантиметров. Чтобы торт не упал во время доставки, пришлось точно выдерживать угол наклона в 75 градусов. Помогите тете Зине высчитать объем муссовой массы, необходимой для этого кулинарного шедевра.

Примечание: синус угла 75 градусов, округленный до сотых, – 0,97.

Решение:

Для начала определим высоту контейнера:

h = 40 ∙ 0,97 = 38,8.

Теперь посчитаем объем параллелепипеда:

V = 20 ∙ 30 ∙ 38,8 = 23 280 см 3

Переведем объем в литры, для этого воспользуемся соотношением

1 литр = 1000 см 3

V = 23 280 ÷ 1000 = 23,28 л

Ответ: тете Зине понадобится 23,28 литра муссовой массы.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике:

В чем измеряется объем параллелепипеда?

Объем прямоугольного параллелепипеда, как и объем любого другого объемного тела, измеряется в кубических метрах, кубических сантиметрах и так далее. Все зависит от конкретной задачи или ситуации.

Для чего в 5 классе нужно уметь вычислять объем параллелепипеда?

Это умение нужно чаще всего для решения практических задач. В 5 классе рассматривается прямой прямоугольный параллелепипед, объем которого находится простым перемножением всех трех измерений. А это действие пятиклассники уже изучили достаточно хорошо.

Для чего в жизни может понадобиться умение находить объем параллелепипеда?

Вот прямо сейчас в моей жизни стоит такая задача: мне нужно упаковать редко используемые вещи в коробки и понять, какого размера хранилище заказать для хранения этих вещей. Для этого я хочу рассчитать точное количество коробок, в которые поместятся все мои вещи, и понять, какой объем займут все эти коробки. Я согласна, что в математике есть темы, которые непросто применить в реальной жизни. Особенно с развитием интернета и появления онлайн-калькуляторов на любой вкус и цвет, а также для любой жизненной ситуации. Но такая форма, как прямоугольный параллелепипед, встречается нам на каждом шагу. Поэтому и умение находить объем является весьма практичным.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *