Как найти середину треугольника
Перейти к содержимому

Как найти середину треугольника

  • автор:

Как найти среднюю линию треугольника, зная его площадь?

Вот единственное, что нашла с площадью
Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Средняя линия треугольника

 Средняя линия треугольника

gift

Теорема о средней линии треугольника — это геометрическое утверждение, связанное со средними линиями треугольника и их свойствами.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Другими словами, в треугольнике со сторонами a , b и c , средняя линия, проведенная из середины стороны a , будет параллельна a и равна половине длины стороны a . Аналогично для средних линий, проведенных из середин других сторон.

Эта теорема имеет важное геометрическое значение, и она также используется в решении различных задач, связанных с треугольниками.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:

\(MN\parallel AC;\)
\(MN = \frac<1>AC\)

Свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. У средних линий есть несколько интересных свойств:

  1. Параллельность: каждая средняя линия параллельна соответствующей стороне треугольника. То есть, если A B и C D — стороны треугольника, а E и F — середины этих сторон, то средняя линия EF параллельна A B и C D .
  2. Деление в отношении 2:1: центр масс треугольника (точка пересечения средних линий) делит каждую среднюю линию в отношении 2:1. Это означает, что более короткие отрезки, образованные центром масс и каждой из вершин треугольника, равны половине длины более длинного отрезка.
  3. Равенство площадей четырехугольников: если провести средние линии из вершин треугольника, то они образуют шесть маленьких треугольников и три четырехугольника. Площади этих четырехугольников равны между собой.
  4. Сравнение длин: длина средней линии меньше длины самой длинной стороны треугольника, но больше длины самой короткой стороны.

Эти свойства делают средние линии треугольника полезными инструментами в геометрических рассуждениях и задачах.

Деление отрезка на равные части

Разделим данный отрезок \(AB\) на \(5\) равных частей.
Пусть \(p\) -произвольный луч с началом \(A\) и \(p\) не лежит на \(АВ\) . Нарисуем пять последовательно равных треугольников.

Теорема о средней линии треугольника

\(АА_1 = А_1А_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5\)

Соединим \(A_5\) с \(B\) и нарисуем линии через \(A_4, A_3, A_2\) и \(A_1\) , которые параллельны \(A_5B\) . Они пересекают \(AB\) соответственно в точках \(B_4, B_3, B_2\) и \(B_1\) . Эти точки делят отрезок \(AB\) на пять равных частей.

\(А_1B_1 ||А_2B_2 ||A_2B_2 || A_3B_3 ||A_4B_4 ||A_5B_5 ||A_6B_6\)

И \(AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5=B_5B_6\)

Понятно, что если \(AB\) разделить на другое количество равных частей, у нас получится то же самое.

Часто задаваемые вопросы:

↪ Средние линии треугольника обладают рядом интересных свойств. Одно из них — центр масс треугольника (точка пересечения средних линий) делит каждую среднюю линию в отношении 2:1, где две более короткие части равны одной более длинной.

↪ Центр масс треугольника (точка пересечения средних линий) может быть найден как среднее арифметическое координат вершин треугольника.

↪ Да, треугольник может иметь среднюю линию длиной ноль, если он вырожденный, то есть все его вершины лежат на одной прямой.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

gift

Репетиторы
  • rhombusРепетитор по математике
  • rhombusРепетитор по физике
  • rhombusРепетитор по химии
  • rhombusРепетитор по русскому языку
  • rhombusРепетитор по английскому языку
  • rhombusРепетитор по обществознанию
  • rhombusРепетитор по истории России
  • rhombusРепетитор по биологии
  • rhombusРепетитор по географии
  • rhombusРепетитор по информатике
Специализация
  • rhombusРепетитор по олимпиадной математике
  • rhombusРепетитор по геометрии
  • rhombusПодготовка к олимпиадам по химии
  • rhombusРепетитор для подготовки к ОГЭ по физике
  • rhombusРепетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
  • rhombusРепетитор по грамматике русского языка
  • rhombusРепетитор по разговорному английскому
  • rhombusРепетитор для подготовки к ВПР по английскому языку
  • rhombusРепетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
  • rhombusРепетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
Предметы по класам
  • rhombus1 класс
  • rhombus2 класс
  • rhombus3 класс
  • rhombus4 класс
  • rhombus5 класс
  • rhombus6 класс
  • rhombus7 класс
  • rhombus8 класс
  • rhombus9 класс
  • rhombus10 класс
  • rhombus11 класс
  • rhombusНе школьник

Средняя линия треугольника. Определение

Средняя линия треугольника. Здравствуйте, друзья! Сегодня теоретический материал, связан он с треугольником. В составе экзамена имеется группа заданий, в которых используется свойство его средней линии. Причём не только в задачах с треугольниками, но и с трапециями. Была на блоге статья, в которой сии факты я предлагал просто запомнить, теперь подробнее…

Что такое средняя линия треугольника и каковы её свойства?

Средняя линия треугольника. Определение

Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника.

Понятно, что средних линий в треугольнике три. Покажем их:

Без всяких доказательств вы уже, наверное, заметили, что все четыре образованные треугольника равны. Это так, но подробнее об этом поговорим далее.

Средняя линия треугольника. Теорема

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

1. Давайте рассмотрим треугольники BMN и BAC. По условию у нас BM=MA, BN=NC. Можем записать:

Следовательно треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия). Что из этого следует? А то что:

По признаку параллельности прямых MN||AC.

2. Также из подобия треугольников следует, что

То есть MN в два раза меньше. Доказано!

Средняя линия треугольника. Задача

Решим типичную задачу.

Задача. В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC. Найти периметр треугольника ABC, если MN=12, MK=10, KN=8.

Решение. Конечно, прежде всего следует проверить существование треугольника MNK (а значит и существование треугольника АВС). Сумма двух меньших сторон должна быть более третьей стороны, записываем 10+8>12. Выполнятся, следовательно треугольник существует.

Таким образом периметр треугольника АВС равен 24+20+16=60.

*Теперь подробнее о треугольниках полученных при построении всех трёх средних линий. Их равенство легко доказывается. Посмотрите:

Равны они по трём сторонам. Конечно, и другие признаки здесь применимы. Получаем, что

Как это свойство используется в заданиях включённых в состав экзамена? Особо хочется заострить внимание на задачах по стереометрии. Есть такие типы, в которых речь идет о треугольной призме.

Например, сказано что плоскость проходит через середины сторон основания и она параллельна третьему ребру основания. Ставятся вопросы о изменении площади поверхности призмы, её объёма и другие.

Так вот. Зная и понимая информацию изложенную выше вы сразу же определите, что эта плоскость отсекает от основания указанной призмы одну четвёртую часть и задачу решите устно. Вот статья на блоге с такими задачами.

На этом всё! Всего доброго!

Скачать материал статьи

С уважением, Александр Крутицких.

Делитесь информацией сайта в социальных сетях!

ЭМГеометрия

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника ( , смотри рисунок).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Дано: , и , .
Требуется доказать: и (смотри рисунок).

Допустим, что не параллельна . Тогда из середины стороны проведем прямую, параллельную , которая пересечет сторону не в точке . Но эта точка по теореме будет также серединой стороны . Получилось, что у две середины, что невозможно, а поэтому допущение неверно. Следовательно, , т.е. средняя линия параллельна третьей стороне.

Возьмем , тогда — средняя линия и (по доказанному) . — параллелограмм, поэтому (так как по построению).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *