Как найти производную в c
Перейти к содержимому

Как найти производную в c

  • автор:

Как найти производную?
Примеры решений

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.

Собственно, сразу рассмотрим пример:

Найти производную функции

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы:
, где – постоянное число;

производную степенной функции:
, в частности: , , .

Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где – постоянное число (константа)

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

2) Производная суммы равна сумме производных

Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Найти производную функции

Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Это необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

4) Производная частного функций

В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:

Найти производную функции

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Время от времени встречаются хитрые задачки:

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

5) Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это — константы. Поэтому выносится за знак производной, а .

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Вычисление производной функции

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Нужна помощь.
первый вопрос,как в Си вычеслить производную. например y= x в квадрате (x2) ответ 2x
как это реализовать в Си.
второй вопрос есть фу-ция x1(в квадрате) + (1 — x1)(в квадрате скобка)
подскажите как это сделать на Си. какой код.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Нахождение производной функции
Народ как найти производные функцый ? В программе

Программа по поиску производной функции
Требуется написать программу по поиску производной, и, как я понимаю, здесь используется формула.

Вычисление первой производной функции в первом потоке, а второй производной — во втором
Здравствуйте, помогите создать поток который вычесляет первую производную, а второй поток вторую.

Вычисление производной функции
Здравствуйте! Не подскажите ли как вычислить производную функции используя JavaScript.

Заблокирован

Автор FAQ

ЦитатаСообщение от MonteCristo Посмотреть сообщение

Нужна помощь. первый вопрос,как в Си вычеслить производную. например y= x в квадрате (x2) ответ 2x как это реализовать в Си. второй вопрос есть фу-ция x1(в квадрате) + (1 — x1)(в квадрате скобка) подскажите как это сделать на Си. какой код.

— производную в точке можно найти из определения производной
df(x)/dx = (f(x + dx) — f(x))/dx
dx — орпеделяется точностью е вычислений и может быть найдено из соотношения
dx = e/10;(математику этого посмотрите здесь
Метод простой итерации и в целом рассуждения по топику)
Вот код на Си, который вычисляет значения и первой и второй функции в любой точке с задаваенмой пользователем точностью

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
#include #include #include double f1(double x) { return pow(x,2.0) + pow(1 - x,2.0); } double f2(double x) { return pow(x,2.0) + pow(1 - x,2.0); } int main() { double x = 0, e = 0, dx; do { printf("Enter x : ");scanf("%lf",&x); printf("Enter accuracy e : ");scanf("%lf",&e); dx = e/10; printf("df1/dx : %lf\r\n",(f1(x + dx) - f1(x))/dx); printf("df2/dx : %lf\r\n",(f2(x + dx) - f2(x))/dx); printf("Press \'y\' for new input\r\n"); } while(getch() == 'y'); return 0; }

Нахождение производной

Есть задача:
Написать программу, которая реализует подбор значений с целью поиска максимального значения второй производной. Требуемое значение может быть найдено путем проверки промежуточных значений функции (или первой / второй производной). Следует использовать указатель на функцию, для которого определить typedef. Исходный код должен быть разделен на две единицы трансляции. Первая единица трансляции будет представлена ​​заголовочным файлом и файлом реализации. Определение typedef, а также прототип функции поиска нужного значения, должны быть расположены в заголовочном файле. Определение этой функции следует осуществить в файле реализации. Функция для проверки работоспособности программы, а также функция main (), должны быть расположены в другой единице трансляции.
Функция для тестирования может быть произвольной.
Не долго раздумывая, взял y = x^2

// file main.cpp #include "stdafx.h" #include #include "derivative.h" using namespace std; double parabola(double x) < return pow(x, 2); >void main() < printf("%.8f\n", firstDerivative(parabola, 2)); >// file derivative.h #pragma once #ifndef DERIVATIVE_H #define DERIVATIVE_H typedef double(*parabolaPointer)(double); double firstDerivative(parabolaPointer f, double); #endif // file derivative.cpp #include "stdafx.h" #include "derivative.h" #pragma once double firstDerivative(parabolaPointer f, double x, double deltaX = 0.0000001) < return (f(x + deltaX) - f(x)) / deltaX; >

Производную считаю по формуле y'(x) = (y(x + Δx) — y(x)) / Δx
Если я вместо х, подставляю 2, то считает оно правильно. Выводит 4.0000009

Обгуглив все, что можно на тему как найти вторую производную, я ничего не нашел. Разве что на cyberforum.ru было что-то связанное с производными высших порядков.

double Numerator = (f(x + deltaX) - f(x0 + deltaX)) / ((x + deltaX) - (x0 + deltaX)) - (f(x) - f(x0)) / (x - x0); double secondDerivative = Numerator / deltaX; 

Только что-то считает оно как-то неправильно.
Спросив у лектора помощи, он сказал, не имеет права помогать с заданиями. Добавил только, что в этом задании мне, для начала, нужно найти формулу нахождения второй производной, потом найти несколько производных на неком интервале и занести их в вектор. В цикле пройтись по вектору и найти максимальное значение. С этим я справлюсь, мой вопрос, кто-нибудь может, пожалуйста, помочь с нахождением второй производной либо хотя бы есть какая-то формула?

Производная константы (числа)

Напомним, что константой называется постоянная, неизменяющаяся величина. Примером констант есть, например, число 2, число $\Pi$ и т.д., и т.п.

Примеры вычисления производной константы

Задание. Найти производную функции $y(x)=e^2$

Решение. Так как выражение функции не зависит от переменой $x$, то оно является константой, то есть заданная функция принимает одно и тоже значение при различных значениях переменной, а тогда производная от нее равна нулю:

Ответ. $y^<\prime>(x)=0$

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=x^-\ln 2$

Решение. Производная от разности функций равна разности производных:

Производную от первого слагаемого берем как производную от степенной функции, а второе слагаемое является константой (не зависит от переменной $x$ ), а поэтому производная от него равна нулю:

Ответ. $y^<\prime>(x)=2 x$

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *