Как найти проекцию на плоскость
Перейти к содержимому

Как найти проекцию на плоскость

  • автор:

5.6.3. Как найти ортогональную проекцию прямой на плоскость?

Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между ног. Представьте, что она бесконечна. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру. при этом получается такое умное лицо…. Все выполнили задание? Тень от швабры – это и есть её ортогональная проекция на пол.

На чертеже выше наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:

Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме, это стандартная задача:

Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор. Для быстроты используем формулу:

Как уже отмечалось, для решения этой задачи, не обязательно находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции, и её легко подобрать из системы .

Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:

– находим точку пересечения прямой и плоскости: (вот в этом способе уже обязательно находим);

– берём произвольную точку , не совпадающую с точкой ) и опускаем из неё перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы);

– находим основание перпендикуляра (как пересечение прямой и плоскости );

– составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: .

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат O x y z , плоскость α , точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость α как Н 1 . Согласно определению, H 1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a , проведенной через точку М 1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М 1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α .

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

— получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

— определить уравнение прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

— найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М 1 на плоскость α .

Рассмотрим теорию на практических примерах.

Определите координаты проекции точки М 1 ( — 2 , 4 , 4 ) на плоскость 2 х – 3 y + z — 2 = 0 .

Решение

Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.

Запишем канонические уравнения прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a . Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2 х – 3 y + z — 2 = 0 . Таким образом, a → = ( 2 , — 3 , 1 ) – направляющий вектор прямой a .

Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М 1 ( — 2 , 4 , 4 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( 2 , — 3 , 1 ) :

x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1

Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1 и плоскости 2 х — 3 y + z — 2 = 0 . В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

x + 2 2 = y — 4 — 3 = z — 4 1 ⇔ — 3 · ( x + 2 ) = 2 · ( y — 4 ) 1 · ( x + 2 ) = 2 · ( z — 4 ) 1 · ( y — 4 ) = — 3 · ( z + 4 ) ⇔ 3 x + 2 y — 2 = 0 x — 2 z + 10 = 0

Составим систему уравнений:

3 x + 2 y — 2 = 0 x — 2 z + 10 = 0 2 x — 3 y + z — 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x — 2 z = — 10 2 x — 3 y + z = 2

И решим ее, используя метод Крамера:

∆ = 3 2 0 1 0 — 2 2 — 3 1 = — 28 ∆ x = 2 2 0 — 10 0 — 2 2 — 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 — 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 — 10 — 2 2 2 1 = — 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = — 28 — 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 — 10 2 — 3 2 = — 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = — 140 — 28 = 5

Таким образом, искомые координаты заданной точки М 1 на заданную плоскость α будут: ( 0 , 1 , 5 ) .

Ответ: ( 0 , 1 , 5 ) .

В прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства даны точки А ( 0 , 0 , 2 ) ; В ( 2 , — 1 , 0 ) ; С ( 4 , 1 , 1 ) и М1(-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М 1 на плоскость А В С

Решение

В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

x — 0 y — 0 z — 0 2 — 0 — 1 — 0 0 — 2 4 — 0 1 — 0 1 — 2 = 0 ⇔ x y z — 2 2 — 1 — 2 4 1 — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x — 6 y + 6 z — 12 = 0 ⇔ x — 2 y + 2 z — 4 = 0

Далее рассмотрим еще один вариант решения, отличный от того, что мы использовали в первом примере.

Запишем параметрические уравнения прямой a , которая будет проходить через точку М 1 перпендикулярно плоскости А В С . Плоскость х – 2 y + 2 z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами ( 1 , — 2 , 2 ) , т.е. вектор a → = ( 1 , — 2 , 2 ) – направляющий вектор прямой a .

Теперь, имея координаты точки прямой М 1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:

x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2 y + 2 z – 4 = 0 и прямой

x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Для этого в уравнение плоскости подставим:

x = — 1 + λ , y = — 2 — 2 · λ , z = 5 + 2 · λ

Теперь по параметрическим уравнениям x = — 1 + λ y = — 2 — 2 · λ z = 5 + 2 · λ найдем значения переменных x , y и z при λ = — 1 : x = — 1 + ( — 1 ) y = — 2 — 2 · ( — 1 ) z = 5 + 2 · ( — 1 ) ⇔ x = — 2 y = 0 z = 3

Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость А В С будет иметь координаты ( — 2 , 0 , 3 ) .

Ответ: ( — 2 , 0 , 3 ) .

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и координатные плоскости O x y , О x z и O y z . Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: ( x 1 , y 1 , 0 ) , ( x 1 , 0 , z 1 ) и ( 0 , y 1 , z 1 ) . Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

C z + D = 0 ⇔ z = — D C , B y + D = 0 ⇔ y = — D B

И проекциями заданной точки М 1 на эти плоскости будут точки с координатами x 1 , y 1 , — D C , x 1 , — D B , z 1 и — D A , y 1 , z 1 .

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на плоскость A x + D = 0 . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z и i → = ( 1 , 0 , 0 ) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости O y z . Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M 1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение А x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 и получим: A · ( x 1 + λ ) + D = 0 ⇒ λ = — D A — x 1

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ = — D A — x 1 :

x = x 1 + — D A — x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = — D A y = y 1 z = z 1

Т.е., проекцией точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на плоскость будет являться точка с координатами — D A , y 1 , z 1 .

Необходимо определить координаты проекции точки М 1 ( — 6 , 0 , 1 2 ) на координатную плоскость O x y и на плоскость 2 y — 3 = 0 .

Решение

Координатной плоскости O x y будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0 . Проекция точки М 1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты ( — 6 , 0 , 0 ) .

Уравнение плоскости 2 y — 3 = 0 возможно записать как y = 3 2 2 . Теперь просто записать координаты проекции точки M 1 ( — 6 , 0 , 1 2 ) на плоскость y = 3 2 2 :

Ответ: ( — 6 , 0 , 0 ) и — 6 , 3 2 2 , 1 2

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?

На страницу 1 , 2 След.

Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
18.12.2009, 17:22

$\dfrac<x-x_0></p>
<p>Дано уравнение прямой в каноническом виде<br />=\dfrac=\dfrac$» /></p>
<p>И общее уравнение плоскости</p>
<p><img decoding=

И вообще — что значит проекция прямой на плоскость?
Проекция вектора на ось — ясно что значит
Можно найти угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости

Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
18.12.2009, 17:31

Последний раз редактировалось neverland 18.12.2009, 17:34, всего редактировалось 1 раз.

Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Множество проекций точек прямой на плоскость образуют проекцию этой прямой. Взять две точки на прямой, найти точки являющиеся проекциями, и по ним написать уравнение нужной вам прямой.

Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
18.12.2009, 17:34

Заслуженный участник

Логически проще всего — так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно — так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай — когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.

Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
18.12.2009, 18:16

Заслуженный участник

Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если $M(x,y,z)$— точка на искомой проекции, $M_0$— точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),$\vec a = (l,m,n),\ \vec n = (A,B,C)$, то $(\overrightarrow<M_0 M>,\vec n)=0$» /> и <img decoding=

Re: Как проще всего найти проекцию прямой на плоскость?
18.12.2009, 20:49

В условии, скорее всего, пропущено одно слово — прямоугольная (или ортогональная ) проекция. А то ведь если прямая не параллеьна плоскости, так можно вообще взять проекцию вдоль этой прямой, получится точка

Если плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то $(A, B, C)$— вектор, ортогональный к плоскости. Пусть
$ \mathbf= \left( \frac>, \frac>, \frac> \right) $» /><br />Пусть <img decoding= — какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного $\mathbf\in \mathbb^3$ ортогональная проекция $\mathbf$ на нашу плоскость будет равна $(\mathbf-\mathbf_0) - \big((\mathbf -\mathbf_0\big) \cdot \mathbf)\mathbf + \mathbf_0$ (точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде $\< \mathbf+ t\mathbf : t \in \mathbb \>$» />. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве <img decoding=

— Вс дек 20, 2009 01:20:21 —

ewert в сообщении #272783 писал(а):

Логически проще всего — так.

Взять две точки на прямой (это стандартно). И спроецировать каждую из них на плоскость (тоже стандартно). И провести прямую через две получившиеся точки (а уж насколько это стандартно — так и не описать словами).

Возможны разные оптимизации. Скажем, в качестве одной из точек взять пересечение прямой и плоскости (тогда её и проецировать-то не придётся). При этом возможен исключительный случай — когда прямая параллельна плоскости; ну тогда и вообще вторая-то точка и не нужна.

Стандартно, но математически пока неясно как искать

— Вс дек 20, 2009 01:22:15 —

meduza в сообщении #272803 писал(а):

Можно с векторами. (Но наверняка сложней будет.) Если $M(x,y,z)$— точка на искомой проекции, $M_0$— точка пересечения плоскости с прямой (если не пересекаются, то там еще легче),$\vec a = (l,m,n),\ \vec n = (A,B,C)$, то $(\overrightarrow<M_0 M>,\vec n)=0$» /> и <img decoding=

Если плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то $(A, B, C)$— вектор, ортогональный к плоскости. Пусть
$ \mathbf= \left( \frac>, \frac>, \frac> \right) $» /><br />Пусть <img decoding= — какая-нибудь точка плоскости. Тогда для произвольного $\mathbf\in \mathbb^3$ ортогональная проекция $\mathbf$ на нашу плоскость будет равна $(\mathbf-\mathbf_0) - \big((\mathbf -\mathbf_0\big) \cdot \mathbf)\mathbf + \mathbf_0$ (точка обозначает скалярное произведение).

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде $\< \mathbf+ t\mathbf : t \in \mathbb \>$» />. Затем подставьте в уравнение проекции и сразу найдите параметрическое уравнение проекции. Ну а затем, при необходимости, переходите от параметрического уравнения к каноническому. Если прямая не параллельна плоскости, то в качестве <img decoding=

А что значит тут ?

— Вс дек 20, 2009 01:39:49 —

Я не очень понял, как находить проекцию точки на плоскость.
Уравнение прямой

$\dfrac<x-x_0></p><div class='code-block code-block-16' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 16theinternet -->
<script src=

=\dfrac=\dfrac$» />

И общее уравнение плоскости

$Ax+By+Cz+D=0 ; (\gamma)$

Хотелось бы найти проекцию точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$на плоскость $\gamma$

У прямой , проходящей через точку $M_0$и перпендикулярной плоскости $\gamma$направляющим вектором должна служить нормаль к плоскости
$\dfrac<x-x_0>=\dfrac=\dfrac$» /></p>
<p>Пусть точка <img decoding=является проекцией точки $M_0$на плоскость
Т.к. точка $M_1$принадлежит $(\gamma)$, то уравнение плоскости можно записать
$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0 $

— Вс дек 20, 2009 01:43:42 —

По идее $A=x_1-x_0$ $B=y_1-y_0$$C=z_1-z_0$

$M_1$

отсюда можно найти координаты точки

Как спроецировать фигуру на плоскость?

46d8807c604446e8a55b9a07651bac2a.jpg

Мне нужно получить примерно что-то такое, как изображено на картинке:

Я хочу задать фигуру в 3d пространстве, и потом вывести ее проекцию на 2d плоскости

Я хочу взять проекцию каждой точки, получить новые 4 точки с координатами (x,y) и построить уже их в декартовой системе координат. Но я не могу понять как имея точку с координатами (x,y,z) перевести в (x,y)

Подскажите пожалуйста, буду признателен за любую помощь

Комментировать
Решения вопроса 0
Ответы на вопрос 3

Olej

инженер, программист, преподаватель

Но я не могу понять как имея точку с координатами (x,y,z) перевести в (x,y)

Вообще то, это элементарная задача из курса начертательно геометрии (1-й курс).
И во многом зависит от того, каким образом у вас задаётя плоскость.

Ответ написан более трёх лет назад
vadimstroganov @vadimstroganov Автор вопроса

Да я уже понял, что задача элементарная.. был бы признателен за наглядный пример, если это возможно..

Olej

Strollager:
Да не может быть здесь «наглядного» примера! — нужно просто взять и поднять университетский курс начертательной геометрии.

Olej

Strollager:
Вы «покрутите» плоскость, и убедитесь, что проекция ваша 100% определяется тем как (каким образом) задана плоскость. А дальше вам нужно а). из точки (x,y,z) определить нормаль (перпендикуляр) к этой плоскости б). решить линейное уравнение пересечения этой нормали с плоскостью — вот вам и будет (x,y). хотя вам ещё придётся решить, что считать за (0,0) на плоскости.
Ничего страшно сложного там нет . но хлопот изрядно.

Mrrl

Заводчик кардиганов

Чтобы найти точку «в плоскости», вам нужно задать в ней систему координат. То есть, выбрать точку начала координат O(x0,y0,z0) и два базисных вектора X=(x1,y1,z1) и Y=(x2,y2,z2). Судя по тому, что вы говорите про «декартову систему координат», векторы должны быть единичной длины и перпендикулярны друг другу.
Добавляете к системе вектор Z, параллельно которому идёт проектирование. Из условия непонятно, рассматриваете вы только ортогональную проекцию, или общий случай параллельной проекции.
В случае ортогональной всё просто — не нужно даже возиться с матрицами:
вектор Z вычисляется как векторное произведение X и Y, но он нам не нужен вообще: если проектируемая точка P имеет координаты (x,y,z), то её проекция Q будет иметь координаты (в системе координат плоскости)
x’=(P-O,X)=(x-x0)*x1+(y-y0)*y1+(z-z0)*z1
y’=(P-O,Y)=(x-x0)*x2+(y-y0)*y2+(z-z0)*z2.
В случае косоугольной проекции вычисления сложнее — надо умножать вектор (P-O) на матрицу, обратную к матрице, составленной из X,Y,Z. И там главное не запутаться, где строки, а где столбцы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *