Как найти пифагоровы тройки формула в excel
Перейти к содержимому

Как найти пифагоровы тройки формула в excel

  • автор:

Как при помощи формул Excel решить теорему Пифагора для прямоугольных треугольников

Любой треугольник имеет шесть элементов: три стороны и три угла. На рисунке ниже показан прямоугольный треугольник, который имеет три угла (А, В и С), а также три стороны (гипотенузу, основание и высоту). Угол С всегда равен 90° (или π/2 радиан), поэтому, если известны два других элемента этого треугольника (исключая угол С), то с помощью определенных формул всегда можно вычислить остальные элементы.

Рабочую книгу, содержащую формулы расчета различных элементов прямоугольного треугольника по двум известным элементам, можно скачать с нашего сайта.
[lock] скачать бесплатно [/lock]

Рис. 1. Элементы прямоугольного треугольника

Рис. 1. Элементы прямоугольного треугольника

Вспомните, как выглядит теорема Пифагора: Высота^2+Основание^2=Гипотенуза^2. Если известны две стороны прямоугольного треугольника, всегда можно вычислить третью. Например, следующая формула вычисляет высоту прямоугольного треугольника по данным длин гипотенузы и основания: =КОРЕНЬ(Гипотенуза^2-Основание^2) . В другой формуле, вычисляющей основание прямоугольного треугольника, используются
гипотенуза и высота: =КОРЕНЬ((Гипотенуза^2)-(Высота^2)) . Для формулы расчета гипотенузы прямоугольного треугольника нужно задать основание и высоту: =КОРЕНЬ((Высота^2)+(Основание^2)) .

Верны также приведенные ниже тригонометрические тождества:

  • SIN(А) = Высота/Гипотенуза
  • SIN(В) = Основание/Гипотенуза
  • COS(А) = Основание/Гипотенуза
  • COS(В) = Высота/Гипотенуза
  • TAN(А) = Высота/Гипотенуза

Все тригонометрические функции Excel подразумевают, что угол, являющийся аргументом функции, представлен в радианах. Для преобразования градусов в радианы используйте функцию РАДИАНЫ. Для обратного преобразования радиан в градусы примените функцию ГРАДУСЫ.

Если известны высота и основание, следующую формулу можно использовать для вычисления угла между гипотенузой и основанием (угол А): =ATAN(Высота/Основание) . Формула, приведенная выше, возвращает значение угла в радианах. Для преобразования значения в градусы используйте следующую формулу: =ГРАДУСЫ(ATAN(Высота/Основание)) . Если известны высота и основание, следующая формула может использоваться для вычисления угла между гипотенузой и высотой (угол В): =ПИ()/2-ATAN(Высота/Основание) . Данная формула возвращает значение в радианах. Для преобразования значения в градусы используйте следующую формулу: =90-ГРАДУСЫ(ATAN(Высота/Основание) .

На рис. 2 показана рабочая книга, которая содержит формулы для вычисления различных элементов прямоугольного треугольника.

Рис. 2. Данная рабочая книга пригодится для вычисления элементов прямоугольных треугольников

Рис. 2. Данная рабочая книга пригодится для вычисления элементов прямоугольных треугольников

Пифагоровы тройки 3. Вывод формул

Иконка канала Эксель Анализ данных в сфере образования и онлайн-курсов

Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника относятся как целые числа, то такая тройка чисел называется пифагоровой. Мы будем искать приём, позволяющий перечислять все пифагоровы тройки. Это хорошая задача по теории чисел с красивыми и не слишком сложными рассуждениями.

Показать больше

Войдите , чтобы оставлять комментарии

Как найти пифагоровы тройки формула в excel

Регистрация: 11.10.2022

Сообщений: 1

Применить формулу для видимого (отфильрованного) диапазона

Возможно ли сделать так, чтобы к каждой следующей дате в ряду I плюсовалось 90 дней, т.е. в ячейке I8908 был бы результат =I7564+K8908 итд до конца пустых ячеек отфильтрованного диапазона? Может есть какая формула, которая бы видела видимый диапазон или что-то в VBA прописать нужно, чтобы формула работала именно с видимыми ячейками

Изображения

Capture.JPG (102.1 Кб, 1 просмотров)

Исследовательская работа Геометрия «Квадраты-матрёшки»

Нажмите, чтобы узнать подробности

Материалы исследования могут быть использованы учениками и учителями при преподавании курса геометрии. Цель работы: показать уникальность открытия Пифагора и дать определение понятия примитивных пифагоровых троек, описать простые способы формирования пифагоровых троек и их применения для вписывания одного квадрата в другой.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа Геометрия «Квадраты-матрёшки»»

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Муниципальное образование Кяхтинский район

МБОУ Малокударинская СОШ

Исследовательская работа

Квадраты-матрёшки

Выполнила ученица 10 класса Соболева Екатерина

Руководитель учитель Красикова Татьяна Ильинична

Ежедневно, в процессе своей жизнедеятельности, человеку приходиться выполнять множество математических операций: рассчитывать свое время, что-то считать, что-то измерять, производить оплату за проезд, услуги, за товар и т.д. Для этого человек, не задумываясь, использует и целые, и дробные, и четные, и нечетные, и простые, и другие числа. Однако, каждая из этих категорий для определенных математических практических приложений имеет большое значение. Обратим свое внимание на такую категорию как простые числа. Картину теории распределения простых чисел начали писать еще до нашей эры, незакончена она и на сегодняшний день.
Актуальность. В современном мире интерес к простым числам не ослабевает. Ведется поиск простых чисел с большим количеством цифр. Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются Пифагоровыми треугольниками, а числа: 3,4,5 – Пифагоровыми тройками. Применение Пифагоровых троек освещено в школьном курсе недостаточно. Материалы исследования могут быть использованы учениками и учителями при преподавании курса геометрии.

Цель работы: показать уникальность открытия Пифагора и дать определение понятия примитивных пифагоровых троек, описать простые способы формирования пифагоровых троек и их применения для вписывания одного квадрата в другой.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

  • отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию;
  • проанализировать и систематизировать полученную информацию;
  • подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.
  • моделирование;
  • построение;
  • анализ и классификация информации;
  • сравнение, обобщение;
  • изучение литературных и Интернет-ресурсов.

  1. Пифагоровы тройки и их значение.

Пифагоровой тройкой называется комбинация из трех целых чисел a,b,c , удовлетворяющих условию c2= a2+ b2. Примитивными являются те из них, которые не могут быть получены из других путем умножения на одно и то же число. Из определения следует, что a,b и c являются взаимно простыми числами. Согласно теореме Пифагора эти числа могут служить длинами некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и в называют «катетами», а с – « гипотенузой».
Формула Евклида является основным средством построения пифагоровых троек. Согласно ей для любой пары чисел m и n(mn) целые числа a=m2n2,b= 2mn,c=m2+n2 образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида, примитивны тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты и mn нечетно. Если и m и n нечетны, то a,b и c будут четными и тройка не примитивна. Однако деление a,b и c на 2 дает примитивную тройку, если m и n взаимно просты. Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простых чисел m и n, оно из которых четно. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек. Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные простые тройки, она не порождает все тройки. При дополнении дополнительного параметра k получается формула, порождающая все пифагоровы треугольники единственным образом: a = k ∙ (m2– n2), b = k ∙ (2mn), c = k ∙ (m2+ n2), где m,n и k – натуральные числа, mn,mn нечетно, mиn взаимно просты. То, что эти формулы образуют пифагоровы тройки, можно проверить путем подстановки в a2+b2 и проверки, что результат совпадает с c2 . Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое число k, чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образована единственным образом с использованием m и n для создания примитивной тройки, а затем она умножается на k. Доказательство формулы Евклида (приложение 1) Свойства пифагоровых троекСвойство 1. Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты. Следствие. В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным. Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа m и n не могут быть одновременно нечётными. Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни. А умы учёных продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора. История того, что существуют числа, которые не делятся ни на какое другое число, люди знали еще в древности. Последовательность простых чисел имеет примерно следующий вид: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 … Доказательство того, что этих чисел бесконечно много, дал еще Евклид, живший в 300 г до н.э. Примерно в те же годы другой греческий математик, Эратосфен, придумал довольно-таки простой алгоритм получения простых чисел, суть которого была в последовательном вычеркивании чисел из таблицы. Те оставшиеся числа, которые ни на что не делились, и были простыми. Алгоритм называется «решето Эратосфена» и за счет своей простоты (в нем нет операций умножения или деления, только сложение) используется в компьютерной технике до сих пор. Видимо, уже во время Эратосфена стало ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли число простым, не существует — это можно проверить лишь экспериментально. Существуют различные способы для упрощения процесса (например, очевидно, что число не должно быть четным), но простой алгоритм проверки не найден до сих пор, и скорее всего найден не будет: чтобы узнать, простое число или нет, надо попытаться разделить его на все меньшие числа.

  1. Квадраты – «матрёшки»

Среди бесконечного множества квадратов, стороны которых выражены простыми числами, имеются пары квадратов, обладающие следующими свойствами:

  • квадрат с меньшей стороной вписывается в квадрат с большей стороной;
  • каждая вершина вписанного квадрата делит сторону описанного на два отрезка, которые выражаются целыми числами.

Такое вписывание одного квадрата в другой назовем целочисленным вписыванием. Геометрический смысл этих свойств понятен из ри­сунка 1. Рис. 1 Здесь каждый из че­тырех равных треугольников, образующихся при вписыва­нии меньшего квадрата в больший, является основным пифагоровым треугольником, сумма катетов а +b которого равна стороне L описанного квадрата, а гипотенуза с — сто­роне l вписанного. Основные пифагоровы треугольни­ки (ОПТ) — это прямоугольные треугольники, сторо­ны которых выражены тремя целыми числами, не имеющими общего делителя. Это, например, ОПТ со сторонами: 3, 4, 5; 5,12, 13; 15, 8, 17; 7, 24, 25; 21, 20, 29; 35, 12, 37 и др. Значения сторон ОПТ опреде­ляются двойками натуральных чисел, обычно обозна­чаемых т и п (далее эти числа будем называть эле­ментами т и п), которые удовлетворяют трем усло­виям: 1) тn; 2) т и п разночетны; 3) т и п взаим­но просты, а формулы для нахождения сторон ОПТ через элементы т и п следующие: нечетного катета: а = т2– п2; четного катета: b = 2тп; гипотенузы: с =m2+n2 .

m n a b c m n a b c
2 1 3 4 5 8 1 63 16 65
3 2 5 12 13 8 3 55 48 73
4 1 15 8 17 8 5 39 80 89
4 3 7 24 25 8 7 15 112 113
5 2 21 20 29 9 2 77 36 85
5 4 9 40 41 9 4 65 72 97
6 1 35 12 37 9 8 17 144 145
6 5 11 60 61 10 1 99 20 101
7 2 45 28 53 10 3 91 60 109
7 4 33 56 65 10 7 51 140 149
7 6 13 84 85 10 9 19 180 181

В качестве примеров пары квадратов с целочис­ленным вписыванием можно привести квадраты со сторонами 7 и 5, 47 и 37, 71 и 61. Для большей на­глядности эти примеры представим в виде следую­щей таблицы:

m n L (a + b) l (c)
2 1 7 5
6 1 47 37
6 5 71 61
  1. Если сторона квадрата выражена простым числом вида 3 + 8k, то невозможно ни вписать в него, ни описать вокруг него квадрат, представленный простым числом любого вида, чтобы при этом отрез­ки а и b (см. рисунок) выражались целыми числами.
  2. Если сторона квадрата выражена простым числом вида 7 + 8k, то в него можно только вписать другой квадрат, и если сторона последнего представлена простым числом, то этим числом является про­стое число вида 5 + 8k или вида 17 + 8k.
  3. Если сторона квадрата выражена простым числом вида 5 + 8k, то вокруг него можно только описать другой квадрат, и если сторона последнего пред­ставлена простым числом, то им является простое число вида 7 + 8k или вида 17 + 8k.
  4. Если сторона квадрата выражена простым чис­лом вида 17 + 8k, то в него можно вписать один квад­рат и одновременно вокруг него можно описать так­же один квадрат, и если стороны последних представ­лены простыми числами, то ими для первого (впи­санного) квадрата является простое число вида 5 + 8k или вида 17 + 8k, а для второго (описанно­го) — простое число вида 7 + 8k или вида 17 + 8k.
т п L (a + b) l с
4 1 23 17
3 2 17 13

Здесь и далее жирным шрифтом обозначены про­стые числа вида 7 + 8k, курсивом – простые числа вида 17+8k, обычным шрифтом – простые числа вида 5 + 8k. Графическое изображение этой «матреш­ки» — на рисунке 2. Рис. 2 Нужно сказать, что «матрешки» из трех квадра­тов со сторонами, выраженными простыми числами, встречаются довольно часто. Вот, например, еще две трехквадратные «матрешки», следующие сразу же за первой;

т п L (a + b) l с
8 3 103 73
7 2 73 53
20 7 631 449
15 14 449 421

А возможны ли «матрешки» с большим числом квадратов, у которых стороны также выражены толь­ко простыми числами? Способность квадратов, сто­роны которых выражены простыми числами вида 17 + 8k, быть одновременно и вписанными, и описан­ными делает вероятным существование «матрешек», у которых между двумя крайними квадратами со сто­ронами, выраженными простыми числами вида 7 + 8k и вида 5 + 8k, располагаются не один, а несколько взаимно вписывающихся и описывающихся квадра­тов со сторонами, выраженными простыми числами вида 17 + 8k. И действительно, такие «матрешки» обнаружены. Таковы, например, первые четырехквадратные «матрешки», у которых по два промежуточ­ных квадрата со сторонами, выраженными просты­ми числами вида 17 + 8k:

т п L (a + b) l с
28 5 1039 809
25 4 809 641
19 10 641 461
28 25 1559 1409
27 20 1409 1129
25 14 1129 821

«Матрешки» из четырех и более квадратов, стороны которых выражены только простыми числами, встре­чаются, конечно, гораздо реже, чем трехквадратные. Например, «матрешка» из семи квадратов обнаруже­на пока в единственном экземпляре. Вот «паспорт­ные» данные этого уникума (рис. 3):
Рис.3

т п L (a + b) l с
92 35 13 679 9689
85 16 9689 7481
71 20 7481 5441
59 20 5441 3881
45 32 3881 3049
47 10 3049 2309

Следует заметить, что свойством быть одновременно и вписанными, и описанными обладают не только квадраты, стороны которых выражены простыми числами вида 17 + 8k, но и квадраты, стороны кото­рых выражены составными числами, составленными только из простых чисел вида 17 + 8k. Поэтому име­ются «матрешки», у которых стороны промежуточ­ных квадратов — всех или некоторых — выражены произведением, степенью или произведением степе­ней простых чисел вида 17 + 8k. В работе использовались таблицы распределения простых чисел по видам, составленные на основании таблиц простых чисел Д.Н. Лемера, а так­же таблицы основных пифагоровых тре­угольников, содержащие значения элементов т и п, сумм нечетного и четного катетов и гипотенуз . Комплекс вычислений выполнен в программе MS Excel.

Заключение Пифагоровы тройки находят применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни. А умы учёных продолжают искать новые варианты использования простых чисел и пифагоровых троек. История того, что существуют числа, которые не делятся ни на какое другое число, люди знали еще в древности. Последовательность простых чисел имеет примерно следующий вид: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 … Доказательство того, что этих чисел бесконечно много, дал еще Евклид, живший в 300 г до н.э. Примерно в те же годы другой греческий математик, Эратосфен, придумал довольно-таки простой алгоритм получения простых чисел, суть которого была в последовательном вычеркивании чисел из таблицы. Те оставшиеся числа, которые ни на что не делились, и были простыми. Алгоритм называется «решето Эратосфена» и за счет своей простоты (в нем нет операций умножения или деления, только сложение) используется в компьютерной технике до сих пор. Видимо, уже во время Эратосфена стало ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли число простым, не существует — это можно проверить лишь экспериментально. В результате работы я расширила свои знания о пифагоровых тройках, убедилась в их уникальности. Узнала что существуют квадраты – «матрёшки» и научилась их построению. Определение пифагоровых троек является как самостоятельной задачей, так и приложением к геометрическим задачам на теорему Пифагора. Используя приведенные в исследовании примеры, можно легко рассчитать различные комбинации. Числовой способ определения пифагоровых троек является самым простым с точки зрения понимания, но и самым трудоемким с точки зрения вычислений. В современных условиях при использовании компьютерных программ этот способ не представляет сложностей. Полученные значения пифагоровых троек могут быть использованы при решении школьных задач по геометрии.

  1. Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.. — [5-е изд.]. – М.: Просвещение, 2015. — 383 с.
  1. Википедия. Общие сведения о Пифагоре. [Электронный ресурс]: свободная энциклопедия — режим доступа: ru.wikipedia.org/wiki/Пифагор.
  2. Приложения 1 сентября. Математика 2004 г

Приложение 1 Доказательство формулы Евклида Тот факт, что числа a, b, c, удовлетворяющие формуле Евклида, всегда составляют пифагоров треугольник, очевиден для положительных целых m и n, m n, поскольку после подстановки в формулы a, b и c будут положительными числами, а также из того, что выполняется равенство: a 2 + b 2 = ( m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 + n 2 ) 2 = c 2 . Обратное утверждение, что a, b, c выражаются формулой Евклида для любой пифагоровой тройки, вытекает из следующего. Все такие тройки можно записать в виде (a, b, c), где a 2 + b 2 = c 2 и a, b, c являются взаимно простыми, а b и c разночетны. (Если имеет ту же самую четность с обоими катетами, то в случае их четности они не будут взаимно простыми, а в случае нечетности a 2 + b 2 даст четное число, и оно не может быть равно нечетному c 2 .) Из a 2 + b 2 = c 2 мы получаем c 2 a 2 = b 2 , а следовательно, (c a)(c + a) = b 2 . Тогда . Поскольку является рациональным, мы представим его в виде несократимой дроби . Мы отсюда же получаем, что дробь равна. Решая уравнения относительно получим . Поскольку несократимы по предположению, числители и знаменатели будут равными тогда и только тогда, правые части каждого неравенства несократимы. Как мы условились, дробь тоже несократима, откуда следует, что m и n взаимно просты. Правые части будут несократимы тогда и только тогда, когда m и n имеют противоположную четность, так что числитель не делится на 2. А m и n должны иметь противоположную четность – оба не могут быть четными ввиду несократимости, а в случае нечетности обоих чисел деление на 2 даст дробь, в числителе и знаменателе которой будут нечетные числа, но эта дробь равна , в которой числитель и знаменатель будут разночетны, что противоречит предположению. Теперь приравнивая числители и знаменатели, получим формулу Евклида a = m 2 n 2 , b = 2mn, c = m 2 + n 2 с m и n взаимно простыми и имеющими различную четность. Более длинное, но и более общепринятое доказательство приведено в книгах Маора и Серпинского.

3 + 8k 5 + 8k 7 + 8k 17 + 8k
3 5 7 17
11 13 23 41
19 29 31 73
43 37 71 89
59 53 79 97
67 61 103 113
83 101 127 137
107 109 151 193
139 149 167 233
163 157 191 241
179 173 199 257
211 181 223 281
227 197 239 313
251 229 263 337
283 269 271 353
307 277 311 401
331 293 359 409
347 317 367 433
379 341 383 449
419 349 431 457
443 373 439 521
467 389 463 569
491 397 479 577
499 421 487 593
523 461 503 601
547 509 599 617
563

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *