Как найти пересечение множеств а и в
Перейти к содержимому

Как найти пересечение множеств а и в

  • автор:

Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B );

— точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B );

— промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B .

— точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

  1. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) . Начнем с множества ( — ∞ , — 3 ) , наглядно выделив его на чертеже:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A , ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Рассмотрим следующее множество < - 3 >. Число — 3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A , а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой — 3 делаем выколотой:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Оцениваем следующее множество ( — 3 , 7 ) .

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Следующее множество на проверку — < 7 >. Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [ — 3 , + ∞ ) ), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток ( 7 , + ∞ ) .

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7 , т.е.: А ∩ В = ( 7 , + ∞ ) .

  1. Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B . Последовательно проверим множества ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) , устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество ( — ∞ , — 3 ) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество ( — ∞ , — 3 ) не войдет в искомое объединение:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множество < - 3 >входит в множество B , а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B :

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множество ( — 3 , 7 ) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B :

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множество 7 входит в числовое множество B , поэтому войдет и в искомое объединение:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множество ( 7 , + ∞ ) , являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А ∩ В = [ — 3 , + ∞ ) .

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2 ). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Пересечение и объединение множеств

Справочник

Решение некоторых математических задач предусматривает операции над множествами такие как пересечение, объединение, разность. Под множеством подразумевают объединение некоторых предметов в одно целое. Для совершения подобных действий требуется знание некоторых правил, которые позволят найти пересечение, объединение и разность множеств. О таких правилах пойдёт речь далее.

Обозначение множеств. Как записать объединение и пересечение множеств

Определения

Объединение множеств – это ряд таких элементов, при которым каждый из них представляет собой элемент одного из первоначальных множеств.

Пересечение множеств — заключает в себе все элементы, общие для первоначальных множеств.

При записи обозначения пересечения множеств и объединения множества чисел, используют специальный порядок символов. Самый лёгкий способ обозначить множество — это применение фигурных скобок, в середине которых элементы записаны через запятую.

С помощью такой записи можно задать множество, если оно включает небольшое конечное число элементов. В связи с этим чаще применяется многофункциональный способ определения множеств – посредством характеристического свойства, которое свойственно всем элементам множества, которым не владеют объекты вне множества.

P(x) – характеристическое свойство множества A.

В таком виде объединение записывается следующим образом:

AUB=

Объединение множеств

а пересечение множеств записывается как:

AՈB=

Пересечение множеств

Где символы v / , обозначают «или» / «и», символ | обозначает «таких что».

Чтобы обозначить множества, как числовые интервалы, при записи применяют скобки круглой и квадратной формы. К примеру, запись [4,24), выражает цифровой диапазон от 4 до 24, при этом число 4 входит в состав множества, а 24 нет. Числа менее 24 принадлежат этому множеству.

Найти пересечение и объединение множеств. Операции над множествами

U – обозначает объединение множеств A и B;

Ո – обозначает пересечение множеств A и B.

Чтобы легче запомнить данные знаки пересечения и объединения множеств, можно мысленно представить, что символ объединения U напоминает сосуд с открытым верхом, туда есть возможность что-то положить.

Символ пересечения Ո наоборот, выглядит как перевёрнутая ёмкость, в который невозможно поместить какой-либо предмет. Так же символ обозначающий пересечение Ո можно прочитать как «И».

Тогда выражение AՈB=C, читается так: “Все элементы, входящие в состав множества A и множества B, составляют элементы, которые принадлежат множеству C».

Правила нахождения объединения и пересечения и разности множеств

При формировании объединения числовых множеств, следует последовательно записать полностью части одного множества и их дополнить недостающими элементами из остальных. Операцию объединения в отдельных случаях называют сложением множеств и обозначают знаком «+».

Рассмотрим пример объединения числовых множеств A= и B=. К имеющимся числовым составляющим множества A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 прибавим недостающую часть из множества B 10. Получившееся в результате объединения множество чисел будет выглядеть так . Соответственно запись этого объединения:

AUB=

Чтобы составить пересечение числовых множеств, следует последовательно выбирать части одного множества и удостовериться, входят ли они в другие исследуемые множества, входящие в их число и составляют пересечение.

Для того, чтобы найти пересечение этих же множеств, друг за другом, последовательно проанализируем числа множества A на их наличие в множестве чисел B. Начнём проверку с самого первого числа в множестве A это число 0. В множестве B данное число отсутствует и не войдёт в совокупность пересечения. Смотрим далее, число 1 из множества A так же имеется в составе множества B. Затем следует число 2, которое принадлежит множеству B и, следовательно, пересечению. Идущее за ним 3 не принадлежит A и B не входит в перечисление. Число 4 входит в A и B, значит войдёт и в объединение. Далее продолжаем проверять числа по аналогии. Итак, пересечение множеств A= и B= состоит из чисел 2,4,6,8. При записи выглядит так:

AՈB=

Выполнение записи пересечения и объединения нескольких множеств

Если требуется выполнить операции с более чем двумя множествами, например: A, B, C, принцип действия подобный предыдущим примерам. В первую очередь находим пересечения A и B. Только затем пересечение полученного множества с C.

Следовательно, процесс нахождения пересечения более двух множеств осуществляется в несколько этапов.

Например, дано три множества A = , B = и C = . Сначала находим пересечение AՈB = , затем сравниваем полученное множество с C, это будут те же 3 и 9. Получаем, что пересечение A, B, C выглядит следующим образом:

AՈBՈC=

При определении объединений двух и более множеств, к числам первого множества последовательно добавляют отсутствующие элементы из второго, третьего и последующих множеств. К примеру, даны следующее множества A = , B = и C = . К числовым элементам 1 и 4 из множества A, прибавляем число 4 из множества B. Теперь, к получившемуся множеству 1,3,4 прибавляем цифры 6 и 7 из множества C. В конечном результате получаем объединение:

AUBUC =

Для нахождения пересечения совсем не нужно писать много букв. Когда элементов не много, то множество возможно задать элементарным перечислением. Например, первое множество включает в себя числа 1,3,5, второе состоит из элементов 2,3,5. В данном случае, пересечение будет состоять из элементов 3 и 5. Для записи можно использовать прямое перечисление: Ո =

Основные свойства объединения и перечисления множеств

  1. Коммутативность или перестановка. Распространяется на все компоненты при любом их количестве.
    • AUB = BUA
    • AՈB = BՈA
  2. Ассоциативность или расстановка скобок. Позволяет опускать скобки и делать решение проще.
    • (AՈB)ՈC = AՈ(BՈC)
    • (AUB)UC = AU(BUC)
  3. Раскрытие скобок или дистрибутивность.
    • (AUB)ՈC=(AՈC)U(BՈC)
    • (AՈB)UC=(AUC)Ո(BUC)

Разностью A и B называется множество, которое включает в себя все элементы, каждое из которых принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Обозначается A\B. Приведём пример, найдём разность множеств A = и множества B = . Первый вариант находим разность множества A. Запись будет выглядеть так: A\B=, в которую не входят элементы, принадлежащие только B числа 6 и 8. Разность множества B при этом выглядит так: B\A=, сюда соответственно не входят числа, принадлежащие только A.

Для закрепления материала пройденных уроков, рассмотрим ещё несколько примеров. Дана задача: A = , B = и X = Y = . Найдите пересечение, объединение для A, B и разность множеств X, Y. Решение:

Сначала найдём объединение исходных множеств A U B = .

Затем пересечение A Ո B =

Разность X\Y = Y\X =

Для того, чтобы выполнить операции над множествами пересечения, объединения, разность в количестве больше двух, следует рассматривать элементы, входящие в первое их них. Затем определить, относится ли этот элемент к каждому из проверяемых множеств. Если данное обстоятельство не соблюдено, то элемент не относится к пересечению. При проверке, лучше выбирать множество с наименьшим количеством элементов в составе.

Кроме перечисленных действий пересечения и объедения существует дополнение множеств и многие другие операции.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нужна помощь

Отображение множеств с помощью координатной прямой

Для того, чтобы исследовать и обозначать множества, удобно применять выделение числовых промежутков на координатной прямой. Каждая выбранная точка разделяет находящиеся на ней числа на два открытых луча. Приведём пример, точка с координатами 42,7 сформирует промежутки, которые можно записать как (-∞,42,7) и (42,7, +∞). Наше выражение заключено в круглые скобки, это значит, что сама точка 42,7 ни одному из этих промежутков не принадлежит. Числовая прямая, которая записывается как R = (-∞,+∞), при таком варианте из нашего примера, представляет объединение:

При добавлении нашей рассматриваемой точки 42,7 к одному из представленных (-∞,42,7) или (42,7, +∞) числовых лучей, в таком случае промежуток перестанет быть открытым. При записи выражения нужно будет использовать квадратные скобки, которые обозначают, что точка входит в промежуток. Запись будет выглядеть так: (-∞,42,7] и [42,7+∞). Тем самым множество действительных чисел на координатной прямой будет выглядеть так:

На числовой прямой можно выполнять большое количество действий. Такую прямую можно разделить на отрезки не точкой, как в предыдущем примере, а лучом или отрезком. Все выявленные закономерности так же будут соблюдены. Кроме того, они выполняются при разделении самих числовых промежутков. Рассмотрим пример, точка с координатой 18 на промежутке (8,34] разделит его на следующие промежутки (8,18) U U (18,34]. Дополнив точкой, один из промежутков, получатся следующее записи: (8,18] U (18,34], (8,18) U [18,34]. Примем за разделяющую точку цифру 34, которая включается в состав рассматриваемого промежутка и ограничивает его справа. В результате получим объединение множеств и интервала (8,34) либо (8,34] = (8,34) U

Аналогичные закономерности объективны и в ситуации, когда координатная прямая разделяется на промежутки несколькими точками. К примеру, точки -5, 0 и 6 разделят её на промежутки (-∞,-5), (-5,0), (0,6), (6,+∞), при этом множество действительных чисел (-∞,-5) U U (-5,0) U U (0,6) U U (6,+∞).

Благодаря координатной прямой достаточно просто и легко рассматривать пересечения и объединения множеств. Они указываются друг под другом на координатных прямых с идентичными направлениями отсчёта и точками. При записи отображения множеств координатные прямые обозначают слева квадратной скобкой, фигурные скобки используются, чтобы показать пересечение.

С помощью дополнительной координатной прямой, которую располагают ниже исходной, показываются искомые пересечения или объединение. На ней поперечными чертами отмечают граничные точки первичных множеств, а после выяснения характера точек, их заменяют полями или сплошными. На рисунке вхождение промежутка в объединение показывается штриховкой, отсутствие вхождения – полой точкой, а вхождение – сплошной.

Графически пересечение A и B показывается промежутками, над которыми имеется штриховка, дополненная отдельными точками, которые принадлежат обоим множествам. На рисунке объединение проявляется там, где показана штриховка хотя бы у одного из множеств и сплошные точки.

В приведённых примерах объединения и пересечения множеств указаны только целые числа. Отрезкам на координатной прямой так же принадлежат и другие числа, которые целыми не являются, такие как десятичные дроби. При определении пересечения и определения множеств, класс чисел намного шире, чем представлен в упражнениях, они находятся между целыми числами и количество их очень велико, перечислять которые не представляется возможным.

Пересечение множеств

Пересечение множеств A и B являет собой такое же, как и исходные, множество, в составе которого наличествуют элементы, принадлежащие как одному, так и обязательно всем иным пересекающимся между собой множествам. Пересечение множеств A и B обозначается наличием специального символа, напоминающего перевернутую латинскую букву «U» — символ «» может заменяться знаком умножения ««.

Понять то, как происходит пересечение множеств, легко на простом примере:
Если A = и B = , то A ∩ B = .
Или: если A = и B = , то A • B =

В отношении пересечения множеств действует как ассоциативный, так и коммутативный законы. Пересечение множеств задействуется при решении алгебраических и геометрических, а также статистических задач. При проектировании сложной электроники применяются все элементы алгебры множеств.

Пересечение множеств

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А=, B=, то А ∩ В =

Онлайн калькулятор позволяет найти пересечение множеств A и B (А ∩ B).

Также доступны следующие операции над множествами: объединение, разность, симметрическая разность.

Поделиться страницей в социальных сетях:

Онлайн калькуляторы

Calculatorium.net — это бесплатные онлайн калькуляторы для самых разнообразных целей: математические калькуляторы, калькуляторы даты и времени, здоровья, финансов. Инструменты для работы с текстом. Конвертеры. Удобное решение различных задач — в учебе, работе, быту.

Актуальная информация

Помимо онлайн калькуляторов, сайт также предоставляет актуальную информацию по курсам валют и криптовалют, заторах на дорогах, праздниках и значимых событиях, случившихся в этот день. Информация из официальных источников, постоянное обновление.

Навигация
  • О проекте
  • Обратная связь
  • Поиск по сайту
  • Группа ВКонтакте

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *