Как найти особые точки функции
Перейти к содержимому

Как найти особые точки функции

  • автор:

Особые точки аналитической функции

В теории функции комплексной переменной рассматриваются ряды Лорана:

ряды Лорана

.

В отличие от ряда Тейлора в ряде Лорана присутствуют отрицательные степени . Как мы знаем, ряд по положительным степеням сходится внутри круга , где — радиус сходимости ряда .

Ряд по отрицательным степеням называется главной частью ряда Лорана.

Ряд по положительным степеням называется правильной или регулярной частью ряда Лорана.

Обозначим , для главной части ряда Лорана. Мы получим ряд , то есть ряд по положительным степеням . Пусть его , то есть ряд сходится при , откуда следует неравенство для : .

Таким образом, совокупный ряд сходится в кольце . Справедливо и обратное утверждение, называемое теоремой Лорана:

Теорема (Лоран). Функция аналитическая в кольце единственным образом раскладывается в ряд Лорана, причем ряд по отрицательным степеням сходится при , а ряд по положительным степеням сходится при .

Формула 3

Коэффициенты ряда можно находить по формуле .

Ряд Лорана

Пусть функция не является дифференцируемой в точке , а в остальных точках некоторой окрестности она дифференцируема (аналитической). Такая точка называется изолированной особой точкой аналитической функции . Функцию можно считать аналитической в кольце . По теореме Лорана эта функция раскладывается в ряд Лорана:. Согласно этому разложению, дадим следующую классификацию особых точек.

  1. Если в разложении функции в ряд Лорана, главная часть отсутствует, то точка называется устранимой (или правильной) особой точкой функции .В этом случае функция становится аналитической при .
  2. Если в разложении функции в ряд Лорана, главная часть содержит конечное число членов, то точка называется полюсом порядка , где порядок полюса определяется старшей степенью главной части ряда Лорана.
  3. Если в разложении в ряд Лорана, в главной части имеется бесконечно много членов, то точка называется существенно особой точкой функции .

разложение этой функции в точке

Пример 1

Функция не определена в точке , а для остальных точек комплексной плоскости она аналитическая. Поэтому является изолированной особой точкой функции. Поскольку разложение этой функции в точке такое

, то главная часть отсутствует, следовательно, точка является устранимой особой точкой функции .

Пример 2

Функция так же имеет изолированную особую точку . В окрестности этой точки функция раскладывается в ряд ряд 2

Здесь

Особые точки аналитической функции

Главная часть ряда Лорана содержит три члена, и старшая степень – пятая. Следовательно, является полюсом -го порядка.

Пример 3

Функция функция 4имеет единственную особую точку на комплексной плоскости . Пользуясь стандартным разложением, найдем разложение функции в ряд в окрестности точки .

Особые точки аналитической функции 2.

Здесь главная часть начинается с третьего члена и содержит бесконечно много членов. Имеем существенно особую точку.

Что касается бесконечно удаленной точки , то здесь принята следующая классификация.

Пусть в некоторой окрестности функция аналитическая. Это означает, что для , где некоторое число, функция является аналитической. Пусть в этой окрестности функция разлагается в степенной рядСтепенной ряд. Если ряд имеет все коэффициенты равные , то точка называется правильной точкой. Если конечное число членов ряда отлично от нуля – то точка называется полюсом. При этом порядок полюса определяется как старшая степень ряда . Если ряд содержит бесконечно много членов отличных от нуля, то называется существенно особой точкой.

Многочлен

Пример 4

У многочлена точка является полюсом порядка .

Функция 5

Пример 5

У функции точка является существенно особой точкой.

функция 6

Пример 6

У функции точка является правильной точкой.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Изолированные особые точки функций и полюсы

Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.

Исследование функции в особой точке определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием . Очевидно, имеют место три возможности:

а) не существует;
б) существует и равен конечному числу;
в) равен бесконечности.

Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная стремится к по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях .

Будем рассматривать , где — особая точка.

Пример 4.1. Исследовать существование в случаях a) .

a) В действительной области не существует, так как не равны односторонние пределы , но существует предел второй функции: .

б) В комплексной области, очевидно, не существует, так как он не существует в частном случае .

Но для второй функции полученного выше результата не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.

Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е.

Сравнивая этот результат с полученным выше , заключаем, что в комплексной области не существует.

Аналогично можно показать, что не существует , хотя для случаев и (по действительной и мнимой осям).

Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.

Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

В частности, конечная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число эта точка- единственная особая точка , а в проколотой окрестности, т.е. в функция аналитическая.

Бесконечно удаленная особая точка является изолированной особой точкой функции , если существует число , такое, что в области эта точка — единственная особая точка , а в кольце функция — аналитическая.

Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.

Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки ; б) ; в) .

Так как особая точка является отсутствие главной части в разложении ее в окрестности точки .

б) Для функции в соответствующем разложении главная часть содержит одно слагаемое, а предел функции равен бесконечности, . Этот результат можно обобщить: главная часть разложения функции по степеням содержит конечное число слагаемых:

и функция может быть записана в виде , а поэтому .

Типы особых точек функции

В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

Изолированная особая точка функции называется:

– устранимой особой точкой, если существует и конечен (4.1);
– полюсом, если (4.2);
– существенно особой точкой, если не существует (4.3).

Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки положить , то будет аналитической в и точку можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке устранена особенность.

Пример 4.3. Определить тип особой точки для функций .

На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что ; полюсом для при любом и .

Пример 4.4. Определить тип особой точки и .

Рассмотрим . Для удобства введем обозначение . Для функции получим (см. пример 4.2), поэтому . Для функции точка не существует (см. пример 4.1).

Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) б) и определить их тип.

Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.

а) Так как числитель и знаменатель функции — функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения . Это четыре точки , или в алгебраической форме: . Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса .

Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как для любой точки .

б) Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых или , а также являются полюсами, так как . Точка (. Точку , так как .

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если — существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность , сходящаяся к точке , такая, что .

Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.

Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:

В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки и являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.

а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем , если , если , то есть для последовательности , такой, что и , и для последовательности , такой, что и .

Аналогично исследуем функцию . Для числа , где и тогда , а для , где и тогда .

Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений , которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого .

Например, для функции имеем . Отсюда получаем

В частности, функция в любой окрестности точки принимает значение бесконечное множество раз: в точках (рис. 4.1).

б) Точка , можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции и точки .

Ряд Лорана в окрестности особой точки

В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.

1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции имеет вид

для — конечной точки , и (для )

2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции в случае полюса имеет вид

3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции в случае — существенно особой точки имеет вид

1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

Так, точка является полюсом порядка функции , если в разложении (4.6) при является полюсом порядка функции , если в разложении (4.7) при .

2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:

а) в случае в виде , или , или, подробнее:

б) в случае в виде , или (см. (4.7)), или, подробнее:

3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:

а) в случае в виде , или (см.(4.8)), или, подробнее:

б) в случае в виде или (см.(4.9)), или, подробнее:

Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) ; б) .

Особыми точками функций являются . Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.

a) . В главной части разложения — один член ряда: , здесь , все для — полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции .

Аналогично из разложения получим такой же результат: точка .

Разложение . Функции в окрестности .

б) Из разложения следует, что .

Из разложения , где и все для .

Разложение в окрестности .

Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций:

а) Используем разложения функций по степеням

Убеждаемся, что для всех указанных функций точка

Для первой функции при в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка является устранимой особой точкой.

При является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при , то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что при . Рассуждая аналогично, получаем, что .

Сравнивая разложения функций по степеням в окрестности (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при ) и Утверждение 4.2

1. Чтобы , необходимо и достаточно, чтобы точка была устранимой (или не особой) для .

2. Чтобы функции , необходимо и достаточно, чтобы точка была полюсом порядка функции .

3. Чтобы , необходимо и достаточно, чтобы точка была существенно особой точкой функции .

Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки , в которой функция не определена, но (см. утверждение 3.5) , так и для , устранимую особую точку . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции в точке .

Пример 4.9. Исследовать точку ; б) ; в) .

Для определения типа особой точки рассмотрим пределы .

а) Так как , то точка , получим, что и рассмотрим функцию , то есть . Так как является нулем третьего порядка функции , то .

б) Точка . Заметим, что для функции точка не является особой.

в) Точка — устранимая для .

Правила определения порядка полюса

Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.

Пусть — полюс порядка функции . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:

где — функция, аналитическая в точке , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и .

Далее рассмотрим функцию , то есть или , где — аналитическая в точке и . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что является нулем порядка функции . Можно доказать и обратное утверждение.

А именно, если функция представлена в виде , где — функция, аналитическая в точке , и , то — полюс порядка функции , а также, если — нуль порядка функции , то для функции эта точка является полюсом порядка .

Кроме того, рассмотрим частное , где точка является нулем порядка и нулем порядка , то есть . При , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что — полюс порядка . Заметим, что при точка — устранимая особая точка; случай Утверждение 4.3

1. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде

2. Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка функции (связь нулей с полюсами).

3. Если точка является нулем порядка и нулем порядка , то она — полюс порядка для .

Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.

а) Функцию запишем в виде и , т.е. в виде (4.14), из чего заключаем, что обе особые точки из находим, что следует: , и формула (4.14) не применима, так как . Воспользуемся п.3 утверждения 4.3. В случае функции , точка для знаменателя. Поэтому она — полюс порядка для дроби . Для функции точка

1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.

2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида , где — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки — нуля порядка знаменателя:

а) — полюс порядка , если ;
б) — полюс порядка , если — нуль порядка функции и ;
в) — устранимая особая точка функции , если — нуль порядка ;

г) — нуль порядка функции , если — нуль порядка функции и .

▼ Примеры нахождения особых точек и определения их типа

Пример 4.11. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда , далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.

Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.

а) Особые точки функции . Для точки можно применить формулу (4.14) и из , где и , получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки формула (4.14) не применима, так как из имеем . Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию

б) Особые точки функции — корни уравнения . Все эти точки: — простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции .

Пример 4.12. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

Рассуждаем и производим действия, как в предыдущем примере. Заметим при этом, что в случае «б» в отличие от предыдущего примера особая точка является нулем числителя.

а) Раскладываем числитель и знаменатель на множители, записываем функцию . Получаем: — простой полюс функции ; — полюс второго порядка.

б) Конечные особые точки функции: ; функцию записываем в виде . Получаем: — устранимая особая точка, так как , а точки и — простые полюсы.

Пример 4.13. Найти конечные особые точки функций и определить их тип:

Конечными особыми точками этих функций вида , где — аналитическая функция, являются только нули знаменателя.

а) Особые точки функции: . Точки и — простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде — точка или . В точках числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде — точка или . Тогда для функции получаем

Так как для или , то эти точки — устранимые особые точки функции .

б) Особые точки функции: . Точки и — простые полюсы.

Для точек и проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки .

Пример 4.14. Определить тип особой точки ; б) .

Решение. В точке функций

находим, что и нуль пятого порядка для знаменателя . Следовательно, .

б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням , находим, что для числителя и для знаменателя. Следовательно, .

Пример 4.15. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

Конечными особыми точками функций, как и в предыдущих примерах, являются нули знаменателя.

а) Особые точки функции — корни уравнения , или , то есть . Эти точки — простые нули знаменателя, а поскольку числитель не обращается в нуль , то все они — простые полюсы функции.

б) Особые точки функции: и . Точка является нулем третьего порядка знаменателя, a — нули второго порядка. Так как в точках числитель в нуль не обращается, то эти точки — полюсы второго порядка для . Точки и для функции .

Пример 4.16. Определить тип особой точки ; б) ; в) ; г) .

а) Из разложений

находим, что для числителя и — для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как

то, полагая , можно считать, что , причем (см. замечания 4.4).

б) Из разложений

находим, что для числителя и — для знаменателя. Поэтому .

в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что для числителя и — для знаменателя. Поэтому .

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.

Практически удобное правило определения порядка полюса для функции , тогда для и можно записать (см. (4.14)). Поэтому, обозначив , для получим

Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка функции в точке Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если для и для , то для функции .

Пример 4.17. Определить тип особой точки для функций: а) ; б) .

Так как в обоих случаях, то Первый способ. Разложение функции по степеням имеет вид , все , и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что .

Второй способ. Обозначим , получим функцию , для которой . Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка для .

Третий способ. Запишем функцию в виде и, так как функция — удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что для .

б) Разложение функции в ряд по степеням представляет некоторые трудности. Используем другие способы.

Первый способ. Обозначим , получим , или .

Поэтому является для и, следовательно, для .

Второй способ. Представим функцию в виде или , где , и, согласно формуле (4.15), для .

Третий способ. Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса для дроби , зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно, для числителя и — для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому для .

Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке для следующих функций: а) ; б) .

Первый способ. Запишем разложения в ряд по степеням ;

Из разложений следует, что для каждой из заданных функций.

Второй способ. Обозначим и определим порядок полюса функции в точке

В каждом случае получаем представление функции в виде , следовательно, для . Поэтому для .

Третий способ. Представим функции в виде (4.15):

Так как удовлетворяет условиям формулы (4.15), то заключаем, что для .

Четвертый способ. Используем замечание 4.5, сравним порядки полюсов в точке и . Для первой функции для числителя и для знаменателя; для второй для числителя и для знаменателя. Следовательно, для каждой из функций .

Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

Пусть — особая точка функций и и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций . Рассмотрим следующие случаи.

Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка для функции и полюсом порядка для функции .

а) При исследовании суммы воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде

При для суммы получаем или , где . Если , то для функции . Однако для функций может выполняться условие и’ следовательно, . В этом случае формула (4.14) не применима и точка не будет полюсом порядка . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем в случае , где — порядок нуля функции . Если , то — устранимая особая точка для .

Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.

б) Для исследования произведения воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции . Для первой из этих функций , для второй соответственно . а поэтому для она будет . Согласно п.2 утверждения 4.3, является для .

в) Аналогичные рассуждения для частного приводят к результату: при является для .

Второй случай. Пусть точка является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для и существенно особой для . Так как не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций . Следовательно, для каждой из них — существенно особая точка. Заметим, что для функции эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции .

Третий случай. Пусть — полюс порядка для и устранимая особая точка для . Разложения этих функций в ряд в окрестности имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.

а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции . Следовательно, для точка — полюс порядка .

б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для , если .

Если и для функции , то из равенства

заключаем, что .

в) Для частного при условии из равенства заключаем, что для .

Если и для , то, используя условие кратного нуля, из равенства

заключаем, что является для , где — порядок полюса функции — порядок нуля функции в точке .

Подводя итог, запишем следующее утверждение.
Утверждение 4.4

1. Пусть точка является для функции и для функции . Тогда:

а) для она будет , а при — устранимой особой точкой;

б) для она является ;

в) для она будет .

2. Пусть — существенно особая точка для функции и устранимая особая точка или полюс для функции . Тогда — существенно особая точка для .

3. Пусть точка является для функции и устранимой особой точкой для функции . Тогда:

а) для она будет ;

б) для она является , если , и , если и — порядок нуля в точке ;

в) для она будет , если , и , если и — порядок нуля в точке ;

4. Если точка для , то она существенно особая точка для сложной функции . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для и в окрестности .

Пример 4.19. Определить тип особой точки , если , где , а функция определяется следующим образом:

Очевидно, точка для и для в первых двух случаях; в последнем случае для .

Для каждого из указанных случаев задания записываем разложение функции по степеням , из которого определяем тип точки

Пример иллюстрирует п.1 утверждения 4.4.

Пример 4.20. Найти особые точки функции . Определить их тип.

Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого , особая точка второго слагаемого являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки -простые полюсы (см. п. 3 «а» утверждения 4.4).

Точка — это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 «а» утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: . Точка . Действительно,

Точка содержится бесконечное множество особых точек вида . Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка.

Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип:

Обозначим — первое слагаемое, — второе слагаемое функции , т.е. имеем .

а) Для точка является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для (п. 2 утверждения 4.4).

Точки — полюсы второго порядка функции , так как ее можно записать в виде , где , а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для эти точки не особые, то — полюсы второго порядка для (п. 3 утверждения 4.4).

С помощью аналогичных рассуждений получаем, что .

Особыми точками являются корни уравнения . Все они — простые нули знаменателя- функции , а потому — простые полюсы для . Так как эти точки не являются особыми для , то для — это простые полюсы.

Точка — неизолированная особая точка .

б) Точка — полюс дроби является существенно особой точкой для (п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для и, следовательно, для .

Точка , так как можно записать . Поскольку , то она — простой полюс для .

Точка , так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби . Так как , то она — устранимая особая точка для .

Особыми точками являются простые нули знаменателя — корни уравнения . Все точки

являются простыми полюсами для и, следовательно, простыми полюсами для .

Найти особые точки функции, указать их тип, найти вычеты.

Найти особые точки функции, указать их тип, найти вычеты:

Решение от преподавателя:


Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.

Математический анализ Примеры

Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Пусть первая производная равна .

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Точное значение : .

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Объединим и .

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Умножим на .

Найдем период .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Период функции можно вычислить по формуле .

Заменим на в формуле периода.

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .

Разделим на .

Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.

, для любого целого

Объединим ответы.

, для любого целого

, для любого целого

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *