Как найти ортоцентр треугольника по координатам вершин
Перейти к содержимому

Как найти ортоцентр треугольника по координатам вершин

  • автор:

Ортоцентр треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Пример

В приведенном ниже примере, O это ортоцентр..

triangle-orthocenter

Метод расчета ортоцентра треугольника

Пускай даны точки треугольника A(4,3), B(0,5) и C(3,-6).

Шаг 1

Найдем наклоны сторон AB, BC и CA используя формулу strong>y2-y1/x2-x1. Наклон обозначим ‘m’.

  • Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
  • Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
  • Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.
Шаг 2

Теперь, давайте вычислим наклон высоты AD, BE и CF который перпендикулярен сторонам BC, CA и AB соответственно. Наклон высоты = -1/наклон противоположной стороны треугольника.

  • Наклон AD = -1/наклон BC = 3/11.
  • Наклон BE = -1/наклон CA = -1/9.
  • Наклон CF = -1/наклон AB = 2.
Шаг 3

После того, как мы нашли наклон перпендикуляров, мы должны найти уравнение линий AD, BE и CF. Давайте найдем уравнение линии AD с точкой (4,3) и наклоном 3/11.
Формула, для нахождения уравнения ортоцентра треугольника = y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

1) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 3x-11y = -21

Кроме того, мы должны найти уравнение линий BE и CF. Уравнение для линии BE с точкой (0,5) и наклоном -1/9 = y-5 = -1/9(x-0)

2) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим x + 9y = 45

Уравнение для линии CF с точкой (3,-6) и наклоном 2 = y+6 = 2(x-3)

3) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 2x — y = 12

Шаг 4

Найдем значение x и y решив 2 любых из 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y (8.05263, 4.10526) которые являются координатами Ортоцентра (o).

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника

Чтобы найти ортоцентр треугольника, можно воспользоваться калькулятором, где следует внести координаты. В автоматическом режиме с помощью формул произведется расчет. Можно также все расчеты произвести самостоятельно.

Например, имеются следующие данные точек:
А – 4,3;
В – 0,5;
С – 3,-6.
Первое , что необходимо найти наклон сторон, который обозначается — m , используется формула :

Из этого следует:

Далее необходимо найти наклон перпендикулярных сторон, для этого используется формула:

Имеем:
Когда найден наклон перпендикуляров, можно использовать уравнение линий, например, для линии AD, где точка 4,3, а наклон равен 3/11: y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

С помощью упрощения, имеем: 3х — 11у=-21
Для линии ВЕ, где точка 0,5, а наклон -1/9, имеем

Упрощение дает: х+9у=45.
И последние линии CF, где точка 3, -6, а наклон 2, имеем уравнение y+6 = 2(x-3).
И упрощение, 2x — y = 12.
Если решить два из трех уравнений будут найдены значения х и у. Для данного примера:
Значение х = 8,05263;
Значение у = 4,10526.
Которые в данном случае являются координатами искомого Ортоцентра.

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Найти ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет нужна помощь. Нужно найти ортоцентр(точка пересечения высот) треугольника. Даны координаты вершин.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найдите точки пересечения высот и медиан треугольника
Найдите точки пересечения высот и медиан треугольника, вершины которого расположены в точках (x1.

Найти наибольшую из высот треугольника
Последние задачи семестра, помогите пожалуйста. Функции, параметры функций Определить три.

Даны координаты двух вершин треугольника и точка пересечения его высот
2. 4. Даны координаты двух вершин треугольника А(А1, А2) и В(В1, В2), и точка пересечения его высот.

Найти точку пересечения высот треугольника АВС
найти точку пересечения высот треугольника АВС

495 / 377 / 136
Регистрация: 27.01.2015
Сообщений: 1,588
Это геометрия, а не программирование
http://www.kakprosto.ru/kak-10. reugolnike
Регистрация: 01.09.2015
Сообщений: 3

Ну, допустим, я пытался этим способом.

(-1/k2)×(x−xa)+ya = (-1/k1)×(x−xb) + yb
Не выходит вывести отсюда x

Эксперт С++

13515 / 10763 / 6416
Регистрация: 18.12.2011
Сообщений: 28,740

ЦитатаСообщение от saninstein Посмотреть сообщение

Не выходит вывести отсюда x
Это же обычное квадратное уравнение:
Регистрация: 01.09.2015
Сообщений: 3

Пардон, там не x-ы а знаки умножения:

Эксперт С++

13515 / 10763 / 6416
Регистрация: 18.12.2011
Сообщений: 28,740
А это вообще линейное уравнение
(k2-k1)x+k1xa-k2xb+k1k2(ya-yb)=0

Вот уже и линейные уравнения «не выходят» 🙁 Скоро таблица умножения перестанет выходить.

Меню пользователя zer0mail
Читать блог

Регистрация: 06.02.2022
Сообщений: 20

Пусть A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) – три вершины треугольника. Проведем высоты AK и BL. Точка их пересечения H будет искомой.
Напишем уравнение прямой AK: она должна проходить через вершину A и быть перпендикулярной прямой BC. Пусть уравнение прямой AK имеет вид a1x + b1y = c1. Тогда вектор (a1, b1) совпадает с направлением вектора BC и можно положить (a1, b1) = (xc – xb, yc – yb). Уравнение прямой AK примет вид:
(xc – xb)x + (yc – yb)y = c1
Поскольку прямая AK проходит через точку А, то подставив в ее уравнение координаты точки A(xa, ya), найдем значение c1:
(xc – xb) xa + (yc – yb) ya = c1
Аналогично находим уравнение прямой BL. Пусть оно имеет вид a2x + b2y = c2. Вектор (a2, b2) совпадает с направлением вектора АC и можно положить (a2, b2) = (xc – xa, yc – ya). Точка B лежит на прямой BL, следовательно
(xc – xa) xb + (yc – ya) yb = c2
Точка пересечения высот треугольника находится решением системы уравнений

Добавлено через 2 минуты
Реализация алгоритма:
Сначала вводишь координаты вершин треугольника и наслаждаешься))
Пример ввода:
0 0
3 0
0 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
#include #include #include  #include using namespace std; void Kramer(double a1, double b1, double c1, double a2, double b2, double c2, double &x, double &y) { double prost, prost_x, prost_y; prost = a1 * b2 - a2 * b1; prost_x = c1 * b2 - c2 * b1; prost_y = a1 * c2 - a2 * c1; x = prost_x / prost; y = prost_y / prost; } int main() { double Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy, BC, AC, AB, Px, Py, A1, B1, C1, A2, B2, C2; cin >> Ax; cin >> Ay; cin >> Bx; cin >> By; cin >> Cx; cin >> Cy; A1 = Cx - Bx; B1 = Cy - By; C1 = Ax * (Cx - Bx) + Ay * (Cy - By); A2 = Cx - Ax; B2 = Cy - Ay; C2 = Bx * (Cx - Ax) + By * (Cy - Ay); Kramer(A1, B1, C1, A2, B2, C2, Px, Py); cout  fixed  setprecision(10); cout  Px  " "  Py; return 0; }

Как найти ортоцентр

Если известны координаты вершин треугольника на плоскости или в пространстве, нетрудно найти координаты точки пересечения высот. Если А, B, C — обозначения углов, O — ортоцентра, то отрезок AО перпендикулярен отрезку BС, а BО перпендикулярен AC, таким образом, получаете уравнения AО-BC=0, BО-AC=0. Этой системы линейных уравнений достаточно для нахождения координат точки О на плоскости. Вычислите координаты векторов BC и AC, вычитая из координат второй точки соответствующие координаты первой точки. Принимаете, что точка О имеет координаты x и y (О (x,y)), далее решите систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Если задача дана в пространстве, то в систему следует добавить уравнения AО-a=0, где вектор a=AB*AC.

Остальные ответы

Похожие вопросы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *