Как найти нетривиальную линейную комбинацию векторов равную ноль вектору
Перейти к содержимому

Как найти нетривиальную линейную комбинацию векторов равную ноль вектору

  • автор:

Линейно зависимые и линейно независимые вектора.

Определение. Линейная комбинация x 1 a 1 + . + xn an называется тривиальной, если все коэффициенты x 1, . xn равны нулю.

Определение. Линейная комбинация x 1 a 1 + . + xn an называется нетривиальной, если хотя быбы один из коэффициентов x 1, . xn не равен нулю.

Определение. Вектора a 1, . an называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору.

То есть вектора a 1, . an линейно независимы если x 1 a 1 + . + xn an = 0 тогда и только тогда, когда x 1 = 0, . xn = 0.

Определение. Вектора a 1, . an называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору.

Свойства линейно зависимых векторов:

Для 2-х и 3-х мерных векторов.
Два линейно зависимые вектора — коллинеарные. (Коллинеарные вектора — линейно зависимы.) .
Для 3-х мерных векторов.
Три линейно зависимые вектора — компланарные. (Три компланарные вектора — линейно зависимы.)
Для n -мерных векторов.
n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:

Пример 1. Проверить будут ли вектора a = <3; 4; 5>, b = , c = , d = <3; 4; 0>линейно независимыми.

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 2. Проверить будут ли вектора a = <1; 1; 1>, b = <1; 2; 0>, c = линейно независимыми.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

Решим эту систему используя метод Гаусса

1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 1 0 ~

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

1 1 0 0 1 — 1 2 — 1 -1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 0 — 0 ~ 1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 ~

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

1 — 0 1 — 1 0 — (-1) 0 — 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 + 0 ~ 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x 1, x 2, x 3 таких, что линейная комбинация векторов a , b , c равна нулевому вектору, например:

— a + b + c = 0

а это значит вектора a , b , c линейно зависимы.

Ответ: вектора a , b , c линейно зависимы.

Пример 3. Проверить будут ли вектора a = <1; 1; 1>, b = <1; 2; 0>, c = линейно независимыми.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

Решим эту систему используя метод Гаусса

1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 2 0 ~

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

1 1 0 0 1 — 1 2 — 1 -1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 1 2 — 0 0 — 0 ~ 1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 2 0 ~

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

1 — 0 1 — 1 0 — (-1) 0 — 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 2 + (-1) 0 + 0 ~ 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 ~

из первой строки вычтем третью; к второй строке добавим третью:

1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 0 0 + 0 1 + 0 -1 + 1 0 + 0 0 0 1 0 ~ 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Данное решение показывает, что система имеет единственное решение x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, а это значит вектора a , b , c линейно независимые.

Ответ: вектора a , b , c линейно независимые.

Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов

Зарегистрирован:
21 апр 2015, 22:23
Сообщений: 95
Cпасибо сказано: 34
Спасибо получено:
5 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

[math]a_<1>(-1;4;-2-1-5), a_(3;9;-1;10;1), a_(2;7;-1;7;0)[/math]
Заголовок сообщения: Re: Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов
Добавлено: 13 мар 2016, 15:03

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2746
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
847 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Какая линейная комбинация называется нетривиальной?
— Тривиальная одна, остальные нетривиальны. Что тогда Вы спрашиваете?

Заголовок сообщения: Re: Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов
Добавлено: 13 мар 2016, 15:40

Продвинутый

Зарегистрирован:
21 апр 2015, 22:23
Сообщений: 95
Cпасибо сказано: 34
Спасибо получено:
5 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Если хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации не равен нулю, то такая комбинация называется нетривиальной
Я не понимаю, как ее составить.

Заголовок сообщения: Re: Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов
Добавлено: 13 мар 2016, 16:39

Продвинутый

Зарегистрирован:
21 апр 2015, 22:23
Сообщений: 95
Cпасибо сказано: 34
Спасибо получено:
5 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов, равную нулю
Заголовок сообщения: Re: Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов
Добавлено: 15 мар 2016, 09:34

Последняя инстанция

Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2746
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
847 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 199

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Вот это уже правильный вопрос. Ну дык и способ нахождения вытекает прямо из постановки вопроса.
Надо составить комбинацию с неизвестными коэффициентами и приравнять к нулю. Получите однородную систему линейных уравнений. Решать такие системы умеете? Ну, скажем, про гауссовы исключения слышали? Впрочем это не обязательно — можно тупо по-школьному выразить одно неизвестное из одного уравнения через остальные и подставить в остальные .
Если найдётся хотя бы одно ненулевое решение, значит получите искомую комбинацию. Если же система будет иметь только нулевое решение, то и искомой комбинации не существует.

Линейная алгебра, векторы

1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов a1,a2,a3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или неза- висимости. a1(1; 1; 7; −3; −2), a2(1; 0; 4; −2; −1), a3(−3; 1; −9; 5; 2).

Лучший ответ

Сначала определяем ранг матрицы методом Гауса.
Ранг равен двум.
Поэтому существует нетрив. линейная комбинация, которую и находим:
а₁*(-1)+а₂
а₁*3+а₃
(а₁*(-1)+а₂)4+а₁*3+а₃=0=-а₁ + 4*а₂ + а₃

Александр ЦеликовПросветленный (49185) 2 года назад

(а₁,а₂,а₃ линейно зависимы.

Остальные ответы

Зачтено на максимальный балл

Задание 1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов a1, а2, а3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. а1 (4; 9; 5; -5; 1), а2 (1; 3; -4; 1; 1), а3 (0; 1; -7; 3; 1).
Задание 2. Доказать, что векторы e1 (-3; 2; 2), e2 (5; -1; 0), e3 (4; 0; 1) образуют базис в R 3 . Найти координаты вектора b в этом базисе и вектора c в исходном, если в исходном базисе b (-22; 14; 13) , в новом базисе c (5; -3; 0).
Задание 3. Построить какой-нибудь ортогональный базис в линейной оболочке системы векторов а1 (-1; 1; -1; 0), а2 (-3; -1; -1; -2), а3 (-5; -1; -2; -3), а4 (-2; 1; -2; -1).
Задание 4. Оператор A в пространстве Ꝟ задан соотношением A(x) = (а , x)b , где а (-5; 1; -6), b (-2; 5; -5). Доказать линейность оператора A и найти его матрицу в базисе ( i, j, k );
Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов A и B. Если возможно, привести матрицу оператора ( A илиB , или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
Задание 6. Привести квадратичную форму –x^2+6xy+2xz-10y^2 -11z^2 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
Задание 7. Привести квадратичную форму 3x^2 – 2xy-4xz + 3y^2 – 4yz к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
Задание 8. Построить кривую 2x^2 + 4xy +5y^2 = 9;

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *