Как найти математическое ожидание и дисперсию
Перейти к содержимому

Как найти математическое ожидание и дисперсию

  • автор:

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

  • Формула математического ожидания случайной величины
  • Примеры вычисления математического ожидания
  • Онлайн калькулятор для мат.ожидания
  • Видео. Полезные ссылки

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$: $$ M(X)=\sum_^. $$ Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx. $$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом: $$ x_i \quad -1 \quad 2 \quad 5 \quad 10 \quad 20 \\ p_i \quad 0.1 \quad 0.2 \quad 0.3 \quad 0.3 \quad 0.1 $$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины: $$ M(X)=\sum_^. $$ Получаем: $$ M(X)=\sum_^ =-1\cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 +5\cdot 0.3 +10\cdot 0.3+20\cdot 0.1=6.8. $$ Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x \in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx. $$ Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx = \int_^ 12(x^2-x^3) \cdot x dx = \int_^ 12(x^3-x^4) dx = \\ =\left.(3x^4-\fracx^5) \right|_0^1=3-\frac = \frac=0.6. $$

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

  • Введите число значений случайной величины К.
  • Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
  • Нажмите на кнопку «Вычислить».
  • Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины. Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.
А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Математическое ожидание случайной величины. Пример решения

Вычислите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию, эксцесс случайной величины.

Решение получаем через калькулятор. Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.2 + 1*0.3 + 2*0.4 + 3*0.1 = 1.4
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 ipi — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.2 + 1 2 *0.3 + 2 2 *0.4 + 3 2 *0.1 — 1.4 2 = 0.84
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
sigma(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(0.84) = 0.92

Задание 2. Дан закон распределения случайной величины X в виде таблицы: в первой строке таблицы указаны возможные значения случайной величины, во второй — соответствующие вероятности. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Скачать решение

Задание 3. Задана дискретная случайная величина Х. Найти: а) математическое ожидание М(х); б) дисперсию D(x); в) среднее квадратическое отклонение б(х).
Скачать решение:xls

Пример 1. Случайная величина X задана рядом распределения:

xi 0 1 2 3 4
pi 0.5 0.3 0.15 0.03 0.02

Вычислить математическое ожидание случайной величины mX, дисперсию D[x], среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения F(x). Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение больше 0, но меньше 3.
Скачать решение:xls
Рекомендации. Для проверки решения можно воспользоваться этим сервисом.

Пример 2. Задан закон распределения дискретной случайной величины X . Найти неизвестную вероятность p , математическое ожидание M , Дисперсию D и среднее квадратическое отклонение. Функцию распределения F(X) и построить ее график.
Рекомендации. Чтобы найти неизвестную вероятность p , достаточно из 1 вычесть все вероятности: p = 1 — ∑pi
Скачать решение:xls

Задание. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. см. также другие примеры.

Упростить логическое выражение

Решение по шагам
( a →c)→ b → a
Упростим функцию, используя основные законы логики высказываний.
Замена импликации: A → B = A v B

Учебно-методический

√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия

Библиотека материалов

√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ

  • Задать вопрос или оставить комментарий
  • Помощь в решении
  • Поиск
  • Поддержать проект

Правила ввода данных

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поиск

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑xipi , если ряд сходится абсолютно.

  • Шаг №1
  • Шаг №2
  • Видеоинструкция

Если данные представлены в виде корреляционной таблицы, то необходимо воспользоваться этим сервисом. Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .

Свойства математического ожидания случайной величины

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
  2. M[C•X]=C•M[X]
  3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M[X+Y]=M[X]+M[Y]
  4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[X•Y]=M[X]•M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

  1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
  2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
  3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
  4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
  5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
    D(X)=M(X 2 )-(M(X)) 2

Алгоритм вычисления математического ожидания

  1. Поочередно умножаем пары: xi на pi.
  2. Складываем произведение каждой пары xipi.
    Например, для n = 4: m = ∑xipi = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4
xi 1 3 4 7 9
pi 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 ipi — M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 — 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78 Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Х -10 -5 0 5 10
р а 0,32 2a 0,41 0,03

Найти величину a , математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Решение. Величину a находим из соотношения: Σpi = 1
Σpi = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08 Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х1234
x1=6; x2=9; x3=x; x4=15
p1=0,3; p2=0,3; p3=0,1; p4=0,3
d(x)=12,96 Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x1 2 p1+x2 2 p2+x3 2 p3+x4 2 p4-m(x) 2
где матожидание m(x)=x1p1+x2p2+x3p3+x4p4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3*0,1+15*0,3=9+0.1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x3=8, x3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х1234
x3=12 Закон распределения дискретной случайной величины
x1=6; x2=9; x3=12; x4=15
p1=0,3; p2=0,3; p3=0,1; p4=0,3

Аннуитетные платежи онлайн

Аннуитетные платежи онлайн

Расчет аннуитетных платежей по схеме постнумерандо и пренумерандо с помощью удобного калькулятора.

Профессии будущего

РБК Тренды изучили прогнозы российских и зарубежных футурологов, и составили список самых востребованных профессий в ближайшие 30 лет. Это профессии из 19 отраслей: от медицины и транспорта до культуры и космоса

Налоговый вычет на обучение

√ 120 тыс. руб. — максимальная сумма расходов на обучение
√ вычет от государства
√ вычет от работодателя

  • Задать вопрос или оставить комментарий
  • Помощь в решении
  • Поиск
  • Поддержать проект

Как вычислить математическое ожидание и дисперсию
непрерывной случайной величины?

Ответ на этот вопрос состоит всего лишь из 2 слов: с помощью интегралов. Приветствую тех, кто подтянулся с поисковика – вы попали на 2-ю часть урока о непрерывной случайной величине (НСВ), и если что-то будет не понятно, милости прошу по ссылкам.

Сам смысл математического ожидания и дисперсии мы уже разбирали ранее (но, конечно, повторим), и сейчас настало время узнать, как они определяются для НСВ. Всё очень просто: по аналогии с ДСВ. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется, как несобственный интеграл:

, где – функция плотности распределения этой случайной величины.

Примечание: несложный вывод этой формулы можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана

Дисперсия тоже имеет «знакомые очертания»: (по определению), но в практических задачах гораздо удобнее применять формулу:

Как и в случае с дискретной случайной величиной, она не может быть отрицательной!

И среднее квадратическое отклонение вычисляется точно так же:

Итак, все инструменты в руках и мы с энтузиазмом приступаем к работе учёбе любимому делу:

…нет, это не опечатка – пример уже 7-й!

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Вычислить . И построим ещё графики и , ну а куда же без них?

Решение начнём с графика функции распределения. При его ручном построении удобно найти промежуточное значение и аккуратно провести кусок кубической параболы :

Повторяем: функция распределения описывает вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , «пробегающая» все значения от до . Данная функция изменяется в пределах и не убывает (т. к. «накапливает» вероятности), а также является непрерывной (для НСВ).

Очевидно, что случайная величина принимает случайные значения из отрезка , и какие из них более вероятны, а какие – менее, наглядно показывает функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей:

И снова опорные точки: с немедленным чертёжом:

В отличие от функции плотности может быть разрывна и может принимать значения бОльшие единицы (как в нашем случае); может, как убывать, так и возрастать и даже иметь экстремумы (наш кусок параболы растёт). Однако, она неотрицательна: и обладает свойством , которое лучше всегда проверять (а то мало ли, опечатка или ошибка). В силу аддитивности интеграла:

– данный результат равен заштрихованной площади и с вероятностной точки зрения означает тот факт, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Причём, по чертежу хорошо видно, что значения из правой части отрезка гораздо более вероятны, чем значения слева.

И эти вероятности оцениваются кусками площади, а не значениями функции . (окончательно избавляемся от распространённой иллюзии)

Ради интереса вычислим:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка

Теперь числовые характеристики. Очевидно, что математическое ожидание (среднеожидаемое значение) случайной величины должно находиться в «живом» отрезке, причём – ближе к его правому концу (поскольку там выше плотность вероятности). Убедимся в этом аналитически. По формуле вычисления математического ожидания, и в силу того же свойства аддитивности:

– ну что же, вполне и вполне правдоподобно, результат я отметил красной точкой на чертеже.

! Примечание: в общем случае (и в этом, в частности) не делит площадь на 2 равные части!

Если промежуток конечен, то можно сразу записывать, что матожидание равно определённому интегралу:

Дисперсию (меру рассеяния случайных значений относительно ) вычислим по формуле:

Сначала удобно разобраться с интегралом, здесь я не буду расписывать подробно:

И, наконец, среднее квадратическое отклонение:

Самостоятельно по чертежу оцените, что на интервале сконцентрирована значительная часть площади – образно говоря, тут находится «гуща событий».

Вот такое вот у нас получилось захватывающее повторение-изучение-исследование!

И коль скоро спрашивалось немного, запишем:

Ответ:

Строго говоря, ответ следовало записывать и в предыдущих задачах, но когда пунктов много, то итоговые результаты вполне допустимо помечать по ходу решения, например, подчёркивать или обводить карандашом. Однако на моей памяти встречались и строгие рецензенты, которые требовали всё оформлять «по высшему разряду».

Следующее задание для самостоятельного решения:

Дана функция:

Представить в аналитическом виде и показать, что она может служить плотностью вероятностей непрерывной случайной величины . Вычислить и .

Да, бывает и так! – вспоминаем уравнение прямой на плоскости. Краткое решение и ответ в конце урока.

Зачастую вычисление математического ожидания и дисперсии сопряжено с техническими трудностями, и заключительные примеры урока будут посвящены их преодолению:

Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения .

Найти: …, прямо так и хочется добавить ещё, но в жуткой борьбе с самим собой я остановился, чтобы сосредоточиться на главном =)

Решение: найдём коэффициент . Согласно свойству :

интеграл здесь табличный, и значения арксинуса «хорошие»:

Таким образом:
и функция плотности распределения:

Проверочка: , ч.т.п., и не забываем проконтролировать, что .

Но, в принципе, тут можно не полениться и подвести функцию под знак дифференциала:

Интересно отметить, что математическое ожидание «разделило» вероятности (единичную площадь под функцией плотности) на 2 равные части:

Но, как я примечал выше, в общем случае это не так. Здесь это получилось по причине чётности и «симметричных» вероятностей. Также обратите внимание на то, что наша функция достигает минимума в точке и около этого значения сконцентрированы наименее вероятные значения случайной величины. Впрочем, распределение вероятностей близкО к равномерному.

Поскольку математическое ожидание равно нулю, то дисперсию удобно вычислить «одной строкой». Используем формулу и чётность подынтегральной функции:

Здесь сразу же удобно провести замену переменной, о которой я рассказывал в Примере 4 урока об эффективных методах решения интегралов:

Найдём новые пределы интегрирования. Если , то и:

…мда, хороший вышел каламбур на счёт одной строки :), продолжаем:

Результат получился положительным, и это уже хороший знак. Тем не менее, не помешает выполнить косвенную проверку и вычислить среднее квадратическое отклонение:
– ну что же, вполне и вполне реалистично, ещё раз взгляните на чертёж и мысленно отмерьте от влево/вправо 0,6.

А вот если бы отклонение вышло равным 1, 2 или бОльшему числу, то это говорило бы о явной ошибке.

Ответ:

Существует более трудная вариация рассмотренной функции

– с двумя вертикальными асимптотами в точках разрыва и сходящимся несобственным интегралом. Такие задачи предлагают даже студентам-заочникам, но я не стал маньячить, и поместил похожий пример в библиотеку для самостоятельного изучения.

Всё хорошо в меру:

Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.

Вспоминаем интегрирование по частям, при этом, чтобы не запутаться, лучше придерживаться известного алгоритма: сначала находим неопределенный интеграл, затем проверяем первообразную дифференцированием, и только потом используем формулу Ньютона-Лейбница.

В целях самоконтроля полезно построить график плотности и отложить на чертеже математическое ожидание, затем найти дисперсию и оценить «правдоподобность» стандартного отклонения.

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Найти и . Составить функцию распределения и построить графики . Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, бОльшее, чем её математическое ожидание.

Нахождение функции распределения как-то так затерялось в последних задачах, и поэтому самое время освежить в памяти формулу . И, кстати, перед вами пример непрерывной случайной величины с бесконечной дисперсией. Да, так бывает! Но удивляться тут не нужно – потому что бывают и более интересные случаи. …Я знал, что вы соскучились =)

Решения и ответы совсем близко. Для желающих предлагаю более трудное задание с функцией , где нужно расписать модуль (свериться можно здесь же).

И предчувствие вас не обмануло! Точно так же, как и в дискретном случае, у непрерывной случайной величины есть особые виды распределений, самые популярные из которых рассмотрены в следующих статьях:

+ тематический pdf-решебник с десятками готовых задач, но это уже когда нагуляете аппетит 🙂

Решения и ответы:

Пример 8. Решение: представим в аналитическом виде. Составим уравнение прямой по точкам и :

Таким образом:

Примечание: верхние неравенства можно записать и так: , в условии нет однозначной инструкции на этот счёт.

Покажем, что может служить плотностью вероятностей НСВ :
1) функция на всей числовой прямой;
2)
Таким образом, может служить плотностью вероятностей непрерывной случай­ной величины

Вычислим математическое ожидание:

Дисперсию вычислим по формуле:

В данном случае:

Таким образом:

Среднее квадратическое отклонение:

Пример 10. Решение: найдем коэффициент . В силу непрерывности функции распределения:

Таким образом:

Найдем функцию плотности распределения:

Вычислим математическое ожидание:

Интегрируем по частям:

Построим график плотности распределения и отметим на оси математическое ожидание, значение которого получилось весьма правдоподобным:

Дисперсию вычислим по формуле:

В данном случае:

Сначала найдём неопределённый интеграл:

Вычислим определённый интеграл:

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

По чертежу хорошо видно, что на интервале сконцентрирована значительная плотность вероятности, что служит косвенным подтверждением правильности вычислений.

Пример 11. Решение: найдём коэффициент . Используем свойство .
В данном случае:

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом:

и функция плотности распределения:

Вычислим математическое ожидание:

Дисперсию вычислим по формуле:

в данном случае:
, откуда следует, что .

Функцию распределения вероятностей найдём по формуле :
1) на интервале и ;
2) на промежутке , следовательно:

Таким образом:

Выполним чертежи:

Вычислим
– вероятность того, что случайная величина примет значение, бОльшее, чем её математическое ожидание.

Примечание: так как случайная величина теоретически может принимать сколь угодно большие значения, то такое смещение вполне закономерно.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *