Как найти корень из большого числа
Перейти к содержимому

Как найти корень из большого числа

  • автор:

Как найти корень числа: простые способы без калькулятора

Корень из числа

Как найти квадратный корень? Есть простые способы: метод деления целых чисел, поиск дробных корней из любых чисел, поиск среднего арифметического. Также есть алгоритм поиска корня из больших чисел.

Метод деления

Образовательный онлайн-ресурс Mathematics Libre Texts объясняет, что найти квадратный корень из числа — это значит, найти такое число, которое при умножении на себя даст исходное число, то есть то, из которого задано найти корень.

В математике, учебной и научной литературе квадратный корень обозначают специальным символом, который называется радикал (√). Он имеет вид галочки, которая иногда на письме продолжается верхней горизонтальной линией. Число под знаком корня называется подкоренное выражение (число, из которого надо извлечь корень). Например, если задано извлечь корень из 9, то это будет выглядеть так: √9=3.

В математике есть ряд чисел, которые называются полным квадратом или идеальным, совершенным квадратом: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Это целые числа, которые делятся на некоторое число так, что в результате получается число, совпадающее с делителем.

Найти эти корни можно с помощью деления: 4÷2=2, 9÷3=3, 16÷4=4, 25÷5=5, 36÷6=6, 49÷7=7, 64÷8=8, 81÷9=9, 100÷10=10. Это значит, что √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10. Корнями из таких квадратов всегда будут целые числа, а не дроби.

Ряд чисел, которые называются полными квадратами, рекомендуется запомнить, чтобы при необходимости их легко узнавать. Сайт крупнейшего в мире издателя образовательных ресурсов Twinkl предлагает рабочий лист, на котором выписаны полные квадраты.

Полные квадраты

Метод поиска дробного числа

Из чисел, которые не входят в ряд полных квадратов, тоже приходится извлекать квадратные корни. Это можно сделать из любого числа, но процесс будет труднее — методом проб.

Как извлечь корень из любого числа? Для этого надо определить, какие есть рядом полные квадраты, а затем в диапазоне между ними искать дробное число, которое при умножении на себя даст исходное число.

Рассмотрим, как действовать, чтобы извлечь корень, например, из числа 20:

  1. Вспомните, какие есть полные квадраты близкие к числу 20. Это числа 16 и 25 (√16=4 и √25=5). Значит корень из 20 будет находиться в диапазоне между числами 4 и 5.
  2. Рассмотрите среднее между ними число 4,5, умножьте его на самого себя, то есть возведите в квадрат: 4,5×4,5=20,25. Число получается больше 20, поэтому рассматривайте варианты с меньшим числом, например: 4,4×4,4=19,36. Теперь число меньше 20, значит корень из 20 надо искать между 4,5 и 4,4. Возьмите число 4,445: 4,445×4,445=19,758. Это уже близко, но еще меньше 20.

Продолжая поиск, придете к такому решению: 4,475×4,475=20,03. Такой результат округлите и получите 20. Таким образом, получаем ответ: √20=4,475.

С помощью среднего арифметического

Из чисел, которые не относятся к полным квадратами, можно извлечь корень еще одним способом — методом усреднения, то есть поиском среднего арифметического. Например, чтобы извлечь корень из 10, примените такой алгоритм действий:

  1. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится число 10. Это будут числа 9 и 16 (√9=3, √16=4). Следовательно, корень из 10 следует искать в диапазоне чисел от 3 до 4. Очевидно, что это будет какое-то дробное число.
  2. Разделите число, из которого надо найти корень (10), на квадратный корень из первого полного квадрата: 10÷3=3,33.
  3. Найдите среднее арифметическое от 3 и 3,33: (3+3,33)÷2=3,167.
  4. Разделите 10 на это среднее арифметическое: 10÷3,167=3,1579.
  5. Теперь найдите среднее арифметическое между двумя последними результатами: (3,167+3,1579)÷2=3,1623.

Остается проверить, будет ли число 3,1623 корнем из 10. Для этого умножьте его на самого себя: 3,1623×3,1623=10,001. Значит ответ: √10=3,1623.

Извлечение корня квадратного из больших чисел

Есть простой способ извлечения корня из больших чисел. С помощью этого алгоритма сможете делать действие быстро и после некоторой тренировки почти устно. Например, если надо извлечь корень из числа 3364, выполните последовательно такие действия:

Пример поиска квадрата большого числа

  1. Ограничьте искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Начинайте с возведения в квадрат числа от 10 и дальше: 10²=100, 20²=400 и так далее. Это легко сделать устно. При дальнейшем поиске обнаружите, что число 3364 расположено между 50² (2500) и 60²(3600). Это и будет нижняя и верхняя границы поиска. Из этого следует, что искомый корень из 3364 будет не меньше 50² и не больше 60², а нужное число надо искать между числами 50 и 60. В результате такого простого действия сократили диапазон поиска до десяти чисел.
  2. Вторым шагом будет отсев чисел, которые точно не могут быть корнями из 3364. Для этого обратите внимание на последнюю цифру этого числа — 4: сразу поймете, на что заканчивается то число, которое ищете. На 4 могут заканчиваться квадраты чисел 2, то есть (2²=4), и 8 (8²=64). Этот шаг подсказывает, что квадрат от 3364 будет заканчиваться или на 2, или на 8. В определенном первым действием диапазоне от 50 до 60 это могут быть только два числа — 52 или 58.
  3. На третьем шаге остается сделать финальные вычисления — возвести в квадрат последовательно оба числа: 52²=2704; 58²=3364. Становится очевидным, что искомым числом будет второе число из предполагаемых: √3364=58.

Предложенный алгоритм позволил в 3 шага найти корень из большого числа. Таким образом, можно находить квадратные корни из любых многозначных чисел, но они не всегда будут получаться целыми. В более сложных случаях придется дополнить этот способ рассмотренным ранее методом поиска дробного числа или среднего арифметического.

Извлечь квадратный корень из чисел в разных заданиях поможет один из предложенных способов. Это умение пригодится в дальнейшем на экзаменах по математике или физике, когда калькуляторами пользоваться нельзя.

Как извлечь корень из большого числа без калькулятора?

Люди помогите плиз. В воскресенье сдаю экзамен по математике, это может пригодиться.

Лучший ответ

Смотря какое это число, если точный квадрат, то есть несколько простых советов. Во-первых, прикинь ближайший меньшия или больший квадрат такого числа. Далее, надо знать, что квадраты натуральных чисел дают в конце только такие цифры: 0,1, 4, 5, 6, 9. Например, корень из 7569, очевидно, что это число больше 80 и меньше 90, а т. к. в конце стоит 9, то это либо 83, либо 87, но т. к. это число гораздо ближе к 8100, чем к 6400, то это 87. Остается проверить. Есть алгоритм извлечения квадратного корня из любого числа, но описывать его здесь долго.

Остальные ответы

Извлечение корня из большого числа

Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.

Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:

Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23. Попробуй-ка сходу найди эти делители.

Суть рассматриваемого нами метода — это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 190969.

Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как

400 2 =160000 и 500 2 =250000

Далее смотрим, где «стоит» это число:

посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?

Число 190969 находится примерно посредине, но все же ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:

Действительно, он меньше 450, так как 190 969 < 202 500.

Теперь проверим число 440:

Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.

Проверяем число 430:

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.

Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:

Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.

Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.

Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.

Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.

Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.

Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.

Значит результат корня будет равен 437.

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

Извлеките самостоятельно корень из 148996

Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Результат корня находится между числами 300 и 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Суть дальнейших рассуждений сводится к тому, чтобы определить, как число 148996 расположено (отстоит) относительно этих чисел.

Вычислим разности 148996 — 90000=58996 и 160000 — 148996=11004.

Получается, что 148996 близко (на много ближе) к 160000. Поэтому, результат корня однозначно будет больше 350 и даже 360.

Далее пробуем возводить в квадрат, например число 370. Как бы «щупаем» результат:

Можем сделать вывод, что наш результат больше 370. Далее ясно: так как 148996 оканчивается цифрой 6, то это означает, что в квадрат надо возводить число, оканчивающееся либо на 4, либо на 6. *Только эти числа при возведении в квадрат дают в конце 6.

Проверяем числа 374, 376, 384, 386, 394 …

Объективно говоря, вероятность того, что вам попадёт подобная задача, очень мала. Но пусть этот приём в вашем арсенале будет. Впереди вас ждёт много полезного, не пропустите!

Есть ещё метод по извлечению корня из большого числа, называют его алгоритмом Евклида. Его достоинство состоит в том, что можно извлекать корень из любого числа с необходимой точностью до десятых, сотых и тд. То есть корни неизвлекаемые в целых числах. *В будущем статья будет обязательно дополнена.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Для вас другие записи этой рубрики:

  • Кубический корень (извлечение без калькулятора)
  • Синус 75 градусов. Как выразить?
  • Синус и косинус. Запомнить навсегда!
  • Радианы в градусы, градусы в радианы!

Категория: Приёмы | БЕЗ калькулятора
НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

Галина Михайловна
Александр Крутицких
Пожалуйста, рад, если пригодится.
Татьяна Бурмистренко

Извлекать корень их числа нас в школе, к сожалению учат на уровне чисел первой сотни, ну в лучшем случае второй. А дальше — применяй таблицу квадратных корней, и все тут. Хорошо, если она у тебя под рукой. А в учебниках для 9-11 классов ее ни на форзаце, ни в справочных материалах нет. И вот тогда выручают такие статьи , как эта. Александр, отличное предложение нашим ученикам — преодолеть ленность мозгов и научиться практически устно (во всяком случае, без калькуляторов) извлекать корни. А бонус к статье о Сундакове — прекрасное дополнение о том, что только увлеченный КОНКРЕТНЫМ делом человек способен быть независимым и счастливым в этом мире. СПАСИБО.

Александр Крутицких

Да. Увлечение своим делом это очень важно. Каким бы смешным и незначительным со стороны не казалось увелечение, очень важно чтобы оно БЫЛО. Маленькие увлечения перерастают в большие, появляются новые идеи. И это только потому, что человек к чему-то стремился. Ведь по природе своей каждый из нас творец. Надо статью на эту тему написать.

Татьяна Бурмистренко
Поставила ссылку на эту статью вот здесь: repetitor-problem.net/kalkulyator
Владимир Владленович

Зачем так усложнять. В реальных задачах на егэ только квадраты первой сотни встречаются, а их на автомате многие так и не научились брать. Технология таже, только примеры попроще, больше пользы в применение �� Это из личной практики по подготовке к егэ.

Александр Крутицких

Не понял критики. и что именно усложнил? Есть ещё ребята, которым интересна математика и всякие «приёмчики». Эта статья для них. Показан сам принцип (не только для решения задач на ЕГЭ), кстати вот вам задачи где подобные квадраты присутствуют mathege.ru/or/ege/ShowPro. ml?protoId=26589 и сама задача 26589 — в ней многие могут дискриминант вычислить до конца, не используя формулу разности квадратов. И тут встанет вопрос как вычислять большой корень.

Владимир Владленович

Это не критика �� Статья великолепна! Только освоить такой способ для БОЛЬШИХ чисел смогут, увы единицы. А заставить �� освоить на числах в пределах сотни можно уже десятки, и примеры задач с малыми корнями встречаются на порядок чаще!

Статья суперская, но в первом разложении закралась ошибка, там семерок не нужно. Сама терпеть не могу зануд, которые ищут ошибки у других, но это же МАТЕМАТИКА .

Александр Крутицких
Ирина, это не занудство, а самая настоящая помощь. Поправил. Если ещё что заметите, пишите! ��

Вы меня приободрили, поэтому напишу еще приемчик из личной практики, может кому пригодится: Как в уме вычислять квадраты двузначных чисел, оканчивающихся на «5»: например, нам нужно возвести 35 в квадрат : 3*4 = 12 (следующая за «3» цифра =4), а в конце приписываем 25 (5*5-квадрат единиц исходного числа). Итог: 35^2 = 1225 Аналогично: 45^2 = 2025 (4*5=20); 55^2 = 3025 (5*6=30); 65^2 = 4225 (6*7=42); 75^2 = 5625 (7*8=56); и т.д. И дальше: Как быстрее возвести в квадрат , например, 125: 12*13 = 156 и приписываем 25. Итог: 125^2 = 15625. Проверим? 125^2=(120+5)^2 = 120^2 + 2*120*5 + 5^2 = 12*12*100 + 12*100 + 5*5 = 12*100*(12+1) + 25 = 12*13*100 + 25 = 15600+25 = 15625 Это правило работает ТОЛЬКО для квадратов чисел, оканчивающихся на «5»! Его можно использовать для произведения чисел с одинаковыми десятками, НО единицы должны дополнять друг друга до «10»: 33*37 = 1221 (3*4=12, 3*7=21) 56*54 = 3024 (5*6=30, 6*4=24) Если такой материал уже был на сайте, можете его не одобрять ))) Или объяснение упростить — длинно получилось.

И так интересненько: 993*997 = 990021 (99*100=9900 и 3*7 = 21)

Этот метод я применяю, когда оцениваю как подкоренное число расположено (отстоит) относительно более известных квадратов: 3249 находится между 2500 и 3600. т.е. между 50 и 60 (как и у вас). Нахожу 55^2 = 3025, 3249>3025, девятку на конце может дать только произведение чисел с семёркой в данном случае это 57: После текста «Далее используются свойства произведений чисел. » я использую не устное правило (которые надо как-то запомнить))), а рисую примерно вот такую таблицу: drive.google.com/file/d/0. view?usp=sharing Наглядность всегда лучше!

Александр Крутицких
Ирина, спасибо.

Спасибо большое. К вопросу о том, какие задачи бывают на ЕГЭ, то я, например, нашла эту статью, пытаясь вычислить корень из 297025, решая задачу: B13 № 5737. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки воз­вращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость тече­ния равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. Так что статья более чем актуальна.

Александр Крутицких
Владимир Владленович

Эта задача намного проще решается без квадратов, а элементарным подбором корней уравнения. Ушло две минуты. Правда не чистый перебор, а с логикой ;). Разложив 513 на множители. ответ в кармане.

Я показываю ребятам приём извлечения квадратного корня по граням, которому сама научилась, обучаясь в школе.

Есть такое дело, приготовил дополнение к статье про этот способ уже давно. Обязательно размещу.
2 учебника перевернул — не помогло. Спасибо, тут все предельно ясно)
Александр Степанов

Мне нравиться другой вариант, может и муторный но не требующий особых познаний и запоминания специальных приёмов — берём на глазок число примерно соответствующее ответу (даже если сильно ошиблись — не страшно, результат быстро скорректируется)и делим на него исходное число. Пример — корень из 54891. 54891/200 (то самое, на глазок)=274 (округлённо), далее из делителя и частного находим среднее арифметическое (200+274)/2=237 Второе деление производим уже на более точную величину 54891/237=232 (округлённо). Повторяем про среднее арифметическое (237+232)/2=234,5 Проверяем 54891/234,5=234,08 — результат уже не плох, можно и остановиться. А можно продолжить дальше до требуемой точности.

как извлечь квадратный корень из числа 384?

Уважаемый Александр, меня ещё в советской школе научили алгоритму Евклида по извлечению квадратного корня. Зная его, нет никакой необходимости в тех (ИМХО) ужимках, по извлечению квадратного корня из большого и неудобного числа. Стоит также признать, что составители ЕГЭ, в отличие от многих персоналий этого сайта, являются профессионалами весьма высокого уровня, и в реальных ЕГЭ задачах корни извлекаются сравнительно безболезненно. А для неудобных чисел в 21 веке есть калькулятор, всё остальное, описанное в этом разделе, пардон, несерьёзная любительская самодеятельность. Да, дома культуры и клубы нужны, востребованы и пр. Но на века остаются произведения, написанные профессионалами, получившими систематические знания, изучившие то, что сделано «до того» и пр. Конечно, единичные и очень талантливые люди без систематического профильного образования, также оставляют существенный след в своей области, но их, как свидетельствует история, считанные единицы. ну, а о грамматических ошибках авторов и читателей лучше вообще не упоминать, увы. Разумеется, это моё частное оценочное суждение, на «абсолютную истину» не претендую.

Михаил, согласен. Хорош алгоритм и он мне нравится. Но представленное здесь это не ужимки, а дополнительный подход, который вполне понятен ребятам и имеет право быть. При понимании и наработанном навыке ещё вопрос — каким способом можно вычислить быстрее. Например, я сам пробовал описанным способом вычислять корни. Обхожусь двумя действиями и ответ готов через минуту. Составители ЕГЭ профессионалы и на ЕГЭ таких задачек не подкидывают, в типах же заданий банка задач они имеются и данный вопрос ребят интересует. Профессионалы тоже ошибаются. Три года на серьёзных ресурсах, в том числе РЕШУЕГЭ висела группа из 23 задач по планиметрии некорректно составленных (с ошибкой). После того как я обнаружил и написал письмо им, эти задания исключили. Это не повод для гордости, просто был факт такой. Ну самодеятельничаю немного ))) Такой я, люблю это дело. Профессионалы откуда вырастают? Не поливают же их из лейки в секретных местах . Они вырастают из клубов, домов культуры, кружков, объединений, конечно же, и благодаря обучению у родителей. Именно так они получают основы, так им передаётся опыт. Далее способные и ищущие из них пишут произведения, которые остаются на века.

Извлечение корня из большого числа

А у вас есть зависимость от калькулятора? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, $\sqrt$.

voda_tochit

Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже $0,7$ на $0,5$ умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…

Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…

Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.

Извлекаем квадратный корень из большого числа

Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.

Случай 1 + показать

Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из $86436.$

Мы будем раскладывать число $86436$ на простые множители. Делим на $2,$ – получаем $43218;$ снова делим на $2,$ – получаем $21609.$ На $2$ больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на $3,$ то и само число делится на $3$ (вообще говоря, видно, что оно и на $9$ делится). $21609:3=7203$. Еще раз делим на $3,$ – получаем $2401.$ $2401$ на $3$ нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой $0$ или $5).$

Подозреваем делимость на $7.$ Действительно, $2401:7=343,$ а $343:7=49$, $49=7\cdot 7.$

Итак, $86436=2^2\cdot 3^2\cdot 7^4.$ Полный порядок!

порядок

Случай 2 + показать

Пусть нам нужно вычислить $\sqrt$. Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…

На $2$ число $1849$ нацело не делится (не является четным)…

На $3$ нацело не делится (сумма цифр не кратна $3$)…

На $5$ нацело не делится (последняя цифра – не $5$ и не $0$)…

На $7$ нацело не делится, на $11$ не делится, на $13$ не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?

Будем рассуждать несколько иначе.

Мы понимаем, что

Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от $41$ до $49.$ Причем ясно, что раз последняя цифра числа – $9,$ то останавливаться стоит на вариантах $43$ или $47,$ – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру $9.$

Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на $43.$ Действительно, $43^2=1849.$

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *