Как найти энергию сигнала
Перейти к содержимому

Как найти энергию сигнала

  • автор:

Мощность и энергия сигналов

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) — вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:

w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a 2 (t)+b 2 (t) = |s(t)| 2 , (21)

т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов — квадрату функции амплитуд.

Аналогично для дискретных сигналов:

wn = sn s*n = [an+jbn] [an-jbn] = an 2 + bn 2 = |sn| 2 , (21′)

Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

Еs =w(t)dt =|s(t)| 2 dt. (22)

Es =wn =|sn| 2 . (22′)

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

w(τ) = (1/t)|s(t)| 2 dt

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов — в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность сигнала:

WT(τ) = (1/T)w(t) dt = (1/T)|s(t)| 2 dt. (23)

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

Ws = w(t) dt. (23′)

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала.

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (19) и (22) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями:

Es = ||s(t)|| 2 , ||s(t)|| = (24)

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t)

E =[u(t)+v(t)] 2 dt = Eu + Ev + 2u(t)v(t) dt.(25)

Как следует из этого выражения,энергия сигналов (а равно и их мощность), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию

Euv = 2u(t)v(t) dt.(26)

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

wxy(t) = x(t) y*(t), (27)

Для вещественных сигналов:

wxy(t) = wyx(t) = x(t) y(t). (28)

С использованием выражений (27-28) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.

Скалярное произведение произвольных сигналовu(t) и v(t) отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как u(t), v(t).

u(t), v(t) = ||u(t)||||v(t)|| cos , (29)

Физическую сущность скалярного произведения векторов в двумерном пространстве можно определить как произведение «длины» (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по «направлению» первого вектора.

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение

u(t), v(t) =u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен φ = 90 о ), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos φ=0, и имеют нулевую энергию взаимодействия (Euv= 0).

Энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, нулевую энергию взаимодействия.

Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигнальным функциям. Для аналоговых сигналов:

s(t), v(t) =s(t)v(t) dt. (30)

Для дискретных сигналов в N-мерном пространстве:

sn, vn=sn vn. (30′)

Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение — L2). Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов — пространством Евклида (обозначение пространства — R2). В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского

т.к. модуль косинуса в (2.1.4) может быть только равным или меньше 1

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по формуле

s(t), v(t) =s(t)v*(t) dt. (32)

При определении функций в пространстве L 2 [a,b] вычисление скалярного произведения производится соответственно с пределами интегрирования от а до b.

Косинус угла между сигналами:

Однако при рассмотрении выражения (33) совместно с выражением для квадрата метрики сигналов

 2 (s,v) =[s(t)-v(t)] 2 dt = ||s|| 2 + ||v|| 2 — 2||s||||v|| cos.

можно отметить следующие закономерности. При φ=0 (cos φ = 1) сигналы «совпадают по направлению» и расстояние между ними минимально. При φ = π/2 (cos φ = 0) сигналы «перпендикулярны друг другу» (иначе говоря – ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны 0. При φ = π (cos φ = -1) сигналы «противоположны по направлению» и расстояние между сигналами максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах.

Корреляция сигналов.

Значение косинуса в (33) изменяется от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов («длины» векторов). Максимальное значение cos φ = 1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов, минимальное значение cos φ = -1 наблюдается при полной противоположности значений относительной динамики сигналов. По существу, коэффициент r = cos φ является интегральным коэффициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задания. С учетом этого он и получил название коэффициента корреляции сигналов.

Однако количественные значения коэффициентов корреляции существенно зависят от выбора нулевой точки сигнального пространства.

Для получения значений коэффициентов корреляции, независимых от нуля сигнального пространства и от масштаба единиц измерений, необходимо вычислять коэффициент по центрированным сигналам, при этом в оценках коэффициента появляется знаковый параметр совпадения или несовпадения по «направлению» корреляции и исчезает зависимость от масштаба представления сигналов. Это позволяет вычислять коэффициенты корреляции различных сигналов вне зависимости от физической природы сигналов и их величины.

Разложение сигнала в ряд . Произвольный сигнал s(t)  H (пространство Гильберта), заданный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций uk(t)

s(t) =ckuk(t). (34)

Для нахождения значений коэффициентов сk умножим обе части данного выражения на базисную функцию um(t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим

s(t)um(t) dt =ck umuk dt.

С учетом ортонормированности функций ui(t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером m = k при ukuk dt =1, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление

ck =s(t)uk(t) dt. (35)

Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты сk представляют собой проекции вектор — сигнала s(t) на соответствующие базисные направления uk(t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в пределе — бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (34) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов ck обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогональности всех проекций, будет равно:

x(t), y(t)=x(t)y(t) dt =[anun(t)] [bmum(t)] dt =anbn. (36)

Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (36):

cos  =anbn /(||x(t)||||y(t)||).

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

— для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;

— при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

— базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

— коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.

Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

|s(t)| dt < , |s'(t)| dt

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt), exp(-jωt) = cos(ωt) — j sin(ωt),

cos(ωt) = [ехр(jωt)+exp(-jωt)]/2, sin(ωt) = [ехр(jωt)-exp(-jωt)]/2j

всегда можно перейти к вещественным синус-косинусным функциям. Термин «частотное разложение» обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной «х», как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту — число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье по гармоническим функциям. Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2)

Es =s 2 (t) dt =cmcnumun dt =cmcn umun dt. (37)

В этом выражении, в силу ортонормированности базисной системы, отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда

Es =s 2 (t) dt =cn 2 , (38)

т.е. при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье, энергия сигнала не изменяется и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.

4 Энергия и мощность сигнала

Если к резистору с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся в резисторе мощность будет равна:

За время Т в этом резисторе выделяется тепловая энергия:

Пусть теперь к тому же резистору приложено не постоянное напряжение, а сигнал S(t). Рассеивающаяся в резисторе мощность при этом тоже будет зависеть от времени (речь идет о мгновенной мощности).

Чтобы вычислить теряющуюся за время T энергию, мгновенную мощность необходимо проинтегрировать:

Можно ввести и понятие средней мощности за заданный промежуток времени, разделив энергию на длительность временного интервала:

Во все приведенные формулы входит сопротивление нагрузки R. Если энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средние сравнения различных сигналов, этот параметр можно из формул исключить (принять R=1). Тогда мы получим определение энергии мгновенной мощности и средней мощности, принятой в теории сигналов

— энергия сигнала

— мгновенная мощность

(1)

Данные параметры иногда называются удельной мощностью и энергией, чтобы подчеркнуть, подразумевая при этом единичное значение сопротивления нагрузки.

Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Любой сигнал конечной длительности будет иметь конечную энергию, а любой периодический – бесконечную. Если энергия сигнала бесконечна, можно определить его среднюю мощность на всей временной оси. Для этого из формулы (1) путем предельного перехода, устремив интервал усреднения в бесконечность

(2)

Квадратный корень из Рср даст среднеквадратичное значение мощности сигнала

(3)

5 Спектральный анализ периодических сигналов. Условия Дирихле. Ряд Фурье.

Для периодического сигнала с периодом Т выполняется соотношение:S(t+nT) = S(t) при любом t.

где n — произвольное целое число; Т – период сигнала.Величина обратная периоду называется частотой повторения сигнала (f = 1/T). Используют понятие круговой частоты. (ω = 2πf)

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы.

Чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

  1. не должно быть разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции)
  2. число разрывов 1-го рода (скачков) должно быть конечным
  3. число экстремумов должно быть конечным

Различают несколько форм записи ряда Фурье:

  1. синусно – косинусная
  2. вещественная
  3. комплексная

Синусно-косинусная форма записи ряда ФурьеВходящие в формулу кратные основной частоте (ω1) частоты называются гармониками. Гармоники нумеруются в соответствии с индексом k, частота ωk=kω1 называется к-ой гармоникой сигнала. Коэф-ты, входящие в данный ряд определяются след образом: ; ; a0/2 – среднее значение с-ла на периоде. Если S(t) — чётная ф-ция, то все bк= 0 и в ф-ле ряда Фурье будут только косинусные слагаемые. Если S(t) — нечётная ф-ция, то все ак= 0 и в ф-ле ряда Фурье будут только синусные слагаемые. Вещественная форма записи Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования к в формуле фигурируют два слагаемых синус и косинус. , где ;— фазаkой гармоники. Если S(t) является чётной функцией фазы φк могут принимать значения 0 и π, а если S(t) функция нечётная, то возможны значения фазы ±π/2. Комплексная форма записи Данная форма представления является наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представления косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Вытекает из формулы Эйлера: еjx=cos(x) +jsin(x),cos(x) = ½ (ejx+ejx). Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье получим: . Учитывая, что ,получим . Формулы называются парой преобразований Фурье. Вторая формула из них позволяет найти спектр, т.е. совокупность гармонических составляющих, образующих в сумме колебание. Спектр периодической последовательности импульсов состоит из постоянной составляющей и множества гармонических составляющих, частоты которых образуют дискретный ряд значений () кратных основной частоте колебаний. Амплитуды гармонических составляющих или сокращенно гармоник равны, а начальные фазы. Такой спектр называется дискретным или линейчатым. Постоянную составляющую можно рассматривать как гармонику с нулевой частотой колебания и амплитудой.

Энергетические характеристики сигналов. Спектральная плотность энергии

Пусть дан некоторый сигнал , который характеризует изменение напряжения или силы тока во времени. Тогда будет определять мгновенную мощность, выделяемую на сопротивлении 1 Ом.

Проинтегрируем мгновенную мощность на некотором интервале времени и получим энергию сигнала на данном интервале:

Тогда средняя мощность сигнала на данном интервале времени равна:

Если сигнал является периодическим, то среднюю мощность можно получить путем усреднения на одном периоде повторения сигнала. В случае абсолютно-интегрируемого непериодического сигнала , интервал интегрирования может быть расширен на всю ось времени:

Можно заметить, что средняя мощность абсолютно-интегрируемого непериодического сигнала равна нулю при усреднении на бесконечном интервале времени. Аналогично, энергия периодического сигнала на всей оси времени равна бесконечности.

Таким образом, периодические сигналы, повторяющиеся на всей оси времени мы можем характеризовать конечной средней мощностью , поскольку их энергия бесконечна. Непериодические сигналы характеризуются конечной энергией , потому что их средняя мощность на всей оси времени равна нулю.

Выражения (1)–(3) справедливы и для комплексного сигнала . В этом случае, мгновенную мощность можно определить как .

Скалярное произведение сигналов. Обобщенная формула Рэлея

Пусть даны два сигнала и , в общем случае комплексные. Скалярным произведением сигналов называется величина равная:

Интеграл (4) возвращает одно число (скаляр), в общем случае комплексное.

Заметим, что скалярное произведение сигнала с самим собой возвращает энергию данного сигнала:

Тогда скалярное произведение (4) можно трактовать как величину взаимной энергии сигналов и , т.е. степень взаимного влияния одного сигнала на другой. Если два сигнала и имеют нулевое скалярное произведение, то говорят, что они ортогональны.

Подставим в (4) вместо обратное преобразование Фурье его спектральной плотности . Тогда:

Поменяем в (6) порядок интегрирования:

Можно сделать вывод: скалярное произведение сигналов во временно́й области, с точностью до множителя , равно скалярному произведению спектральных плотностей данных сигналов. Выражение (7) носит название обобщенной формулы Рэлея [1, стр. 67].

Равенство Парсеваля

связывающее среднюю мощность периодического сигнала. Для непериодических сигналов мы можем получить аналогичное равенство энергии сигнала во времени и в частотной области. Для этого в обобщенную формулу Рэлея подставим и получим:

или с учетом (4) равенство Парсеваля [2, стр. 49]:
Таким образом, энергия сигнала во временно́й и частотной областях равна с точностью до множителя .

Если в выражениях (7)–(9) использовать частоту , выраженную в герц, вместо циклической частоты , измеряемой в единицах рад/c, то и множитель сокращается:

Спектральная плотность энергии сигнала

было введено понятие спектральной плотности сигнала и была приведена аналогия поясняющая понятие спектральной плотности, и ее отличие от спектра периодического сигнала.

Из равенства (9) следует, что энергия сигнала может быть представлена как интеграл по всей оси частот:

Тогда использую ту же аналогию, что и в разделе «Преобразование Фурье непериодических сигналов» можно заключить, что представляет собой спектральную плотность энергии сигнала. Проинтегрировав по всей оси , мы получим полную энергию сигнала, равно как проинтегрировав плотность стержня по длине мы получим полную массу.

Спектральная плотность энергии представляет собой квадрат АЧХ сигнала. Кроме того является вещественной неотрицательной функцией частоты . Спектральная плотность энергии сигнала измеряется в единицах джоуль на герц (Дж/Гц) или ватт, умноженный на секунду в квадрате (Втс).

Сделаем важное замечание. Спектральная плотность энергии игнорирует ФЧХ сигнала. Тогда можно заключить, что одной и той же спектральной плотности энергии могут соответствовать множество различных сигналов, имеющих одинаковую АЧХ и различные ФЧХ.

и на практике анализ поведения убывающей спектральной плотности с ростом частоты имеет важное значение. Однако графический анализ бывает затруднителен ввиду высокой скорости убывания спектральной плотности по частоте, а в случае спектральной плотности энергии затруднителен вдвойне, поскольку возведение АЧХ в квадрат только ускоряет убывание. Поэтому широкое распространение получило представление спектральной плотности энергии в логарифмическом масштабе, выраженной в единицах децибел (дБ):

В качестве примера на рисунке 1 приведены спектральные плотности энергии прямоугольного, треугольного, двустороннего экспоненциального и гауссова импульсов в линейном и логарифмическом масштабе.

Рисунок 1. Спектральная плотность энергии некоторых сигналов
а — в линейном масштабе; б — в логарифмическом масштабе

Как видно из рисунка 1а, спектральные плотности энергии импульсов в линейном масштабе практически сливаются и очень сложно различимы.

В логарифмическом масштабе (рисунок 1б), спектральные плотности энергии обнаруживают значительные отличия. Треугольный и экспоненциальный импульсы имеют одинаковую скорость убывания спектральной плотности энергии, а прямоугольный импульс имеет очень медленное затухание спектральной плотности энергии с ростом частоты. Гауссов импульс, напротив, отличается очень быстрым затуханием .

Логарифмическая шкала представления спектральной плотности энергии оказывается удобной при сравнении характеристик сигналов. Если энергии двух сигналов отличаются в 100 раз, то в логарифмической шкале отношение их энергий составляет 20 дБ. Если же энергии отличаются в 1000000 раз, то в логарифмической шкале это соответствует 60 дБ. Удвоение энергии сигнала, в логарифмической шкале соответствует прибавлению 3 дБ.

В данном разделе мы рассмотрели энергетические характеристики периодических и непериодических сигналов. Мы показали, что периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но конечную среднюю мощность. Средняя мощность непериодических сигналов стремится к нулю, а их энергия конечна.

Было введено понятие скалярного произведения сигналов и получена обобщенная формула Релея,связывающая скалярное произведение во временной и частотной областях.

Установлено равенство Парсеваля для непериодических сигналов, как частный случай формулы Релея.

Введено понятие спектральной плотности энергии как квадрата модуля спектральной плотности сигнала. Также рассмотрено представление спектральной плотности энергии в линейном и логарифмическом масштабе для различных сигналов.

Как посчитать энергию сигнала?

Я делю весь сигнал (два вектора: метка времени и показание датчика) на интервалы. Затем мне нужно посчитать для каждого интервала его характеристики: mean, standard deviation, variance, energy, kurtosis, skewness, minimum, maximum.
Если со всеми остальными все более-менее понятно, то вот как считать энергию не могу разобраться.
Может кто-то показать на конкретном примере? Это делается как-то через преобразование фурье?

  • Вопрос задан более трёх лет назад
  • 453 просмотра

Комментировать

Решения вопроса 0

Ответы на вопрос 0

Ваш ответ на вопрос

Войдите, чтобы написать ответ

высшая-математика

  • Высшая математика
  • +1 ещё

Как высчитать аналитически ожидаемую просадку на выборке?

  • 1 подписчик
  • 02 апр.
  • 31 просмотр

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *