Как найти центр масс плоской фигуры
Перейти к содержимому

Как найти центр масс плоской фигуры

  • автор:

Определение центра тяжести плоской фигуры
методическая разработка

Определение центра тяжести плоской фигуры. В разработке указан способ определения центра тяжести аналитическим образом. Разработка будет полезна студентам для осовения практических умений по дисциплине «Техническая механика».

Скачать:

Вложение Размер
Файлmetodicheskaya_razrabotka_tsentr_tyazhesti_ploskoy_figury.docx 165.39 КБ

Предварительный просмотр:

Определение центра тяжести плоской фигуры

Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике – при использовании правила Верещагина.

При определении координат центра тяжести используются следующие методы:

1) метод симметрии: если сечение имеет центр симметрии или ось симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии или на оси симметрии;

2) метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых, легко определить;

3) метод отрицательных площадей: этот способ является частным случаем способа разделения. Он используется, когда сечение имеет вырезы, срезы, полости (отверстия), которые рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

При решении задач на определение центра тяжести сложных сечений следует придерживаться следующего порядка:

1. Выбрать метод, который наиболее применим к данной задаче.

2. Разбить сложное сечение на простые части, для которых центры тяжести известны.

3. Выбрать оси координат. При этом необходимо помнить, что: если тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести лежит в этой плоскости; если тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси; если тело имеет центр симметрии, то его центр тяжести совпадает с центром симметрии.

4. Определить координаты центров тяжести отдельных частей относительно выбранных осей.

5. Используя формулы определить искомые координаты центра тяжести заданного сечения.

=

где А 1 , А 2 . Аn — площади простых сечений;

x 1 , x 2 … x n , y 1 , y 2 … y n – координаты центра тяжести простых сечений.

Координаты центра тяжести сложной плоской фигуры определяются после разделения ее на простые фигуры и определения их центров тяжести.

Координаты центра тяжести некоторых простых плоских фигур:

Описание: Описание: Рисунок №4

Порядок выполнения задания:

1) начертить заданное сложное сечение (фигуру), выбрать оси координат.

2) разбить сложное сечение на простые, для которых центры тяжести и силы тяжести известны;

3) определить необходимые данные для простых сечений:

4) определить координаты центров тяжести простых сечений относительно выбранных осей координат;

5) определить положение центра тяжести сложного сечения.

Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, изображенной на рисунке.

C:\Users\Metodist\Desktop\рисунок для публикации.jpg

Выбираем оси координат так, чтобы нижний и левый край фигуры совпали с ними:

C:\Users\Metodist\Desktop\рисунок для публикации.jpg

Делим заданную плоскую фигуру на прямоугольник (1), треугольник (2) и круг (3).

Вычисляем площади этих фигур:

S 1 = 10·20 = 200; S 2 = 0,5·5·10 = 25; S 3 = π·9 =28,3.

Определяем координаты центров тяжести фигур:

x 2 = 5; y 2 = 11,7.

Координаты центра тяжести всей плоской фигуры:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка «Сценарий интегрированного занятия Математика + Информатика «Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла»

Интегрированный урок — это учебное занятие, на котором тема рассматривается с различных точек зрения, средствами нескольких дисциплин. Интегрированные уроки формируют познавательный интерес обучающихс.

Методическая разработка урока по технической механике «Определение центра тяжести плоской фигуры»

Данная методическая разработка содержит методические указания по проведению лабораторной работы «Определение центра тяжести плоской фигуры».

План — конспект урока на тему Центр тяжести для студентов СПО

ГБПОУ «Навашинский политехнический техникум», Россия, Глебова Ю.В., 2012 г., 12 стр., 76 слайдов; Описание: План-конспект урока по дисциплине «Техническая механика» на тему «Центр тяжести» для студент.

Творческая работа студента «Роль центра тяжести в машиностроении»

ГБПОУ «Навашинский судомеханический техникум»; Выполнил: Кирилов А.В. студент II курса; Руководитель: Глебова Ю.В.,преподаватель ; Исследовательская работа — 26 стр., , 2014 г. Практ.

Методические указания по выполнению лабораторной работы «Определение положения центра тяжести сечения» по дисциплине «Техническая механика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИГосударственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Кстовский нефтяной техникум имени Бориса Ивановича Корнилова»ОП-04Система.

Определение центра тяжести плоских фигур

решени задач на определение центра тяжести плоских фигур.

Разработка учебного занятия Центр тяжести

Разработка учебного занятия на тему Центр тяжести.

1.6. Центр тяжести плоской фигуры

Это популярное физическое приложение двойного интеграла.

О центре тяжести плоской фигуры я рассказывал ещё в курсе аналитической геометрии, и сейчас мы на пальцах повторим, что это такое. Вырежьте из тонкого куска картона произвольную фигуру, какую захотИте. …Есть? Поднимите указательный палец строго вверх J. Теперь положите картонку на палец и добейтесь того, чтобы она не сваливалась. Эта точка картонной фигуры – и есть её центр тяжести.

В студенческой практике для решения, как правило, предлагается простейший случай – плоская ограниченная однородная фигура, то есть фигура постоянной физической плотности – стеклянная, деревянная, оловянная чугунные игрушки, тяжёлое детство и т.д. Далее по умолчанию речь пойдёт только о таких фигурах.

Первое правило и простейший пример: если у плоской фигуры есть центр симметрии, то он является центром тяжести данной фигуры. Например, центр круглой или квадратной однородной пластины. Логично и по-житейски понятно – масса такой фигуры «справедливо распределена во все стороны» относительно центра.

Однако в суровых реалиях вам вряд ли подкинут такую халяву, и поэтому на помощь придётся привлечь серьёзный математический аппарат:

Координаты центра тяжести плоской однородной ограниченной фигуры рассчитываются по следующим формулам:

, их также можно записать так:

, где – площадь фигуры (области ).

И наиболее компактная запись:
, где

Интеграл будем условно называть «иксовым» интегралом, а интеграл – «игрековым» интегралом.

Примечание-справка: для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана функцией , формулы более сложные:
, где – масса фигуры;
в случае однородной плотности фигуры эти формулы упрощаются до вышеприведённых формул.

На формулах, собственно, вся новизна и заканчивается, остальное – это ваше умение решать двойные интегралы, кстати, сейчас предоставляется прекрасная возможность потренироваться и усовершенствовать свою технику. А совершенству, как известно, нет предела: …или есть? 🙂

Пример 29

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение: линии здесь элементарны: задаёт ось абсцисс, а уравнение – банальную параболу. Я выполню сразу весь чертёж с готовой точкой центра тяжести фигуры:

Правило второе: если у фигуры существует ось симметрии, то центр тяжести данной фигуры обязательно лежит на этой оси.

В нашем случае фигура симметрична относительно прямой (проведена пунктиром), то есть фактически мы уже знаем «иксовую» координату точки «эм».

Также обратите внимание, что по вертикали центр тяжести смещён ближе к оси абсцисс, поскольку там фигура более массивна.

Полезная рекомендация: ещё до вычислений постарайтесь определить примерное расположение центра тяжести «на глазок» – это поможет проверить полученные значения на предмет явных ошибок.

…Да, возможно, ещё не все до конца поняли, что такое центр тяжести: пожалуйста, поднимите вверх указательный палец и мысленно поставьте на него заштрихованную «подошву» точкой . Теоретически фигура не должна упасть.

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .
Порядок обхода области (фигуры) здесь очевиден:

Внимание! Определяемся с наиболее выгодным порядком обхода один раз – и используем его для всех двойных интегралов! А их тут будет три штуки:

1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить «одной строкой», главное, не запутаться в вычислениях:

Смотрим на чертёж и прикидываем по клеточкам площадь. Получилось около дела.

2) Иксовая координата центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Но делать так-таки не советую – велика вероятность, что вас заставят решать по формуле.
В этой связи координату лучше рассчитать формально. Вычислим «иксовый» интеграл:

Таким образом: , что и требовалось получить.
3) Найдём ординату центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл, внутри используем правило умножения многочленов:

В результате: , что очень и очень похоже на правду. На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку и записываем
Ответ:
Заметьте, что по условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру. Зато есть безусловный плюс – визуальная и довольно эффективная проверка результата.

Следующие два примера для самостоятельного решения.

Пример 30

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

Пример 31

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Фигуру и её центр тяжести изобразить на чертеже.

И это как раз тот случай, когда вроде бы выполнены предпосылки для перехода к полярной системе координат, но в результате получаются настолько харкордные интегралы, что уж лучше решать в декартовых координатах.

Примерные образцы решений в конце книги.

Но, разумеется, есть задачи, где решение в полярных координатах оправдано. Желающие могут в качестве тренировки найти центр тяжести фигуры из Примера 23, тем более, там уже найдена площадь. Верный ответ . С подробным решением этого, а также более сложных примеров можно ознакомиться в соответствующей статье сайта.

Ну а сейчас пришло время немного отдохнуть и повысить ставки:

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

© mathprofi.ru / com, 2010-2024, Высшая математика – просто и доступно!

Определение координат центра тяжести фигур и сечений

Определение координат центра тяжести фигур

Определение координат центра тяжести xC и yC плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.

Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.

Способы определения координат центра тяжести

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:

Способ разбиения сложной фигуры на простые

  1. Аналитический (путем интегрирования).
  2. Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
  3. Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
    Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.
  4. Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.
    Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A1 и A2 (A = A1+ A2).

Рисунок 1.8

Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
Формулы для расчета координат центра тяжести
Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.
Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Метод отрицательных площадей

Рисунок 1.9

Формула определения центра тяжести

Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:

При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:

Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры

Сложное сечение

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием

Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.

Разбивка сложного сечения на простые фигуры

Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.

Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести Ci отдельных фигур:

Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A1=400×500=200000 мм 2
Положение центра тяжести
x1=200мм
y1=250мм

Центры тяжести отдельных частей фигуры

Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A2=π×200 2 /4=31416 мм 2
Координаты центра тяжести круга:
x2=200мм
y2=300мм

Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A3=400*100/2=20000 мм 2
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x3=400×2/3=266,7мм
y3=500+100×1/3=533,3мм

Расчет координат центра тяжести

Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:

Координаты центра тяжести сложной фигуры

Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами xC=207,1мм, yC=271,7мм.

Как вычислить центр тяжести плоской ограниченной фигуры
с помощью двойного интеграла?

Данная статья посвящена наиболее распространённому на практике приложению двойного интегралавычислению центра тяжести плоской ограниченной фигуры. Многие читатели интуитивно понимают, что такое центр тяжести, но, тем не менее, рекомендую повторить материал одного из уроков аналитической геометрии, где я разобрал задачу о центре тяжести треугольника и в доступной форме расшифровал физический смысл этого термина.

В самостоятельных и контрольных заданиях для решения, как правило, предлагается простейший случай – плоская ограниченная однородная фигура, то есть фигура постоянной физической плотности – стеклянная, деревянная, оловянная чугунные игрушки, тяжёлое детство и т.д. Далее по умолчанию речь пойдёт только о таких фигурах =)

Первое правило и простейший пример: если у плоской фигуры есть центр симметрии, то он является центром тяжести данной фигуры. Например, центр круглой однородной пластины. Логично и по-житейски понятно – масса такой фигуры «справедливо распределена во все стороны» относительно центра. Верти – не хочу.

Однако в суровых реалиях вам вряд ли подкинут сладкую эллиптическую шоколадку, поэтому придётся вооружиться серьёзным кухонным инструментом:

Координаты центра тяжести плоской однородной ограниченной фигуры рассчитываются по следующим формулам:

, или:

, где – площадь области (фигуры); или совсем коротко:

Интеграл будем условно называть «иксовым» интегралом, а интеграл – «игрековым» интегралом.

Примечание-справка: для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана функцией , формулы более сложные:
, где – масса фигуры; в случае однородной плотности они упрощаются до вышеприведённых формул.

На формулах, собственно, вся новизна и заканчивается, остальное – это ваше умение решать двойные интегралы, кстати, сейчас предоставляется прекрасная возможность потренироваться и усовершенствовать свою технику. А совершенству, как известно, нет предела =)

Закинемся бодрящей порцией парабол:

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение: линии здесь элементарны: задаёт ось абсцисс, а уравнение – параболу, которая легко и быстро строится с помощью геометрических преобразований графиков:

парабола , сдвинутая на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.

Центр тяжести плоской фигуры полезно заранее прикинуть «на глазок»

Я выполню сразу весь чертёж с готовой точкой центра тяжести фигуры:

Правило второе: если у фигуры существует ось симметрии, то центр тяжести данной фигуры обязательно лежит на этой оси.

В нашем случае фигура симметрична относительно прямой , то есть фактически мы уже знаем «иксовую» координату точки «эм».

Также обратите внимание, что по вертикали центр тяжести смещён ближе к оси абсцисс, поскольку там фигура более массивна.

Полезная рекомендация: ещё до вычислений постарайтесь определить примерное расположение центра тяжести «на глазок» – это поможет проверить полученные значения на предмет явных ошибок.

Да, возможно, ещё не все до конца поняли, что такое центр тяжести: пожалуйста, поднимите вверх указательный палец и мысленно поставьте на него заштрихованную «подошву» точкой . Теоретически фигура не должна упасть.

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .

Порядок обхода области (фигуры) здесь очевиден:

Внимание! Определяемся с наиболее выгодным порядком обхода один раз – и используем его для всех интегралов!

1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить компактно, главное, не запутаться в вычислениях:

Смотрим на чертёж и прикидываем по клеточкам площадь. Получилось около дела.

2) Иксовая координата центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Однако так делать всё-таки не советую – велика вероятность, что решение забракуют с формулировкой «используйте формулу».

В этой связи координату лучше рассчитать формально. Вычислим «иксовый» интеграл:

Заметьте, что здесь можно обойтись исключительно устными вычислениями – иногда совсем не обязательно приводить дроби к общему знаменателю или мучить калькулятор.

Таким образом:
, что и требовалось получить.

3) Найдём ординату центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл:

А вот тут без калькулятора пришлось бы тяжко. На всякий случай закомментирую, что в результате умножения многочленов получается 9 членов, причём некоторые из них подобны. Подобные слагаемые я привёл устно (как это обычно принято делать в похожих случаях) и сразу записал итоговую сумму .

В результате:
, что очень и очень похоже на правду.

На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку . По условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру. Зато есть безусловный плюс – визуальная и довольно эффективная проверка результата.

Ответ:

Следующие два примера для самостоятельного решения.

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

Кстати, если вы представляете, как расположена парабола и увидели точки, в которых она пересекает ось , то здесь и на самом деле можно обойтись без чертежа.

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

В случае затруднений с построением графиков, изучите (повторите) урок о параболах и/или Пример №11 статьи Двойные интегралы для чайников.

Примерные образцы решений в конце урока.

Кроме того, десяток-другой похожих примеров можно найти в соответствующем архиве на странице Готовые решения по высшей математике.

Ну а я не могу не порадовать любителей высшей математики, которые часто просят меня разбирать и трудные задачки:

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Фигуру и её центр тяжести изобразить на чертеже.

Центр тяжести плоской фигуры, ограниченной окружностью и прямой

Решение: условие данной задачи уже категорично требует выполнения чертежа. А ведь требование не настолько и формально! – эту фигуру способен представить в уме даже человек со средним уровнем подготовки:

Прямая рассекает круг на 2 части, и дополнительная оговорка (см. линейные неравенства) указывает на то, что речь идёт именно о маленьком заштрихованном кусочке.

Фигура симметрична относительно прямой (изображена пунктиром), поэтому центр тяжести должен лежать на данной линии. И, очевидно, что его координаты равны по модулю. Отличный ориентир, практически исключающий ошибочный ответ!

Теперь плохая новость =) На горизонте маячит малоприятный интеграл от корня, который мы подробно разобрали в Примере №4 урока Эффективные методы решения интегралов. И кто его знает, что там нарисуется ещё. Казалось бы, ввиду наличия окружности выгодно перейти к полярной системе координат, однако не всё так просто. Уравнение прямой преобразуется к виду и интегралы тоже получатся не сахарные (хотя фанаты тригонометрических интегралов оценят). В этой связи осмотрительнее остановиться на декартовых координатах.

Порядок обхода фигуры:

1) Вычислим площадь фигуры:

Первый интеграл рациональнее взять подведением под знак дифференциала:

А во втором интеграле проведём стандартную замену:

Вычислим новые пределы интегрирования:

Весьма достоверно, едем дальше:

Здесь во 2-м интеграле опять был использован метод подведения функции под знак дифференциала. Отработайте и возьмите на вооружение эти оптимальные (по моему мнению) приёмы решения типовых интегралов.

После непростых и длительных вычислений вновь обращаем свой взор на чертёж (помним, что точки мы пока не знаем!) и получаем глубокое моральное удовлетворение от найденного значения .

3) Исходя из проведённого ранее анализа, осталось убедиться, что .

Изобразим точку на чертеже. В соответствии с формулировкой условия запишем её как окончательный ответ:

Похожее задание для самостоятельного решения:

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Выполнить чертёж.

Эта задача интереса тем, что в ней задана фигура достаточно малых размеров, и если где-нибудь допустить ошибку, то высока вероятность вообще «не попасть» в область. Что, безусловно, хорошо с точки зрения контроля решения.

Примерный образец оформления в конце урока.

Иногда при нахождении центра тяжести бывает выгодно перейти к полярным координатам

Иногда бывает целесообразен переход к полярным координатам в двойных интегралах. Это зависит от фигуры. Искал-искал у себя удачный пример, но не нашёл, поэтому продемонстрирую ход решения на 1-й демо-задаче указанного выше урока:

Напоминаю, что в том примере мы перешли к полярным координатам, выяснили порядок обхода области и вычислили её площадь

Давайте найдём центр тяжести данной фигуры. Схема та же: . Значение просматривается прямо из чертежа, а «иксовая» координата должна быть смещена чуть ближе к оси ординат, поскольку там располагается более массивная часть полукруга.

В интегралах используем стандартные формулы перехода:

Правдоподобно, скорее всего, не ошиблись.

Примечание: интеграл подробно разобран в Примере №9 урока Интегралы от тригонометрических функций.

, что и требовалось получить.

Как-то так невзначай на этой странице уместились 17 двойных интегралов, что является полнейшим безобразием, по причине того, что за окном жаркие деньки июня, которые совсем не располагают к учёбе.

Успешной сдачи сессии!

Решения и ответы:

Центр тяжести плоской фигуры, ограниченной прямой и осью абсцисс

Пример 2: Решение: выполним чертёж:

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .
Порядок обхода области:

1) Вычислим площадь фигуры:

2) Найдём абсциссу центра тяжести.

3) Найдём ординату центра тяжести.

Ответ:

Центр тяжести плоской фигуры, ограниченной двумя параболами

Пример 3: Решение: выполним чертеж:

Выберем следующий порядок обхода фигуры:

Найдём центр тяжести . Используем формулы , где
1) Вычислим площадь фигуры:

2) Найдём абсциссу центра тяжести.

3) Найдём ординату центра тяжести.

(интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку)

Ответ:

Центр тяжести плоской фигуры, ограниченной эллипсом и прямой

Пример 5: Решение: выразим функции в явном виде:

Выполним чертеж:

Выберем следующий порядок обхода фигуры:

По соответствующим формулам найдём координаты центра тяжести данной фигуры.

В первом интеграле проведем замену:

Новые пределы интегрирования:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *