Как найти b по графику
Перейти к содержимому

Как найти b по графику

  • автор:

Линейная функция « y = kx + b » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Галка

Важно!

Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.

Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .

Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.

Примеры функций типа « y = kx + b ».

  • y = 5x + 3
  • y = −x + 1
  • y =

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .

Функция Коэффициент « k » Коэффициент « b »
y = 5x + 3 k = 5 b = 3
y = −x + 1 k = −1 b = 1
y =

Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».

Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.

Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .

Как построить график линейной функции
« y = kx + b »

Запомните!

Графиком линейной функции « y = kx + b » является прямая .

Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Галка

Важно!

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

x Расчет « y = −2x + 1 »
0 y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1 y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.

Точка Координата по оси « Оx » (абсцисса) Координата по оси « Оy » (ордината)
(·)A 0 1
(·)B 1 −1

Отметим полученные точки на системе координат.

точки графика функции y = -2x + 1

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».

график функции y = -2x + 1

Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »

Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:

  1. значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
  2. значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .

Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка Координата
по оси « Оx »
Координата
по оси « Оy »
(·)A 0 y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

точки графика функции y = 2x + 3

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».

график функции y = 2x + 3

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».

Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните!

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

  1. провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
  2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
  3. полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .

найти значения y по известным значениям x

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение « x » Полученное с графика значение « y »
−1 1
2 7
3 9
5 13

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси « Oy » .

найти значения x по известным значениям y

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение « y » Полученное с графика значение « x »
−1 −2
0 −1,5
1 −1
4 0,5

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции « y = 2x −

», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −

Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

    Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов: — Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a
    — Если \(a>1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам. Определяем значение a

— Аналогично с \(a
— Если \(a∈(0;1)\), то график сжат в \(a\) раз (по сравнению с «базовым» графиком с \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. парабола при a от 0 до 1
— Аналогично \(a∈(-1;0)\), только ветви направлены вниз. парабола a от -1 до 0

определяем c по графику

Парабола пересекает ось y в точке \(c\).

находим b с помощью икс вершины

  • \(b\) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью \(x_в\) — абсциссы (икса) вершины параболы: \(x_в=-\frac\)
    \(b=-x_в\cdot 2a\)
  • пример из ЕГЭ

    Решение:
    Во-первых, надо разобраться, где тут \(f(x)\), а где \(g(x)\). По коэффициенту \(c\) видно, что \(f(x)\) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке \(4\).

    пример из ЕГЭ

    Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
    Коэффициент \(c\) у неё равен \(1\).
    Ветви параболы направлены вниз – значит \(a

    пример из ЕГЭ

    Получается \(g(x)=-x^2-4x+1\). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

    2 способ – находим формулу по точкам

    Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений . Алгоритм прост:

    нахождение формулы по точкам

    1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
      Пример:
    2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями. Пример: \(A(-4;5)\), \(B(-5;5)\), \(C(-6;3)\). \(\begin5=a(-4)^2+b(-4)+c\\5=a(-5)^2+b(-5)+c\\3=a(-6)^2+b(-6)+c \end\)
    3. Решаем систему.
      Пример: \(\begin5=16a-4b+c\\5=25a-5b+c\\3=36a-6b+c \end\) Вычтем из второго уравнения первое: \(0=9a-b\)
      \(b=9a\) Подставим \(9a\) вместо \(b\): \(\begin5=16a-36a+c\\5=25a-45a+c\\3=36a-54a+c \end\)
      \(\begin5=-20a+c\\5=-20a+c\\3=-18a+c \end\) Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье: \(2=-2a\)
      \(a=-1\) Найдем \(b\): \(b=-9\) Подставим в первое уравнение \(a\): \(5=20+c\)
      \(c=-15\). Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

    пример из ЕГЭ

    Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

    решение задачи из ЕГЭ

    Таким образом имеем систему:

    Сложим 2 уравнения:

    Подставим во второе уравнение:

    Теперь найдем точки пересечения двух функций:

    Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

    3 способ – используем преобразование графиков функций

    Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

    Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

    Сам способ базируется на следующих идеях:

    1. График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\). нахождение через преобразование параболы
    2. – Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
      – Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз. растяжение и сжатие параболы
    3. – График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
      — График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц. Сдвиг параболы вправо и влево
    4. График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
      График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз. сдвиг параболы вверх и вниз

    У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

    пример

    Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

    пример нахождение формулы параболы с помощью преобразования графиков функций

    А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

    решение примера

    То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
    После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

    решение примера из ЕГЭ

    Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

    решение примера из ЕГЭ

    1. Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).
    2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).
    3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).
    4. Получается \(y=-2(x^2-4x+4)+4=\)\(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4\).
    5. \(f(6)=-2\cdot 6^2+8\cdot 6-4=-72+48-4=-28\)

    Как найти k и b по графику линейной функции?

    В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти \(k\) и \(b\) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

    пример нового 9 задание ЕГЭ

    Новое задание ЕГЭ с линейной функцией

    В статье я расскажу про два простых способа найти \(k\) и \(b\), если известен график линейной функции.

    Способ 1

    Первый способ основывается на трех фактах:

      Линейная функция пересекает ось \(y\) в точке \(b\).
      Примеры:Как определить b по линейной функцииНо не советую определять так \(b\), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом. Примеры:В каких случаях b не надо определять

  • Если функция возрастает, то знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то \(k=0\). Примеры:Как определить знак k у линейной функции
  • Чтоб конкретнее определить \(k\) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить \(k\) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.
    Примеры:Как найти k у линейной функции
  • пример 9 задания ЕГЭ

    Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

    решение 9 задания ЕГЭ

    \(b=3\) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит \(k

    Достроим прямую до прямоугольного треугольника. Вершинами будут жирные точки, которые нам дали в задаче.

    решение 9 задания ЕГЭ

    Способ 1 быстрее способа 2, но не во всех ситуациях помогает. Поэтому важно владеть и вторым способом тоже.

    Способ 2

    Вы обращали внимание, что в задачах ЕГЭ на прямых всегда жирно выделяют 2 точки? Так вот, чтобы найти формулу линейной функции, достаточно подставить координаты этих точек в формулу \(f(x)=kx+b\) и решить получившуюся систему уравнений.

    Новое задание ЕГЭ с линейной функцией

    Обозначим жирные точки какими-нибудь буквами и найдем их координаты.

    решение 9 задания ЕГЭ

    \(A(-2;2)\) и \(B(2;-5)\) подставим эти значения вместо \(x\) и \(f(x)\) в формулу \(f(x)=kx+b\):

    Теперь найдем \(k\) и \(b\), решив эту систему.

    Для этого сложим уравнения друг с другом, чтобы исчезло \(k\):

    Теперь подставим найденное \(b\) во второе уравнение системы и найдем \(k\):

    Получается \(f(x)=-1,75x-1,5\). Остается последний шаг – вычислим при каком иксе функция, то есть \(f(x)\), равна \(16\):

    пример нового 9 задание ЕГЭ

    Чтоб решить задачу, нам понадобятся формулы каждой из двух функций. Давайте формулу нижней функции найдем с помощью способа 1, а формулу верхней с помощью способа 2. Начнем с нижней функции.

    решение 9 задания ЕГЭ

    Теперь перейдем к функции \(g(x)\). Найдем координаты точек \(D\) и \(E\): \(D(-2;4)\), \(E(-4;1)\). Можно составить систему:

    Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать \(b\):

    \(g(x)=1,5x+7\). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем \(f(x)\) и \(g(x)\).

    Шпаргалка как найти k и b

    Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

    Определите значение коэффициента k по графику функции y=kx + b, изображённому на рисунке.

    Определите значение коэффициента k по графику функции y=kx + b, изображённому на рисунке.

    Лучший ответ

    y=kx + b
    x=0;y=4; тогда b=4
    Получим уравнение: y=kx + 4
    При х=2; у= -2
    2k +4= -2
    2k= -6
    k= -6/2= -3

    Остальные ответы

    Похожие вопросы

    Ваш браузер устарел

    Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *