Как найти абсциссу точки касания
Перейти к содержимому

Как найти абсциссу точки касания

  • автор:

Абсцисса точки касания. Задание В8 (2014)

Задание B9 (№ 27485) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x 2 +8x+6. Найдите абсциссу точки касания.

Чтобы выполнить это задание, нам нужно вспомнить теорию.

1. Прямая y=k1x+b1 параллельна прямой y=k2x+b2, если k1=k2. k1 и k2 — коэффициенты наклона прямых. Коэффициент наклона прямой равен тангенсу угла между этой прямой и положительным направлением оси ОХ: tg(a)=AB/OA

2. Геометрический смысл производной: значение производной функции у=f(x) в точке x0 равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции у=f(x) в точке x0, то есть tg(a)=k=f'(x0), где k — угловой коэффициент касательной: Решение.
Так как касательная параллельна прямой y=7x-5, следовательно коэффициент наклона касательной, а, значит, производная функции в точке касания равны 7.
Найдем производную функции y=x 2 +8x+6:

Приравняем производную к 7:

В этом уравнении x0 — абсцисса точки касания.
Решим уравнение:
2x0+8=7
x0=-0,5
Ответ: -0,5

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

Для вас другие записи этой рубрики:

  • Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7
  • Видеолекция 11. «Производная. Касательная. Применение производной к исследованию функции. Задание В8»
  • Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7
  • Задачи на производную и касательную
  • Первообразная.
  • Видеолекция «Производная. Касательная. Применение производной к исследованию функции. Задание 7»

Абсцисса точки касания. Задание В8 (2014)

Инна | Отзывов ( 9 )

Отзывов ( 9 )

Фельдман, Григорий

Отличный сайт
Я в своей жизни больше тройки по математике никогда не имел… Видите ли, у нас с Инной Владимиривной хотя очень много общего генотипа , но одна из хромосом у меня отсутствует!
Я математику ненавидел! Она у меня отпила время и инергию. В школе я никогда уроков, я имею в виду домашнее задания никогда не делал… А по Математике нельзя, не проскочишь
Хотя я один раз получил 5. И в самое важное время! Вступительный экзамен в Медицинский Институт! Конечно не МехМат, но обсолютно справедливо! Без блата! Как? Прямо перед мной сидела еврейская девочка… Одинаковая задача! Я ее списал! Девочка не поступила…

Гриша, главное оказаться в нужное время в нужном месте.:)

Довольно понятно написано. Как жаль, что во времена, когда мне приходилось пытаться вникнуть в ненавистную математику, интернет не был очень распространённым явлением…

Спасибо большое. Благодаря вам разобралась с очень многими заданиями.Удачи вам:3

Добрый день).Вот у вас в рубрике «Проверь себя» заданьице похожее,только нужно найти не абсциссу,а ординату.При решении уравнения получается,что х=8.А что потом…?Как узнать,какой из двух вариантов ответа правильный,ведь при подстановке в начальные уравнения ответы разные.

В ответе нужно писать то, что спрашивают. Если нужна ордината точки касания, то значение абсциссы подставляем в уравнение функции и находим ординату.

Добрый день. Подскажите, а если, когда мы приравниваем производную функции к коэффициенту касания и находи х0, у нас получается два ответа? Какой из них выбирать и записывать в ответ?

смотря какой вопрос)
Часто помогает такой читерский способ: так как ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь, то число, которое таковым не является, мы в ответ не пишем.

Как найти абсциссу точки касания

Задача: Прямая параллельна касательной к графику функции . Определить абсциссу точки касания.

Решение:

Замечание 1: Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

Известно, что касательная к графику функции параллельна прямой , т.е. угловые коэффициенты касательной и этой прямой равны между собой, т.е. .

Замечание 2 (геометрический смысл производной): Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции , проведенной в точке .

Вычислим производную:

Выше выяснили, что угловой коэффициент равен -4, т.е. производная равна -4.

Вывод: — абсциссы точек, в которых касательная к графику параллельна прямой .

Ответ:

Проиллюстрируем эту задачу графиком, хотя при её решении график строить необходимости нет.

Касательная – линия красного цвета, точка касания , и она, конечно же, параллельна данной прямой.

Понравилась статья?

Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания (страница 5)

\[<\large>\] где \(x_o\) — абсцисса точки касания прямой и кривой.

Задание 29 #4037
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) , определенной на интервале \((-5;4)\) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y=3\) или совпадает с ней.

Так как на рисунке изображен график самой функции, то условие задачи нужно свести к функции.
Если касательная параллельна прямой \(y=3\) , то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=3\) , то есть \(0\) . Следовательно, \(y_k=a\) , где \(a\) – некоторое число.
Если \(y_k\) – касательная к графику \(f(x)\) , то ее угловой коэффициент равен \(f'(x_0)\) , где \(x_0\) – абсцисса точки касания (количество таких точек нам и нужно найти).
Следовательно, \(f'(x_0)=0\) .
Но производная функции равна 0 в точках экстремума, следовательно, раз у нас нарисован график самой функции, то нам нужно найти количество точек экстремума (максимума и минимума).

Касательная к графику функции.

А геометрический смысл производной не судьба выучить и решить устную задачу?
Коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси OX) равен производной функции в точке xo .
Если касательная параллельна g(x)=1-2x, то она имеет тот же угол наклона, т. е. угол между касательной и положительным направлением оси OX равен такому углу, у которого тангенс угла касательной равен -2 (g`(x)=(1-2x)`=-2). Значит, значение производной функции y=4x²-3x+5 в точке касания равно -2
Найдем абсциссу точки касания: f`(x)=(4x²-3x+5)`=-2, ->8x-3=-2, 8x=1, x=xo=1/8=0.125.
Зная абсциссу токи касания, легко написать уравнение касательной: y=f(xo)+f`(xo)(x-xo), ->f(xo)=4*(1/8)²-3*(1/8)+5=75/16, f`(xo)=8*(1/8)-3=-2, y=f(xo)+f`(xo)(x-xo)=75/16-2(x-1/8)=79/16-2x=4.9375-2x
Сравнивая g(x)=1-2x и y=79/16-2x=4.9375-2x нетрудно заметить, что g(x)=1-2x и y=79/16-2x=4.9375-2x параллельны, т. к. у обоих прямых одинаковый (равный) угол наклона (tg угла наклона =-2=g`(x)=(79/16-2x)`)
Следовательно, задача решена верно и абсцисса точки касания xo=1/8=0.125, а ордината (для справки) точки касания yo=75/16=4 11/16=4.6875

Остальные ответы

Производная = 8х-3, она же в точке касания =-2.
8х-3=-2.
8х=1.
х=1/8.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *