Что такое точный квадрат
Перейти к содержимому

Что такое точный квадрат

  • автор:

print1386. Точные квадраты

printТочные квадраты

close

Элементы теории чисел, диофантовы уравнения
Олимпиадные задачи на русском языке

close

24/06/2010 Лето 2010 — 1 (A)
24/06/2010 Лето 2010 дорешивание ( 1A)
18/09/2010 Занятие 2 (E)
27/06/2016 Лето 2016 — 1 (A)
26/09/2019 Соревнование 1 курса ВШЭКН, ВШЭУ (E)
28/06/2023 Лето 2023-2 простые (B)

copy

Ограничения: время – 1s/2s, память – 64MiB Ввод: input.txt или стандартный ввод Вывод: output.txt или стандартный вывод
Послать решение Blockly Посылки Темы Где Обсудить (0)

Целое число `N` называется точным квадратом, если оно является квадратом какого-либо целого числа, то есть существует такое целое `S` , что `N\ =\ S^2` .

Даны целые числа `F` и `L` . Требуется найти количество точных квадратов от `F` до `L` включительно.

Например, от 5 до 25 включительно три точных квадрата – `9\ =\ 3^2` , `16\ =\ 4^2` и `25\ =\ 5^2` .

В первой строке входного файла содержатся два целых числа `F` и `L` ( `0 ≤ F ≤ L ≤ 10^9` ).

Выведите в выходной файл одно искомое число.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Точные квадраты

На страницу 1 , 2 След.

Точные квадраты
07.06.2012, 02:13

$x \in \mathbb<N></p>
<p>Почему при любом $» /> выражения не являются точными квадратами?</p>
<p><img decoding=

1)

$8(x^2-x+6)+4$

2)

$9x^2+60$

3)

$5(2x^2-2x-17)$

4)

Какие свойства у точного квадрата?

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 02:24
Квадратичные вычеты.
Re: Точные квадраты
07.06.2012, 02:29
Doil-byle в сообщении #581709 писал(а):
Квадратичные вычеты.

Как ими здесь воспользоваться?
Re: Точные квадраты
07.06.2012, 02:32

Последний раз редактировалось Doil-byle 07.06.2012, 02:36, всего редактировалось 3 раз(а).

Квадрат не может быть сравним с семёркой по модулю 3. В первом примере.
$7x^2+28 =y^2$
$7x^2+28=49y_0^2$$y_0= \frac<y>$» /><br /><img decoding=

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 02:43

Doil-byle , то есть если сравнение по модулю возможно, то выражение будет являться квадратом? Какие свойства предполагают эти вычеты? Вообще не знаю этой темы((

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 02:48

Последний раз редактировалось Doil-byle 07.06.2012, 02:57, всего редактировалось 4 раз(а).

Здесь я основываюсь на том, что если квадрат делится на простое число, то он делится и на квадрат этого числа.
Это легко доказать, рассмотрев каноническую запись числа. Можно даже без неё.

Keter в сообщении #581713 писал(а):
то есть если сравнение по модулю возможно, то выражение будет являться квадратом?

$x=5n+3$

Не, я же ведь доказывал, что сравнение невозможно и число — не квадрат.
К тому же подумайте, если сравнение возможно по одному модулю, оно может быть невозможно по другому. Так что, это только необходимое условие. Вообще, сравнения удобны в основном только при доказательстве неразрешимости. Ну, ещё можно подстановку иногда сделать, типа . Иногда может сработать.

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 02:59
Doil-byle , а почему Вы сравниваете по модулю 3?
Re: Точные квадраты
07.06.2012, 03:01

Последний раз редактировалось Doil-byle 07.06.2012, 03:02, всего редактировалось 1 раз.

Я просто перепутал слова =)
С тройкой по модулю семь.
Re: Точные квадраты
07.06.2012, 03:05
Почему именно с тройкой?
Re: Точные квадраты
07.06.2012, 03:12

Последний раз редактировалось Doil-byle 07.06.2012, 03:12, всего редактировалось 1 раз.

Как Вы видите, я показал, что если выражение — квадрат, то $x^2 \equiv -4 (\mod 7). $$-4 \equiv 3 (\mod 7).$

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 03:28

А можно ли здесь обойтись рассуждениями типа: если число при делении на 4 даёт в остатке 3, то оно не является точным квадратом? Или, если число не делится на 4 или на 9, а при делении на 8 или на 3 не даёт в остатке единицу, то оно не является точным квадратом.

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 07:42

Заслуженный участник

А это и есть такие рассуждения. Только их же еще обосновывать надо. типа, «Если число дает в остатке единицу при делении на три, то и его квадрат дает в остатке единицу; если число дает в остатке два, то квадрат дает в остатке единицу; если число делится на три нацело, то и квадрат делится нацело — ergo, если число при делении на три дает два в остатке, это точно не квадрат.»

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 10:05

Я вот хочу кое что понять. Предположил 172 — очень большое число (даже не знаем между квадратами каких чисел оно находится), оно делится на 4, но не является точным квадратом, по какому признаку мы выясняем, что оно не точный квадрат?

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 10:32

Заслуженный участник

Никак. От балды. Кроме 4, есть ещё числа. Пробуйте другое, третье. На 3 оно делится? Нет? Какой остаток? Такой остаток у квадратов бывает? Ладно, идём дальше.

Re: Точные квадраты
07.06.2012, 11:18

Последний раз редактировалось Keter 07.06.2012, 11:32, всего редактировалось 3 раз(а).

Остатки при делении квадрата на 3 бывают 0 или 1.
nnosipov , ну если взять $5(2x^2-2x-17)=y^2$, мы можем сразу рассмотреть https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/d/9cd4aba1c25862967d7e0a2bc9c665a882.pngx^2-2x-17$и сказать, что при делении на 3 у этого выражения в остатке может быть 2, значит $5(2x^2-2x-17)$не является точным квадратом?

nnosipov , зачем же Вы удалили сообщение?

ИСН , то есть $7(x^2+4)$не является точным квадратом, так как $x^2+4$при делении на 3 может давать в остатке 2?

Задачка за задачкой

1) Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей.

2) Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то а 2 = 4к 2 – делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то а 2 = (2к+1) 2 = 4 к 2 + 4к + 1 =

= 4к(к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1(одно из чисел к или к+1 окажется четным, т.е. делится на 2).

3) Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда а 2 = (3к) 2 = 9к 2 — делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда а 2 = (3к±1) 2 =

= 9 к 2 ± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3 даёт остаток 1.
Проверим, удовлетворяет ли число из условия задачи указанным свойствам.
Свойство №1.
Число из условия задачи оканчивается цифрой 9, значит оно обладает свойством №1.
Свойство №2.
1) Проверим делимость на 4. Две последние цифры данного числа – 99, значит оно не делится на 4 .

2) Проверим делимость на 8. Если три последние цифры в записи числа образуют трёхзначное число, кратное 8, то и само число делится на 8. В нашем случае должен получится остаток 1, а значит без остатка должно делится число, на 1 меньшее данного в условии задачи.

Проверим делимость числа 998 на 8 .
998:8=124 (ост 6) — не кратно 8.

Значит, число из условия задачи не делится на 8 с остатком 1.
Свойство №3.
1) Проверим делимость на девять числа 122….999999999.
1+ 2*2+ 3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9= 1+4+9+16+25+36+49+64+81=
=285 — не делится на 9 нацело.
2) Но 285 : 3 = 95, значит и число 122….999999999 делится на 3 без остатка.

Вывод: Число 122….999999999 не является точным квадратом, потому что не обладает свойствам №2 и №3 точного квадрата.

Ответ: число 122….999999999 не является точным квадратом.

1 комментарий:

Уважаемая Ольга, почему Вы решили, что число обязано оканчиваться цифрой 9? В условии задачи не оговаривается порядок цифр, указывается только из каких цифр состоит число и в каком количестве. Здесь решение следующее: Сумма цифр числа равна 285, а значит, число делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, такое число не может быть квадратом, да и вообще не может быть никакой точной степенью выше первой. Ответить Удалить

Полный квадрат также точный квадрат или квадратное число число являющееся квадратом некоторого целого числа Иными словам

Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.

Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.

Примеры править

Последовательность квадратов начинается так:

Таблица квадратов

_0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9
0_ 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1_ 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2_ 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3_ 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4_ 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5_ 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6_ 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7_ 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8_ 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9_ 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Представления и свойства править

Квадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечётных чисел:

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:

Пример:

Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле:

Способ 1, метод приведения:

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию. Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:

  • Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
  • Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нулей.
  • Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
  • Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:

Геометрическое представление править

См. также править

  • Многоугольное число
  • Автоморфное число
  • Квадратное пирамидальное число

Примечания править

  1. Некоторые конечные числовые ряды(неопр.) . Math24.ru. Дата обращения: 14 июня 2019.14 июня 2019 года.
  2. Кохась К. П.Сумма обратных квадратов // Математическое просвещение. — 2004. — Вып. 8 . — С. 142–163 .
  3. K. Brown. No Four Squares In Arithmetic Progression(англ.)

Литература править

  • Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф.За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М. : Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки править

  • Фигурные числа от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
  • Figurate Numbers от 10 июня 2019 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)

Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры

Дата публикации: Декабрь 25, 2023, 19:49 pm
Самые читаемые

Мургия, Ана Офелия

Муниципальное образование «Ныгда»

Музыкальный фонд СССР

Музей бронетанковой техники

Мохд Азрааи Хор Абдулла

Морской дрон

Морозов, Андрей Сергеевич (военный блогер)

Могильно (гмина)

Могилевцев, Иван Иванович

Могиленка (приток Ичкиной)

© Copyright 2021, Все права защищены.

Polnyj kvadrat takzhe tochnyj kvadrat ili kvadratnoe chislo chislo yavlyayusheesya kvadratom nekotorogo celogo chisla Inymi slovami kvadratom yavlyaetsya celoe chislo kvadratnyj koren iz kotorogo izvlekaetsya nacelo Geometricheski takoe chislo mozhet byt predstavleno v vide ploshadi kvadrata s celochislennoj storonoj Naprimer 9 eto kvadratnoe chislo tak kak ono mozhet byt zapisano v vide 3 3 a takzhe predstavlyaet ploshad kvadrata so storonoj ravnoj 3 Kvadratnoe chislo vhodit v kategoriyu klassicheskih figurnyh chisel Soderzhanie 1 Primery 2 Predstavleniya i svojstva 3 Geometricheskoe predstavlenie 4 Sm takzhe 5 Primechaniya 6 Literatura 7 SsylkiPrimery pravitPosledovatelnost kvadratov nachinaetsya tak 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 2500 posledovatelnost A000290 v OEIS Tablica kvadratov 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0 1 4 9 16 25 36 49 64 811 100 121 144 169 196 225 256 289 324 3612 400 441 484 529 576 625 676 729 784 8413 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 15214 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 24015 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 34816 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 47617 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 62418 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 79219 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801Predstavleniya i svojstva pravitKvadrat naturalnogo chisla n displaystyle n nbsp mozhno predstavit v vide summy pervyh n displaystyle n nbsp nechyotnyh chisel 1 1 1 displaystyle 1 1 nbsp 2 4 1 3 displaystyle 4 1 3 nbsp 7 49 1 3 5 7 9 11 13 displaystyle 49 1 3 5 7 9 11 13 nbsp Eshyo odin sposob predstavleniya kvadrata naturalnogo chisla n 2 1 1 2 2 n 1 n 1 n displaystyle n 2 1 1 2 2 n 1 n 1 n nbsp Primer 1 1 1 displaystyle 1 1 nbsp 2 4 1 1 2 displaystyle 4 1 1 2 nbsp 4 16 1 1 2 2 3 3 4 displaystyle 16 1 1 2 2 3 3 4 nbsp Summa kvadratov pervyh n displaystyle n nbsp naturalnyh chisel vychislyaetsya po formule 1 k 1 n k 2 1 2 2 2 3 2 n 2 n n 1 2 n 1 6 displaystyle sum k 1 n k 2 1 2 2 2 3 2 n 2 frac n n 1 2n 1 6 nbsp VyvodSposob 1 metod privedeniya Rassmotrim summu kubov naturalnyh chisel ot 1 do n 1 displaystyle n 1 nbsp k 1 n k 3 n 1 3 k 0 n k 1 3 k 0 n k 3 3 k 2 3 k 1 k 0 n k 3 k 0 n 3 k 2 k 0 n 3 k k 0 n 1 k 0 n k 3 3 k 0 n k 2 3 k 0 n k k 0 n 1 displaystyle sum k 1 n k 3 n 1 3 sum k 0 n k 1 3 sum k 0 n k 3 3k 2 3k 1 sum k 0 n k 3 sum k 0 n 3k 2 sum k 0 n 3k sum k 0 n 1 sum k 0 n k 3 3 sum k 0 n k 2 3 sum k 0 n k sum k 0 n 1 nbsp Poluchim n 1 3 3 k 0 n k 2 3 k 0 n k k 0 n 1 3 k 0 n k 2 3 n 1 n 2 n 1 displaystyle n 1 3 3 sum k 0 n k 2 3 sum k 0 n k sum k 0 n 1 3 sum k 0 n k 2 3 frac n 1 n 2 n 1 nbsp Umnozhim na 2 i peregruppiruem 6 k 0 n k 2 2 n 1 3 3 n 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 2 3 n 2 n 1 2 n 2 n n n 1 2 n 1 displaystyle 6 sum k 0 n k 2 2 n 1 3 3 n 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 2 3n 2 n 1 2n 2 n n n 1 2n 1 nbsp k 0 n k 2 n n 1 2 n 1 6 displaystyle sum k 0 n k 2 frac n n 1 2n 1 6 nbsp V rassuzhdeniyah ispolzovana formula k 0 n k n 1 n 2 displaystyle sum k 0 n k frac n 1 n 2 nbsp vyvod kotoroj analogichen privedennomu Sposob 2 metod neizvestnyh koefficientov Zametim chto summa funkcij stepeni N displaystyle N nbsp mozhet byt vyrazhena kak funkciya N 1 displaystyle N 1 nbsp stepeni Ishodya iz etogo fakta predpolozhim k 0 n k 2 f n A n 3 B n 2 C n D displaystyle sum k 0 n k 2 f n An 3 Bn 2 Cn D nbsp f 0 0 f 1 1 f 2 5 f 3 14 displaystyle f 0 0 f 1 1 f 2 5 f 3 14 nbsp Poluchim sistemu linejnyh uravnenij otnositelno iskomyh koefficientov 0 A 0 B 0 C D 0 A B C D 1 8 A 4 B 2 C D 5 27 A 9 B 3 C D 14 displaystyle begin cases 0A 0B 0C D 0 A B C D 1 8A 4B 2C D 5 27A 9B 3C D 14 end cases nbsp Reshiv eyo poluchim A 1 3 B 1 2 C 1 6 D 0 displaystyle A frac 1 3 B frac 1 2 C frac 1 6 D 0 nbsp Takim obrazom k 0 n k 2 f n 1 3 n 3 1 2 n 2 1 6 n 0 n n 1 2 n 1 6 displaystyle sum k 0 n k 2 f n frac 1 3 n 3 frac 1 2 n 2 frac 1 6 n 0 frac n n 1 2n 1 6 nbsp Ryad obratnyh kvadratov shoditsya 2 n 1 1 n 2 1 1 2 1 2 2 1 n 2 p 2 6 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 frac 1 1 2 frac 1 2 2 dots frac 1 n 2 dots frac pi 2 6 nbsp dd Chetyre razlichnyh kvadrata ne mogut obrazovyvat arifmeticheskuyu progressiyu 3 Arifmeticheskie progressii iz tryoh kvadratov sushestvuyut naprimer 1 25 49 Kazhdoe naturalnoe chislo mozhet byt predstavleno kak summa chetyryoh kvadratov teorema Lagranzha o summe chetyryoh kvadratov 4900 edinstvennoe chislo gt 1 kotoroe yavlyaetsya odnovremenno kvadratnym i piramidalnym Summy par posledovatelnyh treugolnyh chisel yavlyayutsya kvadratnymi chislami V desyatichnoj zapisi kvadratnye chisla imeyut sleduyushie svojstva Poslednyaya cifra kvadrata v desyatichnoj zapisi mozhet byt ravnoj 0 1 4 5 6 ili 9 kvadratichnye vychety po modulyu 10 Kvadrat ne mozhet okanchivatsya nechyotnym kolichestvom nulej Kvadrat libo delitsya na 4 libo pri delenii na 8 dayot ostatok 1 Kvadrat libo delitsya na 9 libo pri delenii na 3 dayot ostatok 1 Dve poslednie cifry kvadrata v desyatichnoj zapisi mogut prinimat znacheniya 00 01 04 09 16 21 24 25 29 36 41 44 49 56 61 64 69 76 81 84 89 ili 96 kvadratichnye vychety po modulyu 100 Zavisimost predposlednej cifry kvadrata ot poslednej mozhno predstavit v vide sleduyushej tablicy poslednyayacifra predposlednyayacifra0 05 21 4 9 chyotnaya6 nechyotnayaGeometricheskoe predstavlenie pravit1 nbsp nbsp 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 9 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 16 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 25 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Sm takzhe pravitMnogougolnoe chislo Avtomorfnoe chislo Kvadratnoe piramidalnoe chisloPrimechaniya pravit Nekotorye konechnye chislovye ryady neopr Math24 ru Data obrasheniya 14 iyunya 2019 Arhivirovano 14 iyunya 2019 goda Kohas K P Summa obratnyh kvadratov Matematicheskoe prosveshenie 2004 Vyp 8 S 142 163 K Brown No Four Squares In Arithmetic Progression angl Literatura pravitVilenkin N Ya Shibasov L P Shibasova 3 F Za stranicami uchebnika matematiki Arifmetika Algebra Geometriya M Prosveshenie 1996 S 30 320 s ISBN 5 09 006575 6 Deza E Deza M Figurnye chisla M MCNMO 2016 349 s ISBN 978 5 4439 2400 7 Ssylki pravitFigurnye chisla Arhivnaya kopiya ot 23 noyabrya 2018 na Wayback Machine Figurate Numbers Arhivnaya kopiya ot 10 iyunya 2019 na Wayback Machine na sajte MathWorld angl Istochnik https ru wikipedia org w index php title Polnyj kvadrat amp oldid 133150397

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *