Что такое полное метрическое пространство
Перейти к содержимому

Что такое полное метрическое пространство

  • автор:

Полное пространство

Математика

По́лное простра́нство, метрическое пространство , в котором сходится любая фундаментальная последовательность . Примером полного пространства служит гильбертово пространство l 2 l_2 l 2 ​ . Замкнутое подмножество полного пространства является полным пространством. Если метрическое пространство неполно, то его можно пополнить аналогично тому, как пополняется множество рациональных чисел иррациональными до совокупности всех действительных чисел . Понятие полноты обобщается и на те неметрические топологические пространства , в которых можно сравнивать окрестности различных точек, например на топологические группы .

Редакция математических наук

Опубликовано 24 августа 2022 г. в 12:03 (GMT+3). Последнее обновление 24 августа 2022 г. в 12:03 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Математика

Области знаний: Функциональный анализ и теория операторов

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Метрическое пространство

Определение 1: Метрическим пространством $$(M, d)$$ называется множество элементов $$x, y,\dots,$$ в котором любой паре элементов $$x, y$$ поставлено в соответствие некоторое число $$d(x,y)$$, называемое метрикой или расстоянием, удовлетворяющее следующим аксиомам:

  1. $$d(x,y) \geqslant 0$$, причем $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y~~\forall x,y \in M$$.
  2. $$d(x,y) = d(y,x)~~\forall x,y \in M$$.
  3. $$d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)~~\forall x,y,z \in M$$.

Вспомогательные определения и утверждения

  • $$M$$ = $$\mathbb,~~d(x,y) = |x-y|$$.
  • $$M$$ = $$\mathbb,~~d(x,y) = \sqrt$$.
  • $$M$$ = $$\mathbb,~~z=x+iy,~~d(z_,z_) = |z_-z_|$$.
  • $$M$$ = $$C[a,b],~~d(f,g) = \max \limits_|f(x) — g(x)|$$.
  • $$M$$ = $$C^k[a,b],~~d(f,g) = \sum \limits_^\max \limits_|f^(x) — g^(x)|$$.
  • $$M$$ = $$L_

    (X,\mu),~~p \geq 1, ~~d(f,g) = ||f-g||_>=(\int \limits_<|f(x)-g(x)|^

    d\mu> )^<\frac

    >$$.

  • $$M$$ = $$L_<\infty>(X,\mu), ~~d(f,g) = ||f-g||_>=\underset>|f(x) — g(x)|$$.
  • $$M$$ = $$l_

    =\<|x_|^

    < \infty>\>,~~p \geq 1, ~~d(x,y) = ||x — y||_> = \sqrt[p]<\sum_^<\infty >|x_-y_|^

    > $$.

  • $$M$$ = $$l_<\infty>=\>|x_n| < \infty \>,~~d(x,y) = \underset>>|x_n — y_n|$$.

Лемма 1. Если $$d$$ $$-$$ метрика, то $$\dfrac$$ $$-$$ тоже метрика.

Доказательство: Из выполнения аксиом 1 и 2 для функции $$d$$ очевидно следует выполнение их и для функции $$\dfrac$$, поэтому достаточно доказать выполнение неравенства треугольника. Пусть $$d = d(x,y), d_1 = d(x,z), d_2 = d(z,y)$$, итак, мы хотим доказать, что выполнено неравенство: \[ \dfrac \leqslant \dfrac + \dfrac, \] что эквивалентно выполнению неравенства: \[ 1-\dfrac \leqslant 2 — \dfrac — \dfrac. \] Достаточно проверить, что \[ \dfrac + \dfrac \leqslant 1 + \dfrac. \] Приведем к общему знаменателю: \[ \dfrac \leqslant \dfrac. \] Данное неравенство верно, если \[ (1+d_1)(1+d_2) \geqslant 1+d_1+d_2, \] что равносильно $$d_1d_2 \geqslant 0$$ $$\blacksquare$$

Определение 2: Последовательность $$\left\\right\>_^<\infty>$$, где все $$x_ \in M$$, называется сходящейся к $$x \in M$$, если $$\lim _ d\left(x_, x\right)=0$$.

Определение 3: Две последовательности $$\left\$$ и $$\left\$$ называются эквивалентными, если $$d\left(x_n, y_n\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$$.

Определение 4: Открытым шаром с центром в точка $$x \in M$$ радиуса $$R>0$$ называется множество $$B(x,R) = \$$.

Определение 5: Множество $$G \subset M$$ называется открытым, если $$\forall x \in G \quad \exists B(x, R) \subset G$$.

Определение 6: Точка $$x \in M$$ называется предельной для множества $$F$$, если $$\ \cap F \neq \varnothing~~\forall R>0$$.

Множество предельных точек множества $$F$$ обозначим через $$F^<\prime>$$.

Определение 7: Замыканием множества $$E$$ называется множество $$\bar=F \cup F^<\prime>$$.

Определение 8: Множество $$F$$ называется замкнутым, если $$\bar=F$$.

Теорема 1. Если $$G$$ $$-$$ открытое, то $$M \backslash G$$ $$-$$ замкнутое; если $$F$$ $$-$$ замкнутое, то $$M \backslash F-$$ открытое.

Доказательство:

Первое $$-$$ от противного: пусть $$x \in(M \backslash G)^<\prime>$$, но $$x \notin M \backslash G$$, тогда $$x \in G$$. Следовательно, $$\exists B(x, R) \subset G$$. Но тогда $$B(x, R) \cap(M \backslash G)=\varnothing$$, что означает, что точка $$x$$ не является предельной для множества $$M \backslash G$$ $$-$$ противоречие.

Второе $$-$$ от противного: пусть $$x \in M \backslash F$$, но нет ни одного шара с центром в точке $$x$$, содержащегося в $$M \backslash F$$, тогда $$\forall R>0\ \cap F \neq \varnothing$$. Таким образом, точка $$x$$ является предельной для множества $$F$$, но не принадлежит ему $$-$$ противоречие. $$\blacksquare$$

Определение 9: Два метрических пространства $$\left(M_1, d_1\right)$$ и $$\left(M_2, d_2\right)$$ называются изометрическими $$\left(M_1 \sim M_2\right)$$, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами этих пространств $$\varphi(\cdot): M_1 \rightarrow M_2$$, и $$ \forall x_1, y_1 \in M_1~~d_1\left(x_1, y_1\right)=d_2\left(\varphi\left(x_1\right), \varphi\left(y_1\right)\right) .$$

Полнота метрического пространства

Определение 10: Метрическое пространство $$M$$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства является сходящейся.

Замечание 1: Последовательность точек $$\left\$$ в метрическом пространстве $$M$$ называется фундаментальной, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb: \forall n, m>N \Rightarrow d\left(x_n, x_m\right)

Замечание 2: Последовательность $$\left\$$ называется сходящейся к пределу $$x \in M$$, если $$ \forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb: \forall n>N ~~d\left(x_n, x\right) x_n=x$$.

Замечание 3: Из сходимости последовательности (существования предела) всегда следует её фундаментальность: $$ d\left(x_n, x_m\right) \leqslant d\left(x_n, x\right)+d\left(x, x_m\right) n, m>N(\varepsilon / 2) . $$

Пример 1: Рассмотрим пространство изолированных точек $$M$$ с дискретной метрикой: $$ d(x,y) = \left\ 1&x \ne y \\ 0&x =y \end\right. $$

Пример 2: Пространства $$\mathbb$$, $$\mathbb^n$$ являются полными.

Пример 3: Пространства $$L_

[0,1]$$, $$l_

$$, $$L_<\infty>[0,1]$$, $$l_<\infty>$$ являются полными.

Пример 4: Пространство $$[a, b],~~\rho(x, y) = |x — y|$$ является полным.

Пример 5: Пространства $$C[a, b]$$ и $$C^[a, b]$$ являются полными. Докажем для $$C[a, b]$$:

Пусть $$\left\: x_n(t) \in C[a, b], \forall n \in \mathbb, t \in[a, b]$$. Предположим, что последовательность $$\left\$$ является фундаментальной в $$C[a, b]$$ : $$ \forall \varepsilon>0 ~~\exists N \in \mathbb: \forall n, m \geqslant N \max _\left|x_n(t)-x_m(t)\right|

Используем критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Следовательно, $$x_n(t) \stackrel<[a, b]> <\Longrightarrow>x(t)$$ для некоторой функции $$x(t), t \in[a, b]$$. По теореме о равномерной сходимости и непрерывности (Если \(\\) $$-$$ последовательность функций, непрерывных на множестве \(E\), и если \(f_n \to f\) равномерно на \(E\), то функция \(f\) непрерывна на множестве \(E\)) следует, что последовательность непрерывных функций равномерно сходится к непрерывной функции. Следовательно, $$x(t) \in C[a, b]$$ (Сходимость в $$C[a, b]$$ $$-$$ это равномерная сходимость).

Следовательно, последовательность $$\left\$$ является сходящейся, и пространство $$C[a, b]$$ $$-$$ полное метрическое.

Пример 6: Приведем пример неполного пространства. Рассмотрим $$X = (0,1],~~\rho(x, y) = |x — y|$$.

Для доказательства неполноты достаточно рассмотреть последовательность $$x_n = \dfrac$$. Из свойств числовых последовательностей она фундаментальна, при этом $$\forall x_0 \in X \Rightarrow x_0 \neq \lim \limits_x_n$$. Следовательно, пространство неполное.

Теорема о вложенных шарах

Приведём одну из фундаментальных теорем функционального анализа.

Теорема 2. Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Доказательство:

Необходимость:

Рассмотрим полное метрическое пространство $$M$$ и последовательность $$B_n$$ вложенных друг в друга замкнутых шаров с центрами $$x_n$$ и радиусами $$r_n:$$ $$B_n = B(x_n, r_n)$$.

Последовательность центров \(x_n\) является фундаментальной, так как $$d(x_n, x_m) < r_n$$, и $$\lim_r_n = 0$$. Так как пространство $$M$$ является полным, то последовательность $$x_n$$ сходится и $$x = \lim_ x_n \in M$$. Шар $$B_n$$ содержит все точки последовательности $$x_n$$ кроме, быть может, точек $$x_1. x_$$, а следовательно $$x$$ — предельная точка для любого из шаров $$B_n$$, так как шары предполагаются замкнутыми, отсюда следует, что $$\forall n : x \in B_n$$. По определению пересечения множеств $$x \in \bigcap_^ <\infty>B_n$$. Таким образом, пересечение шаров $$B_1. B_n. $$ действительно является непустым множеством.

Достаточность:

Пусть $$x_n$$ — фундаментальная последовательность, тогда можно указать такой номер $$n_1$$, что для $$n > n_1$$ будет выполняться неравенство: \[ d(x_, x_n) < \frac. \] Обозначим $$B_1 = B(x_, 1)$$.

Следующий номер $$n_2 > n_1$$ выберем таким образом, чтобы при $$n > n_2$$ выполнялось неравенство: \[ d(x_, x_n) < \frac. \] Обозначим $$B_2 = B\left(x_, 2^\right)$$.

Пусть мы уже выбрали номера $$n_1 < n_2 < . < n_k$$.

Номер $$n_ > n_k$$ выберем так, чтобы при $$n > n_$$ выполнялось неравенство: \[ d(x, x_) < \frac, \] обозначим $$B_ = B\left(x_, 2^ \right)$$.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров, по предположению теоремы эта последовательность имеет общую точку, обозначим эту точку как $$x$$. Очевидно, что эта точка служит пределом последовательности $$x_$$. Фундаментальная последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится к тому же пределу, следовательно $$x = \lim_x_n$$. Так как последовательность взята произвольно, то метрическое пространство $$M$$ является полным. $$\blacksquare$$

Теорема Хаусдорфа о пополнении метрического пространства

Теорема 3. Пусть $$(M, d)$$ $$-$$ произвольное неполное метрическое пространство. Тогда существует единственное (с точностью до изометрии) полное метрическое пространство $$(\tilde, \tilde)$$, такое, что существует $$M_0 \subset \tilde,$$ такое что $$(M_0, \tilde)$$ изометрично $$(M, d)$$.

Доказательство:

Шаг 0: Рассмотрим фундаментальные последовательности $$\left\$$ в метрическом пространстве $$M$$.

Пусть $$\tilde$$ $$-$$ множество классов эквивалентности из эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей.

На $$\tilde$$ введём метрику $$\tilde$$ : $$ \forall X, Y \in \tilde \Rightarrow \tilde(X, Y)=\lim _ d\left(x_n, y_n\right), \text < где >\left\ \in X,\left\ \in Y . $$

Шаг 1: Докажем существование предела последовательности $$\lim _ d\left(x_n, y_n\right):$$

$$ d\left(x_n, y_n\right)-d\left(x_m, y_m\right) \leqslant d\left(x_n, x_m\right)+d\left(x_m, y_m\right)+d\left(y_m, y_n\right)-d\left(x_m, y_m\right)=d\left(x_n, x_m\right)+d\left(y_n, y_m\right) \rightarrow 0, n, m \rightarrow \infty \text <. >$$

Аналогично, $$d\left(x_m, y_m\right)-d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, x_m\right)+d\left(y_n, y_m\right) \rightarrow 0$$.

Следовательно, числовая последовательность $$\left\$$ является фундаментальной, а значит и сходящейся.

Шаг 2: Докажем, что пределы эквивалентных последовательностей равны:

$$ d\left(x_n, y_n\right)-d\left(x_n^<\prime>, y_n^<\prime>\right) \leqslant d\left(x_n, x_n^<\prime>\right)+d\left(x_n^<\prime>, y_n^<\prime>\right)+d\left(y_n^<\prime>, y_n\right)-d\left(x_n^<\prime>, y_n^<\prime>\right)=d\left(x_n, x_n^<\prime>\right)+d\left(y_n, y_n^<\prime>\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty $$

Аналогично доказывается, что

$$ d\left(x_n^<\prime>, y_n^<\prime>\right)-d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, x_n^<\prime>\right)+d\left(y_n, y_n^<\prime>\right) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . $$

Следовательно, определение метрики $$\tilde(X, Y)$$ является корректным (не зависит от конкретной фундаментальной последовательности из класса эквивалентности).

Шаг 3: Проверим, что определение метрики $$\tilde(X, Y)$$ удовлетворяет аксиомам метрики:

  • $$\tilde(X, Y) \geqslant 0, \forall X, Y$$: $$ \tilde(X, Y)=0 \Leftrightarrow \lim _ d\left(x_n, y_n\right)=0 \Leftrightarrow\left\ \sim\left\ \Leftrightarrow X=Y $$
  • $$\tilde(X, Y)=\tilde(Y, X)$$;
  • $$\tilde(X, Y) \leqslant \tilde(X, Z)+\tilde(Z, Y)$$: $$ d\left(x_n, y_n\right) \leqslant d\left(x_n, z_n\right)+d\left(z_n, y_n\right) \Rightarrow \lim _ d\left(x_n, y_n\right) \leqslant \lim _ d\left(x_n, z_n\right)+\lim _ d\left(z_n, y_n\right) . $$

Доказано, что пространство $$\tilde$$ является метрическим.

Пусть $$M_0$$ $$-$$ множество элементов $$X$$, содержащих стационарные последовательности $$\ \in$$ $$X$$, где $$c \in M$$. Тогда $$M \sim M_0$$, так как $$ \forall x \in M \Rightarrow\ \in X, X \in M_0 $$

причём при $$x \neq y, x, y \in M ~~x \sim X, ~~y \sim Y, X \neq Y$$, так как $$d(x, y) \nrightarrow 0$$. При этом $$d(x, y)=\tilde(X, Y)>0$$.

Шаг 4: Докажем, что $$\bar_0=\tilde$$.

$$\forall X \in \tilde$$ рассмотрим последовательность $$\left\ \in X$$. Для каждого $$n=1,2, \ldots \exists X_n \in M_0$$ : $$\left\ \in X_n, \tilde\left(X, X_n\right)=\lim _ d\left(x_m, x_n\right)$$.

Используем фундаментальность $$\left\:$$

$$\forall \varepsilon>0 \exists N \in \mathbb: \forall n, m \geqslant N d\left(x_n, x_m\right) d\left(x_m, x_n\right) \leqslant \varepsilon, \forall n \geqslant N \Rightarrow \tilde\left(X, X_n\right) \leqslant \varepsilon, \forall n \geqslant N$$.

Следовательно, $$X_n \rightarrow X$$, и $$\bar_0=\tilde$$ (замыкание множества $$M_0$$ совпадает с множеством $$\tilde$$ ).

Шаг 5: Докажем полноту $$\tilde$$:

Пусть $$\left\$$ $$-$$ фундаментальная последовательность в $$\tilde$$. Так как $$\bar_0=\tilde$$, то $$ \forall X_n \in \tilde ~~\exists Y_n \in M_0: \tilde\left(X_n, Y_n\right) \leqslant \frac,\left\ \in Y_n . $$

Докажем фундаментальность $$\left\$$ : $$ \tilde\left(Y_n, Y_m\right) \leqslant \tilde\left(Y_n, X_n\right)+\tilde\left(X_n, X_m\right)+\tilde\left(X_m, Y_m\right) \leqslant \frac+\tilde\left(X_n, X_m\right)+\frac \rightarrow 0, n, m \rightarrow \infty . $$

Следовательно, $$\left\$$ фундаментальна. Так как $$\tilde\left(Y_n, Y_m\right)=d\left(y_n, y_m\right)$$, то последовательность $$\left\$$ тоже фундаментальная, и $$X \in \tilde$$.

Докажем теперь сходимость: $$ \tilde\left(X, X_n\right) \leqslant \tilde\left(X, Y_n\right)+\tilde\left(Y_n, X_n\right) \leqslant \lim _ d\left(y_m, y_n\right)+\frac \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . $$

Следовательно, $$X_n \rightarrow X$$, а значит последовательность $$\left\$$ является сходящейся. Значит пространство $$\tilde$$ является полным.

Шаг 6: Докажем единственность $$\tilde$$ с точностью до изометрии:

Пусть существует другое пополнение $$M^*$$ пространства $$M$$. Тогда

$$ \begin M \sim M_0 \subset \tilde, \bar_0=\tilde, \\ M \sim M_1 \subset M^*, \bar_1=M^* . \end $$

Следовательно, $$M_0 \sim M_1$$ (следует из транзитивности понятия изометрии). Соответствие элементов этих множеств в силу изометрии будем обозначать следующим образом:

$$ X \leftrightarrow Y, \quad X \in M_0,~~ Y \in M_1 . $$

Пусть $$X, Y \in \tilde, X, Y \notin M_0$$. Тогда

$$ \begin & \exists X_n, Y_n \in M_0: X_n \rightarrow X, Y_n \rightarrow Y, \\ & X_n \leftrightarrow X_n^* \in M_1, Y_n \leftrightarrow Y_n^* \in M_1, \lim _ X_n^*=X^* \in M^*, \lim _ Y_n^*=Y^* \in M^* . \end $$

Эти соотношения позволяют построить взаимно однозначное соответствие между $$\tilde$$ и $$M^*: X \leftrightarrow X^*$$, $$Y \leftrightarrow Y^*$$. При этом

То есть построена изометрия между $$\tilde$$ и $$M^*$$. $$\blacksquare$$

Список литературы

1. Точилин П. А. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2. Моисеев Е. И. Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Что такое полное метрическое пространство

uchet-jkh.ru

В математике метрическое пространство играет важную роль в изучении различных свойств и отношений между точками. Одним из основных понятий в теории метрических пространств является понятие полноты. Рассмотрим, что означает быть полным метрическим пространством и как это свойство используется в различных примерах.

Полное метрическое пространство — это такое метрическое пространство, в котором любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу пространства. Фундаментальная последовательность — это последовательность точек, в которой расстояние между любыми двумя элементами стремится к нулю при их сколь угодно большом номере в последовательности.

Примером полного метрического пространства является пространство вещественных чисел с метрикой Евклида. В этом пространстве любая фундаментальная последовательность сходится к вещественному числу, что является основой для вывода многих свойств и теорем в анализе и других областях математики.

Понятие полного метрического пространства является одним из центральных понятий в математике и широко используется в различных областях, таких как функциональный анализ, теория вероятностей и геометрия. Полное метрическое пространство позволяет уточнить множество доступных решений и позволяет развивать новые методы и алгоритмы для исследования различных задач и проблем.

Общее понимание и использование понятия полного метрического пространства помогает в изучении и понимании различных математических понятий и связей между ними. Оно позволяет получать более точные и строгие результаты, а также открывает новые возможности в решении сложных задач и проблем.

Метрическое пространство: определение и примеры

Метрическое пространство – это математическая структура, в которой определены понятия расстояния между элементами и открытых и замкнутых множеств.

Метрическое пространство задается конкретным расстоянием – метрикой, которая удовлетворяет следующим условиям:

  1. Положительная определенность: для любого элемента x метрика d(x, y) больше или равна нулю, причем равна нулю только при x = y.
  2. Симметричность: для любых элементов x и y метрика d(x, y) равна метрике d(y, x).
  3. Неравенство треугольника: для любых элементов x, y и z метрика d(x, z) не превосходит сумму метрик d(x, y) и d(y, z).

Примерами метрических пространств являются:

  • Евклидово пространство – пространство всех точек обычной плоскости или пространства со стандартной евклидовой метрикой.
  • Пространство Минковского – пространство, в котором определена метрика, основанная на некотором векторном пространстве с заданной нормой.
  • Метрика Хэмминга – метрика, заданная для двоичных строк фиксированной длины.

Метрические пространства являются базовыми понятиями в математике и находят широкое применение в различных областях, включая анализ, топологию, оптимизацию и машинное обучение.

Что такое метрическое пространство?

Метрическое пространство — это математическая структура, которая позволяет измерять расстояние между элементами. Оно состоит из множества элементов и функции, называемой метрикой, которая определяет, какое расстояние считать между двумя элементами.

Для того чтобы пространство было метрическим, метрика должна обладать несколькими свойствами. Она должна быть неотрицательной, то есть расстояние между элементами всегда неотрицательно. Также метрика должна быть симметричной, то есть расстояние между элементами A и B должно быть таким же, как расстояние между B и A. Кроме того, метрика должна удовлетворять неравенству треугольника, которое означает, что расстояние между элементами A и C не может быть больше, чем сумма расстояний между A и B, и между B и C.

Метрические пространства широко применяются в различных областях математики и физики. Они являются основой для таких понятий, как сходимость, непрерывность и сходимость по метрике. Примерами метрических пространств являются евклидово пространство, манхэттенское пространство и пространство Чебышева.

Определение метрического пространства

Метрическое пространство – это математическое понятие, которое позволяет измерять расстояние между элементами некоторого множества. Оно состоит из множества элементов (точек) и функции расстояния, называемой метрикой.

Метрика определяет способ измерения расстояния между элементами множества и должна удовлетворять следующим свойствам:

  1. Неотрицательность: расстояние между любыми двумя элементами не может быть отрицательным.
  2. Тождественность: расстояние между двумя элементами равно 0 тогда и только тогда, когда они совпадают.
  3. Симметричность: расстояние между элементами A и B равно расстоянию между элементами B и A.
  4. Неравенство треугольника: расстояние между элементами A и C не может быть больше суммы расстояний между элементами A и B, и между элементами B и C.

Метрическое пространство является частным случаем топологического пространства и подробно изучается в математическом анализе и теории множеств.

Математическая формула метрики

Метрика определяет расстояние между двумя точками в полном метрическом пространстве. Математическая формула для метрики часто записывается с использованием символа d:

Для метрики вещественных чисел:

Пусть x, y — вещественные числа. Метрика d(x, y) определяется как:

Для метрики на плоскости E^2:

Пусть A(x1, y1), B(x2, y2) — точки на плоскости E^2. Метрика d(A, B) определяется как:

d(A, B) = sqrt((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)

Для метрики в n-мерном пространстве E^n:

Пусть A(x1, x2, …, xn), B(y1, y2, …, yn) — точки в n-мерном пространстве E^n. Метрика d(A, B) определяется как:

d(A, B) = sqrt((x1 — y1)^2 + (x2 — y2)^2 + … + (xn — yn)^2)

В этих формулах |x — y| обозначает абсолютную разность между числами x и y.

Однако, в полном метрическом пространстве может существовать и другой вид метрики, не обязательно использующей формулы выше. Важно, чтобы метрика удовлетворяла всем свойствам полного метрического пространства.

Примеры метрических пространств

Метрическое пространство – это математическая структура, в которой определено понятие расстояния между элементами. Вот несколько примеров метрических пространств:

  1. Евклидово пространство. Это наиболее знакомый и широко используемый тип метрического пространства. В евклидовом пространстве расстояние между двумя точками вычисляется с помощью формулы длины вектора. Например, в трехмерном пространстве расстояние между точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) равно √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2).
  2. Манхэттенское пространство. В этом типе метрического пространства расстояние между двумя точками вычисляется как сумма модулей разностей их координат. Это часто используется, когда важно учитывать только горизонтальное и вертикальное перемещение. Например, в двумерном манхэттенском пространстве расстояние между точками (x1, y1) и (x2, y2) равно |x2-x1| + |y2-y1|.
  3. Дискретное пространство. В дискретном метрическом пространстве расстояние между любыми двумя точками всегда равно 0 или 1. Например, в пространстве расстояние между точками 1 и 3 равно 2, а расстояние между точками 2 и 2 равно 0.
  4. Метрика Чебышева. В данном типе метрического пространства расстояние между двумя точками вычисляется как наибольшая разность их координат. Это используется, когда важно учитывать все возможные направления перемещения. Например, в двумерном пространстве расстояние между точками (x1, y1) и (x2, y2) равно max(|x2-x1|, |y2-y1|).

Евклидово пространство

Евклидово пространство — это один из наиболее известных видов полных метрических пространств. В евклидовом пространстве можно определить длину вектора и расстояние между двумя точками.

Основные характеристики евклидового пространства:

  • Пространство имеет конечное или бесконечное число измерений.
  • Для каждой точки в пространстве можно указать ее координаты.
  • Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле, полученной из теоремы Пифагора.
  • Можно определить скалярное произведение векторов, что позволяет вычислять углы между ними.

Примеры евклидовых пространств:

  1. Двумерное пространство — пространство, в котором можно задать две координаты для точек. Это пространство широко используется в геометрии и физике для моделирования движения тел.
  2. Трехмерное пространство — пространство, в котором можно задать три координаты для точек. Оно используется для моделирования объектов в трехмерной графике и в физике.
  3. Пространство функций — пространство, в котором функции рассматриваются как векторы. Это пространство используется в математическом анализе и теории управления.

Евклидово пространство имеет множество применений в различных областях науки и техники. Оно является важным инструментом для изучения геометрии, физики, математического анализа и многих других дисциплин.

Манхэттенское расстояние

Манхэттенское расстояние, или также называемое городское расстояние, является одним из способов измерения расстояния между двумя точками в метрическом пространстве. Оно названо так в честь города Манхэттен, где улицы расположены в виде прямоугольной сетки.

Манхэттенское расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) в двумерном пространстве определяется следующим образом:

Расстояние Формула
Манхэттенское расстояние |x2 — x1| + |y2 — y1|

Для вычисления манхэттенского расстояния необходимо найти разность координат по каждой оси и сложить их по модулю. Полученная сумма будет являться манхэттенским расстоянием между двумя точками.

  • Точка A: (1, 2)
  • Точка B: (4, 6)

Манхэттенское расстояние между точками A и B составляет |4 — 1| + |6 — 2| = 3 + 4 = 7.

Манхэттенское расстояние является обобщением простого манхэттенского расстояния на n-мерное пространство. В n-мерном пространстве манхэттенское расстояние между двумя точками (x1, x2, …, xn) и (y1, y2, …, yn) определяется следующим образом:

Расстояние Формула
Манхэттенское расстояние |x1 — y1| + |x2 — y2| + … + |xn — yn|

Манхэттенское расстояние широко используется в различных областях, включая маршрутизацию сетей, оптимизацию планирования и компьютерное зрение.

Метрическое пространство дискретной метрики

Дискретная метрика является одним из примеров метрического пространства. Она определяется на произвольном множестве путем «разбивания» его на отдельные точки, которые могут быть связаны только сами с собой. Таким образом, расстояние между двумя точками в дискретной метрике может быть равно 0 или 1. Если точки разные, то расстояние будет равно 1, в противном случае, если точки совпадают, расстояние будет равно 0.

Дискретная метрика особенно полезна для описания ситуаций, когда имеется конечное множество точек или множество точек, которые не могут быть непрерывно связаны друг с другом. Например, дискретная метрика может быть использована для описания множества всех целых чисел или множества всех букв алфавита.

Приведем пример метрического пространства дискретной метрики на множестве :

Метрическое расстояние a b c d
a 0 1 1 1
b 1 0 1 1
c 1 1 0 1
d 1 1 1 0

В данном примере, расстояние между двумя точками равно 0, если эти точки совпадают, и равно 1, если точки разные.

Дискретная метрика является простым примером метрического пространства, но в то же время она имеет свою ценность и применение в различных областях математики и компьютерных наук.

Вопрос-ответ

Что такое полное метрическое пространство?

Полное метрическое пространство — это такое метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел. Другими словами, в полном метрическом пространстве нет «пропусков» или «дыр», и все последовательности сходятся к определенной точке.

Какими свойствами должно обладать метрическое пространство, чтобы быть полным?

Для того чтобы метрическое пространство было полным, оно должно удовлетворять двум основным свойствам: свойству Канторовича (любая вложенная последовательность отрезков имеет непустое пересечение) и свойству Больцано-Вейерштрасса (любая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность).

Какие примеры полных метрических пространств существуют?

Примерами полных метрических пространств являются евклидово пространство, банахово пространство, гильбертово пространство и многие другие. Например, пространство вещественных чисел с обычной евклидовой метрикой является полным метрическим пространством.

Чем полное метрическое пространство отличается от неполного?

Основное отличие между полным и неполным метрическим пространством заключается в том, что в полном метрическом пространстве каждая фундаментальная последовательность имеет предел, тогда как в неполном метрическом пространстве некоторые последовательности могут не иметь предела. Это позволяет полным метрическим пространствам быть более «заполненными» и «полными» по сравнению с неполными пространствами.

Можно ли привести пример неполного метрического пространства?

Да, существуют примеры неполных метрических пространств. Например, пространство рациональных чисел с обычной евклидовой метрикой является неполным метрическим пространством. Некоторые последовательности рациональных чисел не имеют предела в этом пространстве, например, последовательность десятичных приближений к числу √2.

Полное пространство

Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство X=(X,\rho)можно вложить в полное пространство Yтаким образом, что метрика Yпродолжает метрику X, а подпространство Xвсюду плотно в Y. Такое пространство Yназывается пополнением Xи обычно обозначается \bar X.

Построение

Для метрического пространства X=(X,\rho), на множестве фундаментальных последовательностей в Xможно ввести отношение эквивалентности

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_<n></p>
<p>, y_n)=0.» width=»» height=»» /></p>
<p><img decoding=

Множество классов эквивалентности с метрикой, определённой

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_<n></p>
<p>, y_n),» width=»» height=»» /></p>
<p>является метрическим пространством. Само пространство <img decoding=изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x\in Xсоответствует класс постоянной последовательности x_n=x. Получившееся пространство (\bar X,\bar \rho)и будет пополнением X.

Свойства

M

  • Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
  • Пополнение метрического пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
  • Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
  • Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
  • Критерий компактности метрического пространства: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
  • Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.

Примеры

Полные пространства

  • » width=»» height=»» /> — пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае » width=»» height=»» /> носит особое название .
  • Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
  • Любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.
  1. В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.

Неполные пространства

  • Рациональные числа \mathbb<Q>» width=»» height=»» /> со стандартным расстоянием <img decoding=являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел \mathbb<R>» width=»» height=»» />.</li>
<li>Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел<img decoding=.
  • Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

X

  • Если имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература

  • Зорич В.А. «Математический анализ», т.2, гл.IX, §5.
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *