Что такое инъективное отображение
Перейти к содержимому

Что такое инъективное отображение

  • автор:

Виды отображений

Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в множество %%Y%%.

Инъективное отображение

Отображение %%f%% называется инъективным,

если для любых элементов %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, следует, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Другими словами, отображение %%f%% инъективно, если образы различных элементов из %%X%% также различны.

Пример

Функция %%f(x) = x^2%%, определенная на множестве %%\mathbb%%, не является инъективной, так как при %%x_1 = -1, x_2 = 1%% получаем одно и тоже значение функции %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Сюръективное отображение

Отображение %%f%% называется сюръективным, если для всякого элемента %%y \in Y%% существует элемент %%x \in X%% с условием, что %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X : f(x) = y. $$

Другими словами, отображение %%f%% сюръективно, если каждый элемент %%y \in Y%% является образом хотя бы одного элемента %%x \in X%%.

Пример

Отображение %%f(x) = \sin(x)%%, определенное на множестве %%\mathbb R%%, с множеством %%Y = [-2,2]%% не является сюръективным, т.к. для элемента %%y = 2 \in Y%% нельзя найти прообраз %%x \in X%%.

Биективное отображение

Отображение %%f%% называется биективным, если оно инъективно и сюръективно. Биективное отображение также называется взаимно однозначным или преобразованием.

Обычно, словосочетания «инъективное отображение», «сюрьективное отображение» и «биективно отображение» заменяют на «инъекция», «сюръекция» и «биекция» соответственно.

Обратное отображение

Пусть %%f: X \to Y%% — некоторая биекция и пусть %%y \in Y%%. Обозначим через %%f^(y)%% единственный элемент %%x \in X%% такой, что %%f(x) = y%%. Тем самым мы определим некоторое новое отображение %%g: Y \to X%%, которое снова является биекцией. Ее называют обратным отображением.

Пример

Пусть %%X, Y = \mathbb R%% — множество действительных чисел. Функция %%f%% задана формулой %%y = 3x + 3%%. Имеет ли данная функция обратную? Если да, то какую?

Для того чтобы узнать имеет ли данная функция обратную ей, необходимо проверить является ли она биекцией. Для этого проверим является ли данное отображение инъективным и сюръективным.

  1. Проверим инъекцию. Пусть %%x_1 \neq x_2%%. Проверим, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, то есть %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Предположим противное, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Тогда получается, что %%x_1 = x_2%%. Получили противоречие, т.к. %%x_1 \neq x_2%%. Следовательно, .
  2. Проверим сюръекцию. Пусть %%y \in Y = \mathbb%%. Найдем элемент %%x \in X = \mathbb%% c условием, что %%f(x) = y%%, то есть %%3x + 3 = y%%. В данном равенстве задан элемент %%y \in \mathbb%% и нужно найти элемент %%x%%. Очевидно, что $$ x = \frac\text < и >x \in \mathbb R $$ Следовательно, отображение %%f%% сюръективно.

Так как %%f%% — инъекция и сюръекция, то %%f%% — биекция. И, соответственно, обратным отображением является %%x = \frac%%.

Инъективное отображение

F:X\to Y

Отображение называется инъекцией (или вложением, или взаимно однозначным отображением в множество Y ), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y .

F(x)=F(y) \Rightarrow x=y

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы (). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе с сюръективностью).

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть F:X\to Yинъективно, если существует G:Y\to Xтакое, что G\circ F=\operatorname<id>_X» width=»» height=»» />.</p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 9theinternet -->
<script src=

Примеры

  1. F:\R_<&gt;0>\to\R,\;F(x)=\lg x» width=»» height=»» /> — инъективно.</li>
<li><img decoding=— инъективно.
  2. F:\R\to\R_+,\;F(x)=x^2— не является инъективным ( F( — 2) = F(2) = 4 ).

См. также

Литература

  • Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004—336 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Инъекция (в математике)

Математика

Инъе́кция (инъективное отображение, вложение) множества A A A в множество B B B , отображение f : A → B f : A\to B f : A → B , при котором различные элементы из A A A имеют различные образы в B B B . Инъекцию называют также взаимно однозначным отображением множества A A A в множество B B B , или вложением.

О. А. Иванова. Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1979.

Опубликовано 24 мая 2023 г. в 20:27 (GMT+3). Последнее обновление 24 мая 2023 г. в 20:27 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Математика

Области знаний: Теория множеств Другие наименования: Инъективное отображение; вложение

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Отображения

[math] f: A \rightarrow B [/math] — отображение из [math]A[/math] в [math]B[/math] .

Определение:
Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.

Отображение состоит из трех объектов: множества A(откуда), множества B(куда) и правила f(как).

Связанные понятия

[math] f : A \rightarrow B [/math] [math] C \subset A [/math] [math] g : C \rightarrow B [/math] [math] \forall c \in C : g(c) = f(c) [/math]

Тогда, g — сужение f на C, [math] g = f \big|_C [/math]

[math] A = D(f) [/math] — область определения f

[math] R(f) = \ < b | b = f(a), a \in A \>[/math] — область значений f

[math] C \subset A ; f(C) = \ [/math] — образ множества C при отображении f

[math] D \subset B ; f^(D) = \ < a| a \in A, f(a) \in D \>[/math] — прообраз множества D при отображении f

Определение:
Отображение [math]f^: B \rightarrow A[/math] называется обратным отображением для f.

Термины «прямое» и «обратное» отображения взаимны.

Свойства отображений

Инъективное отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:

[math] \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) [/math]

Сюръективное отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:

[math] \forall b \in B: \exists a : b = f(a) [/math]

Биективное отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

См. также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *