Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражения
Перейти к содержимому

Что из нижеперечисленного является формулой линейного выражения

  • автор:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка, линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка — определение.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка записывают как:

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

,

а линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка записывают как:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

,

где функции f(x), p(x) и q(x) являются непрерывными на интервале интегрирования X.

Для понимания того, в каком виде необходимо искать общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений и линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка необходимо сформулировать 2 теоремы:

Общее решениее y0 ЛОДУ Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравненияна интервале X с непрерывными коэффициентами инейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамина X — линейная комбинация n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения инейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамис произвольными постоянными коэффициентами инейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. инейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общим решением y ЛНДУ Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравненияна интервале X с непрерывными на этом же промежутке X коэффициентами Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравненияи функцией f(x) является суммой частного решения исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения, где y0 — является общим решением решаемого линейного однородного дифференциального уравнения Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения, а формула— является любым частным решением заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

  • y0=C1⋅y1+C2⋅y2 — является общим решением ЛОДУ Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ), где y1 и y2 – являются его линейно независимыми частные решения,
  • а формула— является общим решением ЛНДУ линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка, где формула— является любым из частных решений уравнения, а y0— является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

формула

Теперь рассмотрим методы определения y1, y2 и .

В самых элементарных примерах эти функции вычисляются методом подбора. Линейно независимые функции y1 и y2 чаще всего определяют из наборов:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

Проверить линейную независимость функций y1 и y2 можно при помощи определителя Вронского:

определитель вронского линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

.

Если функции линейно независимы на интервале X, значит, определитель Вронского не равен нулю для всех x из промежутка X.

Например, функции y1 = 1 и y2 = x являются линейно независимыми для всех действительных значений x, потому что

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

.

Функции y1 = sinx и y2 = cosx тоже являются линейно независимыми на R, потому что

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

А функции y1 = — x — 1 и y2 = x + 1 являются линейно зависимыми на интервале (-∞; +∞), потому что

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

формула

В общем случае определение функций y1, y2 и методом подбора достаточно сложно и зачастую невозможно.

Если удастся подобрать нетривиальное (не равное нулю) частное решение y1 линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка, тогда общее решение этого уравнения можно найти методом понижения степени уравнения до первой при помощи подстановки линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка.

Разберем метод на примере.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

Необходимо вычислить общее решение ЛОДУ 2-го порядка .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Хорошо видно, что y1 = x оказывается частным решением исходного уравнения при x не равном нулю. Понижаем степень заданного ЛОДУ используя замену

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

откуда .

Вспоминая правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, получаем

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

Интегрируем обе части равенства:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

произведя потенцирование, записываем общее решение исходного уравнения

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

,

где С – является произвольной постоянной.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

Т.к. мы принимали , то общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается как:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

,

линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка

где F(x) является одной из первообразных функции .

В элементарных функциях первообразная F(x) не выражается.

Решая ЛНДУ второго порядка линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка, если получилось вычислить y1 и y2, тогда можно не подбирать формула. В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно найти варьируя произвольные постоянные.

Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть так:

Варьируя произвольные постоянные, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем

Производные неизвестных функции C1(x) и C2(x) вычисляются из системы уравнений

линейного однородного дифференциального уравнения

,

а функции C1(x) и C2(x) вычисляются при дальнейшем интегрировании.

  • Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядкаЛинейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)определяется как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 – являются его линейно независимыми частными решениями. Частные решения y1 и y2 находятся методом подбора (зачастую из известных систем линейно независимых функций). y1 и y2 подобрать получается не всегда, поэтому, находить общее решение ДУ Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)не всегда возможно. Если одно частное решение y1 определено, тогда порядок уравнения можно снизить до первого при помощи замены линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка. Общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка получают решив это уравнение.
  • Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядкалинейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядкаопределяется как формула, где формула— является любым его частным решением, а y0 — является общим решением заданного линейного однородного дифференциального уравнения. Тогда, первым шагом, вычисляется y0 — общее решение ЛОДУ Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)(если это возможно), после этого производится подбор формула(если получится). Либо для начала производится подбор y1 и y2, а общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения вычисляется путем вариации произвольных постоянных.

Функция в математике — определение, свойства и примеры с решением

Функция — одно из важнейших понятий математики, она даёт возможность исследовать и моделировать не только состояния, но и процессы. Исследование процессов и явлений с помощью функций — один из основных методов современной науки. Вы будете изучать функции во всех последующих классах и в высших учебных заведениях.

Содержание:

  1. Что такое функция
    1. Областью определения функции, которая задаётся многочленом
    2. График функции
    3. Линейная функция её свойства и график
    4. Свойства и графики основных видов функций
      1. Линейная функция y=kx+b
      2. Функция y=k/x (k ≠ 0)
      3. Функция y=ax2 (a ≠ 0)
      4. Квадратичная функция y=ax2+bx+c(a ≠ 0).
      5. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций
      6. Построение графика функции y=-f(x)
      7. Построение графика функции y=f(x-a)
      8. Построение графика функции y=f(x)+b
      9. Построение графика функции y=kf(x)
      10. Построение графика функции y=f(ax)
      1. Понятие обратной функции
      2. Свойства обратной функции
      3. Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции y=f(x)
      1. Функция y=f(x)
      2. Способы задания функции
        1. Более лёгкое объяснение способов задания функции
        2. Разные способы задания функции
        3. Аналитический способ задания функции
        4. Словесный способ задания функции
        5. Табличный способ задания функции
        6. Графический способ задания функции
        1. Определение важнейших свойств функции
        2. Нули функции
        3. Промежутки знакопостоянства функции
        4. Монотонность функции
        5. Четные и нечетные функции
          1. Чётные функции
          2. Нечетные функции
          3. Построение графиков функций y=f(x)±b, y=f(x±a)
          1. График линейной функции
            1. Угловой коэффициент в функции
            2. Свойства линейной функции y=kx+b.
            3. Функция y=kx
            4. Точки пересечения графиков функций
            5. Взаимное расположение графиков линейных функций
            1. Понятие функции в высшей математике
            2. Способы задания функции в высшей математике
              1. Аналитический способ задания функции
              2. Табличный способ задания функции
              3. Графический способ задания функции
              4. Кусочное задание функции
              5. Степенная функция y=xn (n∈N)
              1. Понятие множества
              2. Абсолютная величина действительного числа
              3. Понятие числовой последовательности
              4. Сходящиеся последовательности
              5. Основные свойства сходящихся последовательностей
              6. Бесконечный предел
              7. Замечательные пределы
              8. Принцип сходимости
              1. Односторонние пределы
              2. Пределы на бесконечности
              3. Бесконечные пределы
              1. Непрерывность композиции функции
              2. Tочки разрыва функции в высшей математике
              1. Обратная функция в высшей математике
              2. Понятие элементарной функции в высшей математике
              3. Сложные функции в высшей математике
              4. Классификация функций
              5. Преобразование графиков
              1. Применении таблиц функций
              1. Область существования функции
              2. Функция от функции, или сложная функция
              3. Приращение функции
              1. Всё о определении функции
              2. Простейшие функциональные зависимости
                1. Прямая пропорциональная зависимость
                2. Линейная зависимость
                3. Обратная пропорциональная зависимость
                4. Квадратичная зависимость
                5. Синусоидальная зависимость
                6. Понятие функции от нескольких переменных
                7. Понятие неявной функции
                8. Понятие обратной функции
                9. Классификация функций одного аргумента
                1. Степенная функция
                2. Радикал
                3. Показательная функция
                4. Логарифмическая функция
                5. Тригонометрические функции
                6. Обратные тригонометрические функции
                7. Интерполирование функций
                1. Символическая запись функции
                2. Понятие функции в математическом анализе
                3. Функция и её предел в математическом анализе
                  1. Основные теоремы о пределах
                  1. Четность и нечетность функции
                  2. Монотонность
                  3. Ограниченность
                  4. Периодичность функции
                  5. Нули функции
                  6. Наибольшее (наименьшее) значение функции
                  1. Простейшая классификация функций
                  2. Композиция функций и обратное отображение
                  3. Сужение функции
                  1. Монотонные функции
                  1. Обратная функция в математическом анализе
                  2. Сложная функция в математическом анализе

                  Функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

                  В различных процессах, которые происходят в природе, можно увидеть, как одни величины изменяются в зависимости от других. Например, путь, пройденный пешеходом, зависит от времени, стоимость покупки зависит от её количества. Путь и время, стоимость и количество, переменные величины. Одна из этих величин независимая, другая изменяется в зависимости от первой. Так, время является независимой переменной, путь — величина, зависимая от времени, количество купленного товара — независимая величина, стоимость покупки зависит от количества. Понятно, что каждая из переменных величин принадлежит какому-то определённому множеству.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если каждому элементу х из множества X, по определённому правилу ставится в соответствие определённое и единственное значение у из множества У, то такое соответствие называется функцией. Здесь х называется независимой переменной или аргументом, а у зависимой переменной или функцией. Обычно функцию обозначают так

                  Множество значений, которые может принимать аргумент, называется областью определения и обычно обозначается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммножество значений, которая может принимать функция для заданных значений переменной, называется множеством значений функции (областью значений) и обычно обозначается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Подробное объяснение функции:

                  Напомним, что зависимость переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемот переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается функцией, если каждому значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  В курсе алгебры и начал анализа пользуются определением числовой функции.

                  Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз множества D ставится в соответствие единственное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Понятие числовой функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Числовой функцией с областью определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается зависимость, при которой каждому числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(области определения) ставится в соответствие единственное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Записывают это соответствие так:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Обозначения и термины:

                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— область определения
                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— область значений
                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— аргумент (независимая переменная)
                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— функция (зависимая переменная)
                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— функция
                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЧисло Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствующее числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(на рисунке к пункту 1 табл. 3 это показано стрелкой), называют значением функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— это множество тех значений, которые может принимать аргумент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Она обозначается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— это множество, состоящее из всех чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринадлежит области определения. Ее обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

                  Например, если функция задана формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то ее область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема область значений: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Иногда функция может задаваться разными формулами на разных множествах значений аргумента. Например,

                  Функцию можно задать не только с помощью формулы, но и с помощью таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке графически задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс областью определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми множеством значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается множество всех точек координатной плоскости с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением где первая координата Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением«пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значение, которое принимает функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв некоторой точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммножества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим на этом множестве), если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. То есть для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(соответственно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля наименьшего значения).

                  Иногда это записывают так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(соответственно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). Например, для м функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, графически заданной на отрезке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна рисунке 16, наименьшее значение равно 1, а наибольшее — 4. То есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Что такое функция

                  Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Каждому значению длины стороны квадрата соответствует единственное значение его площади (рис. 53).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Масса куска мела зависит от его объёма. Каждому значению объёма V куска мела соответствует единственное значение его массы m.

                  Каждому значению массы груза, подвешенного на пружине, соответствует определённая длина пружины (рис. 54).

                  Каждому значению температуры воздуха t соответствует единственное значение высоты h столбика жидкости в термометре.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Каждому значению переменной х соответствует единственное значение выражения 2х — 1.

                  Примеров зависимостей и соответствий между переменными можно привести много» Для науки и практики важно уметь исследовать такие соответствия. Их называют функциональными соответствиями, или функциями.

                  В рассмотренных примерах речь идёт о связи между двумя переменными. Одну из них, значения которой выбирают произвольно, называют независимой переменной, или аргументом. Другую переменную, зависящую от аргумента, называют зависимой переменной, или функцией.

                  Независимыми переменными (аргументами) в приведённых выше примерах являются: длина стороны квадрата, объём куска мела, масса груза, температура воздуха. Их значения можно выбирать произвольно. Зависимыми переменными будут: площадь квадрата, масса мела, длина пружины, высота столбика жидкости в термометре.

                  Если каждому значению переменной х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной у, то переменную у называют функцией от х.

                  При таких условиях переменную х называют аргументом функции у, множество D — областью определения функции, а соответствие между х и у — функциональным соответствием, или функцией.

                  Все значения, которые может принимать аргумент функции, — её область определения. А все соответствующие значения функции — область значений функции (Е).

                  Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а. Здесь S — функция, а — аргумент. Область определения этой функции — множество всех положительных чисел.

                  Высота h столбика жидкости в термометре — функция от температуры t. Здесь h — функция, t — аргумент. Пусть, например, на протяжении суток температура воздуха повышалась от -5° до 7°, а высота столбика жидкости в термометре — от 20 до 32 см. Этому изменению соответствует некая функция, областью определения которой является промежуток от -5° до 7°, а областью значений — промежуток от 20 до 32 см.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Задавать функциональные соответствия можно разными способами. Часто их задают формулами. Например, соответствие между длиной а стороны квадрата и -его площадью S можно задать формулой

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Соответствие между радиусом окружности r и её длиной С можно задать формулой

                  Соответствие между значениями переменной х и значениями у выражения 2х — 1 можно задать формулой у = 2х — 1.

                  Задание функции формулой удобно, так как это даёт возможность находить значение функции для произвольного значения аргумента. Такое задание функции довольно экономно: в основном формула занимает одну строку.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если функцию задают формулой и ничего не говорят об области её определения, то считают, что эта область — множество всех значений переменной, при которых формула имеет смысл. Например, область определения функции у = 2х-1 — множество всех чисел, а функции — множество всех чисел, кроме 1, так как на 0 делить нельзя.

                  Областью определения функции, которая задаётся многочленом

                  Областью определения функции, которая задаётся многочленом с одной переменной, есть множество всех чисел.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Задавать функции можно и в виде таблицы. Например, функцию у = 2х — 1 для первых десяти натуральных значений х можно задать в виде такой таблицы.

                  • область определения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10;
                  • область значений: 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17,19.

                  Табличный способ задания функции удобен тем, что для определённых значений аргумента в таблицу уже занесены соответствующие значения функции, поэтому не нужно проводить вычисления. Неудобен он тем, что таблица занимает больше места. Вдобавок, как правило, содержит значения функции не для всех значений аргумента, а только для некоторых.

                  Функцию можно задавать и словесно. Например, если каждому целому числу поставить в соответствие его квадрат, то получим функцию, областью определения которой является множество целых чисел, а областью значений — множество квадратов натуральных чисел и число 0.

                  Слово функция имеет и другое значение: деятельность, выполнение. Например, говорят о функциях старосты класса, функции печени в организме человека.

                  И слово аргумент нередко используют в другом значении. В логике под словом аргумент понимают доказательство, основание, на основе которого устанавливают истинность или ошибочность того или иного суждения.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Обратите внимание на соотношение понятий «функциональная зависимость» и «функциональное соответствие» (рис. 55). Из рисунка видно, что существуют соответствия, не являющиеся зависимостями. Например, формулы задают функции, но в них переменные у не зависят от х.

                  На координатной прямой кроме точек с рациональными координатами существует множество таких точек, координаты которых — числа не рациональные. Их называют иррациональными.

                  Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел (R). Подробнее с действительными числами и их свойствами вы ознакомитесь в 8 классе. А пока, имея в виду множество действительных чисел, будем использовать термин «все числа».

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №1

                  Найдите значения функции, заданной формулой у = 2х + 7, соответствующие таким значениям аргумента: 0; 4; 0,8; — 125; 105. Результаты сведите в таблицу.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №2

                  Найдите область определения функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  а)Формула, с помощью которой задаётся функция, — многочлен, а потому область её определения — множество всех чисел;

                  б)переменная х может иметь любые значения, кроме тех, при которых знаменатель дроби Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемравен нулю. Чтобы их найти, решим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Итак, область определения функции — множество всех чисел, кроме х = 3, х = -3.

                  График функции

                  Проведём на плоскости две перпендикулярные координатные прямые х и у, пересекающиеся в начале отсчёта — точке О (рис. 60).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Плоскость, на которой заданы такие координатные прямые, называют координатной плоскостью, прямую х — осью абсцисс, прямую у — осью ординат, точку О — началом координат.

                  Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел. Например, точке А соответствует пара (3; 2), так как прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемперпендикулярная оси х, пересекает её в точке с координатой 3, а прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемперпендикулярная оси у, пересекает её в точке с координатой 2 (рис. 61). Говорят, что точка А имеет координаты 3 и 2. Записывают: А (3; 2). Здесь 3 — абсцисса, 2 — ордината точки А. Первой всегда пишут абсциссу. Начало координат — О (0; 0).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Каждой паре чисел на координатной плоскости соответствует единственная точка. На рисунке 61 показано, как обозначить, например, точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПусть имеем функцию у- 2х-3, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСоставим таблицу значений этой функции для целых значений аргумента.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Нанесём на координатную плоскость точки, координаты которых представлены в этой таблице. Абсциссы точек равны значениям аргумента x; данной функции, а-ординаты — соответствующим значениям функции у, то есть А (- 1; — 5), В (0; — 3) и т. д. Получим 7 точек (рис. 62, а), все они лежат на одной прямой.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Дадим аргументу х ещё несколько дробных значений и вычислим соответствующие им значения функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Дополним рисунок 62, а точками, координаты которых представлены в этой таблице (рис. 62, б). Они также размещены на той же прямой. Если придавать аргументу х другие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми обозначать на координатной плоскости соответствующие точки, то эти точки образуют отрезок (рис. 62, в). Этот отрезок — график функции у = 2x — 3. Её область определения — промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема область значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если построенный отрезок мысленно продолжить в обе стороны, то получим прямую. Эта прямая — график функции, заданной той же формулой (у = 2х — 3), но на множестве всех чисел (рис. 63).

                  Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, ординаты — соответствующим значениям функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если описанным способом построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемусловии, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто получим кривую линию, изображённую на рисунке 64.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Имея график функции, можно для любого значения аргумента (из области определения) указать соответствующее значение функции. Для примера найдём значение функции на графике находим точку М с абсциссой 4, а на оси ординат — ординату точки М; она равна 1,5. Следовательно, пользуясь графиком функции, можно составить таблицу её значений, то есть график задаёт функцию. Графический способ задания функции удобен своей наглядностью. Видя перед собой график, можно сразу выяснить свойства функции, заданной им. В частности, можно установить такие её характеристики:

                  • область определения и область значений функции;
                  • при каких значениях аргумента значения функции положительны, при каких — отрицательны, при каких — равны нулю;
                  • на каких промежутках функция возрастает, а на каких — убывает.

                  Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей, если большему-значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

                  В современной математике функции играют важную роль. Их часто используют для создания математических моделей разных процессов, явлений. Когда растёт ребенок, то изменяются его рост, объём, масса; когда взлетает самолёт — изменяются его скорость, расстояние от поверхности земли, масса горючего в баках; когда строят высотный дом — изменяются его высота, масса, стоимость и т. п. Все такие процессы (а их — миллиарды) удобно моделировать с помощью функций. Функция — математическая модель реальных процессов. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.

                  Существуют приборы, сами вычерчивающие графики функций: барографы, термографы, кардиографы и т. п. Например, кардиограф чертит график-кардиограмму (рис. 65), характеризующий работу сердца. Прибор термограф отмечает изменение температуры за сутки, неделю, месяц. Специалистам надо уметь читать такие графики.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №3

                  Является ли графиком функции линия, изображённая на рисунке 66?

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  На данной линии есть три разных точки с абсциссами 4. Если бы такая функция у от аргумента х существовала, то одному значению х = 4 соответствовали бы три разных значения функции. По определению функции такого быть не может.

                  Ответ. Данная линия не является графиком функции.

                  Пример №4

                  Определите, принадлежат ли графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемточки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Если точка принадлежит графику функции, то её координаты должны удовлетворять равенство, задающее данную функцию. Проверим это для каждой точки А, В, С и D этого графика.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Подставим координаты точки А (-4; -4) в равенство

                  Имеем: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, точка А принадлежит графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Для точки

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значит, точка В не принадлежит графику функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Для точки точка С принадлежит графику.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Для точки

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  точка D принадлежит графику.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Ответ. Точки А, В и D принадлежат графику функции а точка В не принадлежит этому графику.

                  Линейная функция её свойства и график

                  Многие функции, которые приходится исследовать, можно задать формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— данные числа. Например, если масса пустой бочки равна 30 кг, а плотность бензина — Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто зависимость между массой m бочки с бензином и объёмом V л бензина в ней можно выразить формулой m = 0,8V+ 30.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если масса 1 м провода равна 50 г, а катушки без провода — 200 г, то зависимость между массой m. катушки с проводом и длиной l м намотанного на неё провода можно выразить формулой (рис. 76). Такие функции называют линейными.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Линейною называют функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где х — аргумент, k и b — данные числа.

                  Рассмотрим две линейные функции, заданные формулами

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  на множестве всех чисел (R). Описанным в предыдущем параграфе способом построим графики данных функций (рис. 77 и 78).

                  Видим, что график каждой из приведённых функций — прямая. Можно обобщить примеры и доказать такое утверждение.

                  График каждой линейной функции — прямая. И каждая прямая на координатной плоскости, не перпендикулярная оси абсцисс, — график некоторой линейной функции.

                  Для построения прямой, являющейся графиком любой линейной функции, достаточно знать координаты двух точек. Чтобы построить график функций у = 1,5х + 3, надо составить таблицу для двух любых значений аргумента. Например:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Обозначим на координатной плоскости точки с координатами 0 и 3, 2 и 0 и проведём через них прямую (рис. 79). Это и есть график функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Свойства линейной функции для разных значений k можно определить по графикам, представленным, например, на рисунках 77 и 78. Представим их в виде таблицы.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Свойства линейной функции при условии, что k = 0, предлагаем сформулировать самостоятельно.

                  Рассмотрим частные случаи линейных функций.

                  Если k = 0, то функция

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  имеет вид у = b. График такой функции — прямая, параллельная оси х (рис. 80).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если то линейная функция имеет вид

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Эту функцию называют прямой пропорциональностью, так как любые (отличные от нуля)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значение такой функции пропорциональны соответствующим значениям аргумента. Для примера составим таблицу значений функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Здесь числа 12 и 15 пропорциональны числам 4 и 5, ведь 12:15=4:5; числа — 6 и 9 пропорциональны числам — 2 и 3, ведь — 6:9 = -2:3ит. д.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График прямой пропорциональности— прямая, проходящая через начало координат. На рисунке 81 изображены графики функций

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №5

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Постройте график функции, заданной формулой

                  Решение:

                  Данная функция — линейная, её график — прямая. Определим координаты двух точек этой прямой, составив таблицу.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Нанесём на координатную плоскость точки А(0; 1) и В(2; 2) и проведём через них прямую (рис. 82). Это и есть график данной функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Существуют функции, не являющиеся линейными на всей области определения, но на отдельных промежутках области определения имеют свойства линейных. Их графики — ломаные линии. Рассмотрим одну из таких функций.

                  Пример №6

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Постройте график функции

                  Решение:

                  По определению модуля можем записать:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Следовательно,

                  Это функция, которая на двух разных промежутках задаётся разными формулами линейных функций:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Составим такие таблицы их значений.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построим график функции (рис. 83).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Исторические сведения:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Некоторые примеры соответствий между переменными, теперь называющимися функциями, учёным были известны очень давно. В Вавилоне ещё более 3000 лет тому назад были составлены таблицы квадратов и кубов натуральных чисел, которые сейчас можно считать табличным заданием функций

                  Общее понятие функции было введено только в XVII в. Сначала Р. Декарт ввёл понятие переменной величины и систему координат, начал рассматривать зависимость ординат точек графика от их абсцисс. Слово «функция» (с латинского — действие, выполнение) впервые ввёл немецкий математик Г. Лейбниц.

                  Функциями он называл абсциссы, ординаты и некоторые отрезки, связанные с точкой, которая в процессе движения описывает определённую линию.

                  Г. Лейбниц — выдающийся немецкий учёный. По образованию — юрист. Работал библиотекарем, историографом, организовал Берлинскую академию наук. Исследовал проблемы математики, философии, языковедения, химии, геологии, конструировал вычислительные машины.

                  Усилиями многих математиков (И. Бернулли, Л. Эйлера, Н. Лобачевского, Б. Больцано и др.) понятие функции уточнялось, расширялось и наполнялось новым смыслом. Наиболее общее современное определение функции предложила в XX в. группа математиков, выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки: «Функция — это отношение, при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия». Под отношением они понимают соответствие , под областью отправления (областью определения функции) и областью прибытия (областью её значений) — любые множества, а не только числовые. С таким общим понятием функции вы ознакомитесь в старших классах.

                  Напомню:

                  Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у, то переменную у называют функцией от х, переменную х называют независимой переменной, или аргументом функции. Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а.

                  Функции можно задавать с помощью формул, таблиц, графиков и т. п. Графики функций чаще всего строят в декартовой системе координат, состоящей из двух взаимно перпендикулярных координатных осей — горизонтальной оси абсцисс, или оси х, и вертикальной оси ординат, или оси у (рис. 88). Плоскость с системой координат называют координатной плоскостью, каждой её точке соответствует одна пара чисел. Например, на рисунке 88 точке А соответствует пара чисел (3; 2), её координаты записывают так: А (3; 2). То есть 3 — абсцисса точки А, а 2 — ордината точки А.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

                  Все значения, которые может принимать аргумент функции, образуют её область определения, а все соответствующие значения функции — область значений функции.

                  Линейной называют функцию, которую можно задать формулой у = kx + b, где х — аргумент, a k и Ъ — данные числа. Если b = 0, то линейную функцию называют прямой пропорциональностью.

                  График каждой линейной функциипрямая. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. На рис. 88 прямая КР — график линейной функции у = 2х — 2, прямая MN — график прямой пропорциональности y = — 0,5х.

                  Дополнительное объяснение графиков функции:

                  Рассмотрим функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСоставим таблицу значений этой функции с шагом 1:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассмотрим пары чисел, записанные в каждом столбце этой таблицы, как координаты точек координатной плоскости. При этом значение аргумента является абсциссой точки, а соответственное значение функции — ее ординатой.

                  Эти точки изображены на рисунке 14.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Очевидно, что, придавая аргументу другие значения из области определения и находя соответственные значения функции, можно отметить все больше и больше точек на координатной плоскости (рис. 15, 16).

                  Все точки координатной плоскости, которые можно отметить, действуя таким образом, образуют график функции.

                  Определение. Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответственным значениям функции .

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Очевидно, что описанный метод построения графика функции на практике реализовать невозможно. Ведь точек, которые следовало бы отметить, бесконечно много. Однако, если отметить достаточно много точек, а затем соединить их плавной линией, то полученная кривая (рис. 17) будет тем меньше отличаться от искомого графика, чем больше точек мы отметим.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Поскольку описанный метод построения графика функции требует значительной технической работы, то существенную ее часть может взять на себя компьютер. Сегодня существует много программ, предназначенных для построения графиков. Так, на экране монитора (рис. 18) изображен график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Подчеркнем, что если какая-то фигура является графиком функции , то выполняются два условия:

                  1. если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— некоторое значение аргумента, a Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— соответственное значение функции, то точка с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобязательно принадлежит графику;
                  2. если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— координаты произвольно выбранной точки графика, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— соответственные значения независимой и зависимой переменных функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Неверно считать, что график функции — это непременно какая-то линия. На рисунке 19 изображен график функции, заданной таблицей:

                  Он состоит всего лишь из двух точек. Рассмотрим пример построения графика функции, заданной описательно.

                  Область определения данной функции — все числа. Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно -1; если аргумент равен нулю, то значение функции равно нулю. График этой функции изображен на рисунке 20.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Он состоит из трех частей: точки О (0; 0) и двух лучей, у каждого из которых «выколото» начало.

                  Далеко не всякая фигура, изображенная на координатной плоскости, может служить графиком некоторой функции. Например, окружность не может являться графиком функции (рис. 21). Здесь по заданному значению аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне всегда однозначно находится значение переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Фигура может являться графиком некоторой функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигурой не более одной общей точки.

                  Рисунок, схема, фотография какого-то объекта или процесса дают о нем наглядное представление. Ту же роль играет для функции ее график. Так, изучая график, изображенный на рисунке 22, можно, например, найти:

                  1. область определения функции: все Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтакие, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  2. область значений функции: все Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтакие, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  4. значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  5. значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми т. д.

                  После изучения материала этого пункта становится понятно, почему в технике, медицине, экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы, которые позволяют строить графики различных функциональных зависимостей.

                  Пример №7

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Принадлежит ли графику функции, заданной формулой точка:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Чтобы установить, принадлежит ли точка графику функции, найдем значение функции при значении аргумента, равном абсциссе данной точки. Если значение функции будет равно ординате данной точки, то точка принадлежит графику, если не равно — не принадлежит.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСледовательно, точка А принадлежит графику данной функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, точка В не принадлежит графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №8

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

                  Решение:

                  Точка принадлежит оси абсцисс тогда и только тогда, когда ее ордината равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемИмеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСледовательно, график данной функции имеет с осью абсцисс две точки пересечения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Точка принадлежит оси ординат тогда и только тогда, когда ее абсцисса равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемИмеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСледовательно, график функции пересекает ось ординат в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Ещё раз повторим пройденное рассмотрев два примера:

                  Пример №9

                  В бассейне было 200 л воды. В течение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммин в бассейн каждую минуту наливали 80 л воды. Тогда объем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемводы в бассейне вычисляется по формуле

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Эта формула задает функциональную зависимость переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемот переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Пример №10

                  Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрабочих. Обозначим количество всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда зависимость переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемот переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыражается формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— натуральное число.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В этих примерах мы построили функции, описывающие различные реальные ситуации. Однако они похожи тем, что формулы, их задающие, имеют вид

                  Определение. Функцию, которую можно задать формулой вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— некоторые числа, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— независимая переменная, называют линейной.

                  Вот примеры линейных функций:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построим график функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Составим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента:

                  Точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринадлежат искомому графику (рис. 28). Все эти точки лежат на одной прямой, которая и является графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 29).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В старших классах вы докажете, что графиком линейной функции, область определения которой — все числа, является прямая.

                  Поскольку прямая однозначно задается любыми двумя своими точками, то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу, имеющую лишь два числовых столбца.

                  Пример №11

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Постройте график функции

                  Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Отметим на координатной плоскости точки (0; 2) и (1; -1) и проведем через них прямую (рис. 30).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Эта прямая и является графиком линейной функции

                  В формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзадающей линейную функцию, не исключены случаи, когда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассмотрим случай, когда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда формула приобретает вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемОтсюда для всех не равных нулю значений аргумента можно записать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЭта формула показывает, что для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемотношение соответственных значений зависимой и независимой переменных остается постоянным и равно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Напомним, что в б-м классе, изучая прямую пропорциональность, вы уже познакомились с подобными зависимостями между величинами. Поэтому линейную функцию, которую задают формулой называют прямой пропорциональностью.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функции — примеры прямых пропорциональностей.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции (это выражает схема, изображенная на рисунке 31), то ее график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпроходит через точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемДействительно, если в формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемположить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПоэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через эту точку и точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  На рисунке 32 изображены графики прямых пропорциональностей, которые приводились выше в качестве примеров.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассмотрим еще один частный случай линейной функции.

                  В формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемположим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПолучим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЯсно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента.

                  Пример №12

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Постройте график функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например, равные -2 и 0. Остается провести прямую через точки (рис. 33). Эта прямая параллельна оси абсцисс.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Заметим, что графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется ось абсцисс. Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется прямая, параллельная оси абсцисс.

                  Пример №13

                  Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 34.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График данной функции пересекает ось ординат в точке (0; 4). Подставив координаты этой точки в формулу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемоткуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как данный график пересекает ось абсцисс в точке (3; 0), то, подставив ее координаты в формулу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Ответ:

                  Свойства и графики основных видов функций

                  графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается множество всех точек координатной плоскости с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где первая координата Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением«пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  На рисунках к пункту 4 таблицы 3 приведены графики функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а на рисунке 17 — график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Приведем также график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— обозначение целой части числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть наибольшего целого числа, не превышающего Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 18). Область определения этой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— множество всех действительных чисел, а область значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвсех целых чисел.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  На рисунке 19 приведен график числовой функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— обозначение дробной части числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(по определению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Свойства и графики основных видов функций:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Объяснение и обоснование:

                  Линейная функция y=kx+b

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Линейная функция .

                  Линейной функцией называется функция вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— некоторые числа.

                  Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.

                  Область определения — множество всех действительных чисел: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпоскольку формула Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет смысл при всех действительных значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(то есть для любого действительного Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммы можем вычислить значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) .

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область значений линейной функции будет разной в зависимости от значения коэффициента .

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то функция имеет вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть ее область значений состоит из одного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. В таком случае графиком линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется прямая, параллельная оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая пересекает ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 28).

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(обоснование приведено в примере 3 на с. 35).

                  Четность и нечетность линейной функции существенно зависит от значений коэффициентов Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпревращается в функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая является нечетной, поскольку для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз ее области определения

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 29) симметричен относительно точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучаем функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая является четной, поскольку для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз ее области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТо есть график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсимметричен относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 28).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В общем случае при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне является ни четной, ни нечетной, поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми также Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента .

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучаем функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— постоянную.

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— убывает (обоснование приведено в примере 4 на с. 35).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции всегда является прямая линия.

                  Поскольку при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция принимает значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то эта прямая всегда пересекает ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Графики линейных функций приведены в таблице k

                  Функция y=k/x (k0)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция .

                  Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область определения: . Это можно записать также так:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область значений: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Это можно записать также так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Для обоснования области значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Тогда из этого равенства получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. То есть для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсуществует значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринимает все действительные значения, не равные нулю.

                  Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множество, симметричное относительно точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, ее график симметричен относительно начала координат (рис. 30 и 31).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), то для сравнения значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  и рассмотрим их разность:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  На промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, следовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНа промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемУчитывая, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз равенства (1) получаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.

                  Из курса алгебры известно, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается гиперболой (она состоит из двух ветвей). При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— во II и IV четвертях (рис. 30 и 31).

                  Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, следует помнить, что, например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 32) убывает на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, но на всей области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемэта функция не является убывающей (и не является возрастающей). Действительно, если взять Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции, и на всей ее области определения функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне является убывающей.

                  Поэтому же нельзя сказать, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемубывает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция y=ax 2 (a0)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция

                  Как известно из курса алгебры, графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 33) и вниз при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 34). Поскольку при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то график всегда проходит через начало координат.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпоскольку значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно вычислить при любых значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция четная, поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, ее график симметричен относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Для описания других свойств воспользуемся графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 33 и 34). Эти свойства можно обосновать аналитически (проведите такое обоснование самостоятельно) или опираясь на свойства функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми на геометрические преобразования ее графика, которые будут рассмотрены далее в пункте 2.3.

                  Область значений. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик проходит через начало координат, а все остальные его точки находятся выше оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемувеличивается до бесконечности, то и значение у также увеличивается до бесконечности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Аналогично при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик также проходит через начало координат, но все остальные его точки находятся ниже оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемувеличивается до бесконечности, то значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемуменьшается до минус бесконечности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Возрастание и убывание. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция убывает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— возрастает.

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция возрастает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— убывает.

                  Квадратичная функция y=ax 2 +bx+c(a0).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Квадратичная функция .

                  Из курса алгебры 9 класса известно, что функция вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— действительные числа, причем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, называется квадратичной. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх при и вниз при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Абсцисса вершины этой параболы . Для обоснования этого достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  , то есть

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ( Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— дискриминант квадратного трехчлена Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

                  Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпарабола или пересекает ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, или не пересекает Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, или касается ее Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Основные варианты расположения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпредставлены в таблице 5.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Охарактеризуем свойства функции , опираясь на эти известные нам графики (самостоятельно обоснуйте соответствующие свойства аналитически).

                  Область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поскольку значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно вычислить при любых значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Область значений. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция принимает все значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция принимает все значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Четность и нечетность. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучаем четную квадратичную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Действительно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В общем случае (если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне является ни четной, ни нечетной, поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(и не равно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

                  Возрастание и убывание. При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция убывает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— возрастает.

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция возрастает, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— убывает.

                  Поскольку при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то график всегда пересекает ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Соответствующие графики при приведены также в таблице 4.

                  Примеры решения задач:

                  Пример №14

                  Постройте график функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  1)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  2)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  3)

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  1) ►График функции — прямая.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  2) ►График функции — прямая.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  3) ►График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— прямая, параллельная оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая проходит через точку 4 на оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Все данные функции линейные, поэтому их графиками являются прямые.

                  Чтобы построить прямые в заданиях 1 и 2, достаточно построить две точки этих прямых. Например, можно взять Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми найти соответствующие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Оформлять эти вычисления удобно в виде таблички:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В задании 3 рассматривается частный случай линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Для построения этого графика полезно помнить, что прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— это прямая, параллельная оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(при любом значении Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемравно 4).

                  Пример №15

                  По приведенному графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемукажите знаки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  ► При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. По приведенному графику определяем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поскольку изображен график убывающей линейной функции, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Ответ:

                  График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— прямая, пересекающая ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. На рисунке эта точка лежит выше нуля, таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Линейная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастающая, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— убывающая. На рисунке изображен график убывающей функции, следовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Пример №16

                  Постройте график Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ► График заданной функции — парабола (вида ), ветви которой направлены вверх.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Тогда и график имеет вид

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— квадратичная (имеет вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). Таким образом, ее графиком будет парабола (вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), ветви которой направлены вверх (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

                  Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а ордината Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— это соответствующее значение заданной функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Если необходимо уточнить, как проходит график, то можно найти координаты нескольких дополнительных точек, например, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучаем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПостроение таких графиков с помощью геометрических преобразований графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудет рассмотрено в пункте 2.3.

                  Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Объяснение и обоснование:

                  Рассмотрим способы построения графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.

                  Построение графика функции y=-f(x)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построение графика функции .

                  Сравним графики функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. первую строку табл. 6). Очевидно, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно получить из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсимметричным отображением его относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Покажем, что всегда график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно получить из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсимметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Действительно, по определению график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсостоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоординатной плоскости, которые имеют координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсостоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоординатной плоскости, имеющих координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТочки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрасположены на координатной плоскости симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 38). Таким образом, каждая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучается симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнекоторой точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно получить из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемего симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции. Имеем:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Следовательно, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфика функции может быть построен так: часть — Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, лежащая выше оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(и на самой оси), остается без изменений, а часть, лежащая ниже оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, отображается симметрично относительно этой оси.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, на рисунке 39 и в таблице 6 (строка седьмая) с использованием этого правила изображен график функции .

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построение графика функции .

                  Для построения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемучтем, что в определении графика функции первая координата для точек графика выбирается произвольно из области определения функции. Если выбрать как первую координату значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудет состоять из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоординатной плоскости с координатами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Напомним, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсостоит из всех точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрасположены на координатной плоскости симметрично относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 40). Таким образом, каждая точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) получается симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнекоторой точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно получить из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемего симметричным отображением относительно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции . Имеем:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Следовательно, для того чтобы получить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри х -1, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Заметим, что для задания данной функции используют форму записи с помощью фигурной скобки:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №37

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функции заданы формулами При каком значении аргумента эти функции принимают равные значения?

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Чтобы найти искомое значение аргумента, решим уравнение

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Ответ: при

                  Более лёгкое объяснение способов задания функции

                  Пусть сторона квадрата равна Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсм, а его периметр — Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсм. Зная сторону а, по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно найти соответствующее ей значение периметра Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Например,

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Видим, что значения периметра зависят от того, какие значения мы выбирали для длины стороны квадрата. Заметим также, что каждому значению длины стороны соответствует одно определенное значение периметра. Так, значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В данном примере имеем две зависимые переменные Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— длину стороны квадрата и его периметр. Значения переменной а можно выбирать произвольно, а значения переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависят от выбранных значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают независимой переменной, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависимой переменной.

                  Рассмотрим еще один пример зависимости между переменными.

                  Водитель решил проследить по спидометру, какое расстояние он проедет за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 4,5 ч, 5 ч. Результаты наблюдении он записал в таблицу:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В данном примере имеем две зависимые переменные: время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми расстояние Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпройденное за это время. Значения расстояния зависят от значений времени. Так, времени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует значение расстояния Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвремени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— значение расстояния Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемКаждому значению времени соответствует одно определенное значение расстояния. Поэтому в данном случае Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется независимой переменной, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— зависимой переменной.

                  В математике, как правило, независимую переменную обозначают буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема зависимую переменную — буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВ рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. При таких условиях для зависимой переменной используют термин «функция».

                  Определение:

                  Переменную Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют функцией переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если каждому значению переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением соответствует единственное значение переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Для независимой переменной также существует специальный термин: ее называют аргументом. Говорят: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется функцией аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Итак, в рассмотренных примерах:

                  периметр Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемквадрата является функцией длины его стороны Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; тут Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— функция, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— аргумент;

                  расстояние Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется функцией времени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; тут Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— функция; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— аргумент.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Первая функция задана формулой . Вторая функция задана таблицей.

                  Область определения и область значений функции:

                  Все значения, принимаемые независимой переменной (аргументом), образуют область определения функции; все значения, принимаемые зависимой переменной (функцией), образуют область значений функции.

                  Так, область определения функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, образуют все значения, которые может принимать переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поскольку эта переменная определяет длину стороны квадрата, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможет принимать только положительные значения. Таким образом, область определения этой функции образуют все положительные числа.

                  Область значений функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, образуют все значения, которые может принимать зависимая переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Периметр Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне может равняться отрицательному числу или нулю, однако может равняться любому положительному числу. Например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможет равняться 2, так как 2 — это периметр квадрата со стороной 0,5. Таким образом, область значений этой функции образуют все положительные числа.

                  Область определения функции, заданной таблицей, образуют числа 1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа первой строки таблицы); область значений этой функции образуют числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа второй строки таблицы).

                  Рассмотрим функцию, заданную формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТакая запись означает, что область определения функции образуют все значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторые удовлетворяют неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если функция задана формулой и не указано, какие значения может принимать аргумент, то считают, что область определения функции образуют все числа.

                  Примеры решения заданий:

                  Пример №38

                  Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км\ч, проходит за Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемч расстояние 5 км. Задать формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкак функцию аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Найти значения функции, соответствующие значениям аргумента: 2; 2,5; 4.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция задается формулой

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №39

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Начиная с трех часов, через каждый час измеряли атмосферное давление и данные записывали в таблицу:

                  Зависимость между какими переменными задает таблица? Задаст ли таблица функцию? Какое давление в мм ртутного столбика было в 4 ч; в 8 ч? Какова область определения функции; область значений?

                  Решение:

                  Таблица задаст зависимость между временем суток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми атмосферным давлением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется функцией переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поскольку каждому значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то по таблице находим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемИтак, в 4 часа атмосферное давление было 748 мм рт. ст. Аналогично в 8 часов — 755 мм рт. ст.

                  Область определения функции образуют числа 3,4, 5,6, 7, 8 и 9, а область значений — числа 746,748, 751,752, 755 и 756.

                  Пример №40

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция задана формулой Составить таблицу значений аргумента и соответствующих значений функции, выбирая для аргумента такие значения: -6; -3; -2; 0; 2; 3; 6.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №41

                  При каких значениях аргумента значение функции равно -3, если функция задана формулой:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЧтобы найти значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при которых Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрешим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Итак, значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значение -3 функция принимает при

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  — уравнения корней не имеет. Значение -3 функция не принимает.

                  График функции:

                  Рассмотрим функцию, заданную формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНайдем значение этой функции для целых значений аргумента и запишем результаты в таблицу:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значения мы выбирали так, что каждое следующее на 1 больше предыдущего. Поэтому говорят, что таблица значений функции составлена с шагом 1.

                  Отметим на координатной плоскости точки, абсциссы которых равны выбранным значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции (рис. 4).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Выбирая другие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, удовлетворяющие неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми вычисляя соответствующие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, получим другие пары значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Каждой из этих пар также соответствует определенная точка на координатной плоскости. Все такие точки образуют фигуру, которую называют графиком функции, заданной формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 5).

                  График функции образуют точки координатной плоскости, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

                  Графический способ задания функции:

                  Имея график функции, можно находить ее значение при известном значении аргумента и наоборот: находить значения аргумента при известном значении функции.

                  Рассмотрим, например, функцию, график которой изображен на рисунке 6. (О такой функции говорят, что она задана графически.)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Найдем с помощью графика значение функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемДля этого через точку оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс абсциссой 4 проведем прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точка ее пересечения с графиком функции имеет координаты (4; 8). Следовательно, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение функции равно 8. Найдем с помощью этого же графика значения аргумента, при которых значение функции равно 6. Для этого через точку оси у с ординатой 6 проведем прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Получим две точки ее пересечения с графиком функции: (2; 6) и (8; 6). Таким образом, функция принимает значение 6 приФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Некоторая линия на координатной плоскости задает функцию, если, пользуясь ею, для каждого значения переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно найти только одно значение переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Рассматривая график, изображенный на рисунке 6, можно отметить некоторые свойства функции, заданной этим графиком.

                  1. Область определения функции образуют все значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, удовлетворяющие неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  2. Наибольшее значение функции равно 9 (это значение функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).
                  3. Наименьшее значение функции равно -2 (это значение функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).
                  4. Область значений функции образуют все значения у, удовлетворяющие неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  5. Значение функции равно нулю при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТе значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции. Следовательно, значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется нулем данной функции.
                  6. Функция принимает положительные значения, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемотрицательные значения — если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция как математическая модель реальных процессов:

                  Рассмотрим рисунок 7, на котором изображен график изменения температуры воды на протяжении 20 мин.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Из графика видно, что начальная температура воды равнялась 20°С; на протяжении первых 8 мин температура воды увеличилась до 100°С, потом на протяжении 6 мин (от 8 мин до 14 мин) температура воды не изменялась, а на протяжении следующих 6 мин температура воды понизилась до 80°С.

                  Функция, график которой изображен на рисунке 7, описывает реальный процесс изменения температуры воды. Говорят, что эта функция моделирует данный процесс, или что она является математической моделью данного процесса.

                  Если тело движется равномерно со скоростью 15 м/с, то расстояние Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемм, пройденное ним за время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс, можно вычислить по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВ этом случае функция, заданная формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется математической моделью равномерного движения.

                  В седьмом и последующих классах мы познакомимся со многими функциями, которые можно использовать при моделировании реальных процессов и зависимостей между разными величинами.

                  Примеры решения упражнений:

                  Пример №42

                  Построить график функции, заданной формулой:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  составив таблицу значений функции с шагом 1;

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Составим таблицу значений функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости. Если к этим точкам приложить линейку, то увидим, что все они лежат на одной прямой. Соединим отрезком крайние отмеченные точки. Этот отрезок и является графиком функции (рис. 8).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Составим таблицу значений функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Имеем график функции, заданной формулой (рис. 9). •

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №43

                  Принадлежит ли графику функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемточка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудет принадлежать графику данной функции, если значение функции при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемравно 9.

                  Находим: если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначение функции не равно 9. Следовательно, точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфику функции не принадлежит.

                  Для точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеем: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТочка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринадлежит графику функции.

                  Пример №44

                  На рисунке 10 изображен график функции. Используя график, заполнить таблицу:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Разные способы задания функции

                  Функция может быть задана различными способами: таблицей, парой соответствующих значений, графом зависимости, графиком, формулой и т.д.

                  Если область определения конечное множество, то зависимость между аргументом и соответствующим значением можно показать стрелками. Такое представление называется графом зависимости.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Здесь каждое из соответствий Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляются функцией, гак как для каждого числа из множества X ставится в соответствие единственное число из множества Y. Соответствие h не является функцией (почему?). В соответствии с правилом можно написать:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(1) = 15, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением2) = 20, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(3) = 25 и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(0) = 0, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(-1) = 1, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(1) = 1, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(-2) = 4, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(2) = 4

                  Эти функции также можно задать множеством упорядоченных пар аргументов и соответствующих значений. Для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением<(1;15),(2;20),(3; 25)>, для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция может быть задана таблицей:

                  В таблице в одной строке (или в столбце) показаны значения независимой переменной, в другой строке (или в столбце) значения зависимой переменной.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Координаты (2009; 3), (2010; 4), (2011; 2), (2012; 3), (20013; 5), (2014; 3),

                  (2015; 4) показывают изменение количества собранного урожая с 1 гектара в зависимости от года.

                  Область определения (года):

                  Множество значений (количество собранного урожая):

                  Функция может быть задана аналитически — формулой.

                  Пример: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Эта запись показывает, что область определения функции отрезок [1; 3], и каждому числу из данного отрезка ставится в соответствие его квадрат.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  и т.д.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В этом случае запись не имеет смысла, так как число 4 не принадлежит области определения функции, а именно отрезку [1; 3].

                  Функция может быть задана графически. Зависимость, между двумя величинами, наиболее удобно изображать геометрически на координатной плоскости. Для каждого значения аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвычисляется соответствующее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точки, с координатами (х; у), строятся на координатной плоскости. Множество таких точек образует график функции. График функции это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример:

                  На рисунке на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфически задана линейная функцияФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точки, являющиеся концами отрезка, имеют координаты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. (-4; -1) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. (4; 5) и принадлежат графику. На рисунке они закрашены.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Множество значений: [- 1, 5].

                  Примечание: если концевые точки кривой графика функции (или отрезка прямой) не отмечены специальными точками, то это показывает, что линия может быть продолжена до бесконечности (обычно изображается стрелками на концах).

                  Является или нет зависимость между двумя величинами функцией, можно определить по множеству точек, координаты которых выражены упорядоченными парами, или по графику.

                  По координатам точек. Если среди значений аргумента (первое значение) есть повторяющееся, то зависимость не является функцией. Для множества точек <(1; А), (1; В), (2; С), (3; О)>зависимость не является функцией, зависимость <(1; А), (2; В), (3; С), (4; С), (5; О)>является функцией.

                  По графику. Если любая прямая, проведённая параллельно оси ординат, пересекается с графиком самое большее в одной точке, то эта зависимость является функцией (рис.а ). Если существует прямая, параллельная оси ординат, которая пересекает график в двух (или более точках)(рис.б ), то эта зависимость не является функцией. Это указывает на то, что одним и тем же значениям аргумента (х) соответствует несколько значений функции, что противоречит определению функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Аналитический способ задания функции

                  Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции определяется с помощью формулы, то такой способ задания функции называют аналитическим.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так, функции — заданы аналитически.

                  Отметим, что одна и та же функция может быть задана разными формулами. Например, формулы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзадают одну и ту же функцию.

                  Словесный способ задания функции

                  Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции описывается словами, т. е. если объясняется, каким образом значению аргумента ставится в соответствие значение функции, то такой способ задания функции — словесный.

                  Рассмотрим пример функции, заданной словесно: «Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределена на множестве натуральных чисел, и каждому значению аргумента ставится в соответствие сумма цифр в его десятичной записи». Вычислим несколько значений данной функции: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Табличный способ задания функции

                  Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции указывается с помощью таблицы, в первой строке которой указываются значения аргумента, а во второй — соответствующие значения функции, то говорят, что функция задана таблицей.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, метеорологи составляют таблицы, которые описывают различные зависимости между значениями наблюдаемых величин.

                  Таблица 1. Суточные суммы солнечной радиации при отсутствии атмосферы (Северное полушарие, зимнее солнцестояние)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таблица 1 задает функцию зависимости суточной суммы солнечной радиации от широты, на которой выполняется наблюдение.

                  С помощью таблицы найдем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми выясним, на какой широте значение суточной суммы радиации равно нулю. Для этого найдем значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпо значениям аргумента: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемА затем найдем значение аргумента по значениям функции: значение суточной суммы радиации равно нулю на широтах: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Графический способ задания функции

                  Способ задания функции с помощью множества точек координатной плоскости называется графическим.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пусть кривая (рис. 2) — некоторое множество точек на координатной плоскости.

                  Напомним, как по значению аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнайти значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВозьмем на оси абсцисс произвольную точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Она пересечет кривую Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв некоторой точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемОрдината Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемэтой точки является значением функции при значении аргумента, равном Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом указывается соответствие между множеством значений аргумента и значениями функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Областью определения функции является множество абсцисс точек кривой а множеством значений функции — множество ординат этих точек.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  По графику определяем, что

                  Важно помнить, что не любое множество точек на координатной плоскости задает функцию. Например, кривую, изображенную на рисунке 3, прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпересекает в двух точках, т. е. значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует не единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, эта кривая не задает функцию.

                  Произвольная кривая на координатной плоскости задает функцию, если любая прямая, параллельная оси ординат, имеет с этой кривой не более одной общей точки.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение: Множество всех точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, называют графиком функции.

                  Со свойствами и графиками некоторых функций вы познакомились в 7—8-х классах. Так, вам известно, что графиком линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется прямая (рис. 4, а), графиком квадратичной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— парабола (рис. 4, б), графиком обратной пропорциональности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— гипербола (рис. 4, в). Кроме того, вы изучали свойства функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфики которых изображены на рисунках 4, г—е.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №45

                  Найдите значение функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— если значение аргумента равно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  а) Значение аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемподставим в формулу функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми получим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)

                  Пример №46

                  Найдите, при каком значении аргумента значение функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в) — равно 1.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) Решим уравнение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемравно 1 при значениях аргумента, равных Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемравно 1 при значении аргумента, равном Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемравно 1 при значениях аргумента, равных 1 и -1.

                  Пример №47

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзадана аналитически на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  а) Вычислим по заданным значениям аргумента значения функции и заполним таблицу:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Построим точки, координаты которых заданы таблицей.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №48

                  Найдите Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпо графику функции, изображенному на рисунке 5.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) Областью определения данной функции является множество абсцисс точек графика функции, а множеством значений множество ординат этих точек.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  По данному графику определяем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Областью определения функции, график которой изображен на рисунке 5, б, является отрезок Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПоскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)* Так как на графике функции нет точки с координатами то

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №49

                  Найдите область определения функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  г)

                  Решение:

                  а) Областью определения данной функции является множество всех чисел, при которых знаменатель дроби Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне равен нулю, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Дробь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет смысл для всех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкроме Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема дробь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет смысл для всех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкроме Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом,

                  в) Областью определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется множество всех значений переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри которых подкоренное выражение неотрицательно, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемРешим полученное квадратное неравенство. Нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляются числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВетви параболы направлены вверх. Неотрицательные значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  г) Область определения данной функции совпадает со множеством решений системы неравенств:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №50

                  Найдите множество значений функций:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)

                  Решение:

                  а) Так как по определению модуля числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля любого числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется парабола, ветви которой направлены вниз Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, множеством значений данной функции является промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНайдем абсциссу вершины параболы: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Тогда

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значит,

                  в) По определению арифметический квадратный корень из неотрицательного числа является числом неотрицательным. Значит, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля всех значений переменной, принадлежащих области определения функции. Поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Свойства функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При изучении функций вы познакомились с их свойствами, например такими как нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции. Обобщим эти свойства для функции числового аргумента заданной графически и аналитически.

                  Повторим важнейшие сведения о свойтвах функции:

                  Если каждому значению переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз некоторого множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует единственное значение переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто такое соответствие называют функцией.

                  При этом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают независимой переменной, или аргументом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависимой переменной, или функцией.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают буквой

                  Множество всех значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1).
                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Две функции считаются разными, если у них разные области определения или правила соответствия. Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаданная на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаданная на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемразные. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаданные на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемодинаковые, поскольку выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтождественно равны.

                  Чтобы задать функцию, достаточно указать её область определения и правило соответствия. Если область определения не указывают, то считают, что она такая же, как и область допустимых значений формулы, которой задаётся функция.

                  Задавать функции можно разными способами: формулами, таблицами, графиками и т. д.

                  Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

                  Определение важнейших свойств функции

                  Графический способ задания функции удобен своей наглядностью. Глядя на график, сразу можно оценить функцию, которую он задаёт, т. е. выявить её важнейшие свойства:

                  1. найти область определения, область значений;
                  2. выяснить, является ли данная функция периодической, чётной или нечётной;
                  3. найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства;
                  4. определить промежутки возрастания или убывания.

                  Если функция задана графически, то область определения функции — проекция её графика на ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобласть значений — проекция её графика на ось Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 1).

                  Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением из области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График чётной функции симметричен относительно оси (рис. 2), а нечётной — симметричен относительно начала координат (рис. 3).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, из функций, заданных на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчётные, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнечётные, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемни чётные, ни нечётные.

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается периодической с периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз области её определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График периодической функции с периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемотображается на себя параллельным переносом на расстояние Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 4). Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпериодические с наименьшим положительным периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— с наименьшим положительным периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область определения периодической функции — вся числовая прямая, или периодически повторяющееся бесконечное с обеих сторон множество числовых промежутков.

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает (убывает) на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз этого промежутка большему значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует большее (меньшее) значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает, на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемубывает. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на всей области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Опишем для примера свойства функции график которой представлен на рисунке 5.

                  1. Область определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  2. Область значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  3. Функция чётная.
                  4. Функция не периодическая.
                  5. График функции с осью Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпересекается в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  6. Функция имеет пять нулей: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  7. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  8. Функция убывает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция возрастает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  9. Функция имеет наибольшее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми наименьшее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Исследовать функцию можно и без построения графика — с помощью формулы, которая её задаёт, и специальных методов математического анализа. С такими методами исследования функций вы ознакомитесь в следующих разделах.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается рациональной, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— рациональное выражение относительно переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТаковыми, в частности, есть линейные, квадратичные и степенные функции с целыми показателями. Из всех рациональных функций только функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможет быть периодической (рис. 6).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция задана формулой (на области, симметричной относительно нуля) — одновременно чётная и нечётная.

                  Пример №51

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Для функции найдите:

                  а) значение функции, если значение аргумента равно 10;

                  б) значение аргумента, при котором значение функции равно 10.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) Если

                  б) если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемотсюда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №52

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Докажите, что функция — нечётная.

                  Решение:

                  Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммножество всех действительных чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— симметричное относительно начала координат. Найдём Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемучитывая, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— нечётная функция, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— чётная функция. Имеем: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемИтак, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнечётная.

                  Пример №53

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Постройте график функции

                  Решение:

                  Раскроем модуль в формуле, задающей функцию:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется часть параболы, которая проходит через точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми имеет вершину в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЕсли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто графиком функции является часть параболы, которая проходит через точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми имеет вершину в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Графиком данной функции является объединение обоих графиков (рис. 7).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Нули функции

                  Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

                  Нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик которой изображен на рисунке 11, являются значения аргумента, равные -2, 4 и 8, так как при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение функции равно нулю.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В точках с абсциссами -2, 4 и 8 график функции пересекает ось абсцисс.

                  Найдем нули функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаданной аналитически. Для этого решим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т. е.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значит, числа -1, 1 и 2,5 являются нулями функции

                  Самым удобным способом изучения свойств функции является графический способ.

                  Определив но графику абсциссы точек можно установить область определения функции. В точках пересечения графика функции с осью абсциссФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому абсциссы этих точек называются нулями функции. Нулями функции называются значения аргумента, которые превращают функцию в нуль. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляются корни уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Нули функции разбивают область определения на несколько промежутков, в каждом из которых функция, сохраняет свой знак, принимая положительные или отрицательные значения. На графике, изображённом на рисунке схематично, представлены промежутки знакопостоянства функции.

                  Промежутки знакопостоянства функции

                  Промежуток, на котором функция принимает значения только одного знака, называется промежутком знакопостоянства функции.

                  На промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемлежит ниже оси абсцисс (рис. 12), следовательно, значения функции на этих промежутках отрицательны, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  На промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемлежит выше оси абсцисс (см. рис. 12), следовательно, значения функции на этих промежутках положительны, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Промежутки являются промежутками знакопостоянства данной функции.

                  Обычно при изучении свойств функций рассматривают промежутки знакопостоянства максимальной длины.

                  Найдем промежутки знакопостоянства функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаданной аналитически. Для этого решим неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. выясним, при каких значениях аргумента значения данной функции отрицательны, а при каких положительны. Получим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Очевидно, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначения функции положительны.

                  Промежутки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляются промежутками знакопостоянства функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Монотонность функции

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз этого промежутка, таких, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 13).

                  Другими словами, функция возрастает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемубывает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз этого промежутка, таких, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 14).

                  Иначе говоря, функция убывает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции, а функцию называют монотонной на промежутке возрастания или убывания.

                  Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией.

                  Определим промежутки возрастания функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаданной графически (рис. 15). При увеличении абсциссы от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдо Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначения функции увеличиваются (точки на графике «поднимаются вверх»), значит, на отрезке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает еще на двух промежутках: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При увеличении абсциссы от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдо Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначения функции уменьшаются (точки на графике «опускаются вниз»), значит, на отрезке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемубывает. Данная функция убывает также на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Монотонность. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается возрастающей (убывающей) на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

                  Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда функция возрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и убывает, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.4).

                  Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями. Рис. 5.4

                  ! Если говорить точнее, то строго монотонными; к монотонным функциям, наряду с возрастающими и убывающими, относятся неубывающие и невозрастающие функции, т.е. такие, для которых при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемудовлетворяющих условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, соответственно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так, например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.6) при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемубывает и при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №54

                  Докажите, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемлинейная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на области определения, т. е. является возрастающей, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемубывает на области определения, т. е. является убывающей.

                  Доказательство:

                  Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— произвольные значения аргумента из области определения функции, причем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Тогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемРассмотрим разность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто знак произведения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависит от знака числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значит, для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучим, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется возрастающей.

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значит, для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучим, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется убывающей.

                  Пример №55

                  На рисунке 16 изображен график функции у = f(x). Найдите:

                  • а) нули функции;
                  • б) промежутки знакопостоянства функции;
                  • в) промежутки монотонности функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  • а) Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПри этих значениях аргумента значения функции равны нулю, т. е. числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляются нулями функции.
                  • б) Функция принимает положительные значения (график функции расположен выше оси абсцисс) на промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема отрицательные значения (график функции расположен ниже оси абсцисс) на промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • в) Функция убывает (при увеличении абсцисс точек графика ординаты точек графика уменьшаются) на промежутках: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция возрастает (при увеличении абсцисс точек графика ординаты точек графика увеличиваются) на промежутках:

                  Пример №56

                  Найдите нули функции:

                  • а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • в)* Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  • а) Для того чтобы найти нули данной функции, нужно решить уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначение аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется нулем данной функции.
                  • б) Нулями данной функции являются корни уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемРешим квадратное уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВоспользуемся теоремой Виета и получим: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЧисла 1 и 3 являются нулями функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • в)* Решим уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПоскольку модуль не может быть равен отрицательному числу, то уравнение не имеет корней, а значит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне имеет нулей.
                  Пример №57

                  Найдите промежутки знакопостоянства функции:

                  • а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • б) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • в)* Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  а) Найдем, при каких значениях аргумента функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринимает положительные значения, т. е. решим неравенство: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция принимает отрицательные значения, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Найдем промежутки знакопостоянства функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  при

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, на промежутках Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначения функции положительны, а на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначения функции отрицательны.

                  в)* Решим неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решением полученного неравенства является любое действительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначит, функция принимает положительные значения при любых значениях аргумента, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №58

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Найдите промежутки монотонности функции

                  Решение:

                  Покажем, что функция возрастает на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— произвольные значения аргумента из промежутка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпричем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПо свойству числовых неравенств, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСледовательно, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— произвольные значения аргумента из промежутка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпричем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто по свойству числовых неравенств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Отметим, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на каждом из промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемно не возрастает на всей ее области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Покажем это, приведя контрпример.

                  Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В данном случае для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучили Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчто противоречит определению.

                  Если для любых значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна области определения функции из Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемследует , Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то этот промежуток называется промежутком возрастания Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если же Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то промежуток называется промежутком убывания Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Возрастание функции на промежутке будем показывать стрелкойФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а убывание стрелкойФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает (убывает) на каком го промежутке, то функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна этом же промежутке убывает (возрастает).

                  Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна этом же промежутке убывает.

                  Если знакопостоянная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает (убывает) на каком — то промежутке, то функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемубывает (возрастает) на этом же промежутке.

                  Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвозрастает на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  убывает на этом же промежутке.

                  По знаку углового коэффициента можно определить возрастает или убывает линейная функция.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если угловой коэффициент положителен, то функция возрастает.

                  Если угловой коэффициент отрицателен, то функция убывает.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Покажем аналитически что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна всей числовой оси возрастающая, а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— убывающая. Возьмём из промежутка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемаргументы, удовлетворяющие условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми найдём разность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  По условию, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемразность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет одинаковый знак

                  со знаком Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. функция возрастающая, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. функция убывающая.

                  Функции, возрастающие или убывающие на данном промежутке, называются монотонными на этом промежутке. Точки, в которых происходит переход от убывания к возрастанию или от возрастания к убыванию, являются точками максимума или минимума. Любой интервал, содержащий точку хо называется окрестностью точки.

                  Если для любых точек х Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв некоторой окрестности точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается точкой минимума функции, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается минимальным значением функции. Если для любых точек х Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв некоторой окрестности точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается точкой максимума функции, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммаксимальным значением функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Точки максимума и минимума обозначаются как и называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

                  Функция в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет минимум, в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет максимум и это записывается так:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Среди всех значений функции на области определения наибольшее обозначается НБЗ, а меньшее НМЗ (если они есть). Если функция непрерывна на заданном отрезке (график сплошная линия), то она принимает все значения между НБЗ и НМЗ.

                  Пример №59

                  Перечислите все свойства функции на графике.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  1. Область определения функции промежуток [-1; 5). Если х = -1, то (соответствующая точка закрашена). Точка (5; 2) не принадлежит графику (она выколота). Множество значений функции промежуток [—3;3]

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  2. Нули функции. График пересекает ось х в точках с абсциссами: х = 1 и х = 4. То есть, значения х= 1 и х = 4 являются нулями функции: .

                  Нули функции разбивают область определения функции на три промежутка знакопостоянства: [-1; 1), (1; 4) и (4; 5).

                  На промежутке (1; 4) функция принимает отрицательные значения, в каждом из промежутков [-1; 1) и (4; 5) положительные значения.

                  3. Возрастание и убывание функции. По графику видно, что при увеличении значений х от -1 до 0, значения у увеличивается от 1 до 3, а при увеличении значений х от 0 до 2, значения у уменьшаются от 3 до -3, при увеличении х от 2 до 5, у увеличивается от -3 до 2. Функция на каждом из промежутков [-1; 0] и [2; 5) возрастает, а на промежутке [0; 2] убывает.

                  4. Экстремумы функции — максимумы и минимумы. Точки (0; 3) и

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (2; -3) на графике являются точками экстремума. Соответственно эти точки показывают максимум и минимум функции: .

                  Четные и нечетные функции

                  Для построения графиков функций, решения уравнений и неравенств вы используете свойства функций. Еще одним свойством, позволяющим найти рациональное решение, является свойство четности (нечетности) функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение: Функция называется четной, если:

                  • (1) ее область определения симметрична относительно нуля;
                  • (2) для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассмотрим функцию, область определения которой симметрична относительно точки х = 0.

                  Если для любого х из области определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается чётной функцией.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если для любого х из области определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается нечётной функцией.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Вовсе не все функции бывают чётными или нечётными. Если область определения функции не симметрична относительною точки х = 0, то функция ни чётная и ни нечётная. Аналогично, если для функции, область определения которой симметрична относительною 0, нарушается выполнение условий , то функция также является ни чётной и ни нечётной.

                  Пример №60

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Выясним чётной или нечётной является функция

                  Решение:

                  Областью определения данной функции являются множество всех действительных чисел и оно симметрично относительно точки х = 0.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Однако, так как ,

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  то .

                  Значит, функция ни чётная и ни нечётная.

                  Пример №61

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Выясним чётной или нечётной является функция .

                  Решение:

                  Область определения функции множество всех действительных чисел и

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом данная функция нечётная.

                  Пример №62

                  По графику выясним чётной или нечётной является функция.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается четной, если для любых значений х из области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми нечетной, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВ противном случае функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается функцией общего вида.

                  Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется четной (так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— нечетной (так какФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В то же время, например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется функцией общего вида, так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна рис. 5.6), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна рис. 5.5)

                  Чётные функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассмотрим отрезок Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемОн не может быть областью определения четной функции, так как значение аргумента, например, равное Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринадлежит этому отрезку, а противоположное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне принадлежит.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Условие означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента равны.

                  Чтобы доказать, что функция является четной, нужно:

                  1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.
                  2. Записать выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  3. Показать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Докажите, что функция является четной.

                  • (1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсимметрична относительно нуля.
                  • (2) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • (3) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция является четной.

                  Пример №63

                  Докажите, что функция является четной:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) (1) симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (2)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (3)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция является четной.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) (1) симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (2)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (3)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция является четной.

                  Пример №64

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Выясните, является ли функция четной.

                  Решение:

                  Областью определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется луч Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемон не симметричен относительно нуля. Первое условие определения четной функции не выполнено, значит, данная функция не является четной.

                  Пример №65

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определите, является ли функция

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Областью определения данной функции является множество всех чисел, при которых знаменатель дроби не равен нулю, т.е.

                  Таким образом, область определения данной функции симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Проверим выполнение условия

                  Функция является четной.

                  Пример №66

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Докажите, что функция не является четной.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Чтобы доказать, что функция не является четной, достаточно привести контрпример, т. е. найти хотя бы одно значение х из ее области определения, для которого не выполняется равенство

                  Например, пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПолучили, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне является четной.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 26).

                  На рисунке 27 даны примеры графиков четных функций.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если график некоторой функции симметричен относительно оси ординат, то эта функция является четной.

                  Определение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция называется нечетной, если:

                  • (1) ее область определения симметрична относительно нуля;
                  • (2) для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Условие означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента противоположны.

                  Нечетные функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Чтобы доказать, что функция является нечетной, нужно:

                  1. Проверить симметричность области определения функции относительно нуля.
                  2. Записать выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  3. Показать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Докажите, что функция является нечетной.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (1) симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (2)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (3)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция является нечетной.

                  Пример №67

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Докажите, что функция является нечетной.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (1) симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (2)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (3)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция является нечетной.

                  Пример №68

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определите, является ли функция нечетной.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция является нечетной.

                  Пример №69

                  Известно, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнечетная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНайдите значение выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Так как функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнечетная, то выполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Поскольку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТак как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Тогда

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 28).

                  На рисунке 29 приведены примеры графиков нечетных функций.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если график некоторой функции симметричен относительно начала координат, то эта функция является нечетной.

                  Если необходимо исследовать функцию на четность, то нужно выяснить является ли данная функция четной; нечетной. Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной.

                  Пример №70

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Исследуйте на четность функцию

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как то область определения данной функции симметрична относительно нуля, значит, первое условие четности (нечетности) функции выполнено.

                  Проверим, верно ли одно из равенств: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне является четной.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначит, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне является нечетной.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

                  Пример №71

                  Определите, может ли областью определения четной или нечетной функции являться множество чисел:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  г)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  д)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  е)

                  Решение:

                  Множества чисел а); в); д) симметричны относительно нуля, значит, они могут быть областью определения четной или нечетной функции. Множества чисел б); г); е) не симметричны относительно нуля, следовательно, они не могут быть областью определения четной или нечетной функции.

                  Пример №72

                  Докажите, что функция:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) является четной;

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) является нечетной.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) (1) симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (2)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (3)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция — четная.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) (1) симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (2)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (3)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция нечетная.

                  Пример №73

                  Какой (нечетной; четной; ни четной, ни нечетной) является функция:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  г)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  д)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  е)*

                  Решение:

                  а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— область определения функции симметрична относительно начала координат; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-функция нечетная;

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) — область определения функции симметрична относительно начала координат;

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в) — область определения функции не симметрична относительно начата координат, значит, функция не является ни четной, ни нечетной;

                  г) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— область определения функции симметрична относительно начала координат; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— функция четная;

                  д) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— область определения функции симметрична относительно начала координат, но функция ни четная, ни нечетная, так как, например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  е)* Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— область определения функции симметрична относительно начата координат; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— функция четная.

                  Пример №74

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Исследуйте на четность функцию

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область определения функции симметрична относительно нуля.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как то функция является нечетной.

                  Пример №75

                  Известно, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется четной и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНайдите значение выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Так как функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется четной, то выполняется условие Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Найдем значение выражения

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №76

                  Известно, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется нечетной и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНайдите значение выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Так как функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется нечетной, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНайдем значение выражения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №77

                  Определите вид функции (четная; нечетная; ни четная, ни нечетная), заданной графически (рис. 30).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  На рисунках 30, а, г изображены графики четных функций, так как они симметричны относительно оси ординат.

                  Графики функций на рисунках 30, б, в имеют несимметричные области определения, значит, эти функции не являются ни четными, ни нечетными.

                  На рисунке 30, д изображен график нечетной функции, так как он симметричен относительно начала координат.

                  Пример №78

                  На рисунке 31 изображена часть графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс областью определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемИзобразите график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли известно, что она является: а) четной; б) нечетной.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построение графиков функций y=f(x)±b, y=f(x±a)

                  Ранее вы рассматривали такие преобразования геометрических фигур, как симметрию относительно точки, симметрию относительно прямой и др.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построение графиков функций

                  Вам известно, что графики четных функций симметричны относительно оси ординат (например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), а нечетных — относительно начала координат (например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

                  Геометрические представления можно применять для построения графиков одних функций, используя графики других, уже известных функций.

                  Рассмотрим функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСоставим таблицу некоторых значений этих функций и построим их графики (рис. 46).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Сравним расположение точек графиков этих функций, имеющих одинаковые абсциссы. Например, рассмотрим точку (1; 1) на первом графике и точку (1; 5) на втором. Эти точки лежат на прямой, параллельной оси ординат, причем точка (1; 5) находится на 4 единицы выше точки (1; 1). Точка (4; 6) лежит на 4 единицы выше точки (4; 2). Таким же образом расположены все другие точки этих графиков, имеющие одинаковые абсциссы. Можно сделать вывод, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучен сдвигом (параллельным переносом) графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 4 единицы вверх вдоль оси ординат.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассматривая точки графиков функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс одинаковыми абсциссами (рис. 47), заметим, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучен сдвигом (параллельным переносом) графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 4 единицы вниз вдоль оси ординат.

                  График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно получить сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвдоль оси ординат на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемединиц вверх, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 48, а).

                  График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно получить сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвдоль оси ординат на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемединиц вниз, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 48, б).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, на рисунке 49 показано построение графиков функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассмотрим функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСоставим таблицу некоторых значений этих функций и построим их графики (рис. 50).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определим значения аргумента, при которых обе функции принимают одинаковые значения. Например, значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпервая функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема вторая — при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗначение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпервая функция принимает при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема вторая — при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Можно заметить, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпринимает те же значения, что и функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 4 единицы «позже».

                  Графически это означает, что график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучен сдвигом (параллельным переносом) графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (см. рис. 50).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассматривая графики функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаметим, что вторая функция принимает те же значения, что и первая, на 4 единицы «раньше».

                  Графически это означает, что для получения графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемточки графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсдвигают на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс (рис. 51).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно получить сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвдоль оси абсцисс на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением единиц вправо, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 52, а).

                  График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможно получить сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвдоль оси абсцисс на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемединиц влево, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 52, б).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, на рисунке 53 показано построение графиков функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построение графиков функции :

                  Пример №79

                  График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучен из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсдвигом вдоль оси: а) ординат на 3 единицы вверх; б) абсцисс на 3 единицы вправо; в) абсцисс на 3 единицы влево; г) ординат на 3 единицы вниз. Выберите правильный ответ.

                  Решение:

                  Так как рассматриваются функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучен сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвдоль оси ординат на 3 единицы вниз.

                  Правильный ответ г).

                  Пример №80

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График какой из функций получен из графика функции его сдвигом вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  г)

                  Решение:

                  Рассматриваются функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо получен график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №81

                  Установите зависимость между графиками функций (рис. 54) и их аналитическим представлением:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  г)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) Графиком функции является кубическая парабола 2).

                  б) Так как график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучается из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсдвигом его на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс, то графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется кубическая парабола 1).

                  в) Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует график 4), поскольку график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучается сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

                  г) Функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует график 3), поскольку график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучается сдвигом графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

                  Пример №82

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  С помощью преобразований графика функции постройте график функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в)

                  Решение:

                  а) Выполним сдвиг графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 4 единицы влево вдоль оси абсцисс и получим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Выполним сдвиг графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 4 единицы вниз вдоль оси ординат и получим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в) Выполним сдвиг графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат и получим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Ограниченность функции

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается ограниченной на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если существует такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВ противном случае функция называется неограниченной.

                  Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемограничена на всей числовой оси, ибо Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Периодичность функции

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается периодической с периодом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если для любых х из области определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет период Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, так как для любых Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Под термином «период» подразумевается наименьший положительный период функции, равный Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; любой период функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, как известно, равен Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемn, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеме Z

                  Основные элементарные функции

                  В таблице приводятся наиболее важные свойства и графики основных элементарных функций:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область определения и множество значений некоторых функций

                  Если для функции, заданной аналитически, область определения не указана, то под областью определения функции подразумеваются такие значения аргумента, при которых формула, при помощи которой задана функция, имеет смысл (такие значения х называются естественной областью определения функции). В этом случае необходимо выяснить, какие значения не может принимать аргумент.

                  Найдём область определения некоторых функций, заданных в алгебраической форме.

                  1. Если функция от независимой переменной задана в виде многочлена, то область определения такой функции множество всех действительных чисел. Например, область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  2. В рациональной функции значение выражения, стоящего в знаменателе не может равняться нулю. Например, для рациональной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначения аргумента, которые удовлетворяют условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, не входят в область определения функции. Это значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределена на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  3. Подкоренное выражение функции, содержащей квадратный корень не может принимать отрицательных значений. Исследуем это на двух примерах:

                  1) Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвсе значения х удовлетворяющие условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. С другой стороны, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е.Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. А это значит, что область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпромежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  2) Найдём область определения и множество значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. По определению квадратного корня Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Решением данного неравенства является отрезок [-2; 2]. Значит функция определена на отрезке [-2; 2]. Для любого х из области определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Отсюда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Другими словами, множеством значений является отрезок [0; 2].

                  4. Нахождение области определения и множества значений функции по графику.

                  На рисунке представлен график линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна определённом промежутке. По графику, запишем область определения и множество значений функции в виде неравенства. Определим, принадлежат ли абсциссы граничных точек области определения, а ординаты множеству значений в соответствии с видом граничной точки (закрашенный кружочек или нет). Так как кружочек граничной точки (2; 1) не закрашен, то это говорит о том, что х = 2 не принадлежит области определения и у = 1 не принадлежит области значений. Область определения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а множество значений: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Что такое линейная функция

                  Рассмотрим несколько примеров. Пусть тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 20 м/с и направление его движения совпадает с направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 22). Если в начальный момент движения тело находилось на расстоянии 35 м от начала отсчета, то через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс тело будет находится на расстоянии Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемметров от него.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пусть в бассейн через трубу вливается каждую минуту 2,5 м 3 воды. Если в начальный момент времени в бассейне было 70 м 3 воды, то объем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемводы (в м 3 ), которая будет в бассейне через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммин, можно вычислить по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Формулами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— независимая переменная, задаются функции, которые называют линейными.

                  Определение:

                  Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— независимая переменная, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— некоторые числа.

                  В формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпеременная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением может принимать любые значения, поэтому область определения линейной функции образуют все числа.

                  График линейной функции

                  Построим график линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемДля этого составим таблицу нескольких значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением и соответствующих значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, на координатной плоскости (рис. 23). Приложив линейку, убеждаемся, что все отмеченные точки лежат на одной прямой. Если бы для других значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвычислили соответствующие значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми отметили точки с такими координатами на координатной плоскости, то и они лежали бы на этой прямой.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Через отмеченные точки проведем прямую. Она является графиком линейной функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Вообще, графиком линейной функции является прямая.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Так, чтобы построить график функции достаточно было взять две точки, например, (0; -1) и (2; 0) и провести через них прямую.

                  Угловой коэффициент в функции

                  В формуле линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоэффициент при переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением положителен: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемГрафик этой функции образует острый угол с положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением (см. рис.23). На рисунке 24 изображен график линейной функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемДля этой функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми ее график образует тупой угол с положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, от коэффициента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависит угол, который образует график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают угловым коэффициентом прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобразует с положительным направлением оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением острый угол, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— тупой угол.

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто формула, которой задается линейная функция, имеет вид Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто есть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТакая функция при всех значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает одно и то же значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНапример, линейная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри всех значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением принимает значение 2. Поэтому графиком функции является прямая, образованная точками (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; 2), где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — любое число. Эта прямая параллельна оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис.25).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Чтобы построить график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, достаточно было отметить на оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемточку с ординатой 2 и провести через нее прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

                  Свойства линейной функции y=kx+b.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Свойства линейной функции .

                  1. Область определения функции образуют все числа.
                  2. ЕслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто область значений функции образуют все числа; еслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция принимает только одно значениеФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  3. Графиком функции является прямая.
                  4. График функции образует с положительным направлением осиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемострый угол, еслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтупой угол, еслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЕслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто график параллельный осиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, в частности, еслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто он совпадает с осьюФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением.
                  Функция y=kx

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция

                  В формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которой задается линейная функция, положим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПолучим формулу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторой задается функция, являющаяся частным, но очень важным случаем линейной функции и служит моделью многих реальных процессов.

                  1. Пусть тело движется со скоростью 20 м/с. Тогда путь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемм, пройденный им за время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс, можно вычислить по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЭта формула задает путь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкак функцию времени Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.
                  2. Плотность железа 7,8 г/см 3 . Массу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемг железа объемом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсм 3 можно вычислить по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЭта формула задает массу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкак функцию объема Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Перейдя в примерах к принятым обозначениям аргумента и функции, получим функции, которые задаются формулами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто есть формулами вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функцию, которую можно задать формулой вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнезависимая переменная, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— некоторое число, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают еще прямой пропорциональностью.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, то графиком прямой пропорциональности является прямая. Эта прямая проходит через начало координат (потому что, если ).

                  Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

                  Построим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНайдем координаты какой-нибудь точки графика, отличной от начала координат: если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемОтметим на координатной плоскости точку (3; 1) и проведем через нее и через начало координат прямую (рис. 26). Эта прямая является графиком функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  На рисунке 27 изображены графики функций вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри разных значениях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрасположен в первой и третьей координатных четвертях, а если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— во второй и четвертой четвертях.

                  Точки пересечения графиков функций

                  На рисунке 28 изображены графики двух линейных функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункции принимают одно и то же значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСледовательно, графики функций имеют общую точку (4; 3). Еще говорят, что графики пересекаются в точке (4; 3).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Вообще, графики двух функций имеют общую точку, если существует значение , при котором обе функции принимают одно и то же значение.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Взаимное расположение графиков линейных функций

                  Рассмотрим две линейные функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемформулы которых имеют разные коэффициенты при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Выясним, пересекаются ли графики этих функций (рис. 29). Для этого проверим, существует ли значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором обе функции принимают одни и то же значение; другими словами: существует ли значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при котором выполняется равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемРешим данное уравнение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При обе функции принимают одно и то же значение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Следовательно, графики функций пересекаются в точке (-30; -17).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рассмотрим две линейные функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, формулы которых имеют одинаковые коэффициенты при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне имеет корней. Поэтому прямые, которые являются графиками функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 30), не имеют общих точек (эти прямые параллельны).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Вообще, графики функций вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпересекаются, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(коэффициенты при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемразные), и параллельны, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(коэффициенты при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемодинаковы) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Примеры решения упражнений:

                  Пример №83

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построить график функции, заданной формулой Используя график, найти:

                  а) значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторое соответствует Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которому соответствует Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Построим график функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЧерез точку (-1;0) проводим прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (-1; 3,5). Следовательно, значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЧерез точку (0; —2,5) проводим прямую, параллельную оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и находим точку ее пересечения с графиком. Это точка (3; -2,5). Следовательно, значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №84

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Дана функция Не выполняя построение графика функции, найти координаты точек его пересечения с осями координат и нули функции.

                  Решение:

                  Точки пересечения графика с осями координат — это точки графика, абсцисса или ордината которых равна нулю.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (0; -6) — точка пересечения графика с осью

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (2,5; 0) — точка пересечения графика с осью .

                  Значение функции равно нулю Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемоткуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСледовательно, нулем функции является Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №85

                  Найти значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемСравнить данные значения аргумента и соответствующие значения функции.

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Сравним значения аргумента: 2 -15.

                  Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

                  Сведения из истории функции:

                  «В одну реку нельзя войти дважды» — эти слова приписывают древнегреческому философу Гераклиту Эфесскому (из города Эфес). Они отображают важную особенность реального мира: все в нем пребывает в процессе изменения и развития. Именно выясняя закономерности в бескрайнем море видоизменений природы, ученые пришли к понятиям переменной величины и функции.

                  Понятие переменной величины впервые было введено в математику французским математиком Рене Декартом (1596-1650) в его знаменитой работе «Геометрия» в 1637 году. Именно после введения этого понятия начинает формироваться современное представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Следует отметить, что хотя некоторые зависимости между величинами, которые мы называем функциями, использовались еще в древние времена, математика до первой половины XVII в. оставалась наукой о постоянных величинах.

                  Термин «функция» (от латинского functio — выполнение, свершение) впервые использовал немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1694 году.

                  Благодаря работам Лейбница и известного английского физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) сформировалась новая ветвь математики — математический анализ, в котором понятие функции является одним из главных. Лейбницем и Ньютоном были разработаны методы исследования функций, которые уже более 300 лет служат мощным средством изучения окружающего мира с помощью математики.

                  О весомой роли функций как математических моделей реальных процессов Ньютон писал так: «Я не смог бы получить многие свои фундаментальные результаты, если бы не отказался от непосредственного рассмотрения самих тел и не свел все просто к исследованию функций».

                  Функция в высшей математике

                  При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким образом, что значения одних величин, (независимых переменных), полностью определяют значения других (зависимых переменных). В этом случае говорят о функциональной зависимости между переменными. Функция или функциональная зависимость — одно из основных математических понятий, при помощи которого моделируются взаимосвязи между различными величинами. Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных математических категорий, однако функции можно дать достаточно точное определение.

                  Пусть X — некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, по которому каждому числу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемставится в соответствие единственное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначаемое Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Тогда говорят, что на множестве X задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми записывают: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЧаще используют более простую терминологию: задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Множество X называют областью определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают множеством значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При этом л: называют независимой переменной или аргументом функции, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависимой переменной или значением функции, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемхарактеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости можно употреблять любую другую букву ( Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми т.д.)- Частное значение функции f(x) при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаписывается как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В высшей математике функцию можно объяснить вот так:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу

                  Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

                  Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде путь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— переменные величины, a Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— параметр.

                  Перейдем к понятию функции:

                  Определение. Если каждому элементу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением ставится в соответствие вполне определенный элемент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то говорят, что на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При этом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается независимой переменной (или аргументом), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависимой переменной, а буква Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает закон соответствия.

                  Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается областью определения (или существования) функции, а множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобластью значений функции.

                  Если множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемспециально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. множество таких значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при которых функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь полуинтервал Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтак как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли же переменная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобластью определения функции будет отрезок Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Дополнительное объяснение функции:

                  При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и переменными.

                  Определение: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение (или вообще, или в данном процессе; в последнем случае постоянная величина называется параметром).

                  Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

                  Приведем примеры переменных и постоянных величин.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Диаметр и длина окружности, в зависимости от обстоятельств, могут принимать различные значения и, следовательно, вообще говоря, являются величинами переменными, в то время как отношение длины окружности к ее диаметру сохраняет всегда одно и то же значение и, следовательно, есть величина постоянная, называемая числом

                  Пример:

                  Объем V и давление р определенной массы газа являются величинами переменными; однако, как известно из курса физики, произведение Vp при неизменной температуре есть величина постоянная. При изменении же температуры произведение Vp, вообще говоря, меняется.

                  Заметим, что во многих вопросах ради общности формулировок удобно бывает рассматривать постоянную величину как переменную, принимающую одно и то же значение.

                  Понятие функции в высшей математике

                  Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные, или функции).

                  Например, изучая газ, мы интересуемся его объемом V, температурой t, давлением р. Согласно закону Менделеева—Клапейрона, зная объем и температуру газа, мы можем однозначно определить его давление; следовательно, величины Vat можно рассматривать как независимые переменные, а р — как зависимую (функцию).

                  Дадим теперь определение понятия функции, являющегося центральным понятием высшей математики, причем вначале ограничимся случаем двух переменных величин.

                  Определение: Переменная величина у называется функцией (однозначной) от переменной величины ху если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х (допустимые значения) соответствует единственное вполне определенное значениевеличины у.

                  Это определение впервые в общих чертах было сформулировано Н. И. Лобачевским.

                  Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, у иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

                  Совокупность всех значений независимой переменной ху для которых функция у определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

                  Наиболее часто область определения функции представляет собой или интервал (а, b) (рис. 48, а), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству

                  а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемх Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемb

                  (подчеркнем, что здесь значения х = а и х = b исключаются!), или отрезок (сегмент) [а, b] (рис. 48, б), т. е. совокупность всех чисел х, удовлетворяющих неравенству

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (здесь значения х = а и х = b включаются!). В некоторых случаях

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Во всем дальнейшем изложении мы будем предполагать, если не оговорено противное, что величины и числа, которые мы рассматриваем, принимают только действительные значения.

                  областью определения функции является полуинтервал, закрытый слева, [а, Ь), или закрытый справа, (а, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением], т. е. множество чисел х> определяемых условиями а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемх Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемb или соответственно аФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемхФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Множество точек, представляющее собой или интервал, или отрезок, или полуинтервал, будем называть промежутком и обозначать через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением>.

                  Рассматриваются также бесконечные интервалы: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т. е. множество всех чисел, меньших а; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. множество всех чисел, больших Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеммножество всех действительных чисел. Аналогичный смысл имеют промежутки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Тот факт, что у есть функция от х, сокращенно обозначают так:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где символ f называется характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости (1) вместо буквы f можно употреблять любую другую букву (например, g, h, F, ф и т. д.), причем понятно, что различные функции должны обозначаться в одном и том же вопросе различными буквами.

                  Частное значение функции f(x) при х — а записывается так: Да). Например, если

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  то

                  Приведем несколько примеров, поясняющих понятие функции.

                  Пример:

                  Из формулы площади круга

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  следует, что каждому допустимому (т. е. положительному) значению радиуса R соответствует определенное значение площади S. Следовательно, S есть функция от R> определенная в бесконечном интервале:

                  Пример:

                  Согласно закону Бойля—Мариотта при постоянной температуре имеем Vp = С, где V — объем газа, р — его давление, С — некоторая постоянная величина. Отсюда

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Следовательно, каждому значению давления р соответствует определенный объем газа V. Можно сказать, что объем газа V есть функция давления р. Из физических соображений вытекает, что область определения этой функции есть бесконечный интервал:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №86

                  Найти область определения функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Эта функция имеет смысл, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Отсюда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Следовательно, область определения функции есть отрезок

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Чтобы более наглядно представить поведение функции, строят график функции, рассматривая независимую переменную х и функцию у как прямоугольные координаты некоторой точки М на плоскости Оху.

                  Определение: Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек М(х9 у) плоскости Оху, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

                  Иначе говоря, график функции — это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.

                  Например, для функции (2) имеем

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  графиком, очевидно, является верхняя полуокружность радиуса R = 2 с центром в начале координат (рис. 49). Из рис. 49 становится ясным, что область определения функции представляет собой отрезок [-2, 2].

                  Отметим, что, построив график функции у = f(x), мы можем приближенно определить корни уравнения

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  как абсциссы точек пересечения графика с осью

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у, то у называется однозначной функцией от х; если же хотя бы некоторым значениям переменной х соответствует несколько (два, три и т. д.) или бесконечное множество значений переменной у, то у называется многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.) функцией от х.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, у = х 2 есть однозначная функция от х. Также у = sin х есть однозначная функция от х. Функция есть двузначная функция от х; у = Arcsinx есть многозначная (бесконечнозначная) функция от х.

                  В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать однозначную функцию, если явно не оговорено противное.

                  Способы задания функции в высшей математике

                  Функция может быть задана одним из следующих способов:

                  • аналитический, т.е. в виде аналитической формулы (например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • графический, т.е. в виде графика для всех значений аргумента х из D(x);
                  • табличный, т.е. в виде таблицыФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • словесный, т.е. функция задается на каждом интервале разными аналитическими формулами, графиком или таблицей, например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции:

                  При аналитическом способе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множество X не указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскости Оху называется геометрическое место точек координаты которых связаны функциональной зависимостью.

                  При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.

                  Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых относятся: четность, нули, периодичность, ограниченность, монотонность функции, а также наличие у функции асимптот и обратной функции:

                  • Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается четной, если для любого значения ее аргумента из области определения выполняется равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Сумма, разность и произведение четных функций есть функция четная;
                  • Функция у = fнечетной, если для любого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство f(-x) = -f(x). Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а частное и произведение нечетных функций — функция четная;
                  • Нулями функции у = f(x) называют значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс;
                  • Функция у = f\x) называется периодической, если существует число Т такое, что для каждого значения аргумента л; из области ее определения выполняется равенство f(x + T) = f(x). Число Т называют периодом этой функции;
                  • Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функция у = f(х) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемКак возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными;
                  • Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности (горизонтальная и наклонная асимптоты), или к некоторому числу а (вертикальная асимптота);
                  • Функция у = f(x) называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М такое, что для каждого значения аргумента х из области ее определения f(x) М). Функция у — f (х) называется ограниченной, если существует число М > О такое, что для каждого значения аргумента x из области ее определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается обратной по отношению к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если при подстановке её вместо аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучается тождественное равенство: у = Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • Если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной y = f(x), то у называется однозначной функцией от x; если хотя бы некоторым значениям переменной х соответствует несколько (два, три или бесконечное множество) значений у, то у называется многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.) функцией от x.

                  Более коротко способы задания функции можно объяснить так:

                  Существует несколько способов задания функции.

                  а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЭтот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, рассматриваемая выше, задана аналитически.

                  Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  имеет два аналитических выражения: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми соответствующие значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, например таблица логарифмов.

                  в) Графический способ состоит в изображении графика функции — множества точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемплоскости, абсциссы которых есть значения аргумента Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а ординаты — соответствующие им значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например функция Дирихле: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— рационально; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— иррационально.

                  Аналитический способ задания функции

                  Если функция выражена при помощи формулы, то говорят, что она задана аналитически. Например, в формуле объема шара

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  объем V есть функция радиуса R, заданная аналитически. Если функция

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента х, чтобы получить соответствующее значение функции у [или, что то же самое, значение функции f(x)\ Пусть, например,

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Здесь характеристика f обозначает следующую совокупность действий:

                  1. возведение аргумента х в квадрат;
                  2. вычитание из полученного результата числа 1;
                  3. извлечение из соответствующей разности кубического корня.

                  Зная характеристику f и давая аргументу х различные значения, получим соответствующие значения функции f(x). Так, например, для нашей функции (1) имеем

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Аналогичный смысл получают выражения

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В некоторых случаях функция может задаваться несколькими формулами.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Эта функция вполне определена, так как для каждого значения аргумента х мы можем указать соответствующее значение функции f(x). А именно: если х отрицательно или равно нулю, то f(x) равно нулю, например

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если же х положительно, то f(x) равно значению аргумента, например

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, две формулы

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  определяют одну функцию (рис. 55).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Табличный способ задания функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Предположим, что мы хотим установить зависимость между средней годовой температурой t (°С) и высотой местности h над уровнем моря, выраженной в километрах. Сопоставим результаты наших наблюдений в такой таблице:

                  Из приведенной таблицы мы видим, что средняя годовая температура изменяется вместе с высотой местности над уровнем моря, причем каждому значению высоты h соответствует определенное значение температуры t. Следовательно, средняя годовая температура t есть функция высоты местности h над уровнем моря, при этом соответствие между переменными t и h устанавливается таблицей. Такой способ задания функции называется табличным.

                  Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы. Пусть, например, имеем функцию

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Давая х ряд числовых значений и вычисляя соответствующие значения у, получим следующую таблицу:

                  Мы видим, что если функция задана аналитически (т. е. при помощи формулы), то можно построить для нее таблицу, или, как говорят, табулировать функцию.

                  Табулируются обыкновенно функции, имеющие сложное аналитическое выражение (т. е. выражающиеся сложной формулой), но часто встречающиеся на практике. Так, например, широко известны таблицы тригонометрических функций: sinx, cos* и т. д., таблицы логарифмов и т. п. Для этих функций имеются формулы, выраженные с помощью бесконечных рядов, но эти формулы слишком сложны для практического пользования.

                  Возникает вопрос: всегда ли можно от табличного задания функции перейти к ее аналитическому выражению, т. е. записать такую функцию формулой?

                  Для этого заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно (так называемое интерполирование функции). Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя.

                  Однако всегда можно построить формулу, и притом не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула носит название интерполяционной.

                  Графический способ задания функции

                  Аналитический и табличный способы изображения функции страдают отсутствием наглядности. Этого недостатка лишен графический способ задания функции у = /(*), когда соответствие между аргументом х и функцией у устанавливается с помощью графика (рис. 56). Здесь, чтобы для некоторого значения аргумента, например х9 найти отвечающее ему значение у функции, нужно на оси Ох отложить в соответствующем направлении отрезок OA — х, а затем построить перпендикуляр AM до пересечения с графиком. Взяв длину этого перпендикуляра с надлежащим знаком, мы и получим число

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Давая х различные значения, мы с помощью этого приема будем иметь соответствующие значения функции , которые, если это нужно, можно записать в виде таблицы.

                  Примером графического изображения функции является так называемая барограмма (запись самопишущего прибора — барографа), дающая графически изменение атмосферного давления со временем.

                  Для построения графика функции у = f(x), заданной аналитически, нужно составить таблицу значений х и у данной функции, а затем, рассматривая х как абсциссу, у — как ординату точки, построить систему точек плоскости.

                  Соединяя эти точки линией, вид которой учитывает по возможности характер промежуточных значений функции, получаем примерное графическое изображение данной функции.

                  Например, пользуясь данными таблицы на с. 73, строим график функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (кубическая парабола) (рис. 57).

                  Кусочное задание функции

                  Часто, для описания реальных жизненных ситуаций используют не одну, а несколько формул или неравенств.

                  Задача. Оптовый магазин при покупке не менее 10 и не более 20 спортивных рубашек, реализует их по 3 маната за штуку, при покупке более 20 рубашек — по 2 маната за штуку. Запишите зависимость между двумя величинами: выручкой С и количеством проданных рубашек n.

                  Решение: Имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми в общем виде функцию можно записать так:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Найдём значения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри n = 15, n = 20, n = 30, n = 40. Значения n = 15 и n = 20 удовлетворяют условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Эти значения вычислим по формуле Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значения n = 30 и n = 40 соответствуют условию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если функция задана различными формулами на разных участках области определения, то говорят о кусочном задание функции.

                  Пример:

                  Постройте график функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График данной функции состоит из части графика прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемслева от точки х = 1 и части графика прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсправа от х = 1. Так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением,то график «ломается» в

                  вершине (1; -1).» Функция является непрерывной, если её график можно изобразить «не отрывая» карандаша от бумаги. Функция представленная в данном примере непрерывная.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример:

                  Постройте график функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График данной функции ступенчатый. Если график имеет разрыв, то функция является разрывной.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Данная функция, каждому числу ставит в соответствие его целую часть, и в общем виде записывается как . График на рисунке соответствует функции целой части числа на промежутке [0; 4).

                  Степенная функция y=x n (n∈N)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Степенная функция .

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция вида (n -натуральное число) называется степенной функцией с натуральным показателем. Ниже представлены графики степенных функций при n= 1, n = 2, n = 3

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля любого чётного значения n симметричен относительно оси у и похож на параболу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Для любых нечётных значений n график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсимметричен относительно начала координат и для нечётных значений n больше 1, похож на кубическую параболу Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается параболой n — го порядка. По рисунку видно, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна промежутке (0; 1) график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнаходится ниже, на промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыше графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Классификация функций в высшей математике

                  Переменные величины весьма различны. Однако, на первый взгляд различные процессы, могут иметь одинаковую природу и заданы одинаковой зависимостью. Поэтому наиболее часто встречающиеся зависимости объединены в семейства, в соответствии с основной (начальной) функцией. Функции, принадлежащие одному семейству, получаются преобразованиями одной и той же основной функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, графики функций

                  получаются преобразованиями параболы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Поэтому эти функции, а также все функции задаваемые формулой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, образуют семейство и основной функцией этого семейства считается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. В таблице ниже представлены графики некоторых основных функций.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Преобразование графиков функций

                  Параллельный перенос.

                  При параллельном переносе все точки графика смещаются в заданном направлении на заданное расстояние. При этом форма графика не изменяется. Произведём параллельный перенос каждой точки графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна вектор Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если координаты точки А удовлетворяют равенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то координаты точки А1 удовлетворяют равенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, при параллельном переносе графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна вектор Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, получается график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗаданный график смещается на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемединиц по горизонтали (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвправо, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвлево) и на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемединиц по вертикали (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвверх, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвниз). В случае Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик параллельно переносится только но горизонтали и при этом получается новая функцияФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В случае Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик параллельно переносится только по вертикали и при этом получается новая функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример:

                  Постройте графики заданных функций при помощи графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Построим график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Составим таблицу значений, выбрав три значения, которые являются полными квадратами.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Отражение.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Отражение графиков функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Сжатие и растяжение графиков.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При растяжении от (сжатии к) оси абсцисс изменяется ордината точки, при этом абсцисса остаётся неизменной: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЕсли точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрасположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Тогда точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрасположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучается из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрастяжением в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемраз от оси абсцисс при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми сжатием к оси абсцисс в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемраз при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При растяжении от (сжатии к) оси ординат изменяется абсцисса точки, при этом ордината остаётся неизменной:

                  Если точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрасположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Тогда точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрасположена на графике функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемполучается из графика функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрастяжением в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемраз от оси ординат при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми сжатием в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемраз к оси ординат при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Действия над функциями в высшей математике

                  Выполняя арифметические действия над двумя функциями можно получить новую функцию. Область определения, которая получается при сложении, вычитании, умножении функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, является множество действительных чисел, в котором определена каждая из функций. Другими словами, область определения новой функции является множество пересечения областей определения функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Отношение двух функций определено для аргументов множества Г) и отличных от нуля значений функции в знаменателе. Над функциями Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределенными на множестве действительных чисел, можно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление по следующим правилам.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  1. Сумма двух чётных функций является чётной функцией, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.
                  2. Произведение(частное) двух чётных и произведение(частное)двух нечётных функций является чётной функцией.

                  Пример:

                  Найдём Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Решение:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример:

                  Найдём Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как функция в знаменателе Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Графиком этой функции является прямая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс выколотой точкой (1; 2).

                  Пример:

                  Известно, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Найдём область определения функций: а) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, б)Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Решение: а) Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— множество всех действительных чисел. Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнаходится из неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Область определения функций

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  .

                  б) Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется множество решений неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Понятие множества

                  Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

                  Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

                  Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

                  Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы — строчными. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь элемент множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то используется запись Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне является элементом множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то пишут Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Например, множество действительных корней уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь пустое множество.

                  Если множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсостоит из части элементов множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили совпадает с ним, то множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается подмножеством множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми обозначается Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если, например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— множество всех студентов вуза, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— множество студентов-первокурсников этого вуза, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь подмножество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

                  Объединением двух множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пересечением двух множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Разностью множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, состоящее из всех элементов множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которые не принадлежат множеству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №87

                  Даны множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНайти объединение, пересечение и разность множеств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Решение:

                  Очевидно, что объединение двух данных множеств — Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, их пересечение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а разность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Дополнением множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, состоящее из всех элементов множества Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, не принадлежащих Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— действительных чисел, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— рациональных, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— иррациональных, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— целых, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— натуральных чисел. Очевидно, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Геометрически множество действительных чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемизображается точками числовой прямой (или числовой оси) (рис. 5.1), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением» говорят «точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением».

                  Множество Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемэлементы которого удовлетворяют: неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается отрезком (или сегментом) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнеравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеминтервалом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнеравенствам Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназываются полуинтервалами соответственно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемНаряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВ дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Абсолютная величина действительного числа

                  Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается само число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением,если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнеотрицательно, и противоположное число —Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемотрицательно:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Очевидно, по определению, что

                  Пример №88

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Найти

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если

                  Отметим свойства абсолютных величин:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Абсолютная величина разности двух чисел Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемозначает расстояние между точками Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчисловой прямой как для случая Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтак и для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.2).

                  Поэтому, например, решениями неравенстваФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудут точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеминтервала Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 5.3), удовлетворяющие неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Всякий интервал, содержащий точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, называется окрестностью точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Интервал Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт.е. множество точек Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтаких, чтоФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, называется Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-окрестностью точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Понятие числовой последовательности

                  Числовой последовaтeльностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

                  Если функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением= f(n) задать на множестве натуральных чисел N, то множество значений функции будет счетным и каждому номеру a е N ставится в соответствие число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеме R . В этом случае говорят, что задана числовая последовательность. Числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают элементами или членами последовательности, а число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— общим или n-м членом последовательности. Каждый элемент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет последующий элемент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Это объясняет употребление термина «последовательность».

                  Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемлибо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером n, т.е. указанием формулы ее n -го члена Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Пример №89

                  Последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемможет быть задана формулой: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее n -го члена.

                  Пример №90

                  Последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемэто последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Множество всех элементов последовательности ( ) обозначается < >.

                  Пусть (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— две последовательности.

                  Суммой последовательностей (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Разностью этих последовательностей называют последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если А и В — постоянные, то последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают линейной комбинацией последовательностей (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и т.е.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Произведением последовательностей ) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают последовательность с n -м членом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то можно определить частное Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Сумма, разность, произведение и частное последовательностей (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназываются их алгебраическими композициями.

                  Пример №91

                  Рассмотрим последовательности ( Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда ( Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением+Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением)= (0), т.е. последовательность ( Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением+ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) имеет все элементы, равные нулю.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  , т.е. все элементы произведения и частного равны -1.

                  Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности (а„) так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности ( ). Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности ( ), то новую последовательность называют остатком.

                  Последовательность ( ) ограничена сверху (снизу), если множество < > ограничено сверху (снизу). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

                  Сходящиеся последовательности

                  Говорят, что последовательность (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) сходится, если существует число а такое, что для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсуществует такое Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется неравенство: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Число а называют пределом последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением). При этом записывают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—> а или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №92

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Покажем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Зададим любое число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Неравенство = — а означает, что все члены последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) с достаточно большими номерами мало отличается от числа а, т.е. начиная с некоторого номера N* (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) элементы последовательности находятся в интервалеФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторый называется Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-окрестностью точки а.

                  Последовательность >, предел которой равен нулю Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается бесконечно малой.

                  Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

                  • Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;
                  • Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

                  Теорема. Для того чтобы последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имела пределу необходимо и достаточно чтобы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, где а -постоянная; Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением — бесконечно малая.

                  Основные свойства сходящихся последовательностей
                  1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;
                  2. Сходящаяся последовательность ограничена;
                  3. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  4. При любых постоянных А и В Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  5. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  6. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  7. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  8. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  9. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

                  Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней n, предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени п числителя и знаменателя).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Последовательность () называется:

                  • возрастающей, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • строго возрастающей, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • убывающей, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • строго убывающей, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Все такие последовательности называют монотонными.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

                  Бесконечный предел

                  Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется бесконечно большой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтакое, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Говорят, что предел последовательности (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) равен Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтакое, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется неравенство: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь преAдела. Например, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпо модулю неограниченно растет, но сама величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне имеет определенного стремления.

                  Замечательные пределы

                  Важную роль на практике играют замечательные пределы, используемые, например, при вычислении пределов функций. Приведем два замечательных предела:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Покажем, что

                  Для простоты примем, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением>0 (см. Рис.1.), причем, так как дуга Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемстремится к нулю при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то можно считать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Площади треугольников Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми сектора Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоотносятся следующим образом:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Отсюда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми после деления на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением>0), получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля обратных величин Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпоследовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а, следовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто видно, что последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением> О

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсправедливо равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтак как в каждом слагаемом множители вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеют меньшую величину по сравнению с Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри одном и том же m, а также выражение для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет на одно положительное слагаемое больше.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Ограниченность сверху можно показать следующим образом:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет предел: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторый обозначается е (основание натурального логарифма Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

                  В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

                  Принцип сходимости

                  Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга.

                  Лемма Кантора. Пусть дана последовательность промежутков Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Если этом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то последовательности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением имеют равные пределы: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Сходимость последовательности () к конечному пределу а означает, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от числа а и, следовательно, мало отличаются друг от друга.

                  Принцип сходимости формулируют в виде теоремы, называемой критерием Кош и.

                  Критерий Коши. Последовательность (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) сходится тогда и только тогда у когда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтакое, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением выполняется неравенство: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Предел функции. Теорема Гейне

                  Рассмотрим функцию f, определенную на множестве X. Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается предельной или точкой сгущения множества х, если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. В этом случае из множества х можно выделить последовательность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, сходящуюся к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав х вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел Q, все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые во не входят.

                  Множество х называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество х называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

                  Функция у = f(x), определенная на множестве X имеет предел С в точке сгущения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением: если для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнайдется такое Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

                  Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

                  Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзадаваемых для различных последовательностей Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемстремящихся к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Можно легко показать, что при любом выборе последовательности Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли существует предел соответствующих последовательностей Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто этот предел единственен.

                  Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция у = f(x), имеющая предел А при х —>а, ограничена в некоторой окрестности точки а. Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

                  Пределы обладают следующими свойствами:

                  • Если С — есть постоянная функция, то limC = С;
                  • Если существуют Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и в некоторой окрестности точки а функция f(x) ограничена, т.е. М а при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсуществует Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтакое, что для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь суммы одночленов от переменной то предел отношения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемравен пределу отношения старших членов (т.е. членов с наибольшими степенями переменной х функций h и g).

                  Пример №95

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поскольку ДЛЯ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполнено неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли только Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №96

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №97

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Бесконечные пределы

                  Функция a(x) называется бесконечно малой при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(или Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) если для сколь угодно малого положительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнайдется такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудет верно неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция а(x) называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнайдется такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудет верно неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Предел бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Теорема: Если функция у = f(x), определенная на множестве х имеет предел С в точке сгущения (или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: f(x) = С + а(х).

                  Справедлива также и обратная теорема: Если функцию y = f(x), определенную на множестве х, можно представить в точке сгущения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(или на бесконечности) в виде суммы числа с и бесконечно малой величиныФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто число с является пределом этой функции при указанных условиях.

                  Свойства бесконечно малых величин:

                  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;
                  2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;
                  3. Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция f(a) называется бесконечно большой при х —>

                  (или х->Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-0, или х->.Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением+o) если для сколь угодно большого положительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнайдется такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчто для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудет верно неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемфункция f(x) называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнайдется такое положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембудет верно неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е.

                  Свойства бесконечно больших величин:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;
                  2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;
                  3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

                  Теорема. Если функция а(х) есть бесконечно малая величина при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь бесконечно большая величина при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Обратная теорема. Если функция F(x) есть бесконечно большая величина при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь бесконечно малая величина при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Сравнение бесконечно малых величин:

                  • Две бесконечно малые величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназываются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • Величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если предел отношения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемк Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемравен нулю, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • Величина Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если предел отношения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемк Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемявляется бесконечно большой величиной, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • Две бесконечно малые величины Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназываются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность . Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  близких к Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемограничена в окрестности точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением), то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №98

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №99

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Непрерывность функции в высшей математике

                  Рассмотрим функцию f, определенную на промежутке х. Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функция f называется непрерывной в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.Функция у = f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Естественно, при этом функция у = f(x) должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки ,Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Непрерывность функции в точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемозначает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

                  Функция y = f(x), определенная на интервале (а,b) называется непрерывной на интервале (а.b), если она непрерывна в каждой точке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемэтого интервала Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция y = f(x), определенная на отрезке [a,b] (а 0, то функция определена, по крайней мере, на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При a 0 (значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсвязаны с параметрами а, b и с и определяют расположение параболы относительно координатных осей; отметим, что парабола симметрична относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  4) степенная Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  5) показательная

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  6) логарифмическая

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  7) тригонометрические

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  8) обратные тригонометрические

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Сложные функции в высшей математике

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пусть дана функция

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение: Функция вида сложной функцией, а операция ее образования композицией функций или взятием функции от функции.

                  Определение: Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается внутренней, а функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— внешней функциями.

                  Пример №104

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определить внутреннюю и внешнюю функции:

                  Решение:

                  В данном примере внутренней функцией является Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема внешней функцией будет Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №105

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определить внутреннюю и внешнюю функции:

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Внутренней функцией будет а внешней функцией является возведение в квадрат.

                  Классификация функций

                  Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

                  Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  • целая рациональная функция (многочлен или полином):
                  • дробно-рациональная функция — отношение двух многочленов;
                  • иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

                  Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

                  Преобразование графиков

                  Актуальными остаются приемы построения графиков функций с помощью преобразования графиков основных элементарных функций.

                  Пусть задан график функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда справедливы следующие утверждения.

                  1. График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь график Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, сдвинутый (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвлево, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвправо) на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемединиц параллельно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 5.18).

                  2. График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь график Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, сдвинутый (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвверх, при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— вниз) на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемединиц параллельно оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.18).

                  3. График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь график Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, растянутый (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемраз или сжатый (приФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением) вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.19). При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь зеркальное отображение графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемот оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  4. График функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь график Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, сжатый (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) в Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс раз или растянутый (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением) вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.20). При Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемграфик функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь зеркальное отображение графика Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемот оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №106

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Построить график функции

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Строим график функции следующим образом (рис. 5.21).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  1. Строим график .

                  2. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсжатие графика в 2 раза вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  3. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзеркальное отражение графика от оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  4. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрастяжение графика в 3 раза вдоль оси Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Применение функций в экономике

                  Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функции весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

                  Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратичная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

                  Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

                  1. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
                  2. Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
                  3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.
                  4. Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема продукции.
                  5. Функции спроса, потребления и предложения — зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

                  Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

                  Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

                  Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной, рассматриваемой в данной и последующих главах. Приведем примеры.

                  1. Исследуя зависимости спроса на различные товары от дохода

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (функции Л. Торнквиста), мы можем установить уровни доходовФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при которых начинается приобретение тех или иных товаров и уровни (точки) насыщения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля групп товаров первой и второй необходимости (см. рис. 5.22).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  2. Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель) (см. рис. 5.23).

                  3. Изучая в теории потребительского спроса кривые безразличия (линии, вдоль которых полезность двух благ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемодна и та же), например, задаваемые в виде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми линию бюджетного ограничения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри ценах благ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми доходе потребителя Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, мы можем установить оптимальные количества благ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеющих максимальную полезность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.24). Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  4. Рассматривая функции издержек (полных затрат) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми дохода фирмы Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, мы можем установить зависимость прибыли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемот объема производства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(см. рис. 5.25) и выявить уровни объема производства, при которых производство продукции убыточно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми приносит прибыль Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, дает максимальный убыток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми максимальную прибыль Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми найти размеры этих убытков или прибыли.

                  Очевидно, что перечень подобных примеров применения функций в экономической теории и практике можно было бы продолжить (о них, в частности, пойдет речь в последующих главах учебника).

                  Применении таблиц функций

                  Остановимся еще на одном важном аспекте использования функций в экономике — применении таблиц функций, которые позволяют сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

                  При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию (интерполяции) — приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение х лежит между приведенными в таблице значениями , которым соответствуют значения функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  то считают, что (рис. 5.26)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Величины называются интерполяционными поправками. Эти величины вычисляются с помощью таблицы или приводятся в дополнении к таблице.

                  Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то необходимо произвести обратное интерполирование.

                  Пример №107

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзадана таблицей:Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  а) Используя линейное интерполирование, найти

                  б) Чему равен Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, еслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  а) Имеем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Теперь по интерполяционной формуле (5.1) получим

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Обратное интерполирование можно провести по той же формуле, в которой поменять местами переменные

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где — неизвестное значение обратной функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Имеем

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Теперь по интерполяционной формуле (5.2) получим

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  В ряде случаев точность нахождения неизвестных значений с помощью линейного интерполирования оказывается недостаточной и используются другие методы интерполирования, например квадратичное интерполирование.

                  Пример №108

                  Найти область определения функций

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  а) Область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнайдем из системы неравенств Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемоткуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Имеем систему Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемРешая первое неравенство, получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемрешая второе, найдем Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемоткуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемС помощью числовой оси (рис. 5.27) находим решение системы неравенств: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт.е. область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  в) Область определения найдем из неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемоткуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТак как при любом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто перейдем к равносильному неравенству Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемоткуда Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт.е. область определения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример №109

                  Найти область значений функции:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  а) Преобразуем функцию

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемИтак, область значений функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  б) Область значений может быть найдена с помощью производной, рассматриваемой в разделе III. Но можно поступить иначе: найти обратную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемее область определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которая совпадает с областью значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемданной функции.

                  Выразим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчерез Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Получим обратную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаданную неявно квадратным уравнением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемОчевидно, область определения этой функции найдется из условия, чтобы дискриминант квадратного уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениембыл неотрицателен, т.е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемили

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Итак, область значений данной функции

                  Пример №110

                  Выяснить четность (нечетность) функций:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как то данная функция нечетная;

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  (после преобразований).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как то данная функция четная.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто данная функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Общее определение функции для высшей математики

                  Мы уже встречались с понятием переменной величины, независимой переменной и функции, но рассматривали лишь простейшие случаи.

                  Приведем еще примеры переменных и постоянных величин:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  1. Наиболее часто встречающаяся переменная величина — время.
                  2. Переменной величиной является температура воздуха в течение суток.
                  3. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная — это число .
                  4. Ускорение силы тяжести есть величина постоянная, однако это верно только при соблюдении определенных физических условий.
                  5. Температура кипения химически чистой воды постоянна и равна 100° С, но это верно при нормальном атмосферном давлении.

                  Таким образом, мы наблюдаем величины переменные, постоянные и условно постоянные.

                  Определение: Две переменные величины называются связанными функциональной зависимостью, если каждому значению одной из них соответствует одно или несколько определенных значений другой. Первая величина называется независимой переменной, а вторая — зависимой переменной или функцией. Если каждому значению независимой переменной соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной, в противном случае— многозначной.

                  Линейная функция, все тригонометрические, показательная и логарифмическая функции являются однозначными.

                  Неявные функции, определяющие окружность, эллипс и гиперболу, — двузначные, т. е. многозначные.

                  Приведем еще примеры функций.

                  Имея электрическую цепь, в которую включены источник постоянного напряжения и сопротивление, мы можем, меняя величину сопротивления, получать различный ток. В этом примере напряжение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—постоянная величина, а сопротивление Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми ток Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—переменные. Связь между ними устанавливается законом Ома. Зависимость здесь записывается так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  В предыдущих параграфах мы уже встречались с графиками отдельных функций, но там не было дано общего определения графика функции. Теперь мы имеем возможность дать это определение.

                  Рассмотрим некоторую функцию. Возьмем любое возможное значение независимого переменного и обозначим его через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а соответствующее ему значение функции — через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Рассмотрим точку, абсцисса которой равна Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а ордината Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т. е. точку Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если будем менять значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то будут получаться новые точки. Совокупность всех полученных точек и назовем графиком функции.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Иначе говоря, графиком функции называется геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению независимого переменного, а ординаты — соответствующему значению функции.

                  Как видно, рассмотренные раньше графики подходят под это определение. На рис. 38 дан график изменения температуры за сутки. Этот график позволяет узнать, какая температура была в определенный момент прошедших суток. Так, например, в 8 часов утра (находим на оси абсцисс точку с координатой 8) температура была 10 градусов по Цельсию (перпендикуляр, восставленный из найденной точки к оси абсцисс, в принятом масштабе имеет длину 10 единиц). Таким образом график, изображенный на рис. 38, устанавливает соответствие между каждым моментом времени и числом, дающим температуру в этот момент.

                  Замечание. Функцией называется не только зависимое переменное, но и закон или способ, устанавливающий соответствие между зависимым и независимым переменными. Например, если дана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто можно также сказать, что дана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Существует несколько способов задания функций; наиболее часто функции задаются уравнениями, таблицами или графиками. Например, линейная функция задается уравнением; функция, дающая изменение температуры воздуха в течение дня, обычно задается графиком; зависимость угла прицеливания от расстояния дается таблицей.

                  Подобно тому, как в алгебре для обозначения чисел вводятся буквы, так и для функций в общем виде вводится следующее обозначение. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—функция, а Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—независимое переменное, то будем писать

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Здесь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает набор и порядок математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень; нахождение логарифма, нахождение тригонометрических функций и т. д.). В записи около Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемставят скобки, в которых пишут, над чем надо произвести указанные действия. Запись Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчитают так: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь функция от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗдесь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает: 1) возведи в третью степень; 2) прибавь единицу; 3) извлеки квадратный корень.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗдесь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает: 1) найди значение синуса; 2) умножь на два.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗдесь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает: 1) возведи в третью степень; 2) возведи во вторую степень; 3) результат, полученный в предыдущем пункте, умножь на 4; 4) числа, полученные в пунктах 1 и 3, сложи; 5) прибавь число пять к полученному ранее.

                  Пример:

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределена так: если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, тоФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением; еслиФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, тоФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Хотя в этом примере не указано, при помощи каких математических действий и операций функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыражается через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, тем не менее ее значения можно указать для любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Например, пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, в этом случае выполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поэтому Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то выполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми, следовательно, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то выполнено неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поэтому Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функции такого типа, как только что показанная, встречаются не только в учебниках математики; они часто встречаются в современной физике и технике.

                  Рассмотрим схему, указанную на рис. 39. Здесь Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает источник постоянной электродвижущей силы (например, батарея), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—выключатель, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—амперметр, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—сопротивление.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если выключатель разомкнут, то в цепи тока нет и амперметр показывает 0; если замкнем выключатель, то в цепи появится постоянный ток и амперметр покажет его величину. Стрелка амперметра будет неподвижна все время до выключения выключателя.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если на горизонтальной оси координат будем откладывать время Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, а на другой оси величину тока Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то график этой функциональной зависимости будет выглядеть так, как указано на рис. 40. На этом рисунке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобозначает момент включения тока, a Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—момент выключения.

                  Различных функций существует бесконечное множество, поэтому нельзя, да и не нужно, каждой из них давать определенное название. Но, однако, некоторым функциям, встречающимся очень часто, дают названия. Приведем некоторые из них: линейная, квадратичная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная функции, степенной многочлен (или просто многочлен) вида Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область существования функции

                  Определение: Совокупность всех значений независимого переменного, для которых установлен закон или правило, позволяющее найти соответствующие значения функции, называется областью существования функции.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область существования функции состоит из всех действительных чисел, кроме нуля, поскольку на нуль делить нельзя.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Область существования функции состоит из всех неотрицательных чисел. Отрицательные числа не входят в область существования, так как квадратный корень из отрицательного числа является числом комплексным, а комплексными числами мы не занимаемся.

                  Пример:

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет область существования, состоящую из всех положительных чисел, т. е. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Область существования этой функции—все действительные числа, кроме Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемне входят в область существования, так как при втих значениях знаменатель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  . Область существования состоит из всех положительных чисел, кроме единицы.

                  Функция от функции, или сложная функция

                  Часто при решении целого ряда задач приходится иметь дело с «функцией от функции», которую называют иначе сложной функцией. Поясним на примерах, что под этим понимают.

                  Пример:

                  Цель удаляется от орудия, ведущего по ней огонь. Расстояние «орудие—цель» есть функция времени. Наводчик в зависимости от расстояния ставит угол прицеливания. Итак, угол прицеливания является функцией расстояния «орудие—цель». Но так как расстояние «орудие—цель» уже есть функция времени, то и угол прицеливания будет функцией времени. Таким образом, угол прицеливания является сложной функцией, т. е. функцией от функции.

                  Пример:

                  Даны функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функцию у можно рассматривать как функцию независимого переменного Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Действительно, подставляя вместо и его выражение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, получаем

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Здесь у есть функция от функции.

                  Пример:

                  Рассмотрим функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Можно сказать, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь функция от функции и

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Для дальнейшего очень важно уметь представлять сложную функцию в виде цепочки простых функций. Поясним на примерах, что это значит и как это делается.

                  Пример:

                  Вычислим значение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствующее значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Решение:

                  Для этого надо: 1) вычислить значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением2) вычислить Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; он равен 0.

                  Для вычисления Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв этом примере надо было сделать два действия, или, как говорят, две операции. Эти две операции представляют сложную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв виде цепочки простых: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Два последних равенства эквивалентны заданному.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Вычислим значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, соответствующее Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Решение:

                  Для этого: 1) умножим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна 2, получим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; 2) находим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; 3) возводим Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв куб, получимФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  В этом примере для вычисления Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсделаны три операции, которые позволяют сложную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпредставить в виде цепочки трех функций: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  В общем виде, если имеется сложная функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, ее можно представить в виде цепочки, состоящей из двух функций, а именно: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Приращение функции

                  Рассмотрим функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми дадим независимому переменному Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределенное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; тогда функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпримет также определенное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 41). Если изменим значение независимого переменного на величину Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, т. е. дадим ему значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто для этого значения функция примет, вообще говоря, другое значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Это можно выразить следующими словами: независимому переменному Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдано приращение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, равное Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. При этом функция получает приращение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, которое обычно обозначают через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, имеем

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Надо отметить, что величина приращения функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзависит как от выбора Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, так и от выбора приращения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемт. е. приращение функции зависит от двух величин: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Пример №111

                  Вычислим: 1) приращение функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и 2) приращение этой же функции, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Решение: 1) Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением; если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Приращение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемв этом случае равно

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  2) Если же Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, то Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением, поэтому

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Дополнительные сведения о функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение: Функцией называется закон, по которому каждому значению независимой переменной х, называемой аргументом, ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной у, называемой функцией: закон соответствия.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Различные функции:

                  Всё о определении функции

                  Определение: Областью определения функции (ООФ: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается множество допустимых действительных значений аргумента, при которых функция имеет смысл в области вещественных чисел; множество значений, которые при этом принимает функция, называется ее областью значений (Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением).

                  Определение: Геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты — значению функции, называется графиком функции.

                  Определение: Если выполняется равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция называется четной, а при выполнении равенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— нечетной.

                  Определение: Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  четные функции;

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  — нечетные функции;

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  — функции общего вида.

                  Определение: Функция называется периодической, если существует такое вещественное число t, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется равенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, при этом меньшее положительное число T, при котором выполняется указанное равенство, называется периодом функции.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение: Функция называется возрастающей Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна интервале Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторый в дальнейшем будем называть сегментом, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (Рис. 82).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рис. 82. Пример возрастающей на сегменте функции (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение: Функция называется убывающей Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна интервале Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (Рис. 83).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рис. 83. Пример убывающей на сегменте функции (при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение: Возрастающие или убывающие на сегменте функции объединяются под общим названием монотонные функции.

                  Пример №112

                  Указать интервалы монотонности функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна сегменте Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Из рисунка видно, что

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение: Если на сегменте функция не меняет своего значения, то она называется постоянной (Рис. 84).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Рис. 84. Постоянная функция.

                  Другие определения теории функций действительной переменной будут вводиться ниже по мере необходимости.

                  Простейшие функциональные зависимости

                  Прямая пропорциональная зависимость

                  Определение: Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении другая изменяется в том же отношении.

                  Примерами прямо пропорциональных величин служат: длина окружности и ее радиус; путь, пройденный при равномерном движении, и протекшее время; линейное растяжение упругого стержня и нагрузка, и многие другие.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пусть х и у — прямо пропорциональные величины, и пусть при х = 1 величина у принимает значение, равное k. В силу определения имеем ; отсюда

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где постоянная величина k носит название коэффициента пропорциональности, Функция (1) называется однородной линейной функцией; ее графиком является прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом k (рис. 50).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Линейная зависимость

                  Определение: Две переменные величины х и у связаны линейной зависимостью, если

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где k и у0 — некоторые постоянные величины.

                  Функция (2) называется линейной; ее график есть прямая (рис. 51) с начальным отрезком у0 и угловым коэффициентом k.

                  Примерами величин, находящихся в линейной зависимости, являются: расстояние прямолинейно равномерно движущейся точки от начала отсчета и время; длина стержня и температура его, и т. д.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Обратная пропорциональная зависимость

                  Определение: Две переменные величины называются обратно пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении другая изменяется в обратном отношении.

                  Примерами обратно пропорциональных величин служат: скорость равномерного движения и время, за которое преодолевается данное расстояние; объем, занимаемый газом (при постоянной температуре), и давление; сила тока (при постоянной электродвижущей силе) и сопротивление цепи и т. п.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пусть х и у — обратно пропорциональные величины, и положим, что когда х = 1, то у = k. Согласно определению, отсюда

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График этой функции при k > О представляет собой равностороннюю гиперболу (всю или часть ее) (рис. 52). При k О парабола расположена выше оси Ох, а при k 0, у > 0.

                  Пример:

                  Уравнение состояния газа имеет вид Vp = RT, где V — объем, занимаемый данной массой газа, р — давление, под которым находится газ, Т — термодинамическая температура, R —некоторая постоянная. Разрешая это уравнение относительно V, получим

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Мы видим, что объем К есть функция от двух переменных: давления р и абсолютной температуры Т, причем эта функция определена в области р > 0, Т> 0.

                  Функцию и от трех переменных х, у и г в общем виде можно обозначить так:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример:

                  Объем V = Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми полная поверхность Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпрямоугольного параллелепипеда с линейными измерениями д:, у и z являются функциями трех аргументов х, у, г, определенными в области Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Понятие неявной функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной. Например, функция — явная.

                  Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция у (у > 0), определяемая уравнением , является неявной.

                  Чтобы выразить функцию у, определяемую уравнением (1), в явном виде, достаточно это уравнение разрешить относительно у. Так как для данного значения аргумента х уравнение (1) может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней у, то в общем случае неявная функция является многозначной.

                  Совокупность значений аргумента х, для каждого из которых уравнение (1) имеет хотя бы один действительный корень у, представляет собой область существования соответствующей неявной функции. Следует отметить, что не всякое уравнение (1) определяет неявную функцию. Например, уравнение

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ,

                  очевидно, не определяет никакой функции (в действительной области!).

                  Пример:

                  Пусть х и у связаны уравнением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Здесь у является неявной функцией от аргумента х. Разрешая это уравнение относительно у, получимФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Эта последняя формула дает нам у как явную функцию от х. ,

                  Иногда разрешение уравнения (1) относительно у затруднительно. Например, уравнение Кеплера

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  элементарными средствами не может быть разрешено относительно у. В таком случае функцию у приходится изучать, пользуясь непосредственно уравнением, определяющим эту функцию.

                  Понятие обратной функции

                  Пусть у есть функция от аргумента х:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Задавая значения х, будем получать соответствующие значения у. Можно, однако, считая у аргументом, ах— функцией, задавать значения у и вычислять соответствующие значения х. В таком случае уравнение (1) будет определять х как неявную функцию от у. Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции у.

                  Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно х9 получим явное выражение обратной функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где функция для всех допустимых значений у удовлетворяет условию

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример:

                  В формуле объема шара

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  радиус R является аргументом, а объем V — функцией. Разрешив уравнение (4) относительно R, получим функцию, обратную данной:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Иногда придерживаются стандартных обозначений: под х понимают независимую переменную, а под у — функцию, т. е. зависимую переменную. В таком случае обратную функцию следует писать в виде

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Например, можно говорить, что функции являются взаимно обратными.

                  Обратная функция однозначной функция может быть многозначной (рис. 58), т.е. данному значению у может соответствовать несколько значений х1 х2, х3, . обратной функции х — ф(г/) (рис. 58). В некоторых случаях удается сделать обратную функцию однозначной, вводя дополнительные ограничения на ее возможные значения.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Двузначная функция является обратной по отношению к функции у = х 2 . Если условимся для корня брать лишь арифметическое значение его, то обратная функция будет однозначной.

                  Очевидно, что функция, обратная к функции (2), есть функция (1). Поэтому функции с характеристиками / и ф, связанными соотношением (3), являются взаимно обратными. Одна из них называется прямой функцией, а другая — обратной.

                  Заметим, что одна и та же кривая

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  представляет собой график данной функции и график обратной ей функции, смотря по тому, на какой из осей, Ох или Оу, откладываются значения аргумента.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если условиться обозначать независимую переменную через xf а зависимую — через у, то, чтобы из графика данной функции у = f(x) получить график обратной ей функции , очевидно, достаточно первый график зеркально отобразить относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 59).

                  Классификация функций одного аргумента

                  В зависимости от характера тех действий, которые надо произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции, устанавливается следующая классификация функций.

                  1)Если над значением аргумента х и некоторыми постоянными выполняются действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в целую и положительную степень (и притом конечное число раз), то получается целая рациональная функция, или многочлен. Общий вид такой функции следующий:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— целое положительное или равное нулю число, а коэффициенты Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— постоянные числа.

                  2) Функция, представимая в виде частного от деления двух целых рациональных функций:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  называется дробной рациональной функцией.

                  Совокупность целых рациональных и дробных рациональных функций образует класс рациональных функций.

                  3)Если над аргументом х кроме выше перечисленных первых пяти алгебраических действий производится еще извлечение корня конечное число раз и результат не является рациональной функцией, то получается иррациональная функция. Например,

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Здесь под корнем обычно подразумевается его арифметическое значение.

                  Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций.

                  4)В более общем случае алгебраической функцией называется многозначная неявная функция у, определяемая уравнением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где п — целое положительное число, а коэффициенты р0(х), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— целые рациональные функции от х и сверх того коэффициентр0 (х) не равен тождественно нулю1). Например, корень уравнения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеместь алгебраическая функция. Заметим, что эта функция не является явной алгебраической функцией, так как алгебраическое уравнение пятой степени и выше, вообще говоря, неразрешимо в радикалах.

                  5)Всякая неалгебраическая функция называется функцией трансцендентной.

                  Простейшими трансцендентными функциями (так называемыми элементарными трансцендентными функциями) являются:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  • а) показательная функция а х , где а — положительное число, не равное единице;
                  • 6) логарифмическая функция ;
                  • в) тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx;
                  • г) обратные тригонометрические функции: Arcsin x, Arccos x, Arctg x, Arcctg x, Arcsec x, Arccosec x.

                  Функции алгебраические, элементарные трансцендентные и их конечные комбинации носят название элементарных функций. Это тот основной запас функций, с которым мы будем иметь дело на протяжении всего курса.

                  Заметим, что в нашем курсе мы, как правило, будем использовать лишь однозначные элементарные функции, накладывая, если это нужно, на рассматриваемые многозначные функции дополнительные ограничения.

                  Графики основных элементарных функций

                  Приведем графики некоторых основных элементарных функций.

                  Степенная функция

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где — целое число.

                  Функция определена при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, и при Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если , то графики функций (1) представляют собой параболы соответственно нулевого, первого, второго и т. д. порядков (рис. 60).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если , то графики функций (1) представляют собой гиперболы различных порядков (рис. 61).

                  Радикал

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где — натуральное число.

                  Область определения функции: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчетном и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнечетном.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как , то (2) является обратной функцией по отношению к степенной функции (1). Поэтому графики радикала при различных показателях п есть параболы или части их (рис. 62).

                  Показательная функция

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  где а — постоянное число, причем .

                  Эта функция определена при всех значениях х. Функция имеет положительные значения и монотонно возрастает от 0 до Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри а > 1 и монотонно убывает от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдо 0 при 0 0); левая половина его (х 0); левая половина графика (* 0, что Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемВ противном случае функция называется неограниченной.

                  Например функция y=sin(x) ограничена на всей числовой оси, т.к. Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдля любого Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Периодичность функции

                  Функцию f(х) называют периодической, если существует такое число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчто для любых Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняются равенства
                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  Основным периодом функции называют наименьшее положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобладающее указанным свойством.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Найти основные периоды функции

                  Решение:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Так как основной период функции cosx есть то основной

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  период функции

                  Нули функции

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Значения аргумента, при которых величина функции приобретает значение равное нулю, называется нулем функции. Например, значение функции обращается в ноль. Значит, нулями данной функции являются точки х = -3 и х = 0. График функции пересекает ось абсцисс в нулях функции.

                  Наибольшее (наименьшее) значение функции

                  Значение функции, большее (или меньшее) других ее значений в некотором интервале, называется наибольшим (или соответственно наименьшим) значением функции в этом интервале.

                  Элементарные функции и их графики в математическом анализе

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида где справа стоящее выражение составлено из
                  основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и взятия функции от функции (т.е. сложная функция).

                  Например, функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— не является элементарной, так как количество операций не является ограниченным).

                  Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

                  К числу трансцендентных функций относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические функции.

                  Основными элементарными функциями называют следующие: степенную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпоказательную функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемлогарифмическую функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтригонометрические функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобратные тригонометрические функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции взятия функции от функции называется элементарной функцией.

                  Пример:

                  Элементарными функциями являются:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Остановимся подробнее на графиках элементарных функций.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  1. Степенная функция

                  Рассмотрим частные случаи: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.1), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.2), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.3), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.4), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.5), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.6), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.7).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  2. Показательная функция (рис. 1.8, рис. 1.9)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  3. Логарифмическая функция (рис. 1.10, рис. 1.11)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  4. Тригонометрические функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.12), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.13), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.14), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.15).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  5. Обратные тригонометрические функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.16), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.17), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.18), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.19).

                  Отдельно обратим внимание на определение и графики гиперболических функций: синус гиперболический Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рис. 1.20), Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкосинус гиперболический (рис. 1.21) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемтангенс гиперболический (рис. 1.22) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкотангенс гиперболический (рис. 1.23) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Классификация функций в математическом анализе

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Степенная функция где n — действительное число.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ( рисунки 1.1, 1.2)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ООФ: — при n — нечётном;

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ООФ: — при n — чётном.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция возрастает на всей области определения при n — нечётном возрастает на промежутке — при n — чётном.

                  Функция непериодическая; чётная при n — чётном; нечётная при n -нечётном.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Показательная функция (рисунок 1.3)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ООФ:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ОЗФ:

                  Функция общего вида.

                  Возрастает на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемУбывает на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПри любом основании Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкривая проходит через точку (0,1).

                  Логарифмическая функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде основание логарифмов Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(рисунок 1.4)

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  ООФ: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  ОЗФ:

                  Функция общего вида.

                  Возрастает от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна промежутке Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри а> 1.

                  Убывает от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемна промежутке на Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпри 0 0) или вправо (если а 0) или вниз (если b -1 .

                  Ясно, что отображение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-1 : Y → X биективно и обратное к нему отображение ( Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-1 ) -1 : X → Y совпадает с Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Таким образом, свойство двух отображений быть обратными по отношению друг к другу является взаимным.

                  Функцию, которая определяется правилом ∀x ∈ X→ x, называют тождественной и обозначают символом ex или Ix . Тогда, взаимно обратные отображения с помощью введенной функции можно охарактеризовать следующим образом: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением-1 = ey, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением-1 ◦ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением= ex.

                  Сужение функции

                  Определение 1.16. Пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением: X → Y, X1 ⊂ X, X1 Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением. Функцию, которая каждому элементу x ∈ X1 ставит в соответствие элемент Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(x) ∈ Y, называют сужением (или ограничением) функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением на множество X1 и обозначают Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением1 .

                  Таким образом, Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением1 : X1 → Y и Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением1 (x) = Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(x), ∀ x ∈ X1 . Часто функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают продолжением функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением1 на множество X .

                  Функции действительной переменной

                  Определение 1.22. Функцию f : X → Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, X Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением называют действительнозначной, а в случае, когда X ⊂ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, действительнозначной функцией действительной переменной или короче, когда это не может вызвать недоразумения, функцией действительной переменной.

                  Всюду далее рассматриваться будут только такие функции. Сначала приведём несколько примеров.

                  Пример:

                  Каждому числу x ∈ поставим в соответствие ординату (абсциссу) точки, полученной поворотом точки (1, 0) координатной плоскости вокруг начала координат на угол x. Это правило задает функцию на , со значениями в отрезке [-1, 1], которую называют тригонометрическим синусом (косинусом) и обозначают sin x ( соответственно cos x).

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Каждому неотрицательному числу x поставим в соответствие число x, а отрицательному числу x — число (-x). Получим функцию, определенную на , с множеством значений [0, +∞). Эту функцию называют модулем (или абсолютной величиной) числа x и обозначают |x|.

                  Перечислим полезные для дальнейшего свойства этой функции.
                  1. |a| > 0, ∀a ∈ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением;
                  2. |a| = 0 Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемa = 0;
                  3. | — a| = |a|, ∀ a ∈ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением;
                  4. -|a| Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемa Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением|a|, ∀ a ∈ v;
                  5. |a + b| Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением|a| + |b|, ∀a, b ∈ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением;
                  6. |a + b| Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением||a| — |b||, ∀a, b ∈ Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемR.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  С помощью функции |x| можно очень коротко записывать некоторые часто используемые множества. Так, если ε > 0, и a ∈ , то

                  | a | Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемε K Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— ε Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемa Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемε , |a| 6 ε K Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— ε Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемa Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемε,
                  |a| > ε Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемa > ε или a Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—ε , |a| Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемε Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемa > ε или a Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением—ε.

                  Пример:

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Каждому положительному числу x поставим в соответствие 1, числу x = 0 — число 0, каждому отрицательному числу — число —1. Получим функцию, действующую из на множество . Её называют функцией знака и обозначают sgn x (от латинского — signum),

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Многие часто встречающиеся функции, как видно из примеров, имеют определенное символьное обозначение. Используя эти обозначения, задание многих функций можно реализовать в виде формулы (или аналитического выражения), содержащей указания на те операции над числами и значениями аргумента x, которые надо провести, чтобы получить соответствующее y . Такой способ задания функции называют аналитическим. Область определения X этой функции, как правило, не указывается и называется естественной областью определения функции. Она совпадает с множеством тех действительных чисел, для которых указанная формула имеет смысл (в процессе вычислений оперируют только действительными числами). Например, если функция задана формулой , то ее естественной областью определения является множество Z целых чисел, а множеством значений — .

                  Заметим, что всякая формула является символьной записью некоторого правила, так что, в конце концов, нет принципиального различия между заданием функции с помощью правила или формулы; это различие чисто внешнее.

                  В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально. Такая функциональная зависимость задается не формулой, а лишь таблицей, где сопоставлены полученные из опыта величины. Примеры табличного задания функции можно найти в любом техническом справочнике.

                  Наконец, в некоторых случаях с помощью самопишущих приборов (например, сейсмографа) функциональная зависимость между физическими величинами задается графиком. Мы не будем останавливаться на последних способах задания функции, так как ими в математическом анализе не приходится пользоваться. С некоторыми другими способами задания функции мы познакомимся позже.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Поскольку в определены арифметические операции, то их можно определить и для действительно значных функций.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Определение 1.23. Пусть функции f и φ действуют из X в . Функцию, обозначаемую f + φ, определенную правилом:

                  ∀x ∈ X → f (x) + φ(x), называют суммой функций f и φ. Аналогично вводится произведение и частное функций.

                  Монотонные функции

                  Определение 1.24. Функция f : X -→ R называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X, если для любых x1 , x2 ∈ X таких, что x1 Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением x2, выполняется неравенство f(x1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением f(x2) (соответственно f(x1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением f(x2)).

                  Очевидно, что возрастающая на множестве X функция является неубывающей, а убывающая — невозрастающей.

                  Функции, которые являются неубывающими или невозрастающими на множестве X , еще называют монотонными функциями на X .

                  Теорема 1.1 (о существовании обратной функции к строго монотонной). Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то функция f : X → f (X) биективна и обратная к ней возрастает (убывает) на множестве f(X).

                  Пусть для определенности функция f возрастает на X . Ясно, что она сюръективна. По определению возрастающей функции разные элементы множества X имеют разные образы, поэтому функция f : X → f (X) инъективна. Следовательно, она биективна и определена обратная функция f -1 : f (X) → X по правилу:

                  ∀y ∈ f (X) → x = f -1 (y) ∈ X : f (x) = y.

                  Пусть y1, y2 — произвольные элементы множества f (X) и y1 Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемy2. Положим f -1 (y1) = x1, f -1 (y2) = x2. Тогда y1 = f (x1) и y2 = f (x2). Так как функция f-1 биективна, то x1 Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемx2. Если бы x1 , x2 удовлетворяли неравенству x1 > x2, то в силу возрастания функции f мы бы получили y1 > y2 , чего быть не может в силу выбора элементов. Таким образом

                  ∀y1, y2 ∈ f (X) : y1 Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемy2 =⇒ f -1 (y1) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемf -1 (y2),

                  что означает возрастание функции f -1 на множестве f (X).

                  Замечание. Функция, имеющая обратную, не обязательно монотонна.
                  Рассмотрим расположение графиков взаимно обратных функций в декартовой системе координат и докажем следующее утверждение.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Лемма 1.1. Если a, b ∈ , то точки M1(a, b), M2(b, a) плоскости симметричны относительно прямой y = x.

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Если a = b, то точки M1 , M2 совпадают и лежат на прямой y = x. Будем считать, что a 6= b. Прямая, проходящая через точки M1 , M2 имеет уравнение y = -x + a + b, а потому перпендикулярна прямой y = x. Поскольку середина отрезка M1 M2 имеет координаты , то она лежит на прямой y = x.
                  Следовательно, точки M1, M2 симметричны относительно прямой y = x.

                  Следствие. Если функции f : X → Y и φ : Y → X взаимно обратные, то их графики симметричны относительно прямой y = x, если они построены в одной системе координат.

                  Пусть Γf = <(x,f (x)) | x ∈ X>, Γφ = — графики функций f и φ соответственно. Так как

                  (a, b) ∈ Γf Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(b = f (a), a ∈ X) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(a = φ(b), b ∈ Y) Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(b, a) ∈ Γφ, то в силу доказанной леммы графики Γf и 1\ симметричны относительно прямой y = x.

                  Основные характеристики функции в математическом анализе

                  1. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределенная на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается четной, если для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемнечетной, если для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  График четной функции симметричен относительно оси а нечетной — относительно начала координат.

                  Функции не являющиеся ни четными, ни нечетными, относят к функциям общего вида.

                  2. Пусть функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределена на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми пусть Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЕсли для любых значений аргументов Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемиз неравенства Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемследует неравенство:

                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция называется возрастающей на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция называется неубывающей на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция называется убывающей на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением
                  • Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция называется невозрастающей на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными.

                  Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

                  3. Функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределенную на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывают ограниченной на этом множестве, если существует такое число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением, что для всех Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемвыполняется неравенство Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Следовательно, график ограниченной функции лежит между прямыми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  4. Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределенная на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемназывается периодической на этом множестве, если существует такое число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемчто при каждом Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзначение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПри этом число Т называется периодом функции. Если Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— период функции, то ее периодами будут также числа Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемгде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗа основной период берут наименьшее положительное число Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемудовлетворяющее равенству

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Обратная функция в математическом анализе

                  Пусть задана функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс областью определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми множеством значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЕсли каждому значению Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствует единственное значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто определена функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемс областью определения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми множеством значений Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТакая функция называется обратной к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми записывается в виде: Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемО функциях Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемговорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобратную к функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемдостаточно решить уравнение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемотносительно Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли это возможно.

                  Пример:

                  Для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобратной функцией является функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Пример:

                  Для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемобратной функцией является Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗаметим, что для функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзаданной на отрезке [-1;1], обратной не существует, так как одному значению у соответствуют два значения Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемесли Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемФункция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Из определения обратной функции следует, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемимеет обратную тогда и только тогда, когда функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзадает взаимно однозначное соответствие между множествами Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемОтсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

                  Заметим, что функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми обратная ей Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемизображаются одной и той же кривой, т. е. их графики совпадают. Если же условиться, что независимую переменную обозначить через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема зависимую переменную через Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемто функция обратная функции Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемзапишется в виде Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Это означает, что точка Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкривой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемстановится точкой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкривой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемЗаметим, что точки Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсимметричны относительно прямой Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемПоэтому графики взаимно обратных функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениеми Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсимметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

                  Сложная функция в математическом анализе

                  Пусть функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределена на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениема функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— на множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемпричем для Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемсоответствующее значение Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемТогда па множестве Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемопределена функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решениемкоторая называется сложной функцией от Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением(или суперпозицией заданных функций).

                  Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

                  Пример:

                  Функция Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением— композиция трех функций Функция в математике - определение, свойства и примеры с решением

                  • Наибольшее и наименьшее значения функции
                  • Раскрытие неопределенностей
                  • Дробно-рациональные уравнения
                  • Дробно-рациональные неравенства
                  • Рациональная дробь
                  • Непрерывные функции и их свойства
                  • Правило Лопиталя
                  • Вычисления в Mathematica с примерами

                  При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

                  Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

                  Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

                  Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

                  Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *