Уравнение с экспонентой как решать
Перейти к содержимому

Уравнение с экспонентой как решать

  • автор:

Уравнения экспоненты по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Экспонента представляет собой показательную функцию \[y(x) =e^x,\] производная которой равна самой функции. Экспоненту обозначают: \[e^x, exp(x), Exp(x) \]

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1. Основанием степени экспоненты является число «е». Это иррациональное число. Оно примерно равно:

Выражение числа «е» через предел последовательности. Число «е» можно выразить через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:

Выражение числа е в виде ряда

\[e = 2+1/2!+1/3!+1/3!+ \cdots +1/n!+ \cdots \]

На графике представлена экспонента, \[e\] в степени \[x:\]

На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

решать уравнения экспоненты

Что касается основных формул, то они такие же, как и для показательной функции с основанием степени \[е.\]

Выражение показательной функции через экспоненту:

Где можно решить уравнение с экспонентой онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Уравнение с экспонентой как решать

17.2.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ

Аналитическое решение уравнения состояния d х / dt = Ах + F ( t ) наиболее компактно можно получить на основе матричного аппарата. Рассмотрим сначала скалярное (одномерное) уравнение dх / dt = ах + f ( t ) . Искать его решение будем методом вариации постоянной . Поскольку решение однородного уравнения можно записать в виде х = е аt g 0 ( g 0 — константа), то решение неоднородного уравнения ищем в форме х = е аt g ( t ) ( g ( t ) — функция времени). Подставляя это представление в дифференциальное уравнение, получим

ае аt g ( t ) + е аt dg /dt = ае аt g ( t ) + f ( t ),

откуда после упрощения получим

dg /dt = е -аt f ( t ).

Интегрирование приводит к результату

который позволяет записать общее решение исходного одномерного уравнения в виде

Учитывая заданное начальное значение искомой переменной х (0) = х 0 , найдем постоянную g 0 = х 0 и окончательно запишем для одномерного уравнения

Этот результат можно обобщить на многомерный случай с помощью матричной экспоненты е A t :

где матрица е A t квадратная и имеет порядок n , как и матрица А .

В полученное выражение входит вектор начальных значений переменных состояния x 0 [ х 1 (0), х 2 (0). х п (0)], они определяются в результате анализа режима в цепи непосредственно перед коммутацией . Первое слагаемое в выражении для х ( t ) отражает свободный процесс в цепи — изменение переменных состояния под действием запасенной в цепи при t = 0 энергии и отсутствии внешних источников (закороченных источниках ЭДС и разомкнутых источниках тока).

Способы вычисления компонент матричной экспоненты е A t и их выражения для n = 2 даны в Приложении 3.

Для частных случаев закона изменения внешних источников, определяющего вид члена F ( t ), решение упрощается. Так, при действии постоянных источников F ( t ) = F 0 = cоnst, интеграл, входящий в решение х ( t ), можно вычислить. Вынося F 0 из-под интеграла, получим

Из исходного уравнения следует, что в рассматриваемом случае первое слагаемое х’ определяет составляющую решения, отвечающую режиму, устанавливающемуся в цепи после окончания переходного процесса при t ® Ґ . Действительно, в установившемся режиме при действии постоянных источников переменные состояния не зависят от времени и d х’ /dt = 0 . Следовательно, из исходного уравнения состояния для составляющей х’ будем иметь

Очевидно, эту составляющую можно найти путем непосредственного анализа цепи при t ® Ґ .

Следовательно, решение для цепи, находящейся под действием постоянных источников, можно записать в виде

Формула (17.1) является обобщением на многомерный случай полученной ранее в п. 15.4 формулы для цепи первого порядка. Последняя матричная формула определяет и результат для цепи, находящейся под действием синусоидальных источников. В этом случае x ‘ = x ‘( t ) — вектор переменных состояния в режиме после окончания переходного процесса (при t ® Ґ ), а x ‘(0) — значение этого вектора в момент коммутации.

Для вычисления последовательности значений x k при постоянном шаге по времени D t = h удобнее использовать не формулу (17.1), требующую вычисления матричной экспоненты для каждого момента времени t , а рекуррентные соотношения, выражающие переменные состояния через их значения на предыдущем шаге. Для получения таких связей при действии в цепи постоянных и синусоидальных источников используем формулу (17.1), которую для одного шага процесса можно переписать в виде

Матрицу e A h вычисляют один раз; при малом шаге h ее удобно определить, используя несколько начальных членов степенного разложения матричной экспоненты (см. Приложение 3). На первом шаге в качестве x k используют вектор начальных условий x (0), а затем процесс вычислений сводится к перемножению и суммированию матриц и векторов в соответствии с полученным разностным уравнением. Если в цепи действуют лишь постоянные источники, то в последнем соотношении можно выделить вектор ( 1 – e A h ) x’ . Он постоянен и его тоже можно вычислить один раз.

Пример расчета переходного процесса с помощью матричной экспоненты, дан в Задаче 14.2.

12 Многомерные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Ранее мы разобрали случаи уравнений на плоскости (когда n = 2 ). Сегодня мы рассмотрим общий случай. Когда мы рассматривали линейные системы на плоскости, у нас получалось, что решение задается в виде

z ( t ) = M ( t ) z 0 ,

где M ( t ) — некоторая матрица (зависящая от t ), причём M ( 0 ) = E : см. уравнения (10.6) и (10.14) предыдущей главы . Это неспроста. Пусть φ ( t ; z 0 ) — решение уравнения (12.1) с начальным условием z ( 0 ) = z 0 . Зафиксируем некоторое t и рассмотрим отображение последования (оно также называется преобразованием фазового потока) за время t :

g t ( z 0 ) = φ ( t ; z 0 )

То есть для каждой точки фазового пространства z 0 отобразим её туда, где она окажется через время t .

Пример 1. Рассмотрим систему
˙ x = 2 x , ˙ y = 3 y
g 1 ( x 0 y 0 ) = ( e 2 0 0 e 3 ) ⋅ ( x 0 y 0 ) ,
а в общем виде
g t ( x 0 y 0 ) = ( e 2 t 0 0 e 3 t ) ( x 0 y 0 )
или просто
g t = ( e 2 t 0 0 e 3 t )
Теорема 1. Для системы (12.1) и любого t отображение g t является линейным.
Доказательство. Пусть u и v — некоторые векторы из фазового пространства R n . Тогда
g t ( u + v ) = φ ( t ; u + v )

Пусть ψ ( t ) = φ ( t ; u ) + φ ( t ; v ) . Функция ψ является решением уравнения (12.1) (в силу линейности). При этом ψ ( 0 ) = φ ( 0 ; u ) + φ ( 0 ; v ) = u + v . Значит, это решение с начальным условием u + v . Но решение с начальным условием u + v задаётся функцией φ ( t ; u + v ) . Значит (по теореме о существовании и единственности), ψ ( t ) = φ ( t ; u + v ) . Таким образом,

g t ( u + v ) = φ ( t ; u ) + φ ( t ; v ) = g t ( u ) + g t ( v )

Аналогично проверяется и вторая аксиома линейности для g t . (Упражнение: завершить доказательство.) ∎

Следствие 1. Пространство решений линейного дифференциального уравнения имеет такую же размерность, как фазовое пространство.

12.2 Матричная экспонента

Таким образом, для решения уравнения (12.1) нам нужно будет найти матрицу M ( t ) (она иногда называется «матрицей монодромии»), которая задаёт решение. Как её найти? Если бы A была не матрицей, а числом (вещественным и комплексным), мы бы мгновенно записали решение в виде экспоненты. Нельзя ли с матрицей сделать то же самое, то есть записать решение уравнения (12.1) в виде экспоненты от матрицы?

z ( t ) = e A t z 0 (12.2)

На первый взгляд, это кажется безумием. (Хотя возможно вас с ним уже познакомили на курсе линейной алгебры.) Что значит «возвести число e в степень матрицы»? Ерунда какая-то. Впрочем, не большая ерунда, чем возведение числа e в степень π (вы ведь помните, что изначально возвести число в степень — это умножить его на себя сколько-то раз — как это можно сделать иррациональное число раз?). Так что может быть и с матрицей получится? Напомним, что экспоненту от числа x можно определить как сумму ряда

e x = ∞ ∑ n = 0 x n n !

Оказывается, нет ничего невозможного в том, чтобы подставить в этот ряд матрицу A . Действительно, чтобы посчитать значение этого ряда, нам нужно только уметь складывать матрицы и возводить их в натуральные степени — а это мы делать умеем. Итак, по определению,

e A = ∞ ∑ n = 0 A n n ! , A 0 = E (12.3)

  1. Ввести норму на пространстве линейных операторов. Делается это так: пусть ∥ v ∥ — норма вектора v (то есть на фазовом пространстве какая-то норма введена). В этом случае определим норму оператора A следующим образом:

∥ A ∥ = sup v : ∥ v ∥ = 1 ∥ A v ∥
∥ A ⋅ B ∥ ≤ ∥ A ∥ ⋅ ∥ B ∥ .

12.2.1 Матричная экспонента даёт решение линейного уравнения

Покажем, функция, заданная формулой (12.2) , является решением уравнения (12.1) . Действительно,

d d t e A t z 0 = d d t ∞ ∑ n = 0 t n A n z 0 n ! = ∞ ∑ n = 1 n t n − 1 A n z 0 n ! = A ∞ ∑ n = 0 t n A n n ! = A e A t z 0 .

Дифференцирование ряда допустимо, поскольку он сходится абсолютно (чего мы правда не доказали).
Вопрос 1. Правда ли, что e A + B = e A e B ?

Неверный ответ. Ну тогда попробуйте это доказать.

Верный ответ. Действительно, в отличие от чисел, матрицы не обязаны коммутировать по умножению. Поэтому ожидать выполнения этого равенства кажется странно: его левая часть не меняется от того, что мы поменяем A и B местами, а правая часть может и измениться. Подобрать теперь конкретный контрпример не очень сложно: сделайте это самостоятельно. На самом деле, именно отсутствие коммутирования для матриц не даёт нам доказать это утверждение.

12.2.2 Нахождение матричной экспоненты

Утверждение 1. Справедливо следующее соотношение
e C A C − 1 = C e A C − 1

Оно означает, что вычисление экспоненты корректно определено на пространстве операторов: оно «дружит» с заменой базиса.

Доказательство. Имеем:
C e A C − 1 = C ( ∞ ∑ n = 0 A n n ! ) C − 1 = ∞ ∑ n = 0 C A n C − 1 n ! = e C A C − 1

Это означает, что для нахождения экспоненты можно перейти в «хороший» базис (например, собственный или на худой конец жорданов), найти экспоненту там, а затем перейти в исходный базис. Рассмотрим теперь два случая.

12.2.3 Экспонента диагонализируемой матрицы

Пусть A диагонализируема, то есть существует такая матрица C , что C A C − 1 диагональная. Обозначим её за D . Тогда A = C − 1 D C . Заметим, что

exp ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ λ 1 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … λ n ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∑ ∞ k = 0 λ k 1 k ! … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … ∑ ∞ k = 0 λ k n k ! ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ e λ 1 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … e λ n ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Решение уравнения (12.1) для диагонализируемой матрицы A теперь представляется в виде:
z ( t ) = exp ( A t ) z 0 = C − 1 ⋅ exp ( D t ) ⋅ C ⋅ z 0 ,
где z 0 — начальное условие.

12.2.4 Экспонента жордановой клетки

Если матрица не диагонализируема, то она по крайней мере приводится к жордановой нормальной форме. Рассмотрим случай жордановой клетки.

J λ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ 1 … 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ … λ 1 0 … 0 λ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Чтобы найти e J λ , заметим для начала, что
J λ = λ E + N ,

где N — это нильпотентный оператор, матрица которого состоит из единичек на диагонали, сдвинутой на 1 вверх.

Заметим, что λ E коммутирует с любой другой матрицей, в том числе и с матрицей N . Можно показать (мы этого не делали), что благодаря коммутированию

e λ E + N = e λ E e N = e λ e N .

Однако матрица N нильпотентная, то есть существует такое k , что N k = 0 . В этом случае ряд для экспоненты имеет лишь конечное число ненулевых слагаемых и становится полиномом:

∞ ∑ i = 0 N i i ! = k ∑ i = 0 N i i !
Его можно посчитать явно, а значит можно найти экспоненту от жордановой клетки.

Замечание 1. Для нашего рассуждения требовалась только нильпотентность матрицы N : тот факт, что она состоит именно из единиц, не является принципиальным. В частности, абсолютно аналогично можно вычислять экспоненту от матрицы, пропорциональной жордановой клетке.

Пример 2. Рассмотрим линейное уравнение на плоскости с оператором A , имеющим совпадающие собственные значения (равные λ ), но не являющимся диагональным. Для нахождения решения по формуле (12.2) нам потребуется найти экспоненту от матрицы, пропорциональной жордановой клетке:

exp ( ( λ 1 0 λ ) t ) = exp ( ( λ t 0 0 λ t ) ) ⋅ [ ( 1 0 0 1 ) + 1 1 ! ( 0 t 0 0 ) ] = e λ t ( 1 t 0 1 ) = ( e λ t t e λ t 0 e λ t )

Фазовый портрет этой системы см. на рис. 10.7 .

12.2.5 Общий случай

Пусть ЖНФ матрицы имеет несколько клеток. Каждая из них соответствует некоторому инвариантному подпространству линейного оператора: оператор действует на различных инвариантных подпространствах независимо. Это означает, что мы можем вычислить экспоненту от каждой жордановой клетки и затем составить большую блочно-диагональную матрицу, состоящую из таких же блоков, как исходная (в ЖНФ).

Таким образом, мы можем вычислить экспоненту от любой матрицы — самым сложным этапом при этом является её приведение к ЖНФ и отыскание жорданова базиса.

Значит, мы умеем решать любые системы линейных уравнений!

Производная экспоненциальной функции

По правилу дифференцирования константу можно выносить за знак производной, тогда будем иметь:

Ответ. $y^<\prime>(x)=2 e^$

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 470 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=e^$

Решение. Искомая производная

Так как степень у экспоненты есть сложная функция, то производную от экспоненты умножим на производную от степени:

Константу выносим за знак производной:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *