Пользуясь определением предела последовательности доказать что lim
Перейти к содержимому

Пользуясь определением предела последовательности доказать что lim

  • автор:

Определение конечного предела последовательности

Приводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.

Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности».

Определение предела последовательности

Предел последовательности – это такое число a , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число Nε , зависящее от ε , что для всех натуральных n > Nε выполняется неравенство
| xn – a | < ε .
Здесь xn – элемент последовательности с номером n . Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .

ε — окрестность точки a – это открытый интервал ( a – ε, a + ε ). Сходящаяся последовательность – это последовательность, у которой существует предел . Также говорят, что последовательность сходится к a . Расходящаяся последовательность – это последовательность, не имеющая предела.

Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , то какую бы ε — окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε — окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε — окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε — окрестности может находиться не более элементов – то есть конечное число.

Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1) .

Определение, что число a не является пределом

Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.

Число a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.

Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2) .

Утверждение, что число a не является пределом последовательности, означает, что
можно выбрать такую ε — окрестность точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Рассмотрим пример. Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε — окрестность точки с ε = 1 . Это будет интервал ( –1, +1) . Все элементы, кроме первого, с четными n принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству xn > 2 . Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.

Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое , так что, для любого натурального n , существует нечетное , для которого выполняется неравенство
.

Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε — окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Эквивалентное определение предела последовательности

Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε — окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε — окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a . Окрестности точки – это любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность точки определяется так: , где ε 1 и ε 2 – произвольные положительные числа.

Тогда эквивалентное определение предела будет следующим.

Предел последовательности – это такое число a , если для любой его окрестности существует такое натуральное число N , так что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Это определение можно представить и в развернутом виде.

Предел последовательности – это такое число a , если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N , зависящее от и , что для всех натуральных выполняются неравенства
.

Доказательство равносильности определений

Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.

Пусть число a является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция , так что для любого положительного числа ε выполняются неравенства:
(4) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Пусть мы имеем два положительных числа: ε 1 и ε 2 . И пусть ε – наименьшее из них: . Тогда ; ; . Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при . Тогда и неравенства (5) выполняются при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 .
Первая часть доказана.

Теперь пусть число a является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить . Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.

Примеры

Все примеры Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .

Пример 1

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств. Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.

Пример 2

Все примеры ⇑ С помощью определения предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств. Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Пример 3

Все примеры ⇑ Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Вводим обозначения , .
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, . имеем:
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Пример 4

Все примеры ⇑ Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-07-2017 Изменено: 08-12-2017

Числовая последовательность.
Как найти предел последовательности?

На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности. Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики. Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов. Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.

Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:

Понятие числовой последовательности

Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность .

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:
называют первым членом последовательности;
вторым членом последовательности;
третьим членом последовательности;

энным или общим членом последовательности;

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:
– последовательность положительных чётных чисел:

Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел :

Ещё одна распространённая последовательность :

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть – первый член, а – шаг арифметической прогрессии. Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
– пятый;

И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой

Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до , нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: . В нашем случае:

Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой , где – первый член , а – знаменатель прогрессии . В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность .

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей, если (последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность на математическом жаргоне называют «мигалкой»:

Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»:

Факториал:
Всего лишь свёрнутая запись произведения:

Отнюдь не графомания, пригодится для задач 😉 Рекомендую осмыслить-запомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =)

Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни:

Разберёмся с последовательностью .

Сначала подставим в энный член значение и внимательно проведём вычисления:

Далее подставим в общий член :

Потом подставим следующий номер :

Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:

и так далее… пока разогреется самый последний чайник!

Понятие предела последовательности. Простейшие примеры

Для лучшего осмысления нижеследующей информации желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Конечно, в стандартном курсе математического анализа сначала рассматривают предел последовательности и только потом предел функции, но дело в том, что о самой сущности предела я уже подробно рассказывал. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее.

Впрочем, дальше могут читать все-все-все, однако если у вас возникнет непонимание или недопонимание чего-либо, то, пожалуйста, начните с пределов функций.

Пригласим на танец незамысловатую подругу :

Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:

Предел последовательности

Изобразим на числовой прямой члены последовательности и симметричную относительно нуля (предела) -окрестность:

Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной -окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.

Последовательность тоже бесконечно малА: с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.

Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:

Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».

Если у последовательности существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при ). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:

Последовательности являются бесконечно большими, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:

Арифметическая прогрессия с первым членом и шагом тоже бесконечно великА:

К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу бесконечно добавляется . Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.

У последовательностей схожая судьба:

Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА:

Если знаменатель геометрической прогрессии , то последовательность бесконечно великА:

Если же , например, , то предела вообще не существует, так как члены без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.

После небольшого разоблачения становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности легко подобрать -окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Вывод: предела не существует.

Факториал является бесконечно большой последовательностью:

Причём, растёт он как на дрожжах, так, представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.

С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:

Как найти предел последовательности?

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:

В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров .
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.

Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.

Начнём с прогрессий:

Найти предел последовательности

Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:

Так как , то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле .

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: – первый член, – знаменатель прогрессии.

Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби:

Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел

Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:
, где – первый, а – энный член прогрессии.

Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций
!

Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры № 1-3 урока Пределы. Примеры решений.

А может быть что-нибудь посложнее наподобие ? Ознакомьтесь с Примером № 3 статьи Методы решения пределов.

С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.

Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде можно узнать из Примеров № 11-13 той же статьи.

Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру № 7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.

Следующие четыре примера (№ 3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:

Найти предел последовательности

Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:

(1) В числителе дважды используем формулу .

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Найти предел последовательности

Решение оформим по той же схеме:

(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».

(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: и выбираем последовательность с наибольшим основанием: . В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на .

(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку является бесконечно убывающей геометрической прогрессией , то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: . Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения.

Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:

Найти предел последовательности

Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» нужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: .

Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.

Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата:

Очевидно, что последним множителем в произведении будет .

Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу:

Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: .

Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь:

Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом:

С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.

(1) Расписываем факториалы

(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение . Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.

(3) Сокращаем числитель и знаменатель на …. …хммм, флуда тут и впрямь много.

(4) Упрощаем числитель

(5) Сокращаем числитель и знаменатель на . Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.

Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения:

Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения.

Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи № 2-6).

Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.

Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.

Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках.

Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.

Найти предел последовательности

Решение: последовательность – ограничена: , а последовательность – бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме:

Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем.

А почему бы и нет?

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс:

Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!

Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы:

Найти предел последовательности

Решение: неопределённость можно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей:

(1) Используем формулу .

(2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.

(3) Неопределённость не устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на и, чтобы ничего не изменилось, домножаем на .

(4) Используем первый замечательный предел , при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает , которая, понятно, стремится к нулю при .

Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности:

Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной:
при .
В данном случае

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.

Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах.

В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:

Как найти предел знакочередующейся последовательности?

Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа .

Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»?

И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон:

Найти предел последовательности

Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности , которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить , нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»:

Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел:

Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока.

Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей .

Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и , то .

Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности получен бесконечный результат (или если предела нет), то у последовательности предела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с .

Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =)

Успехов в учёбе!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Найдём предел последовательности:

Используем формулу суммы первых членов арифметической прогрессии .
В данном случае

Пример 4: Решение:

Пример 6: Решение:

Пример 8: Решение:

Пример 10: Решение: последовательность – ограничена: , а последовательность , значит, по соответствующей теореме:

Пример 12: Решение:

Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .
В данном примере .

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Пользуясь определением предела последовательности доказать что lim

1. По определению число называется пределом числовой последовательности , если .
Это означает, что неравенство имеет решение .

2. Находим, при каких справедливо неравенство

т.е. решаем это неравенство относительно .

3. Если решение имеет вид , то – предел числовой последовательности .

Замечание . Если решение неравенства нельзя представить в виде , то число не является пределом последовательности.

Задача 1. Доказать, что (указать ).

Покажем, что для любого существует такой номер , что для всех .

Из последнего неравенства следует, что можно выбрать (квадратные скобки означают целую часть) и при любых будет выполняться неравенство . Значит, по определению предела последовательности

:: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине Озон

VIP Казань — Казань для достойных людей

Метод решения задачи вида «Пользуясь определением пределов последовательности , докажите равенство».

You seem to be using an older version of Internet Explorer. This site requires Internet Explorer 8 or higher. Update your browser here today to fully enjoy all the marvels of this site.

Рассмотрим метод решения на следующем примере $$\lim_\frac=\frac$$ Вспомним определение предела последовательности .

Вот мы и получили зависимость между \( \varepsilon \) и \( N \). Суть доказательства сводится к нахождению этой зависимости, т.е. если мы найдем \(N(\varepsilon)\), для которого выполняется неравенство \( |x_n-a|

5 Свойства пределов

Доказательство. Обозначим этот предел за A . Сформулируем все утверждения в кванторах. У нас есть. lim n → ∞ a n = A , в кванторах записывается так:

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n − A | < ε . (5.1) ∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n − A | < ε . (5.1) Мы хотим получить. Последовательность < a n >ограничена, то есть
∃ C ∀ n ∈ N : | a n | ≤ C . (5.2)
Итак, мы хотим из (5.1) прийти к (5.2) . Начнём как обычно с картинки.
Рис. 5.1: Ограниченность последовательности, имеющей предел.

Хвост последовательности. На картинке видно, что кусок последовательности, начинающийся с номера n = N ( ε ) + 1 («хвост»), явно ограниченный: все элементы живут в коридоре вокруг числа A и не могут от него далеко уходить. Из рисунка получается, что все эти элементы ограничены по модулю числом A + ε (верхняя граница коридора), но это потому, что мы его так нарисовали — если бы A было меньше нуля, картинка оказалась симметричной (относительно горизонтальной оси) и ограничение проходило бы по нижней границе коридора. Чтобы не возиться с разбором разных случаев, мы будем пользоваться свойствами модулей. Однако, прежде, чем мы перейдём к аккуратному построению, нужно решить важный вопрос. Дело в том, что у нас сейчас нет никакого ε . Нам сказано (в (5.1) ), что N найдётся для любого ε > 0 , то есть ε мы можем задавать сами. Но как? На самом деле, здесь можно выбрать любое значение ε > 0 . Например, положим ε = 1 . Пусть N = N ( 1 ) — теперь это какое-то зафиксированное число. Тогда для всех n > N ,

| a n − A | < 1.

Итак, мы имеем оценку для | a n − A | для хвоста последовательности. А хотим, как следует из (5.2) , оценку для | a n | . Как её получить? Воспользуемся неравенством треугольника! Величина | a n | — это расстояние от a n до нуля. Это расстояние не больше, чем сумма расстояний от a n до A и от A до 0 :

| a n | = | a n − 0 | ≤ | a n − A | + | A − 0 | = | a n − A | + | A | .
| a n | = | a n − 0 | ≤ | a n − A | + | A − 0 | = = | a n − A | + | A | .
Но мы знаем, что для n > N , | a n − A | < 1 . Следовательно, для тех же n , | a n | < | A | + 1. (5.3)

Итак, для хвоста последовательности мы получили искомую оценку. Однако, это ещё не конец доказательства. Вдруг хвост ограниченный, а «голова» (элементы до N включительно) нет? Начало последовательности. На самом деле, этого не может быть. Дело в том, что элементов от a 1 до a N всего конечное число (их ровно N штук). А любое конечное множество обязательно ограниченно, потому что в нём есть максимальный элемент — такой элемент, который не меньше всех остальных. (Аккуратное доказательство этого утверждения — хорошее упражнение. Подсказка: можно сделать индукцию по числу элементов и воспользоваться тем фактом, что среди двух чисел всегда одно не меньше другого.) Сведём всё воедино. Итак, хвост последовательности можно ограничить числом | A | + 1 , а начало — максимальным из модулей чисел a 1 , a 2 , …, a N . Положим:

По построению, C искомое. Действительно, для всех натуральных n , либо n ≤ N , и тогда | a n | ≤ C по определению максимума, либо n > N , и тогда | a n | < | A | + 1 ≤ C по (5.3) . ∎

5.1.2 Бесконечные пределы

Итак, мы выяснили, что все сходящиеся последовательности ограничены. Однако, оказывается полезным выделить среди неограниченных последовательностей такие, чьё поведение похоже на поведение последовательностей, которые куда-то стремятся — только не к какому-то числу, а «к бесконечности». Аккуратный смысл этого выражения даётся следующими определениями.

Определение 1. Последовательность < a n >стремится к бесконечности, если для всякого числа C ∈ R найдётся такое натуральное N = N ( C ) , что для всех n > N выполняется неравенство | a n | > C . В кванторах:

∀ C ∈ R ∃ N = N ( C ) ∀ n > N : | a n | > C .
lim n → ∞ a n = ∞
a n → ∞ п р и n → ∞ .
Рис. 5.2: Последовательность стремится к бесконечности.

Определение 2. Последовательность < a n >стремится к плюс бесконечности, если для всякого числа C ∈ R найдётся такое натуральное N = N ( C ) , что для всех n > N выполняется неравенство a n > C . В кванторах:

∀ C ∈ R ∃ N = N ( C ) ∀ n > N : a n > C .
lim n → ∞ a n = + ∞
a n → + ∞ п р и n → ∞ .

Определение 3. Последовательность < a n >стремится к минус бесконечности, если для всякого числа C ∈ R найдётся такое натуральное N = N ( C ) , что для всех n > N выполняется неравенство a n < C . В кванторах:

∀ C ∈ R ∃ N = N ( C ) ∀ n > N : a n < C . lim n → ∞ a n = − ∞ a n → − ∞ п р и n → ∞ .

  1. Последовательность < a n >, a n = n , стремится к бесконечности, а также к плюс бесконечности.
  2. Последовательность < ( − 1 ) n n >стремится к бесконечности, но ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности не стремится.
  3. Последовательность < n + ( − 1 ) n n >не стремится ни к какой бесконечности, хоть и является неограниченной.

Замечание 1. В некоторых источниках — например, в учебнике Стюарта — используются немного другие обозначения: то, что мы называем просто бесконечностью, без знака, там обозначается через ± ∞ , а то, что мы называем плюс бесконечностью, там обозначается просто как ∞ . Мы будем придерживаться более привычными для русскоязычного читателя обозначениями.

Замечание 2. Нужно понимать, что в формуле
lim n → ∞ a n = ∞ ,

знак ∞ не является вещественным числом, то есть эту формулу не следует воспринимать как арифметическое равенство. Это условное обозначение для утверждения, точный смысл которого сформулирован в опредении 1 выше. Несмотря на то, что мы пишем, что предел чему-то равен, мы по-прежнему будем считать, что он не существует (поскольку последовательность < a n >не удовлетворяет определению предела ). Про последовательность < a n >мы будем говорить, что она расходится — но расходится не абы как, а «к бесконечности».

5.2 Арифметика пределов

Пусть есть две последовательности, < a n >и < b n >. Над ними можно проводить арифметические операции: складывать, вычитать, умножать, делить. Операции над последовательностями проводятся поэлементно. Например, пусть последовательность < c n >является суммой последовательностей < a n >и < b n >. Можно записать:

что будет означать
∀ n ∈ N : c n = a n + b n .

Серия утверждений, которые мы докажем в этом разделе, говорит о том, как операция перехода к пределу взаимодействует с арифметическими операциями.

5.2.1 Предел суммы

Теорема 2. Пусть даны две последовательности, < a n >и < b n >и существуют пределы lim n → ∞ a n = A , lim n → ∞ b n = B . (5.4) (5.5) Тогда предел последовательности < a n + b n >тоже существует и равен A + B :

lim n → ∞ ( a n + b n ) = A + B .
Попросту говоря, «предел суммы равен сумме пределов».

Заметим, что A и B здесь — обязательно обычные вещественные числа, поскольку требуется, чтобы пределы существовали (см. замечание 2 ).

Доказательство. Перепишем формально, что нам дано, и что требуется доказать.

∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < ε 1 . ∀ ε 2 >0 ∃ N 2 = N 2 ( ε 2 ) ∀ n > N 2 : | b n − B | < ε 2 . (5.6) (5.7)

∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < ε 1 . ∀ ε 2 >0 ∃ N 2 = N 2 ( ε 2 ) ∀ n > N 2 : | b n − B | < ε 2 . (5.6) (5.7)

Мы хотим доказать.

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | ( a n + b n ) − ( A + B ) | < ε . (5.8) ∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | ( a n + b n ) − ( A + B ) | < ε . (5.8)

Утверждения (5.6) и (5.7) можно понимать так: мы можем добиться того, чтобы a n был близок к A , а b n был близок к B , накладывая подходящие условия на n . Утверждение (5.8) , которое мы хотим доказать, звучит так: мы хотим научиться накладывать такие условия на n , чтобы сделать ( a n + b n ) близким к ( A + B ) . Выглядит логично: если a n близко к A , а b n близко к B , то логично ожидать, что ( a n + b n ) окажется близко к ( A + B ) . Осталось доказать!

Начнём с преобразования левой части неравенства в конце (5.8) :

| ( a n + b n ) − ( A + B ) | = | ( a n − A ) + ( b n − B ) | .
| ( a n + b n ) − ( A + B ) | = = | ( a n − A ) + ( b n − B ) | .

Это тождественное преобразование (раскрыли скобки и перегруппировали слагаемые), но оно позволяет выделить в формуле те разности, которые мы умеем оценивать: ( a n − A ) и ( b n − B ) . Вернее, мы умеем оценивать их модули, поэтому нам понадобится одно из свойств модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей:

| ( a n − A ) + ( b n − B ) | ≤ | a n − A | + | b n − B | . (5.9)
| ( a n − A ) + ( b n − B ) | ≤ ≤ | a n − A | + | b n − B | . (5.9)

Теперь заметим, что первое слагаемое мы можем сделать меньшим, чем ε 1 , а второе — меньшим, чем ε 2 . Но как выбрать ε 1 и ε 2 ? Мы хотим в конечном итоге прийти к неравенству, в правой части которого будет ε . Значит, можно выбрать ε 1 и ε 2 так, чтобы их сумма равнялась ε . Положим:

ε 1 = ε 2 , ε 2 = ε 2 .

Теперь мы можем подставить эти ε 1 и ε 2 в утверждения (5.6) и (5.7) . Каждое из них выдаст нам в ответ своё N (вернее, N 1 и N 2 ) — номера членов, после которых выполняется соответствующая оценка для | a n − A | и | b n − B | . Мы хотим, чтобы они выполнялись обе. Как обычно, это означает, что из получившихся значений нужно выбрать максимальное.

Итак, мы готовы сформулировать железобетонное доказательство. Для любого ε > 0 положим ε 1 = ε / 2 и ε 2 = ε / 2 . Из (5.6) и (5.7) получим такие N 1 = N 1 ( ε 1 ) = N 1 ( ε / 2 ) и N 2 = N 2 ( ε 2 ) = N 2 ( ε / 2 ) , что для всех n > N 1

| a n − A | < ε 1 = ε 2 , (5.10) и для всех n > N 2
| b n − B | < ε 2 = ε 2 . (5.11) Положим теперь: N ( ε ) : = max ( N 1 ( ε 2 ) , N 2 ( ε 2 ) ) .

Тогда для всех n > N ( ε ) , будет выполнятья n > N 1 и n > N 2 , и значит будут выполняться обе оценки (5.10) и (5.11) .

Значит, согласно (5.9) , для всех таких n , будет также выполняться оценка

| ( a n + b n ) − ( A + B ) | ≤ | A n − A | + | B n − B | < ε 2 + ε 2 = ε . | ( a n + b n ) − ( A + B ) | ≤ ≤ | A n − A | + | B n − B | < < ε 2 + ε 2 = ε .

Таким образом, (5.8) доказано: мы научились по каждому положительному ε строить такое N , что для всех n > N выполнено неравенство | ( a n + b n ) − ( A + B ) | < ε .

Замечание 3. Это типичный пример доказательства теоремы, в которой нам даны какие-то утверждения о пределах и нужно доказать какие-то другие утверждения про пределы. Важно проследить, как это доказательство устроено, какие числа мы воспринимаем как данные, а какие строим сами.

Утверждение (5.8) мы хотим доказать. В нём сказано, что для всякого ε > 0 должно найтись такое N , что (и дальше сказано, что N «хорошее», обладает нужным нам свойством). Это означает, что для доказательства этого утверждения нам нужно научиться по каждому ε научиться строить N (как правило, в таких задачах доказать, что N существует, проще всего, предъявив явный алгоритм, как его строить) и доказывать, что оно «хорошее».

Далее, утверждение, например, (5.6) нам дано. В нём сказано, что для всякого ε 1 > 0 найдётся такое N 1 , что (и дальше сказано, что N 1 «хорошее»). Это означает, что мы можем по своему выбору выбирать ε 1 , и это утверждение в ответ выдаст нам N 1 , которое гарантированно удовлетворяет указанному далее свойству. В дальнейшем мы можем использовать это N 1 в нашем доказательстве — в данном случае мы его использовали (вместе с N 2 , полученным из (5.7) ), чтобы построить наше N , существование которого нужно было доказать. В доказательстве того, что N действительно то, которое нам нужно, мы использовали соответствующие «хорошие» свойства N 1 и N 2 , гарантированные нам утверждениями (5.6) и (5.7) . Чтобы связать всю конструкцию воедино, нам нужно было выбрать ε 1 и ε 2 в зависимости от нашего ε . Мы их выбрали ровно такими, чтобы получившаяся оценка была такой, какая нам нужна.

Всё вместе это выглядит как построение своего рода механизма, который принимает какой-то материал на вход и на выход выдаёт в точности то, что требуется, используя по ходу своей работы промежуточные механизмы, которые нам также даны, см. рис. 5.3 и 5.4 .

Рис. 5.3: Схема доказательства теоремы о пределе суммы: построение N по ε .

Рис. 5.4: Схема доказательства теоремы о пределе суммы: доказательство, что построенное N удовлетворяет условию в определении предела.

Построением таких механизмов мы будем заниматься на протяжении всего курса.

5.2.2 Упрощающая лемма

Давайте посмотрим ещё раз на доказательство теоремы 2 . Нам пришлось довольно хитрым образом выбирать ε 1 и ε 2 по ε , чтобы в итоге получилось нужное неравенство. Этот момент выглядит немножко неестественным. Что было бы, если бы мы просто положили ε 1 = ε и ε 2 = ε ? Тогда в конечном итоге было бы доказано такое утверждение:

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n − A | < 2 ε .

Это утверждение не является определением предела. Тем не менее, понятно, что оно эквивалентно определению предела: выбирать произвольное положительное значение ε и выбирать произвольное положительное значение 2 ε — это одно и то же!

Следующая лемма, которой мы будем в дальнейшем пользоваться, формализует это соображение.

Лемма 1. Пусть нашлась такая константа C , что для всякого ε 1 > 0 найдётся такое N 1 = N 1 ( ε 1 ) что для всякого n > N 1 выполняется неравенство | a n − A | < C ε 1 . Тогда lim n → ∞ a n = A .

∃ C ∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < C ε 1 . ∃ C ∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < C ε 1 . lim n → ∞ a n = A . (5.12)

Иными словами, если при доказательстве утверждения (5.12) получилось доказать «испорченное» определение предела, где в правой части последнего неравенства вместо ε стоит 10 ε или 15 ε или какое-нибудь ( M + 1 ) 2 ε — ничего страшного, это всё равно победа. Главное, чтобы константа, стоящая перед ε , не зависела от n .

Доказательство. Во-первых, заметим, что C обязательно больше нуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен, поэтому неравенство | a n − A | < C ε 1 может выполняться лишь при условии, что в правой части стоит положительное число, а ε 1 >0 , значит C > 0 .

Перепишем условие (5.12) формально. Оно выглядит так:

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n − A | < ε .

Чтобы по ε найти N , возьмём ε 1 = ε C (имеем право так написать, потому что C > 0 , и значит деление допустимо и не поменяет знак) и положим N = N 1 ( ε 1 ) = N 1 ( ε / C ) . Тогда для всех n > N выполняется неравенство:

| a n − A | < C ε 1 = C ε C = ε . Что и требовалось получить. Лемма доказана. ∎

Замечание. В формулировке леммы C может быть меньше 1 , хотя в этом случае она становится тривиальной: если у нас есть утверждение, начинающееся как определение предела, а заканчивающееся, например, неравенством | a n − A | < ε / 2 , то это уже победа: мы просто продолжим цепочку неравенств | a n − A | < ε / 2 < ε и получим то, что требовалось в «честном» определении предела. Можно было бы в доказательстве леммы рассмотреть два случая, C < 1 и C >1 , и для C < 1 написать более простое рассуждение (просто «ничего не делать», то есть положить ε 1 = ε , N = N 1 ( ε ) ), но приведённое выше доказательство работает в обоих случаях, так что в этом нет необходимости.

Теперь при доказательстве теорем, аналогичных теореме 2 , мы не будем подбирать хитрым образом вспомогательные ε , а вместо этого просто будем считать ε 1 = ε 2 = ε и дальше воспользуемся только что доказанной леммой. Начнём с теоремы о пределе произведения.

5.2.3 Предел произведения

Теорема 3. Пусть даны две последовательности, < a n >и < b n >и существуют пределы lim n → ∞ a n = A , lim n → ∞ b n = B . (5.13) (5.14) Тогда предел последовательности < a n b n >тоже существует и равен A B :

lim n → ∞ a n b n = A B .
Попросту говоря, «предел произведения равен произведению пределов».
Доказательство. Как обычно, запишем, что нам известно, и что нужно доказать.

Нам дано. Равенства (5.13) и (5.14) записываются в виде:

∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < ε 1 . ∀ ε 2 >0 ∃ N 2 = N 2 ( ε 2 ) ∀ n > N 2 : | b n − B | < ε 2 . (5.15) (5.16)

∀ ε 1 > 0 ∃ N 1 = N 1 ( ε 1 ) ∀ n > N 1 : | a n − A | < ε 1 . ∀ ε 2 >0 ∃ N 2 = N 2 ( ε 2 ) ∀ n > N 2 : | b n − B | < ε 2 . (5.15) (5.16)

Мы хотим доказать. Равенство (5.17) :

∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n b n − A B | < ε . (5.17) ∀ ε > 0 ∃ N = N ( ε ) ∀ n > N : | a n b n − A B | < ε . (5.17)

Преобразуем левую часть последнего неравенства в (5.17) . Для этого воспользуемся картинкой (см. рис. 5.5 ).

Рис. 5.5: Иллюстрация к формуле (5.18) .

Выражение ( a n b n − A B ) — разность площадей двух прямоугольников, которая выглядит как уголок. Можно разбить этот уголок на два прямоугольника, один со сторонами ( a n − A ) и B , а другой со сторонами a n и ( b n − B ) . Имеем:

| a n b n − A B | = | ( a n − A ) B + a n ( b n − B ) | . (5.18)
| a n b n − A B | = = | ( a n − A ) B + a n ( b n − B ) | . (5.18)

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, легко проверить, что это алгебраическое тождество. (Как правило переход слева направо в этом тождестве делается с помощью приёма «добавим и вычтем a n B », что выглядит как фокус — нарисовав картинку мы раскрыли секрет этого фокуса.)

Воспользуемся теперь свойствами модулей: модуль суммы не превосходит суммы модулей, модуль произведения равен произведению модулей. Получаем такую оценку:

| ( a n − A ) B + a n ( b n − B ) | ≤ | a n − A | ⋅ | B | + | a n | ⋅ | b n − B | (5.19)
| ( a n − A ) B + a n ( b n − B ) | ≤ ≤ | a n − A | ⋅ | B | + + | a n | ⋅ | b n − B | (5.19)

Заметим, что сомножители | a n − A | и | b n − B | мы умеем делать маленькими благодаря известным нам пределам. А именно, положим ε 1 = ε 2 = ε и пусть N = max ( N 1 ( ε ) , N 2 ( ε ) ) . Тогда для всех n > N :

| a n − A | < ε , | b n − B | < ε . Разберемся теперь с остальными сомножителями (см. рис. 5.6 ).

Во-первых, | B | . С ним ничего делать не надо: это просто число, которое не зависит от n .

Далее, | a n | . С этой штукой не так просто: она от n зависит. Однако, мы помним , что последовательность, имеющая предел, ограничена. А последовательность < a n >имеет предел по условию. Значит, найдётся такое C 1 , что для всех n , | a n | < C 1 .

Рис. 5.6: Иллюстрация к формуле (5.20) .

Все сомножители неотрицательны, и значит можно оценить каждый из сомножителей, оценить их произведение, а потом оценить сумму. Имеем:

| a n − A | ⋅ | B | + | a n | ⋅ | b n − B | < | B | ε + C 1 ε = ( | B | + C 1 ) ε . (5.20) | a n − A | ⋅ | B | + + | a n | ⋅ | b n − B | < < | B | ε + C 1 ε = ( | B | + C 1 ) ε . (5.20)

Соединяя (5.18) , (5.19) и (5.20) в одну длинную цепочку неравенств, получаем неавенство, верное для всех n > N :

| a n b n − A B | < ( | B | + C 1 ) ε . Положим теперь C = | B | + C 1 и по лемме 1 искомое утверждение доказано. ∎

5.3 Заключение

Мы продолжаем строить теорию пределов и в этой лекции определили новое понятие — бесконечные пределы, причём аж трёх видов (к счастью, очень похожих друг на друга). Мы также доказали ряд важных общих свойств конечных пределов. Во-первых, сходящаяся (к конечному числу) последовательность ограничена. Во-вторых, предел суммы равен сумме пределов, а предел произведения — произведению пределов (но только если все эти пределы существуют, то есть, опять же, конечны). Наконец, мы доказали очень полезную лемму, которой будем пользоваться в дальнейшем. В следующей лекции мы разберемся с пределом частного — с ним будет всё похитрее. Не переключайтесь!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *