Почему параллельные прямые не пересекаются
Перейти к содержимому

Почему параллельные прямые не пересекаются

  • автор:

Почему параллельные прямые не пересекаются?

В школах изучается ЕВЛИДОВА геометрия! В основе ее лежит несколько аксиом (предложений, не требующих доказательств, т. е. , принимаемых за «очевидное»). Одной из аксиом и является: ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ! ! У тебя же возник вопрос ЛОБАЧЕВСКОГО, которому требуется все доказать! Так ВОТ! ! По ЛОБАЧЕВСКОМУ параллельные прямые пересекаются! ! Ответ заключается в том, что ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ построена на ограниченной плоскости с радиусом кривизны принимаемым за бесконечность! Но все плоскости имеют не бесконечный радиус кривизны, а ограниченный. (Пример: ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ!! . )Более глубоко- «ГЕМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО»!!

Источник: геометрии.
Остальные ответы
потому что они всегда идут друг от друга на равном расстоянии, не ближе не дальше
Философский вопрос))) )
ты что дурак.
видно, не судьба им пересечься.

Жили – были в Геометрии две Прямые а и b. Они очень дружили. Как-то захотели поиграть, но не смогли встретиться, и заплакали.

Рядом с ними гуляла Аксиома. Услышав плачь, она прибежала и спросила: «Почему вы плачете?» . «Мы плачем, — ответила Прямая а, — потому что хотим играть вместе, но у нас не получается встреча» . «Ты можешь нам помочь? – спросила Прямая b. Аксиома отвечала: «Помочь я вам не смогу. Но я могу вам сказать, почему вы не пересекаетесь» .

— Слышала я, что есть в Геометрии закон: параллельные прямые не пересекаются на плоскости. Возможно, вы и есть параллельные прямые.

Прямые очень разочаровались, но Прямая b сказала: «Ничего, существуют на свете такие игры, в которые можно играть на расстоянии» . Когда проблема была решена, Аксиома распрощалась с ними. С тех пор параллельные прямые всегда идут рядом, но никогда не пересекаю.

Они не пересекаются в Эвклидовой геометрии, Вы это поняли, а в других геометриях они пересекаются, попробуйте, понять это.

Правда ли, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются?

В известном романе Бориса Акунина «Турецкий гамбит» один из героев говорит другому: «Да кто вы такой, чтобы судить, кто несёт цивилизации благо, а кто гибель!? Государственный механизм он изучал, с вождями знакомился! А с графом Толстым, с Фёдором Михайловичем Достоевским вы познакомились? А русскую литературу вы читали? Что, времени не хватило? Дважды два это всегда четыре, а трижды три девять, да? Две параллельные прямые никогда не пересекаются? Это у вашего Эвклида они не пересекаются, а у нашего Лобачевского пересеклись!»

Аналогичное мнение в своё время высказывали такие известные люди, как писатели Александр Проханов, Евгений Водолазкин, Макс Фрай, журналисты Алексей Венедиктов и Юлия Латынина, политолог Леонид Радзиховский (хотя тот же Венедиктов позднее назовёт это конкретное высказывание глупостью), руководитель департамента здравоохранения Москвы Леонид Печатников, а также менее знаменитые деятели на страницах ТАСС, «Известий», на «Радио Свобода» и во многих других СМИ.

Для начала хотелось бы прояснить, в чём состоит утверждение о параллельных прямых из «Начал» Евклида — то самое, с которым поспорил Лобачевский в своей теории. Как пишет доктор физико-математических наук Владимир Успенский в своей книге «Апология математики», «практически все слышали про аксиому о параллельных прямых, ведь её проходят в школе». И абсолютное большинство опрошенных им на предмет её содержания случайных людей дали один и тот же чёткий ответ: аксиома состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются.

Однако давайте заглянем в первоисточник. Первое систематическое изложение планиметрии (раздела геометрии, изучающего фигуры на плоскости) дал древнегреческий математик Евклид в его труде «Начала». В основу своей теории Евклид положил пять аксиом (или постулатов) — утверждений, не требующих доказательств.

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Ничего похожего на популярную формулировку, не так ли? Наше внимание мы обратим на пятый постулат, который в современных источниках часто формулируется так (подобную подачу приписывают Проклу, а также иногда называют аксиомой Плейфера): «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

А что такое параллельные прямые? По определению (а вовсе не по какой-либо аксиоме) это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, то, что огромное количество людей принимает за аксиому о параллельных прямых, является всего лишь их определением. А пресловутый пятый постулат Евклида выглядит совсем иначе.

Так что же сделал Николай Лобачевский? Многие его предшественники веками пытались доказать или опровергнуть пятый постулат Евклида, однако им для этого нужна была точка опоры, база, в качестве которой мог выступить только сам этот постулат. При этом на первый взгляд кажется, что его истинность очевидна. Однако 28-летний математик из Казанского университета не был в этом так уверен. Лобачевский попробовал заменить пятый постулат на его противоположность: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её».

Остальные четыре аксиомы Лобачевский не тронул. Математика интересовало, что будет после этого со всей системой геометрических теорем и иных утверждений, не вылезут ли противоречия, которые косвенно докажут, что предположение Евклида, пусть и недоказанное, было единственно и неизбежно верным. Но оказалось, что мир не рухнул. Все базовые утверждения классической геометрии прекрасно выстояли и на этом фундаменте.

Вот только зрительно представить подобную ситуацию достаточно сложно. Кто-то спросит: «А зачем её представлять? Важно, что в теории всё корректно» — и формально будет прав. Однако, по-видимому, иначе рассуждали члены учёной комиссии Казанского университета, прослушавшие доклад молодого математика 7 февраля 1826 года. Презентация работы под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» провалилась, и рукопись даже не попала в печать.

Пройдёт три года, и Николай Лобачевский, теперь уже ректор университета, найдёт возможность опубликовать свой труд «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник». К сожалению, наука того времени ещё не была готова принять такой подход — в частности, работа удостоилась отрицательной рецензии Михаила Остроградского, одного из крупнейших русских математиков. И только несколько лет спустя на Лобачевского обратят внимание в Европе — в частности, «король математиков» Карл Фридрих Гаусс выдвинет его в члены-корреспонденты Гёттингенского королевского научного общества, а параллельно будет изучать идеи коллеги в оригинале, на русском языке. Сам Гаусс придерживался подобных идей, по его словам, уже много лет.

И только полтора десятилетия спустя появятся математические модели, в которых теория Лобачевского будет работать, не вызывая бесконечных споров. В частности, проективная модель, где за плоскость принимается внутренность круга, а за прямую — его хорда. В результате тот очевидный факт, что через одну точку, лежащую внутри круга, можно провести сколько угодно хорд, не пересекающихся с одной фиксированной хордой, в таких правилах игры становится иллюстрацией пятого начала геометрии Лобачевского. Другой пример реализации теории Лобачевского — псевдосфера, поверхность вращения кривой:

А в 1868 году выйдет доклад Бернхарда Римана, человека, который предложит свой подход в неевклидовой геометрии — несколько иной, нежели у Лобачевского. Однако успех его теории станет лишним подтверждением величия казанца, поскольку два математика сделали схожие шаги, только в разных пространствах. Если говорить математическими терминами, то у Евклида гауссова кривизна нулевая (1), у Лобачевского — отрицательная (2), у Римана — положительная (3):

Но это совсем другая история, а здесь необходимо заключить, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые тоже не пересекаются — ничего похожего русский математик не утверждал. В геометрии же Римана, вопреки утверждениям некоторых СМИ, просто нет параллельных прямых.

Параллельные прямые

Параллельные прямые

Паралле́льные прямы́е, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна такая прямая. Это утверждение равносильно Пятому постулату Евклида (о параллельных).

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C C C (рис.) вне данной прямой A B AB A B проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих A B AB A B . Из них параллельными к A B AB A B называются только две. Прямая C E CE CE называется параллельной к прямой A B AB A B в направлении от A A A к B B B , если: 1) точки B B B и E E E лежат по одну сторону от прямой A C AC A C ; 2) прямая C E CE CE не пересекает прямую A B AB A B ; всякий луч, проходящий внутри угла A C E ACE A CE , пересекает луч A B AB A B . Аналогично определяется прямая C F CF CF , параллельная к A B AB A B в направлении от B B B к A A A .

Редакция математических наук

Опубликовано 24 августа 2022 г. в 12:05 (GMT+3). Последнее обновление 24 августа 2022 г. в 12:05 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Параллельные прямые

Области знаний: Планиметрия

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

А все таки они не пересекаются! ⁠ ⁠

В геометрии Лобачевского параллельные прямые не пересекаются. Они в принципе ни в какой геометрии не пересекаются. По определению: «Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются».

Отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида — 5 постулат.
Евклид:
— В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Лобачевский:
— А вот есть такие плоскости, где и не одну.

Но миф живуч, как и миф о Галилее и шарообразности Земли.

8 лет назад

В геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в несобственной точке.

раскрыть ветку
8 лет назад

Иллюстрация к комментарию

8 лет назад

— А вот есть такие плоскости, где и не одну.

Ужас, Лобачевский завертелся. На плоскости — геометрии Евклида, а у Лобачевского на поверхности с отрицательной кривизной.

раскрыть ветку
8 лет назад
Похожие посты
1 месяц назад

Учит ли Физтех делить на ноль и пересечению параллельных?⁠ ⁠

В ответ на задолбавший уже вопрос «Почему нельзя делить на ноль» @cSharpminor пишет:

В матане можно и нужно. И параллельные прямые пересекаются в геометрии Лобачевского. Просто на уровне среднего образования это бессмысленно объяснять

Предмет, в рамках которого в физтехе нам объясняли принцип и применение деления на ноль, назывался математический анализ.

Надеюсь, он клевещет на МФТИ. Вероятно, его отчислили после первой сессии за неуспеваемость по матану и за невежество в вопросах школьной программы, парень даже не успел привыкнуть к выражению «на Физтехе» и пишет «в физтехе».

Не мог Физтех так низко пасть. Комментатор просто не понял и не запомнил, чему его учили.

Параллельные прямые не пересекаются ни в какой геометрии по определению. Причем в геометрии Евклида для данной прямой есть одна параллельная, проходящая через заданную точку вне ее. В геометрии Лобачевского таких параллельных бесконечное (континуальное) множество, иногда параллельными называют только две из них — крайние. Наконец, в геометриях типа сферической параллельных нет вовсе.

Учит ли Физтех делить на ноль и пересечению параллельных? МФТИ, Лобачевский, Параллельность, Деление на ноль, Математика, Ответ, Длиннопост

Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий. В геометрии Лобачевского для любой прямой BC и точки A вне неё есть целый класс проходящих через A и не пересекающих BC прямых, две из которых Лобачевский назвал параллельными.

Нет параллельных и в проективной геометрии, про которую иногда говорят, что в ней параллельные пересекаются в бесконечно удаленной точке: в нестрогом смысле так и есть, но бесконечная точка для того и введена, чтобы можно было работать как бы в Евклидовой геометрии, но объявив, что параллельных прямых в ней нет.

В быту можно говорить, что параллельные прямые пересекаются в проективной геометрии, но формально это неверно, там все прямые объявлены непараллельными. В геометрии же Лобачевского параллельные прямые есть и они не пересекаются — по определению.

Это студент Физтеха должен был узнать еще из школы. В обычных школах неевклидовы геометрии не проходят (хотя в учебнике Атанасяна в конце про них немного говорится), но определение параллельных даётся в любом учебнике, и из него понятно, что параллельные не могут пересекаться ни в какой геометрии, если не придумать для слова «параллельный» какое-то нестандартное определение.

Учит ли Физтех делить на ноль и пересечению параллельных? МФТИ, Лобачевский, Параллельность, Деление на ноль, Математика, Ответ, Длиннопост

Атанасян, Бутузов, Геометрия 7-9 классов.

Учит ли Физтех делить на ноль и пересечению параллельных? МФТИ, Лобачевский, Параллельность, Деление на ноль, Математика, Ответ, Длиннопост

Атанасян, Бутузов, Геометрия 7-9 классов. Приложение 2.

Учит ли Физтех делить на ноль и пересечению параллельных? МФТИ, Лобачевский, Параллельность, Деление на ноль, Математика, Ответ, Длиннопост

Погорелов, Геометрия 7-9 классов.

Перейдем к навету на Физтех, будто там на матанализе учат делить на ноль.

На ноль в математическом анализе не делят.

Изучают сходимость отношения двух функций или последовательностей, вторая из которых бесконечно малая. И получают ответ: если первая не бесконечно малая, то оно (отношение) — бесконечно большое, в противном случае общего правила нет и можно раскрыть неопределенность, например, методом Лопиталя. На ноль при этом никто не делит.

В обычных школах этому не учат: пропустив тему пределов, сразу переходят к производным. Но если бы @cSharpminor успешно закончил первый семестр на Физтехе, его бы этому научили. Вот скан из физтеховского учебника по матану:

Учит ли Физтех делить на ноль и пересечению параллельных? МФТИ, Лобачевский, Параллельность, Деление на ноль, Математика, Ответ, Длиннопост

Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1.

Можно ли делить на ноль где-то еще, не в математическом анализе? В принципе можно, рассматриваются алгебраические структуры, для которых это допустимо. Так как такие структуры не обладают полезными свойствами (они не поля, не кольца, даже не полуполя), их редко изучают в вузах.

Предвижу типичные комментарии и сразу на них отвечу.

«В матанализе делят не на ноль, а на бесконечно малое число» — нет, в традиционном матанализе нет понятия бесконечно малого числа. Единственное число, которое так можно было бы назвать, это ноль. И в матанализе не учат делить ни на какое число. Вы путаете деление на число с нахождением предела отношения двух функций, одна из которых стремится к числу.

«В матанализе делят не на ноль, а на число, стремящееся к нулю» — число никуда не стремится, стремятся функции и последовательности.

«Делить можно, получается бесконечно большое число» — бесконечно большого числа не существует, кроме как в некоторых экзотических расширениях. Причем в том расширении, которое используется чаще — аффинном — на ноль все равно делить нельзя, потому что непонятно, какое из двух бесконечных чисел взять. В обычных же определениях, как и в быту, числа «бесконечность» нет. В матане его тоже нет: значок ∞ используется как сокращенная запись того, что функция или последовательность неограниченно возрастает.

«Параллельные прямые пересекаются в бесконечности» — не совсем, см. объяснение выше. Это евклидовы параллельные прямые, не пересекаясь в евклидовом пространстве, могут считаться условно пересекающимися на некой бесконечно удаленной прямой. Польза от такого определения только в том, что пропадает понятие параллельности, а евклидовы аксиомы меняются так, что допускается двойственность: можно назвать точки прямыми, а прямым точками, и все старые утверждения останутся верными.

Показать полностью 5
5 месяцев назад

Детская задачка по геометрии поставила взрослых в тупик⁠ ⁠

Родитель из Ирландии попросил интернет решить задание по геометрии из учебника его ребенка. В задачке изображен полукруг, а вопрос звучит: «Сколько у него углов?» Ребенок автора поста посчитал, что два, записав ответ. Учитель же назвал такой результат неверным, исправив ответ на ноль. Именно этот момент и озадачил как отца ребенка, так и интернет-пользователей, которые подключились к поиску правильного ответа.

Детская задачка по геометрии поставила взрослых в тупик Логика, Геометрия, Задача, Школа, Учеба, Учебник, Преподаватель, Образование, Урок, Школьники, Учитель, Развитие, Математика, Обучение

Спорность же заключается в том, что визуально у полукруга есть два угла, на что указал другой учитель начальных классов. Мол, проблема в формулировках и трактовке правил. Он заявил, что угол — это место пересечения двух линий. А затем добавил: но нигде не написано, что линии обязательно прямые. Если этого уточнения нет, тогда да, полукруг имеет два угла.

10 месяцев назад

Простое доказательство пересечения высот треугольника в одной точке⁠ ⁠

Поддержать
10 месяцев назад

Как определить угловой размер в компьютерных играх⁠ ⁠

Всем доброго времени суток
Когда возникает желание что-то посчитать в игре, то нередко приходится определять размеры объектов по их изображению, то есть иметь дело с угловыми размерами объектов. Например, есть за картой звездолет и хочется узнать, насколько он большой. Для этого как раз нужно в том числе и определять его угловой размер. Что это такое и как его найти и будет рассказано в этом посте

Что такое угловой размер

Угловой размер — это мера того, насколько большим мы видим объект. И пожалуй объясню это на примере
Представьте, что вы стоите напротив шара диаметром 3 метра и смотрите на него. Сперва вы смотрите на него с расстояния в 1 метр, затем отходите подальше и смотрите уже с 4 метров. Сам шар размеры свои не изменил, однако для вас он стал меньше, потому что вы удалились. И вот как раз то, насколько большим вы его видите, угловой размер и показывает:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Естественно, угловой размер связан не с самим шаром, а с диаметром круга, который мы видим (изображение шара для глаза — это круг). Ну то есть в общем случае он связан с отрезком, который видит человек, камера или персонаж в игре

Как строится изображение

Предупреждение: так как я не занимаюсь разработкой видеоигр, то могу не могу быть полностью уверен в данной математической модели. Если она ошибочна в общем случае, то прошу указать об этом в комментариях

Спроецируем все объекты, которые мы можем увидеть из некоторой точки на какую-то поверхность. Вот только на какую? Так как по любому направлению проецироваться объекты должны одинаково, то очевидным будет сделать проекцию на сферу, в центре которой находится наблюдатель. На этой сфере находятся все объекты, которые может увидеть наблюдатель, изменяя только направление своего взгляда. Естественно, из-за ограниченного угла обзора наблюдатель видит только часть этой сферы
Однако мониторы прямоугольные и, в основном, плоские, поэтому теперь видимый кусок сферы нужно спроецировать на прямоугольник. Отсечем от сферы те части, которые наблюдатель не видит, а из концов отрезанного куска проведем прямые, пересекающиеся в центре. На этих отрезках и будет лежать прямоугольник, и для удобства его можно построить прямо на концах куска сферы:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Зеленая плоскость — это как раз плоскость монитора

И теперь, чтобы спроецировать некоторую точку на плоскость монитора, проведем прямую от этой точки на сфере до центра сферы. Точка пересечения с плоскостью и будет проекцией точки на эту плоскость. Кстати, такой метод проецирования объясняет, почему по краям изображение растягивается

Находим угловые размеры

Пусть есть какой-то отрезок, который находится в поле зрения наблюдателя. Проведем прямые из концов этого отрезка в центр сферы. Угол между прямыми как раз и будет угловым размером этого отрезка. Теперь пересекаем эти прямые с плоскостью монитора и получаем концы отрезка уже на изображении. И теперь, если нам известны точки, которыми отрезок ограничен, то мы можем определить угловой размер. Как это сделать?

Сперва введем 2 системы координат: одна 3-мерная, из центра сферы, другая 2-мерная, связанная с плоскостью монитора:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Здесь L — длина изображения в пикселях, D — высота, что, впрочем, видно и по рисунку. Также здесь у нас появилась неизвестная H, которую надо бы найти. Рассекаем объекты с рисунка плоскостью xOy и, соединяя с началом координат края сечения монитора получим следующую картину:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Так как начало координат находится ровно над центром монитора, то мы получаем равнобедренный треугольник. Теперь можем из FOV-а (угла обзора) и длины изображения выразить неизвестную:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Изначально мы будем знать координаты точки в системе координат монитора (например, координата пикселя в Paint-е), поэтому из них определим координаты уже в системе Oxyz для некоторой точки:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Не забываем, что Oxyz находится над центром монитора

Теперь вернемся к исходной картинке, нанесем на плоскость точки A и B, которые будут границами нашего отрезка и проведем вектора из наблюдателя (нуля Oxyz) в эти точки:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Напомню, что эти векторы лежат на прямых, угол между которыми нужно найти. А значит нужно найти угол между векторами. Тут же напрашивается скалярное произведение этих векторов, поэтому не будем изобретать велосипед и воспользуемся им:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Вторая картинка — та же формула, но с записью обозначений, чтобы ее можно было сохранить и потом быстро ею воспользоваться

Ну и что ж, вот конечная формула. Определяем координаты пикселей, разрешение и угол обзора, подставляем в формулу и получаем угловой размер. Однако такая формула выглядит довольно громоздко, поэтому я решил написать небольшую консольную программу, которая сможет считать угловые размеры. Оставлю здесь ссылку для скачивания на Яндекс диск, а также код самой программы, вдруг кто захочет разобраться в ней:

Как определить угловой размер в компьютерных играх Математика, Гайд, Геометрия, Тригонометрия, Компьютерные игры, Программирование, Длиннопост

Ну а на этом все, удачи вам в расчетах и вычислениях)

Показать полностью 10
1 год назад

Задача по геометрии⁠ ⁠

Обычно составляю задачи по шахматам, но оказалось, что придумывать задачи по геометрии тоже интересно!

Задача по геометрии Геометрия, Задача, Математика, Логика, Развитие, Образование

1 год назад

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?⁠ ⁠

1 год назад

Ответ на пост «Как измерить высоту любого объекта голыми руками?»⁠ ⁠

Сэр Эрнест Резерфорд, президент Королевской Академии и лауреат Нобелевской премии по физике, рассказывал следующую историю, служащую великолепным примером того, что не всегда просто дать единственно правильный ответ на вопрос.

Некоторое время назад коллега обратился ко мне за помошью. Он собирался поставить самую низкую оценку по физике одному из своих студентов, в то время как этот студент утверждал, что заслуживает высшего балла. Оба, преподаватель и студент согласились положиться на суждение третьего лица, незаинтересованного арбитра; выбор пал на меня.

Экзаменационный вопрос гласил: «Объясните, каким образом можно измерить высоту здания с помощью барометра». Ответ студента был таким: «Нужно подняться с барометром на крышу здания, спустить барометр вниз на длинной веревке, а затем втянуть его обратно и измерить длину веревки, которая и покажет точную высоту здания».

Случай был и впрямь сложный, так как ответ был абсолютно полным и верным! С другой стороны, экзамен был по физике, а ответ имел мало общего с применением знаний в этой области.

Я предложил студенту попытаться ответить еще раз. Дав ему шесть минут на подготовку, я предупредил его, что ответ должен демонстрировать знание физических законов. По истечении пяти минут он так и не написал ничего в экзаменационном листе. Я спросил его, сдается ли он, но он заявил, что у него есть несколько решений проблемы, и он просто выбирает лучшее.

Заинтересовавшись, я попросил молодого человека приступить к ответу, не дожидаясь истечения отведенного срока. Новый ответ на вопрос гласил: «Поднимитесь с барометром на крышу и бросьте его вниз, замеряя время падения. Затем, используя формулу L = (a*t^2)/2, вычислите высоту здания».

Тут я спросил моего коллегу, преподавателя, доволен ли он этим ответом. Тот, наконец, сдался, признав ответ удовлетворительным. Однако студент упоминал, что знает несколько ответов, и я попросил его открыть их нам.

«Есть несколько способов измерить высоту здания с помощью барометра», начал студент. «Например, можно выйти на улицу в солнечный день и измерить высоту барометра и его тени, а также измерить длину тени здания. Затем, решив несложную пропорцию, определить высоту самого здания.»

«Неплохо», сказал я. «Есть и другие способы?»

«Да. Есть очень простой способ, который, уверен, вам понравится. Вы берете барометр в руки и поднимаетесь по лестнице, прикладывая барометр к стене и делая отметки. Сосчитав количество этих отметок и умножив его на размер барометра, вы получите высоту здания. Вполне очевидный метод.»

«Если вы хотите более сложный способ», продолжал он, «то привяжите к барометру шнурок и, раскачивая его, как маятник, определите величину гравитации у основания здания и на его крыше. Из разницы между этими величинами, в принципе, можно вычислить высоту здания. В этом же случае, привязав к барометру шнурок, вы можете подняться в вашим маятником на крышу и, раскачивая его, вычислить высоту здания по периоду прецессии.»

«Наконец», заключил он, «среди множества прочих способов решения проблемы лучшим, пожалуй, является такой: возьмите барометр с собой, найдите управляющего зданием и скажите ему: «Господин управляющий, у меня есть замечательный барометр. Он ваш, если вы скажете мне высоту этого здания».

Тут я спросил студента — неужели он действительно не знал общепринятого решения этой задачи. Он признался, что знал, но сказал при этом, что сыт по горло школой и колледжем, где учителя навязывают ученикам свой способ мышления.

Студентом этим был Нильс Бор (1885–1962), датский физик, лауреат Нобелевской премии 1922 г.

Показать полностью
1 год назад

Как измерить высоту любого объекта голыми руками?⁠ ⁠

10 лет назад

Заблуждение — параллельные прямые пересекаются в геометрии Лобачевского⁠ ⁠

Все мы в школе проходим курс геометрии — науки, в которой кто-то не видит смысла, а иные находят свое призвание. При этом мы изучаем Евклидову геометрию, зародившуюся более двух тысяч лет назад, но и сейчас остающуюся актуальной. Но почти все слышали и о других, так называемых неевклидовых геометриях, в частности — о геометрии Лобачевского. И самое странное, что знакомство с этой наукой заканчивалось на утверждении, что она допускает возможность пересечения параллельных прямых. Этот факт удивляет, даже поражает, но, как и все непонятное, воспринимается на веру.
А ведь на самом деле геометрия Лобачевского не так уж сильно отличается от привычной нам геометрии и параллельные прямые в ней не пересекаются — это досужий миф, родившийся при странных обстоятельствах. Но, для того чтобы это понять, необходимо хотя бы вкратце разобрать историю появления геометрии как науки.
В школах изучается геометрия, основы которой были заложены древнегреческими математиками. А примерно в 300 году до н. э. свет увидел труд, ставший основой всей современной геометрии, — «Начала» Евклида.
В «Началах» собраны все геометрические сведения, полученные трудами десятков математиков античности, живших до Евклида. Этот труд, состоящий из тридцати больших томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают пространство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой.
Однако с конца XVIII века начались попытки создания геометрии, отличной от геометрии, описанной в «Началах». Причиной тому стали противоречия, возникающие в Евклидовой геометрии, в частности знаменитая проблема пятого постулата. Следствием этого постулата является понятие параллельных прямых, не пересекающихся на всем их протяжении. Само
по себе это утверждение не представляет собой чего-то необычного или странного, но в нем есть один изъян — доказать его с помощью математического аппарата просто-напросто невозможно! И именно это обстоятельство толкнуло ученых на создание неевклидовой геометрии, в которой данный недостаток был бы устранен.
Над указанной проблемой трудилось несколько ученых, в том числе и знаменитый Карл Гаусс, но «первопроходцем» в этой области стал русский математик Николай Лобачевский. Первая его работа, заложившая основы геометрии, отличной от Евклидовой, появилась в 1829 году и с тех пор не претерпела особых изменений. Вначале геометрия Лобачевского считалась непригодной к практическому применению, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описываемому этой геометрией. Однако законы, выведенные Лобачевским, вскоре нашли практическое применение — стало возможным решение ряда практических задач, практически не решаемых с помощью традиционных средств.
Главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида — в том же пятом постулате. Именно из-за этой аксиомы многие люди ошибочно считают, что неевклидова геометрия допускает пересечение параллельных прямых. Однако это глубочайшее заблуждение, родившееся из-за неверной трактовки постулата и некоторых упущенных из внимания вещей.
Пятый постулат геометрии Лобачевского утверждает, что если на плоскости лежат прямая и точка, то через эту точку можно провести хотя бы две прямые, не пересекающиеся с первой прямой. А в геометрии Евклида через точку можно провести только одну-единственную прямую. Таким образом, неевклидова геометрия допускает, что на одной плоскости может находиться сразу несколько прямых линий, не пересекающихся друг с другом.
А утверждение о возможности пересечения параллельных прямых в геометрии Лобачевского возникло из-за простого незнания аксиом этой геометрии. Ведь при ближайшем рассмотрении оказывается, что в неевклидовой геометрии не только не говорится о пересечении параллельных прямых, но и не говорится о параллельных прямых вообще — разговор здесь идет именно о непересекающихся прямых, находящихся на одной плоскости.
Чтобы понять это, необходимо сделать одно очень важное уточнение: геометрия Лобачевского описывает не плоское пространство, как это делает геометрия Евклида, а оперирует понятиями гиперболического пространства. В геометрии Лобачевского пространство не плоско, оно имеет некоторую отрицательную кривизну. Представить это достаточно сложно, но хорошей моделью такого пространства являются геометрические тела, похожие на воронку и седло. И все сказанное выше относится именно к поверхностям этих фигур.
Так что необходимо избавиться от превратных понятий о геометрии Лобачевского и понять, что она может применяться только по отношению к миру с искривленным пространством. Однако космология (наука, изучающая Вселенную) в последние годы приходит к выходу, что пространство, в котором мы живем, может обладать отрицательной кривизной, наилучшим образом описываемой именно геометрией Лобачевского.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *