Как нарисовать описанную окружность треугольника
Перейти к содержимому

Как нарисовать описанную окружность треугольника

  • автор:

Описанная окружность: модель из бумаги ⁠

Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ника окруж­но­сти лежит на пере­се­че­нии сере­дин­ных перпен­ди­ку­ля­ров к его сто­ро­нам. А центр ⁠ ⁠ впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти лежит на пере­се­че­нии бис­сек­трис углов тре­уголь­ника. И каж­дый раз при­хо­дится немного ана­ли­зи­ро­вать: кто, где… Про­стейшая модель из бумаги поз­во­лит запом­нить, а заодно про­де­мон­стри­ро­вать два маленьких «чуда».

Вырежьте про­из­воль­ный ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник из бумаги. Как найти сере­дину его сто­роны и постро­ить к ней сере­дин­ный перпен­ди­ку­ляр? Да про­сто перегните листо­чек, совме­стите концы отрезка, сере­дину кото­рого строим, и от этой общей точки разгладьте сдво­ен­ный листо­чек. Складка отме­тит и сере­дину сто­роны, и сере­дин­ный перпен­ди­ку­ляр к этой сто­роне.

Построение серединного перпендикуляра

Построение серединного перпендикуляра

Построение серединного перпендикуляра

Акку­ратно про­де­лав опе­рацию со всеми тремя сто­ро­нами тре­уголь­ника, можно про­де­мон­стри­ро­вать неподго­тов­лен­ному школь­нику пер­вое «чудо»: все три сере­дин­ных перпен­ди­ку­ляра пере­се­кутся в одной точке. В любом ост­ро­уголь­ном тре­уголь­нике!

Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке

Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке

Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке

При­ко­лите тре­уголь­ник в точке пере­се­че­ния сере­дин­ных перпен­ди­ку­ля­ров к другому листу бумаги канце­ляр­ской кноп­кой. С цен­тром в этой точке и ради­у­сом, рав­ным рас­сто­я­нию до одной из вершин, про­ве­дите окруж­ность.

«Чудо» вто­рое: все три вершины будут лежать на этой окруж­но­сти. Дока­за­тельство элемен­тарно: для каж­дой из сто­рон её вершины рав­но­уда­лены от любой точки сере­дин­ного перпен­ди­ку­ляра к ней, а точка пере­се­че­ния всех трёх сере­дин­ных перпен­ди­ку­ля­ров «обслужи­вает» все три сто­роны. Вырежьте круг: враще­ние тре­уголь­ника на круге уси­ли­вает эффект «чуда».

Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров

Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров

Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров

Если про­ве­сти про­из­воль­ную хорду в окруж­но­сти, то центр окруж­но­сти будет лежать на сере­дин­ном перпен­ди­ку­ляре к хорде. Отсюда и сле­дует утвер­жде­ние про опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ника. Из этого сле­дует и утвер­жде­ние про любой впи­сан­ный в окруж­ность много­уголь­ник: сере­дин­ные перпен­ди­ку­ляры ко всем сто­ро­нам будут пере­се­каться в одной точке — цен­тре опи­сан­ной окруж­но­сти.

как начертить окружность, описанную около треугольника.

* Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

* У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
Таким образом для постороения описанной окружности надо восстановить перпендикуляры к сторонам из их середин, и из точки их пересечения описать окружность. На черетежах — окружности описанные вокруг остроугольного, тупоугольного и прямоугольного теугольников

Остальные ответы

так, что бы она проходила через его вершины
где-то так

Восставь из середин двух сторон два перпендикуляра. Центром окружности будет точка их пересечения, а радиусом — расстояние от этой точки до любой из вершин треугольника.

Как нарисовать описанную окружность треугольника

Свойства вписанной окружности
1. Окружность можно вписать в любой треугольник.
2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

LaTeX formula: AD+BC=AB+DC

Например, на рисунке 8.106 .

Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.

Свойства описанной окружности
1. Окружность можно описать около любого треугольника.
2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.

LaTeX formula: \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^<\circ></p>
<p>Например, на рисунке 8.107 » />.</p><div class='code-block code-block-3' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 3theinternet -->
<script src=

Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:
1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:

а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);

б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);

3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);

4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник :
1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);
2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;

3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают LaTeX formula: R, а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают LaTeX formula: r:

LaTeX formula: a

1) для равностороннего треугольника со стороной :

LaTeX formula: R=\frac<\sqrt<3></p>
<p>>» height=»» /> , (8.34)</p>
<p><img decoding=и площадью LaTeX formula: S:

LaTeX formula: R=\frac<abc></p><div class='code-block code-block-5' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 5theinternet -->
<script src=

» height=»» /> , (8.36)

LaTeX formula: r=\frac<2S></p>
<p>» height=»» /> ; (8.37)</p>
<p>3) для <b><i>прямоугольного треугольника</i></b> с катетами <img decoding=и гипотенузой LaTeX formula: c:

LaTeX formula: R=\frac<c></p>
<p>» height=»» /> , (8.38)</p>
<p><img decoding=и диагональю LaTeX formula: d:

LaTeX formula: R=\frac<d></p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 6theinternet -->
<script src=

» height=»» /> , (8.40)

LaTeX formula: r=\frac<2></p>
<p>» height=»» /> ; (8.41)</p>
<p><img decoding=

5) для прямоугольника с диагональю :

LaTeX formula: R=\frac<d></p>
<p>» height=»» /> ; (8.42)</p>
<p><img decoding=

6) для ромба с высотой :

LaTeX formula: r=\frac<h></p><div class='code-block code-block-7' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 7theinternet -->
<script src=

» height=»» /> ; (8.43)

LaTeX formula: h

7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:

LaTeX formula: r=\frac<h></p>
<p>» height=»» /> . (8.44)</p>
<p>Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами <img decoding=и площадью LaTeX formula: S, по формуле LaTeX formula: R=\frac<abc>» height=»» /> найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);</p>
<p><img decoding=

8) для правильного шестиугольника со стороной :

LaTeX formula: R=a

, (8.45)

LaTeX formula: r=\frac<a\sqrt<3></p>
<p>>» height=»» /> . (8.46)</p>
<p><img decoding=

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.

LaTeX formula: 2\pi -8

Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна .

Решение. Так как площадь круга радиуса LaTeX formula: rнаходят по формуле 8.32 , а площадь квадрата со стороной LaTeX formula: aнаходят по формуле LaTeX formula: S=a^ , то согласно условию задачи запишем: LaTeX formula: S_<\square >-S_=12″ height=»» /> , <img decoding= .

А так как LaTeX formula: r=\frac, то LaTeX formula: \frac<\pi a^>-a^=2\pi -8″ /> , <img decoding=, LaTeX formula: a^(\pi -4)=8(\pi -4) , LaTeX formula: a^=8, LaTeX formula: a=2\sqrt.

LaTeX formula: 2\sqrt<2></p>
<p><i>Ответ:</i> » />.</p>
<p><b>Пример 2.</b> Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.</p>
<p><img decoding=

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами LaTeX formula: aи LaTeX formula: bнаходят по формуле LaTeX formula: S=ab.

Пусть LaTeX formula: b=x, тогда LaTeX formula: a=x+3(рис. 8.118).

Получим: LaTeX formula: x(x+3)=4, LaTeX formula: x^<2>+3x-4=0″ /> , откуда <img decoding=, следовательно, LaTeX formula: b=1, LaTeX formula: a=4.

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: LaTeX formula: d^<2>=1+16=17″ />, <img decoding=

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.

Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):

LaTeX formula: a^=\left (\frac> \right )^+\left ( \frac<d_> \right )^» /> , <img decoding=, LaTeX formula: a=5.

По формуле LaTeX formula: S=\fracd_d_ найдем площадь ромба: LaTeX formula: S=\frac\cdot 6\cdot 8=24 .

Но площадь ромба можно найти и по формуле LaTeX formula: S=ah, а так как LaTeX formula: h=2r, то LaTeX formula: S=2ar. Тогда LaTeX formula: 24=10r, а LaTeX formula: r=2,4.

Ответ: 2,4.

LaTeX formula: 4\sqrt<3></p>
<p><b>Пример 4.</b> Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна » />.</p>
<p><i>Решение.</i> Площадь правильного треугольника со стороной <img decoding=находят по формуле: LaTeX formula: S=\frac<\sqrt<3>a^>» /> .</p><div class='code-block code-block-11' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 11theinternet -->
<script src=

Зная площадь треугольника, найдем его сторону: LaTeX formula: \frac<\sqrta^>=4\sqrt» />, <img decoding= , LaTeX formula: a=4.

LaTeX formula: r=\frac<4></p>
<p>По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: >=\frac>» /> .</p>
<p><img decoding=находят по формуле 8.38 . Тогда LaTeX formula: c=2R=4.

Так как треугольник равнобедренный, то его катеты LaTeX formula: aи LaTeX formula: bраны и по теореме Пифагора LaTeX formula: c^=2a^ , откуда LaTeX formula: a=\frac<C><\sqrt>» height=»» /> , <img decoding=

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае LaTeX formula: r=\frac<2a-c>» /> , <img decoding=

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC. Точка LaTeX formula: Oявляется центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).

Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат LaTeX formula: ANOPсо стороной 3. Если катет LaTeX formula: AC = 8, а сторона квадрата LaTeX formula: AP=3, то LaTeX formula: PC=5.

Пусть отрезок LaTeX formula: NB = x. По свойству касательных LaTeX formula: CP=CK=5и LaTeX formula: BN=BK=x.

Тогда по теореме Пифагора LaTeX formula: BC^=AC^+AB^ или LaTeX formula: 25+10x+x^=64+9+6x+x^ , откуда LaTeX formula: 4x=48, LaTeX formula: x=12.

Найдем катет LaTeX formula: AB: LaTeX formula: AB=AN+BN=3+12=15.

Найдем площадь треугольника: LaTeX formula: S_<\Delta ABC>=\frac\cdot AC\cdot AB» /> , <img decoding=

Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: LaTeX formula: \frac<6>=\frac» />, откуда <img decoding=.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.

В свою очередь по формуле Герона LaTeX formula: S=\sqrt<p(p-a)(p-b)(p-c)>» /> найдем площадь треугольника. Так как <img decoding=, то LaTeX formula: S=\sqrt<15\cdot9\cdot3\cdot3>=9\sqrt» />.</p>
<p><img decoding=

LaTeX formula: 0,6\sqrt<15></p>
<p><i>Ответ:</i> » />.</p>
<p><b>Пример 8.</b> В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции.</p>
<p><img decoding=

Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: LaTeX formula: CD=9, LaTeX formula: h=2r=AB=6.

По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: LaTeX formula: AB+DC=BC+AD, LaTeX formula: 6+9=BC+AD, LaTeX formula: BC+AD = 15.

Согласно формуле LaTeX formula: S=\frac<1>(a+b)h» /> найдем площадь трапеции: <img decoding=

Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию LaTeX formula: ABCD(рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции LaTeX formula: BD.

LaTeX formula: ABD

Радиус окружности, описанной около треугольника , найдем по формуле 8.36 :

LaTeX formula: R=\frac>=\frac\cdot AD\cdot BN>» /> , <img decoding=и вводя коэффициент пропорциональности LaTeX formula: k, получим LaTeX formula: BC=5k, LaTeX formula: AD=12k.

Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то LaTeX formula: \frac<1>(5k +12k)=17″ />, откуда <img decoding=. Тогда LaTeX formula: BC = 10, LaTeX formula: AD = 24.

Поскольку четырехугольник LaTeX formula: BCKNявляется прямоугольником, то LaTeX formula: NK = 10, тогда LaTeX formula: AN=KD=\frac<1>(24-10)=7″ height=»» /> .</p>
<p>Согласно теореме Пифагора запишем:</p>
<p><img decoding=

LaTeX formula: BD=\sqrt<BN^+ND^>» />, <img decoding=, а, следовательно, и около трапеции LaTeX formula: ABCD:

LaTeX formula: R=\frac<\sqrt<338></p>
<p>\cdot 17\sqrt>=\frac=13″ />.</p>
<p><img decoding=

Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: .

LaTeX formula: 169\pi

Ответ: .

LaTeX formula: \sqrt<3></p>
<p><b>Пример 10.</b> В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна » />.</p>
<p><img decoding=

Ответ: .

1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.

3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.

5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.

LaTeX formula: R

Длину окружности радиуса находят по формуле:

LaTeX formula: C=2\pi R

. (8.30)

LaTeX formula: R

Площадь круга радиуса находят по формуле:

LaTeX formula: S=\pi R^<2></p>
<p>» /> . (8.32)</p>
<h2>Окружность, описанная около треугольника</h2>
<p>Описанная около треугольника окружность — это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причём единственным образом. Как только мы описываем окружность вокруг треугольника возникает целых четыре отличных свойства.</p>
<p><img decoding=

✅ Во-первых, центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. (это свойство используется редко)

✅ Во-вторых, если сторона треугольника является диаметром, то треугольник прямоугольный.

✅ В-третьих, теорема синусов — отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.

✅ В-четвертых, площадь треугольника можно найти через радиус описанной окружности:

S = (abc)/(4R), где a, b, c — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

���� Все факты запечатлены на картинке, на них можно смело смотреть, запоминать и пользоваться.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *