Как найти сумму коэффициентов
Перейти к содержимому

Как найти сумму коэффициентов

  • автор:

Как найти сумму коэффициентов

Пусть P ( x ) = (2 x ² – 2 x + 1) 17 (3 x ² – 3 x + 1) 17 . Найдите
a) сумму коэффициентов этого многочлена;
б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях x .

Решение

Сумма коэффициентов равна P(1) = 1. Сумма коэффициентов при чётных степенях равна ½ (P(1) + P(–1)) = ½ (1 + 5 17 7 17 ). Соответственно сумма коэффициентов при нечётных степенях равна ½ (P(1) – P(–1)) = ½ (1 – 5 17 7 17 ).

Ответ

а) 1; б) ½ (1 + 35 17 ), ½ (1 – 35 17 ).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 2
Название Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер 06.052

Проект осуществляется при поддержке и .

Найти сумму коэффициентов многочлена — Алгебра — Обсуждение 2643881

Найти значение симметрического многочлена F от корней многочлена f(x)
Нужны идеи, алгоритм решения. Найти значение симметрического многочлена F от корней многочлена.

Алгем, разложение многочлена в сумму форм
Однородным многочленом, или формой степени d, называется многочлен F, все коэффициенты которого.

Сумма коэффициентов многочлена
Известно, что число является корнем многочлена четвертой степени с целыми коэффициентами, старший.

Вычислить сумму биномиальных коэффициентов с чётными k
3) Чему равна следующая сумма чисел сочетания с чётными k:

Нахождение коэффициентов многочлена, являющегося производной заданного многочлена
Написать функцию для нахождения коэффициентов многочлена являющегося производной заданного.

Класс Полином со степенью многочлена и массивом коэффициентов
1.Необходимо создать класс Полином (от одной переменной) в котором задается степень многочлена и.

Разработать класс Polynom для хранения коэффициентов многочлена
Разработать класс Polynom для хранения коэффициентов многочлена. Определить методы нахождения суммы.

Составить процедуру для вычисления коэффициентов а1,а2 апроксимирующего многочлена Р(х)=а1+а2*х
Выполнить задание с использованием процедуры и функции. Исходные данные ввести с тексгового.

Указать сумму коэффициентов уравнения реакции

Elen.Z

�� Решение задач, контроши, рефераты, курсовые и другое! Онлайн сервис помощи учащимся. Цены в 2-3 раза ниже!

Для публикации сообщений создайте учётную запись или авторизуйтесь

Вы должны быть пользователем, чтобы оставить комментарий

Создать аккаунт

Зарегистрируйте новый аккаунт в нашем сообществе. Это очень просто!

Войти

Уже есть аккаунт? Войти в систему.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Найти сумму коэффициентов

На страницу 1 , 2 След.

Найти сумму коэффициентов
02.12.2011, 12:13

$(x^<2></p>
<p>Найти сумму коэффициентов -x+1)^$» /> при иксах, степени которых делятся на 3.<br />Нашёл два комплексных корня, представил в виде двух скобок, их пробовал раскладывать в бином.. но что-то там мутно, препод сказал подставлять там некоторые числа, сложить и поделить (умножить, подытожить)), и не сказал, почему так)</p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 6theinternet -->
<script src=

Re: Найти сумму коэффициентов
02.12.2011, 17:55

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Хорхе 02.12.2011, 17:56, всего редактировалось 2 раз(а).

Правильно, сумма коэффициентов при кратных трем степенях для произвольного многочлена $P$равна $\frac13 \sum_<a^3=1>P(a),$» /> где сумма берется по комплексным корням из единицы.</p>
<p>Подумайте, почему. Возьмите, может, многочлен малой степени.</p><div class='code-block code-block-7' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 7theinternet -->
<script src=

Re: Найти сумму коэффициентов
02.12.2011, 19:40

$\alpha$

Т.е. — это комплексный корень 3ей степени из единицы (и всего их 3)? А почему так, непонятно.

Re: Найти сумму коэффициентов
02.12.2011, 19:52

Заслуженный участник

Пусть $a_k=e^<\frac<2\pi k>3 i>$» />, т. е. <img decoding=в случае, если $n$кратно '$и в случае, если некратно.

Re: Найти сумму коэффициентов
04.12.2011, 12:37

Последний раз редактировалось Unconnected 04.12.2011, 12:37, всего редактировалось 1 раз.

'+e^<2\pi\cdot i></p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 9theinternet -->
<script src=

Нуу если кратно 3, то будет +e^<4\pi\cdot i>$» />, а если не кратно — почти то же, и в знаменателе 3.. Но что толку, синуса-то нет перед показателем.

Re: Найти сумму коэффициентов
04.12.2011, 13:37

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 04.12.2011, 13:39, всего редактировалось 2 раз(а).

Re: Найти сумму коэффициентов
04.12.2011, 23:38
А там в формуле на вольфраме ошибки нет случайно? Из показателя половина убежала..
Re: Найти сумму коэффициентов
05.12.2011, 14:10

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 05.12.2011, 14:13, всего редактировалось 2 раз(а).

В формулах, может и есть, но результаты точно правильные.
Все просто:
'+e^<\frac <2\pi>3 i>+e^ 3 i>=1+(-\frac 1 2 + \frac > 2)+(-\frac 1 2 — \frac > 2) = 0$» /><br /><img decoding=

А почему 3 i>=(-\frac 1 2 + \frac > 2)$» /> ? И ведь на месте экспоненты может быть любое число?

Re: Найти сумму коэффициентов
06.12.2011, 15:06

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 06.12.2011, 15:18, всего редактировалось 3 раз(а).

WolframAlpha, exp(2*pi/3*i)
Это по формуле Эйлера:
$e^<ix>=\cos x+i\sin x$» /><br />Применим её:<br /><img decoding=

Unconnected писал(а):
И ведь на месте экспоненты может быть любое число?

Нет. Посмотрите, Хорхе сказал, что надо находить сумму $P(a)$по комплексным $a$, удовлетворяющим уравнению $a^3=1$. Я чуть ниже привёл все три комплексных корня этого уравнения:
$a_0=1, \;\;a_1=e^<\frac<2\pi>3 i>, \;\;a_2=e^<\frac<4\pi>3 i>$» /><br />Кстати, <img decoding=тоже можно записать в аналогичном виде:
$a_0=e^<\frac<0\pi>3 i>=e^=1$» />.<br />Так что все три корня имеют форму <img decoding=. Но другие целые $n$тоже можно брать, просто они не будут давать ничего нового. Так, например,
$e^<\frac<8\pi>3 i>=e^<\frac<6\pi>3 i> e^<\frac<2\pi>3 i> = e^ <2\pi i>e^<\frac<2\pi>3 i> = 1\cdot e^<\frac<2\pi>3 i> = e^<\frac<2\pi>3 i>$» /></p>
<p>Домашнее задание:<br />1) покажите с помощью формулы Эйлера, что <img decoding=— целое.

Re: Найти сумму коэффициентов
06.12.2011, 16:46

Жаль что не было $(x^2+x+1)^<100>$» /> Тогда сразу можно сказать что сумма коэффициентов будет <img decoding=, в виде таблицы, в которой строки центрированы — так, чтобы друг под другом оказались коэффициенты при $x^n$, где $n$— номер строки, начиная с нуля: $\begin<matrix>_ & _ & _ & _ & 1 & _ & _ & _ & _ \\ _ & _ & _ & 1 & 1 & 1 & _ & _ & _ \\ _ & _ & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & _ & _ \\ _ & 1 & 3 & 6 & 7 & 6 & 3 & 1 & _ \\ 1 & 4 & 10 & 16 & 19 & 16 & 10 & 4 & 1 \end$» />Несложно показать, что правило построения таблицы таково. Каждое число равно сумме трех чисел: стоящего выше, выше-левее и выше-правее. Отсутствие числа считается нулем. Симметричность таблицы — очевидное следствие этого правила построения.</p>
<p><img decoding=

Т.к каждый элемент таблицы — сумма трех верхних, то сумма кратных 3 коэффициентов будет просто сумма предыдущего ряда. А он степень тройки. Но из-за , по модулю коэффициенты те же, но знаки чередуются (последий ряд будет 1,-4,10,-16,19,-16. )

Re: Найти сумму коэффициентов
07.12.2011, 02:47

Последний раз редактировалось Unconnected 07.12.2011, 02:48, всего редактировалось 1 раз.

Так, ну с формулой Эйлера всё понятно (на что расчитывал препод, когда давал задачу, мы ведь это не проходили..) . Насчёт д\з — очевидно, подставить в формулу 🙂
Хорошо, нашли три комплексных кубических корня из 1 (кстати, наверное можно было Эйлера и не напрягать, а возводить в степень тригонометрической Муавра), но так и откуда это:

Цитата:

Хорхе сказал, что надо находить сумму $P(a)$по комплексным $a$, удовлетворяющим уравнению $a^3=1$. Я чуть ниже привёл все три комплексных корня этого уравнения:

Какая связь между корнями из 1 и суммой коэффициентов? Там же степень икса должна быть кратна 3, мы его вообще не упоминали еще..

$e^<ix></p><div class='code-block code-block-16' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 16theinternet -->
<script src=

Заметка дилетанта: всё-таки занятно, =\cos x+i\sin x$» /> приравниваются числа, которые как бы мнимые, нельзя отметить на вещественной оси, а просто обладают одинаковыми свойствами, что ли..

Re: Найти сумму коэффициентов
07.12.2011, 15:09

Заслуженный участник

svv писал(а):

Хорхе сказал, что надо находить сумму $P(a)$по комплексным $a$, удовлетворяющим уравнению $a^3=1$. Я чуть ниже привёл все три комплексных корня этого уравнения:

Unconnected писал(а):

Какая связь между корнями из 1 и суммой коэффициентов? Там же степень икса должна быть кратна 3, мы его вообще не упоминали еще.

Ситуация примерно такая: дерево подпилили со всех сторон, но оно ещё продолжает стоять. Но одно небольшое усилие, и оно упадет.

Хорхе предложил формулу
$\frac13 \sum_<a^3=1>P(a)=\frac 1 3 \left( P(a_0)+P(a_1)+P(a_2) \right)$» />, где <img decoding=, тогда формула даёт
$\frac 1 3 \left( \sum\limits_^n c_k a_0^k+\sum\limits_^n c_k a_1^k+\sum\limits_^n c_k a_2^k \right) = \frac 1 3 \sum\limits_^n c_k \left( a_0^k+a_1^k+a_2^k\right)$
А теперь только вспомните, что $a_0^k+a_1^k+a_2^k$равно '$, если $k$кратно '$, и равно <img decoding=$» />$» />$» />$» />$» /> в противном случае.

Re: Найти сумму коэффициентов
08.12.2011, 00:00

Последний раз редактировалось Unconnected 08.12.2011, 00:01, всего редактировалось 1 раз.

А, вот теперь поняятно -) Только один момент, который наверное откуда-то следует.. то, что если в $a_0^k+a_1^k+a_2^k=3$, k кратно 3, это понятно, там в степени сократится при любых k, и всегда будет 1. А вот то, что $a_0^k+a_1^k+a_2^k=0$при k не кратном 3, т.е. они взаимно уничтожатся — не очень очевидно.. т.е. как до этого дотумкать-то можно было)

Re: Найти сумму коэффициентов
08.12.2011, 01:16

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось svv 08.12.2011, 01:33, всего редактировалось 6 раз(а).

Первый метод, наглядный. Допустим, $k=1$. Тогда $a_0^k+a_1^k+a_2^k$— это просто $a_0+a_1+a_2$. Взгляните сюда: WolframAlpha, a^3=1, там где все три корня изображены красными точками на комплексной плоскости. Они все удалены от центра на единичное расстояние и расположены абсолютно симметрично, как лопасти трехлопастного пропеллера. Их аргументы (угловые координаты) равны <img decoding=°$» />, https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/7/cf712891c3debcb0c3c5125d9a03855882.png\pi/3=120°$и $4\pi/3=240°$. Если теперь истолковать эти точки как концы векторов, то чему будет равна их сумма, при полной симметрии? Только нулю.

Обозначим
номером 0 красную точку $a_0=e^<\frac <0\pi i>3>=1$» /> (правая),<br />номером 1 красную точку <img decoding=, если их возвести в степень $k$? Они не изобретают ничего нового, а попадают в эти же точки. Я составлю таблицу, в какие точки (по номерам) попадают соответственно $a_0^k, a_1^k, a_2^k$для разных $k$:
$k=0:\;\; 0,0,0$
$k=1:\;\; 0,1,2$
$k=2:\;\; 0,2,1$
$k=3:\;\; 0,0,0$
$k=4:\;\; 0,1,2$
$k=5:\;\; 0,2,1$
$k=6:\;\; 0,0,0$
$k=7:\;\; 0,1,2$
$k=8:\;\; 0,2,1$
$k=9:\;\; 0,0,0$
Заметили закономерность?
$a_0^k$стоит на месте.
$a_1^k$вращается против часовой стрелки со скоростью одна точка за один шаг.
$a_2^k$вращается то ли против часовой стрелки с двойной скоростью, то ли по часовой с одинарной (что неразличимо).
Каждый третий шаг все собираются в точке с номером <img decoding=$» />$» />$» />$» />$» />, которой соответствует число $a_0=1$.

Второй метод, формальный. $a_0^k+a_1^k+a_2^k=e^<\frac<0\pi k i>3>+e^<\frac<2\pi k i>3>+e^<\frac<4\pi k i>3>=\frac<1-e^<2\pi k i>><1-e^<\frac<2\pi k i>3>>$» /><br />Здесь применена формула для суммы геометрической прогрессии. Если <img decoding=кратно '$, формулой пользоваться нельзя, она дает <img decoding=/0$» />. Но если некратно, то в числителе <img decoding=$» />$» />$» />$» />$» />, а в знаменателе — нет, то есть вся дробь равна нулю.

Страница 1 из 2 [ Сообщений: 17 ] На страницу 1 , 2 След.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *