Как найти расстояние от точки до начала координат
Перейти к содержимому

Как найти расстояние от точки до начала координат

  • автор:

Расстояние от точки до начала координат

Расстояние от точки (xM;yM) до начала координат можно найти по формуле расстояние между точками.

Подставив в формулу

\[MO = \sqrt {{{({x_O} - {x_M})}^2} + {{({y_O} - {y_M})}^2}} \]

\[MO = \sqrt {{{(0 - {x_M})}^2} + {{(0 - {y_M})}^2}} ,\]

получаем формулу для нахождения расстояния от точки M до начала отсчёта — точки O:

\[MO = \sqrt {{x_M}^2 + {y_M}^2} .\]

Найти расстояние от точки F(-5; 12) до начала координат.

\[FO = \sqrt {{x_F}^2 + {y_F}^2} ,\]

\[FO = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {169} = 13.\]

rasstoyanie-ot-tochki-do-nachala-koordinat

Эту же формулу можно получить, руководствуясь непосредственно геометрическими соображениями.

Из прямоугольного треугольника OMM1 по теореме Пифагора

\[M{O^2} = O{M^2} + MM_1^2.\]

\[MO = \sqrt {{x_M}^2 + {y_M}^2} .\]

rasstoyanie-do-nachala-koordinat

На координатной плоскости отмечена точка A. Найти расстояние от точки A до начала координат.

Координаты точки C — xC =4, yC=3.

Расстояние от точки до прямой

Для вычисления расстояния от данной точки M до прямой L можно использовать разные способы. Например, если на прямой L взять произвольную точку M0, то можно определить ортогональную проекцию вектора M0M на направление нормального вектора прямой. Эта проекция с точностью до знака и есть нужное расстояние.

Другой способ вычисления расстояния от точки до прямой основан на использовании нормального уравнения прямой. Пусть прямая L задана нормальным уравнением (4.23). Если точка M(x; у) не лежит на прямой L, то ортогональная проекция прn OM радиус-вектора точки M на направление единичного нормального вектора n прямой L равна скалярному произведению векторов OM и n, т.е. x cosφ + у sinφ. Эта же проекция равна сумме расстояния p от начала координат до прямой и некоторой величины δ (рис. 4.10). Величина δ по абсолютной величине равна расстоянию от точки М до прямой. При этом δ > 0, если точки М и O находятся по разные стороны от прямой, и δ OM и расстояния p от начала координат до прямой (см. рис. 4.10), т.е. δ = x cosφ + у sinφ — p.

По этой формуле можно получить и расстояние p(M, L) от точки M(x; у) до прямой L, заданной нормальным уравнением: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + у sinφ — p|.

2 Два смежныхугла в сумме дают 180°

Рис 4.10.Взаимное расположение двух прямых

Учитывая приведенную выше процедуру преобразования общего уравнения прямой в ее нормальное уравнение, получаем формулу для расстояния от точки M(х; у) до прямой L, заданной своим общим уравнением:

Формула общего уравнения прямой

Пример 4.8. Найдем общие уравнения высоты AH, медианы AM и биссектрисы AD треугольника ABC, выходящих из вершины A. Известны координаты вершин треугольника А( -1;- 3), B(7; 3), C(1;7).

Прежде всего уточним условие примера: под указанными уравнениями подразумевают уравнения прямых LAH , LAM и LAD , на которых расположены соответственно высота АН, медиана AM и биссектриса AD указанного треугольника (рис. 4.11).

Рис 4.11. Взаимное расположение двух прямых

Чтобы найти уравнение прямой LAM, воспользуемся тем, что медиана делит противоположную сторону треугольника пополам. Найдя координаты (x1; y1) середины стороны BC x1 = (7 + 1)/2 = 4, у1 = (3 + 7)/2 = 5, записываем уравнение для LAM в виде уравнения прямой, проходящей через две точки, (x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). После преобразований получаем общее уравнение медианы 8х — 5у — 7 = 0./p>

Чтобы найти уравнение высоты LAH, воспользуемся тем, что высота перпендикулярна про-тивоположной стороне треугольника. Следовательно, вектор BC перпендикулярен высоте AH и его можно выбрать в качестве нормального вектора прямой LAH . Уравнение этой прямой получаем из (4.15), подставляя координаты точки A и нормального вектора прямой LAH:

(—6)(х + 1) + 4(у + 3) = 0.

После преобразований получаем общее уравнение высоты 3x — 2у — 3 = 0.

Чтобы найти уравнение биссектрисы LAD , воспользуемся тем, что биссектриса AD принадлежит множеству тех точек N(х; у), которые равноудалены от прямых LAB и LAC. Уравнение этого множества имеет вид

и оно задает две прямые, проходящие через точку A и делящие углы между прямыми LAB и LAC пополам. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, найдем общие уравнения прямых LAB и LAC :

LAB : (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), LAC : (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

После преобразований получаем LAB: 3х — 4у — 9 = 0, LAC: 5х — у + 2 = 0. Уравнение (4.28) с помощью формулы (4.27) для вычисления расстояния от точки до прямой запишем в виде

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой

Преобразуем его, раскрыв модули:

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой

В итоге получим общие уравнения двух прямых

(3 ± 25/√26)x + (—4 ± 5/√26)y + (—9 ± 10/√26) = 0

Чтобы выбрать из них уравнение биссектрисы, учтем, что вершины B и C треугольника расположены по разные стороны от искомой прямой и поэтому подстановки их координат в левую часть общего уравнения прямой LAD должны давать значения с разными знаками. Выбираем уравнение, соответствующее верхнему знаку, т. е.

(3 — 25/√26)x + (—4 + 5/√26)y + (—9 — 10/√26) = 0

Подстановка координат точки B в левую часть этого уравнения дает отрицательное значение, поскольку

(3 — 25/√26)7 + (—4 + 5/√26)3 + (—9 — 10/√26) = 21 — 12 — 9 + (-175 + 15 — 10 )/√26 = -170/√26

и такой же знак получается для координат точки C, так как

(3 — 25/√26)1 + (—4 + 5/√26)7 + (—9 — 10/√26) = 3 — 28 — 9 + (-25 + 35 — 10 )/√26 = -34

  • Линейные операции над векторами
  • Базис. Cкалярное произведение
  • Векторное и смешанное произведения векторов
Декартова система координат. прямая на плоскости
  • Декартова система координат
  • Преобразование прямоугольных координат
  • Простейшие задачи аналитической геометрии
  • Вычисление площадей и объемов
  • Кривые и поверхности
  • Алгебраические кривые первого порядка
  • Специальные виды уравнения прямой
  • Взаимное расположение двух прямых
  • Расстояние от точки до прямой
  • Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
  • Уравнение линии
  • Линии первого порядка
  • Геометрические свойства линий второго порядка
  • Упрощение общего уравнения линии второго порядка. уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях
  • Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве
  • Векторная алгебра
  • Уравнение поверхности и уравнения линии
  • Уравнение плоскости.уравнения прямой. уравнения поверхностей второго порядка
  • Приложение
  • Ответы и указания к задачам

Даны координаты некоторой точки A (на плоскости). Необходимо найти расстояние от точки A до начала координат

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Даны координаты некоторой точки A (на плоскости). Необходимо найти расстояние от точки A до начала координат.

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Подпрограммы. Для точки на плоскости найти расстояние от точки до начала координат
Для точки на плоскости с заданными координатами (x,y) найти расстояние l от точки до начала.

Ввести координаты точки М и найти ее расстояние от начала координат (радиус — вектор от точки О (0,0)).
Ввести координаты точки М и найти ее расстояние от начала координат (радиус — вектор от точки О.

Заданы координаты 4 точек на плоскости. Найдите расстояние до наиболее удаленной точки от начала координат.
Заданы координаты 4 точек на плоскости. Напишите функцию,возвращающую длину отрезка от начала.

Эксперт Python

8219 / 4338 / 1838
Регистрация: 27.03.2020
Сообщений: 7,162

print((x*x+y*y)**0.5)

4922 / 2675 / 550
Регистрация: 07.11.2019
Сообщений: 4,397

Лучший ответ

Сообщение было отмечено DmFat как решение

Решение

Gdez, дополню:

1 2 3
print('Евклидово расстояние:', (x*x+y*y)**0.5) print('Манхэттенское расстояние:', abs(x)+abs(y)) print('Чебышева расстояние:', max(abs(x),abs(y)))

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

На плоскости своими координатами задано 40 точек, найти расстояние от начала координат до удаленной точки
На плоскости своими координатами задано 40 точек, найти расстояние от начала координат до удаленной.

Даны координаты вершин треугольника и координаты точки внутри него. Найти расстояние от данной точки до ближайшей сторон
Задание: Даны координаты вершин треугольника и координаты точки внутри него. Найти расстояние от.

Даны координаты концов N — мерного отрезка (точки a и b). Найти его длину и наибольшую из координат точки а
Пропустил пары и теперь не знаю, как составить программу:boredom:

Дано три точки . Определить расстояние от них до начала координат. Координаты ввести с клавиатуры
Задача такая Дано три точки . Определить расстояние от них до начала координат. Координаты ввести.

Найти расстояние от начала координат до каждой точки и расстояние между точками
задача на С++ На плоскости заданы точки своими координатами. Найти расстояние от начала координат.

Вычислить сумму координат и найти расстояние от точки до начала координат
Даны координаты точки в пространстве (x,y,z). Описать их с помощью записи. Составить программу.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось Xokker 26.05.2010, 12:29, всего редактировалось 1 раз.

Цитата:

К графику функции $f(x)=2x^4-x^3-4/3x+1$в точке $x=0$проведена касательная. Найти расстояние от начала координат до этой касательной.

$y=-4/3x+1$

С помощью производной нашел уравнение касательной . А как найти само расстояние от начала координат до этой прямой идей нет. Буду очень признателен, если подскажете в какую сторону думать.

Re: Расстояние от начала координат до касательной к графику
26.05.2010, 11:54

Заслуженный участник

Вообще-то есть формула расстояния от точки до прямой. Ну если хочется самому, то опустите перпендикуляр из начала координат на прямую (вектор нормали ясно какой), найдите пересечение и расстояние между точками.

Re: Расстояние от начала координат до касательной к графику
26.05.2010, 12:00

Заслуженный участник

Надо привести уравнение прямой к «нормальному» виду: $Ax+By-C=0$, где $\sqrt<A^2+B^2>=1$» />. Тогда подстановка в левую часть координат той точки, от которой ищется расстояние, и даст это расстояние. В данном случае подставлять надо нули, так что получится просто <img decoding=.

Re: Расстояние от начала координат до касательной к графику
26.05.2010, 12:29
ewert в сообщении #324034 писал(а):

Надо привести уравнение прямой к «нормальному» виду: $Ax+By-C=0$, где $\sqrt<A^2+B^2>=1$» />. Тогда подстановка в левую часть координат той точки, от которой ищется расстояние, и даст это расстояние. В данном случае подставлять надо нули, так что получится просто <img decoding=.

Но в данном случае равенство $\sqrt<A^2+B^2>=1$» /> получается неверным. Следовательно, я не могу использовать формулу <img decoding=?

Re: Расстояние от начала координат до прямой
26.05.2010, 12:33

Заслуженный участник

Можно, только надо на этот корень разделить. А подставлять в модуль левой части общего уравнения $Ax+By+C=0$. При подстановке в нормальное уравнение $Ax+By-C=0$, на корень, равный 1, делить не обязательно.

(Кстати, поумничаю ячно перед к е м.)

В нормальном уравнении $C\geqslant 0$и глубокоуважа е мый мог бы написать просто $C$без модуля.
Вотъ.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *