Как найти подгруппы группы
Перейти к содержимому

Как найти подгруппы группы

  • автор:

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Как найти подгруппы группы

Алгебраические группы и группы Ли. Подгруппы в $SL_2$.

Основное поле $\mathbb$ считаем алгебраически замкнутым и характеристики $0$ (если не оговорено иное). Не будет большим ограничением общности считать $\mathbb=\mathbb$.

Определение. Алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие $G$, на котором задана структура группы, причём групповые операции — умножение $G\times G\to G$ и инверсия $G\to G$ — являются морфизмами.

Алгебраическая подгруппа — это подгруппа $H\subseteq G$, одновременно являющаяся замкнутым подмногообразием.

Гомоморфизм (изоморфизм) алгебраических групп — это гомоморфизм (изоморфизм) групп, также являющийся (изо)морфизмом алгебраических многообразий.

Поскольку мы рассматриваем только аффинные алгебраические многообразия, то правильнее говорить об аффинных алгебраических группах (хотя неаффинные алгебраические группы также существуют и обладают интересными свойствами — например, эллиптические кривые и абелевы многообразия).

Всякая аффинная алгебраическая группа изоморфна алгебраической подгруппе в $GL_n(\mathbb)$ при некотором $n$. Поэтому класс аффинных алгебраических групп совпадает с классом линейных алгебраических групп.

1) Все точки алгебраической группы $G$ (как многообразия) равноправны: автоморфизмы левого сдвига $$\ell_g:G\to G,\quad\ell_g(x)=gx,$$ переводят точки многообразия $G$ друг в друга.

Из равноправия точек вытекают следующие два свойства.

2) Всякая алгебраическая группа $G$ — гладкое многообразие.

3) Через каждую точку $x\in G$ проходит единственная неприводимая компонента. Следовательно, неприводимые компоненты алгебраической группы совпадают с её связными компонентами.

4) Связная компонента $G^0\subseteq G$, содержащая единицу, является нормальной алгебраической подгруппой в $G$. Остальные связные компоненты суть смежные классы по этой подгруппе.

Поэтому каждая алгебраическая группа $G$ как бы составлена из двух этажей: связная алгебраическая группа $G^0$ и конечная группа $G/G^0$. На втором «этаже» специфика алгебраических групп никак не проявляется, поэтому изучаются в основном связные алгебраические группы (хотя в процессе их изучения естественно возникают и несвязные группы).

5) Всякая алгебраическая группа над полем $\mathbb$ является комплексной группой Ли.

Обратное утверждение неверно.

Пример 1. Подгруппа $G\subset GL_2(\mathbb)$, состоящая из матриц вида $$ \exp t\begin 1 & 1 \\ 0 & 1 \end \qquad (t\in\mathbb), $$ является подгруппой Ли, но не алгебраической подгруппой.

Гомоморфизмы алгебраических групп являются гомоморфизмами групп Ли (т.е. комплексно дифференцируемыми гомоморфными отображениями), но не наоборот.

Пример 2. Отображение алгебраических групп $$\varphi:\mathbb\times\mathbb^\to\mathbb\times\mathbb^,\quad\varphi(t,u)=(t,ue^t),$$ является гомоморфизмом групп Ли, но не гомоморфизмом алгебраических групп.

Описание подгрупп Ли и алгебраических подгрупп группы $SL_2$

Опишем все подгруппы Ли и алгебраические подгруппы $H\subset SL_2(\mathbb)$ с точностью до сопряжённости. Решение этой задачи можно разбить на три этапа.

I. Связная подгруппа Ли $H$ в группе Ли $G$ однозначно определяется своей касательной алгеброй Ли $\mathfrak\subset\mathfrak$. Поэтому начнём с классификации подалгебр Ли $\mathfrak\subset\mathfrak_2(\mathbb)$.

Одномерная алгебра Ли $\mathfrak$ линейно порождается одним линейным оператором (со следом $0$), который может быть либо диагонализуемым, либо нильпотентным. Поэтому, с точностью до сопряжённости, $\mathfrak$ — это либо алгебра Ли $\mathfrak$ диагональных матриц со следом $0$, либо алгебра Ли $\mathfrak$ нильтреугольных матриц.

Двумерная алгебра Ли $\mathfrak$ содержит одномерный идеал $\mathfrak_1$, совпадающий, с точностью до сопряжённости, с одной из двух вышеуказанных подалгебр Ли. Поскольку алгебра Ли $\mathfrak$ совпадает со своим нормализатором в $\mathfrak_2$, подалгебра $\mathfrak_1$ сопряжена алгебре Ли $\mathfrak$, а $\mathfrak$ сопряжена нормализатору последней, т.е. алгебре Ли $\mathfrak$ треугольных матриц со следом $0$.

II. Соответствующие связные подгруппы Ли группы $SL_2$ — это подгруппы \begin T&=\left\ t & 0 \\ 0 & t^ \end\right| \left.\vphantom t & 0 \\ 0 & t^ \end> t\in\mathbb^\right\>,\\ U&=\left\ 1 & z \\ 0 & 1 \end\right| \left.\vphantom 1 & z \\ 0 & 1 \end> z\in\mathbb\right\>,\\ B&=\left\ t & z \\ 0 & t^ \end\right| \left.\vphantom t & z \\ 0 & t^ \end> t\in\mathbb^,\ z\in\mathbb\right\> \end диагональных, унитреугольных и всех треугольных матриц с определителем $1$. Все они являются алгебраическими подгруппами.

III. Всякая несвязная подгруппа Ли $H$ группы Ли $G$ содержится в нормализаторе $N(H^0)$ своей связной компоненты $H^0$ и является полным прообразом в $N(H^0)$ какой-то дискретной подгруппы группы Ли $N(H^0)/H^0$. Это даёт способ описания несвязных подгрупп Ли с данной связной компонентой. В случае группы $SL_2$ получаем следующее.

0) Нульмерные подгруппы Ли — это все дискретные подгруппы (пример: группа $SL_2(\mathbb)$). В связи с тем, что группа $PSL_2(\mathbb)=SL_2(\mathbb)/<\pm E>$ является группой собственных движений 3-мерного пространства Лобачевского, эти группы играют ключевую роль в теории Тёрстона 3-мерных многообразий. Они очень хорошо изучены, но их полное описание нереально.

Заметим, что дискретная подгруппа является алгебраической тогда и только тогда, когда она конечна. Конечные подгруппы в $SL_2(\mathbb)$ можно описать (задача 9.3).

1) Одномерные подгруппы Ли.

а) Нормализатор подгруппы $T$ — это группа $$ N(T)=\left\ < \begint & 0 \\ 0 & t^ \end, \begin 0 & t \\ -t^ & 0 \end \right|\left.\vphantom <\begint & 0 \\ 0 & t^ \end> t\in\mathbb^\right\> $$ мономиальных матриц с определителем $1$. Факторгруппа $N(T)/T$ имеет порядок $2$. Следовательно, единственная несвязная подгруппа Ли со связной компонентой $T$ — это группа мономиальных матриц. Очевидно, что она является алгебраической подгруппой.

б) Нормализатор подгруппы $U$ — это группа $B$. Факторгруппа $B/U$ изоморфна $\mathbb^$. Таким образом, подгруппы Ли со связной компонентой $U$ находятся во взаимно однозначном соответствии с дискретными подгруппами группы $\mathbb^$ (см. задачу 9.4). Алгебраическими являются те из них, которые соответствуют конечным подгруппам группы $\mathbb^$, т.е. группам корней какой-то степени из единицы: $$ H_n=\left\ \varepsilon & z \\ 0 & \varepsilon^ \end\right| \left.\vphantom \varepsilon & z \\ 0 & \varepsilon^ \end> \varepsilon,z\in\mathbb,\ \varepsilon^n=1 \right\>. $$

2) Двумерные подгруппы Ли.

Подгруппа $B$ совпадает со своим нормализатором, так что единственной подгруппой Ли со связной компонентой $B$ является сама подгруппа $B$.

Задача 9.1. а) Доказать, что подгруппа $G\subset GL_2(\mathbb)$, состоящая из матриц вида $$ \exp t\begin 1 & 0 \\ 0 & c \end \qquad (t\in\mathbb) $$ при фиксированном $c\in\mathbb$, является алгебраической тогда и только тогда, когда $c\in\mathbb$.

б) Выяснить, при каких $c$ эта группа является линейной группой Ли.

Задача 9.2. Всякий дифференцируемый гомоморфизм алгебраического тора $T=(\mathbb^)^n$ в какую-либо алгебраическую группу является гомоморфизмом в смысле алгебраических групп.

Задача 9.3.* Найти все конечные подгруппы группы $SL_2(\mathbb)$, с точностью до сопряжённости.

Задача 9.4. Найти все дискретные подгруппы группы $\mathbb^$.

Найти все подгруппы аддитивной группы остатков от деления на 12

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, я хочу проверить правильность моего решения этой задачи. У меня получилось 10 подгрупп.
Можете, пожалуйста, сказать сколько должно быть подгрупп? Какие элементы должны быть в каждой из этих подгрупп?
(напишите цифры или может быть есть какое-то правило)

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти порядок группы, таблицу (Кэли) умножений элементов, все нормальные подгруппы группы
Задача по алгебре.Теория групп.Найти порядок группы, таблицу (Кэли) умножений элементов, все.

Найти все подгруппы циклической группы
найти все подгруппы циклической группы порядка 24 помогите напишите решение

Чему равен индекс подгруппы в аддитивной группе Z ?
Чему равен индекс подгруппы <5> в аддитивной группе Z ?

Найти фактор-группу аддитивной группы
Добрый день. Пытаюсь решить данную задачу, но не совсем понимаю, что нужно сделать Найти фактор.

Найдите все подгруппы циклической группы
найдите все подгруппы циклической группы порождённой элементом 123456789 234567892

Подгруппы и подкольца

Пусть g = (G, *) — произвольный группоид и Н ⊆ G — некоторое подмножество множества G. Рассмотрим свойства бинарной операции * группоида g на подмножестве Н.

Говорят, что множество Н ⊆ G замкнуто относительно операции *, если х*у ⊆ Н для любых x, у ⊆ Н. В этом случае подмножество Н с операцией * будет группоидом H = (H, *). Его называют подгруппоидом группоида g .

Если подмножество Н замкнуто относительно бинарной операции * и эта бинарная операция ассоциативна на множестве G, то легко убедиться, что операция останется ассоциативной и при ее ограничении на подмножество Н. Таким образом, v если группоид g является полугруппой, то и всякий его подгруппоид будет полугруппой, называемой подполугруппой полугруппы g .

Однако в случае, когда группоид является моноидом (группой), уже нельзя утверждать, что любой подгруппоид является также моноидом (группой). Например, в качестве исходного группоида рассмотрим аддитивную группу целых чисел (ℤ , +). Выделим в множестве целых чисел подмножество N натуральных чисел. Поскольку это подмножество замкнуто относительно операциии сложения +, группоид (ℕ, +) будет подгруппоидом группоида (ℤ , +). Так как операция сложения чисел ассоциативна, (ℕ, +) будет подполугруппой. Однако в множестве ℕ отсутствует нейтральный элемент 0 относительно операции сложения. Следовательно, (ℕ,+) даже не моноид.

Пусть M = (М, ⋅, 1) — моноид. Если Р есть подмножество М, замкнутое относительно бинарной операции ⋅ моноида M и содержащее нейтральный элемент (единицу) 1 этого моноида, то P = (Р, ⋅, 1) также есть моноид. Его называют подмоноидом моноида M.

Полагая, по определению, что замкнутость подмножества В ⊆ А относительно нульарной операции а на A равносильна соотношению a ⊆ B, получаем, что моноид P = (Р, ⋅, 1) есть подмоноид моноида М = (М, ⋅, 1) тогда и только тогда, когда множество Р замкнуто относительно бинарной операции ⋅ моноида M, а также относительно его нульарной операции 1.

Пусть g = (G, ⋅, -1 , 1) — группа, а Н есть подмножество G, замкнутое относительно операции ⋅ группы g, содержащее нейтральный элемент (единицу) 1 этой группы и вместе с каждым элементом х ⊆ Н содержащее элемент x -1 , обратный к x, т.е. замкнутое относительно унарной операции -1 взятия обратного, которая здесь включена в сигнатуру группы. Тогда H = (H, ⋅, -1 , 1) также есть группа, которую называют подгруппой группы g.

Пусть ω — унарная операция на множестве G моноида g, a H — некоторый его подмоноид. Естественно подмоноид Н моноида g назвать замкнутым относительно унарной операции ω, если для каждого х ∈ Н имеет место ω(х) ∈ Н. Тогда группа Н = (H, ⋅, -1 , 1) есть подгруппа группы g = (G, ⋅, -1 , 1) в том и только в том случае, когда множество Н замкнуто относительно всех операций ⋅, -1 , 1 сигнатуры группы g.

Замечание 2.4. Подмножество H⊆G, замкнутое относительно группового умножения ⋅ группы g и содержащее вместе с каждым элементом х обратный к нему элемент x -1 , будет содержать и нейтральный элемент (единицу) группы, поскольку в силу замкнутости Н относительно операции умножения из х ∈ Н и х -1 ∈ Н следует, что х ⋅ х -1 = х -1 ⋅ х = 1 ∈ Н. #

Используя факт единственности нейтрального элемента (единицы) любого моноида и только что сформулированное определение, можно легко доказать, что единица моноида (группы, в частности) служит одновременно единицей любого его моноида (любой подгруппы). Заметим, что подмоноид, носитель которого содержит только единицу исходного моноида (Р = 1>), а также подмоноид, носитель которого совпадает с носителем исходного моноида (Р = М), называют тривиальным подмоноидом (в частности, тривиальной подгруппой). Подмоноид, не являющийся тривиальным, называют нетривиальным подмоноидом (в частности, нетривиальной подгруппой). Подгруппоид (подполугруппу, подмоноид, подгруппу) (G, *) называют собственным подгруппоидом (подполугруппой, подмоноидом, подгруппой) группоида (полугруппы, моноида, группы) (К, *), если его носитель G есть собственное подмножество множества К.

Пример 2.17. Рассмотрим аддитивную полугруппу натуральных чисел вместе с нулем (ℕ0, +). Подмножество всех положительных четных чисел замкнуто относительно сложения, и поэтому на нем может быть определена подполугруппа полугруппы (ℕ0, +). Но аддитивная полугруппа натуральных чисел с нулем является также и моноидом с нейтральным элементом 0. Тогда построенная выше подполугруппа всех положительных четных чисел не будет подмоноидом моноида (ℕ0, +), так как ее носитель не содержит нуля — единицы моноида (ℕ0, +).

Подмножество всех натуральных чисел вместе с нулем, делящихся на заданное число к > 1, замкнуто относительно операции сложения; на нем может быть определен подмоноид моноида (ℕ0, +).

Мультипликативная группа поля рациональных чисел, является подгруппой группы (ℝ \ , ⋅, 1) (мультипликативной группы поля действительных чисел). Но алгебра (ℤ\,⋅,l) не является подгруппой последней группы. Несмотря на то что множество всех отличных от нуля целых чисел замкнуто относительно операции умножения и содержит единицу, оно не содержит вместе с каждым целым числом m обратного к нему числа 1/m . #

Пусть g = (G, ⋅, -1, 1) — группа. Как следует из теорем 2.5 и 2.6, произведение любых степеней элемента а есть снова некоторая степень элемента а, нулевая степень дает единицу группы, а обратным к элементу а k является элемент а -k . Таким образом, множество всех степеней фиксированного элемента а группы g является подгруппой группы g .

Определение 2.7. Подгруппу группы g , заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента а, называют циклической подгруппой группы g , порожденной элементом а.

Пример 2.18. В группе ℤ*13 (мультипликативной группе вычетов по модулю 13) построим циклическую подгруппу, порожденную элементом 5. Имеем: 5 0 = 1, 5 1 = 5, 5 2 = 5⨀135 = 12, 5 3 = 5 ⨀13 12 = 8, 5 4 = 5 ⨀13 8 = 1. Отсюда следует, что порядок этой циклической подгруппы в силу теоремы 2.7 равен 4. Она состоит из элементов: 1, 5, 8 и 12. #

Рассмотрим кольцо R = (R, +, ⋅, 0, 1). Если множество g есть подмножество множества R, замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца R, содержащее нуль и единицу кольца R, а также вместе с каждым х ∈ Q содержащее противоположный к нему элемент -x, то Q = (Q,+,⋅,0,1) также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца g.

Другими словами, кольцо Q = (Q, +, ⋅, 0, 1) — это подкольцо кольца R = (R, +, ⋅, 0, 1), если его аддитивная группа есть подгруппа аддитивной группы кольца R, а его мультипликативный моноид — подмоноид мультипликативного моноида кольца R.

Аналогично определяется понятие подполя (какого-либо поля). Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом х содержать обратный к нему по умножению поля элемент х -1 . Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля. Естественно, что точно так же обстоит дело и с понятием подтела.

Пример 2.19. Кольцо целых чисел (ℤ, +, ⋅, 0, 1) есть подкольцо кольца действительных чисел (ℝ, +, ⋅, 0, 1). При этом, несмотря на то что кольцо действительных чисел есть поле, кольцо целых чисел не является его подполем, поскольку в последнем для любого целого числа отсутствует обратный к нему по умножению элемент.

Поле рациональных чисел является подполем поля действи- действительных чисел, которое, в свою очередь, есть подполе поля комплексных чисел. Алгебра (ℕ0, +, ⋅, 0, 1) на множестве натуральных чисел вместе с нулем не является подкольцом ни одного из перечисленных выше колец, так как ее носитель не содержит ни обратных относительно сложения, ни обратных относительно умножения элементов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *