Как найти наибольшее значение выражения
Перейти к содержимому

Как найти наибольшее значение выражения

  • автор:

Узнать ещё

Чтобы найти наибольшее значение тригонометрического выражения, во многих случаях достаточно знать область значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса и свойства неравенств.

Найти наибольшее значение выражения:

Область допустимых значений данного выражения — вся числовая прямая:

Область значений косинуса — промежуток [-1;1]. Для оценки значений удобнее использовать двойное неравенство:

Умножаем неравенство почленно на 7. При умножении на положительное число знаки неравенства не изменяются:

\[ - 1 \le \cos \alpha \le 1{\rm{ }}\left| { \cdot 7 ></p>
<p> 0} \right.\]» width=»171″ height=»18″ /></p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2theinternet -->
<script src=

Затем прибавляем почленно 5:

\[ - 7 \le 7\cos \alpha \le 7{\rm{ }}\left| { + 5} \right.\]

\[ - 2 \le 7\cos \alpha + 5 \le 12.\]

Таким образом, наибольшее значением выражения равно 12 (наименьшее — -2, область значений — [-2:12]).

При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

\[ - 1 \le \sin \varphi \le 1{\rm{ }}\left| { \cdot ( - 3) < 0} \right.{\rm{ }}\]

Перепишем в порядке возрастания

Прибавляем почленно 4

\[{\rm{ - 3}} \le {\rm{ - 3}}\sin \varphi \le 3{\rm{ }}\left| { + 4} \right.\]

Наибольшее значение выражения равно 7 (наименьшее — 1, область значений — [1;7]).

\[0 \le \left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \le 1{\rm{ }}\left| { \cdot ( - 2) < 0} \right.\]

\[0 \ge - 2\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \ge - 2\]

\[ - 2 \le - 2\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \le 0\]

\[ - 2 \le - 2\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \le 0{\rm{ }}\left| { + 10} \right.\]

\[8 \le - 2\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right| \le 10{\rm{ }}{\rm{.}}\]

Наибольшее значение выражения равно 10 (наименьшее — 8, область значений — [8;10]).

(Замечание. Если предварительно преобразовать данное выражение:

\[{\rm{10 - 2co}}{{\rm{s}}^2}x = 8 + 2 - {\rm{2co}}{{\rm{s}}^2}x = \]

\[ = 8 + 2(1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x) = 8 + 2{\sin ^2}x,\]

то можно упростить его оценку, поскольку в этом случае не нужно умножать неравенство на отрицательное число).

Решение: Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля, поэтому ОДЗ: sinα≠0. Удобнее всего работать с ОДЗ на единичной окружности: точки α=0 и α=П, в которых sinα обращается в нуль, выкалываем:

Теперь можно упростить выражение, сократив его

\[\frac{{\sin \alpha (9 - \cos \alpha )}}{{\sin \alpha }} = 9 - \cos \alpha \]

Осталось оценить полученное выражение.

Однако, с учетом ОДЗ, имеем:

(cosα=1 при α=0, cosα=-1 при α=П).

\[ - 1 < \cos \alpha < 1{\rm{ }}\left| { \cdot ( - 1) < 0} \right.{\rm{ }}\]

\[ - 1 < - \cos \alpha < 1{\rm{ }}\left| { + 9} \right.\]

Выражение не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений (область значений выражения — (8;10)).

В следующий раз продолжим рассматривать выражения с дробями, позже — выражения вида a∙sinα+b∙cosα.

Решение на Задание 1219 из ГДЗ по Математике за 6 класс: Виленкин Н.Я

Фото ответа 1 на Задание 1219 из ГДЗ по Математике за 6 класс: Виленкин Н.Я. Жохов В.И. Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. - 2013г.

Издатель: Виленкин Н.Я. Жохов В.И. Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. — 2013г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г.

Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015г.

Найдите Наибольшее и наименьшее значение выражения : 4 cos a +5 sin a

Найдите Наибольшее и наименьшее значение выражения: 4 cos a + 5 sin a.

Лучший ответ

Остальные ответы

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Как найти наибольшее значение выражения

Найдите наибольшее значение выражения ab + bc + ac + abc , если a + b + c = 12 ( a, b и с – неотрицательные числа).

Решение

Первый способ.

Кроме того, ab + bc + ac ≤ a ² + b ² + c ² = ( a + b + c )² – 2( ab + bc + ac ), то есть 3( ab + bc + ac ) ≤ ( a + b + c )² = 144.
В обоих случаях равенство достигается, если a = b = c = 4. Следовательно, наибольшее значение данного выражения равно 64 + 144 : 3 = 112.

Второй способ. Пусть X = ab + bc + ac + abc . Тогда

Таким образом, X ≤ 112.

Равенство достигается при a = b = c = 4.

Ответ

Замечания

Неотрицательность чисел a, b, с существенна. Например, при а = 20, b = с = –4, значение данного выражения равно 176 > 112.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
1
Класс 10
задача
Номер 10.3.1

Проект осуществляется при поддержке и .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *