Как найти координаты центра вписанной окружности в треугольник
Перейти к содержимому

Как найти координаты центра вписанной окружности в треугольник

  • автор:

Вопрос про центр вписанной и описанной окружности

Пожалуйста, используйте IE6/7/8 с плагином MathPlayer, Firefox с установленными математическими шрифтами или Opera 9.5 и выше.

Объявления Последний пост
Работодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий 26.03.2008 03:07
Правила и принципы форума «Высшая математика» 28.10.2009 15:17
Гранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/2024 28.11.2022 13:56

22.02.2012 17:59
Дата регистрации:
12 лет назад
Вопрос про центр вписанной и описанной окружности

Добрый день, вопрос такой:
Есть ли какие-либо формулы для расчета координат центра окружности вписанной или описанной (в треугольник, вокруг треугольника) зная координаты его вершин? Если да то какие, если нет, намекните хоть как их искать.
Заранее благодарен

22.02.2012 18:13
Дата регистрации:
14 лет назад
Посты: 13 190
Как решить.

Для вписанной окружности — пишем уравнения двух биссектрис и находим точку их пересечения. При выписывании уравнения биссектрисы делим противоположную сторону на отрезки пропорционально длинам прилежащих сторон.
Для описанной окружности — пишем уравнения двух срединных перпендикуляров и находим точку их пересечения.

Научный форум dxdy

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугол.

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугол.
26.09.2010, 02:57

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугольник

$\[A\left( < - 25;15 - 15\sqrt 3 ></p>
<p>Здравствуйте. Помогите пожалуйста найти радиус и координаты центра окружности, вписанной в треугольник—известны его вершины.<br />Например: \right),B\left( < - 25 + 20\sqrt 3 ; - 5 - 15\sqrt 3 >\right),C\left( < - 10;15>\right)\] $» /></p>
<p>Самое главное: найти радиус и координаты с помощью системы уравнений, т.е. координаты должны быть в уравнении, без предыдущей обработки, возможно ли это?</p><div class='code-block code-block-3' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 3theinternet -->
<script src=

Для окружности, описанной около треугольника это возможно:

$\[\left\< \begin</p>
<p>  <\left( < - 10 - x>\right)^2> + <\left( <15 - y>\right)^2> = , \\ <\left( < - 25 - x>\right)^2> + <\left( <15 - 15\sqrt 3 - y>\right)^2> = , \\ <\left( < - 25 + 20\sqrt 3 - x>\right)^2> + <\left( < - 5 - 15\sqrt 3 - y>\right)^2> = . \\ \end \right.\] $» /></p><div class='code-block code-block-4' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 4theinternet -->
<script src=

Я уже даже составил уравнение вписанной окружности, касательных к окружности, точки касаний и т.д.

$\[\begin</p>
<p>  <\left( <x + 20 - 5\sqrt 3 >\right)^2> + <\left( <y + 10\sqrt 3 - 10>\right)^2> = 100 \\ y = \frac>> \Rightarrow BC \\ \left( \right) \\ . \\ \end\] $» /></p><div class='code-block code-block-5' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 5theinternet -->
<script src=

$\[r = \frac<S></p>
<p>Но, радиус вписанной окружности пришлось находить по формуле </p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 6theinternet -->
<script src=

\] $» />, и координаты тоже. Для этого пришлось сначала длины сторон вычислять

Это не домашнее задание, собственный интерес, координаты я специально такие выбрал, чтобы радиус и точки касания по проще выглядели. Для меня важен сам ход вычисления (через уравнение), а не ответы. Заранее спасибо

Re: Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугол.
26.09.2010, 07:31

Попробуйте начать с того что, выписать уравнения биссектрис и искать точку их пересечения, либо приравнять расстояния до сторон (как правило там получается 4 точки в ответе — 3 центры вневписанных окружностей и 1 точка центр вписанной окружности).

Re: Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугол.
26.09.2010, 12:46

Заблокирован

math_lover в сообщении #356279 писал(а):

Декартовы координаты. Радиус вписанной окружности в треугольник

$\[A\left( < - 25;15 - 15\sqrt 3 ></p>
<p>Здравствуйте. Помогите пожалуйста найти радиус и координаты центра окружности, вписанной в треугольник—известны его вершины.<br />Например: \right),B\left( < - 25 + 20\sqrt 3 ; - 5 - 15\sqrt 3 >\right),C\left( < - 10;15>\right)\] $» /></p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 9theinternet -->
<script src=

Самое главное: найти радиус и координаты с помощью системы уравнений, т.е. координаты должны быть в уравнении, без предыдущей обработки, возможно ли это?

Для окружности, описанной около треугольника это возможно:

$\[\left\< \begin</p><div class='code-block code-block-10' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 10theinternet -->
<script src=

<\left( < - 10 - x>\right)^2> + <\left( <15 - y>\right)^2> = , \\ <\left( < - 25 - x>\right)^2> + <\left( <15 - 15\sqrt 3 - y>\right)^2> = , \\ <\left( < - 25 + 20\sqrt 3 - x>\right)^2> + <\left( < - 5 - 15\sqrt 3 - y>\right)^2> = . \\ \end \right.\] $» />

Я уже даже составил уравнение вписанной окружности, касательных к окружности, точки касаний и т.д.

$\[\begin</p><div class='code-block code-block-11' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 11theinternet -->
<script src=

<\left( \right)^2> + <\left( \right)^2> = 100 \\ y = \frac>> \Rightarrow BC \\ \left( \right) \\ . \\ \end\] $» />

$\[r = \frac<S></p>
<p>Но, радиус вписанной окружности пришлось находить по формуле </p><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 12theinternet -->
<script src=

\] $» />, и координаты тоже. Для этого пришлось сначала длины сторон вычислять

Это не домашнее задание, собственный интерес, координаты я специально такие выбрал, чтобы радиус и точки касания по проще выглядели. Для меня важен сам ход вычисления (через уравнение), а не ответы. Заранее спасибо

Изображение

Ну, поскольку это не домашнее задание, то модераторы, думаю мне простят и в очередной раз не забанят из-за того, что не пользуюсь
LaTex`ом и привожу решение с вычислениями в Маткаде.
Можно, добавив третью координату (z=0) координатам заданных вершин треугольника, использовать понятие векторного произведения
(хотя, конечно, это необязательно). Короче см. картинку.

Окружность в треугольнике

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
Центр вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Пример

В приведенном ниже примере, O является центров окружности.

triangle-circumcenter

Метод расчета центра окружности вписанного в треугольник

Даны точки вершин треугольника A(5,7), B(6,6) и C(2,-2). Итак, нам известны координаты точек вершин треугольника x1,y1, x2,y2 и x3,y3.
Для нахождения точки центра вписанной окружности необходимо найти уравнение биссектрисы.

Шаг 1 :

Давайте рассчитаем средние точки всех сторон треугольника AB, BC и CA заданных координатами x и y

Шаг 2 :

Далее, найдем углы сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Пожалуйста, обратите внимание, что угол обозначается буквой ‘m’.

Шаг 3 :

Теперь, давайте вычислить угол биссектрисы сторон AB, BC и CA.

Шаг 4 :

После того, как мы находим угол перпендикулярных линий, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис с углом и серединой. Уравнение перпендикуляра АВ с серединами (11/2, 13/2) и углом 1.

Уравнение центра окружности y-y1 = m(x-x1)

Упростив, мы получим уравнение -x + y = 1

Кроме того, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис линий BE и CF.

Для BC с средней точкой (4,2) и углом -1/2 y-2 = -1/2(x-4)

Упростив, мы получим уравнение x + 2y = 8

Для CA с средней точкой (7/2,5/2) и углом -1/3 y-5/2 = -1/3(x-7/2)

Упростив, мы получим уравнение x + 3y = 11

Шаг 5 :

Найдем значения x и y решив любые 2 из указанных 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y равны (2,3) которые являются координатами центра (o) вписанной окружности в треугольник.

Центр и радиус вписанной окружности в треугольник

Этот калькулятор предназначен для вычисления координат центра и радиуса вписанной окружности в заданный треугольник. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника внутренним образом.

Для использования калькулятора, вам необходимо ввести координаты вершин треугольника (x и y), которые представлены в виде (x1, y1), (x2, y2), и (x3, y3). Калькулятор автоматически выполнит расчеты и предоставит вам координаты центра и радиус вписанной окружности.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *