Как найти формулу общего числа последовательности
Перейти к содержимому

Как найти формулу общего числа последовательности

  • автор:

Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам. Первая часть.

Числовой ряд можно задать по-разному. Чаще всего просто используют запись вида \(\sum\limits_^<\infty>u_n\). Однако изредка указывают несколько первых членов ряда, по которым нужно восстановить общий член ряда. Честно говоря, подобные задачи не имеют единственного решения, и это будет продемонстрировано в задаче №1. Впрочем, есть некие общие приёмы, которые применяют в стандартных случаях.

Для начала стоит запомнить несколько последовательностей. Например, квадраты натуральных чисел, т.е. последовательность \(u_n=n^2\). Вот несколько первых членов этой последовательности:

\[ \begin 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots \end \]
Как мы получили эти числа?

Общий член последовательности имеет вид \(u_n=n^2\). Подставляя \(n=1\), получим:

Это и есть первый член последовательности. Подставляя \(n=2\) в \(u_n=n^2\), получим второй член последовательности:

Если подставить \(n=3\), то получим третий член последовательности:

Точно так же находим четвёртый, пятый, шестой и иные члены последовательности. Вот так и получаем соответствующие числа:

\[ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots \]

Также стоит иметь в виду члены последовательности \(u_n=n^3\). Вот несколько первых её членов:

\[ \begin 1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end \]

Кроме того, для формирования общего члена ряда частенько используется последовательность \(u_n=n!\), несколько первых членов которой таковы:

\[ \begin 1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end \]
Что обозначает «n!»?

Запись «n!» (читается «эн факториал») обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.

\[ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. \]

По определению полагается, что \(0!=1!=1\). Для примера найдём 5!:

\[ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. \]

Часто используются также арифметическая и геометрическая прогрессии. Если первый член арифметической прогрессии равен \(a_1\), а разность равна \(d\), то общий член арифметической прогрессии записывается с помощью такой формулы:

\[ \begin a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end \]
Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами неизменна. Эта постоянная разность называется разностью прогрессии. Для примера рассмотрим такую последовательность:

\[ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots \]

Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, разность между последующим и предыдущим членами всегда будет постоянной и равной 7:

\[ \begin & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots \end \]

Это число, т.е. 7, и есть разность прогрессии. Обычно её обозначают буквой \(d\), т.е. \(d=7\). Первый элемент прогрессии \(a_1=3\). Общий член этой прогрессии запишем с помощью формулы (4). Подставляя в неё \(a_1=3\) и \(d=7\), будем иметь:

\[ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. \]

Для наглядности найдём по формуле \(a_n=7n-4\) несколько первых членов арифметической прогрессии:

Подставляя в формулу \(a_n=7n-4\) любое значение номера \(n\), можно получить любой член арифметической прогрессии.

Стоит также отметить геометрическую прогрессию. Если первый член прогрессии равен \(b_1\), а знаменатель равен \(q\), то общий член геометрической прогрессии задаётся такой формулой:

\[ \begin b_n=b_1\cdot q^ \end \]
Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами постоянно. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии. Для примера рассмотрим такую последовательность:

\[ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots \]

Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, отношение последующего к предыдущему всегда будет постоянным и равным 3:

\[ \begin & \frac=3;\\ & \frac=3;\\ & \frac=3;\\ & \ldots \end \]

Это число, т.е. 3, и есть знаменатель прогрессии. Обычно его обозначают буквой \(q\), т.е. \(q=3\). Первый элемент прогрессии \(b_1=6\). Общий член этой прогрессии запишем с помощью формулы (5). Подставляя в неё \(b_1=6\) и \(q=3\), будем иметь:

\[ b_n=6\cdot 3^. \]

Для наглядности найдём по формуле \(b_n=6\cdot 3^\) несколько первых членов геометрической прогрессии:

Подставляя в формулу \(b_n=6\cdot 3^\) любое значение номера \(n\), можно получить любой член геометрической прогрессии.

Во всех изложенных ниже задачах члены рядов будем обозначать буквами \(u_1\) (первый член ряда), \(u_2\) (второй член ряда) и так далее. Запись \(u_n\) будет обозначать общий член ряда.

Задача №1

Условие

Найти общий член ряда \(\frac+\frac+\frac+\frac+\ldots\).

Решение

Суть таких задач состоит в том, чтобы заметить закономерность, которая присуща первым членам ряда. И на основании этой закономерности сделать вывод о виде общего члена. Что означает фраза «найти общий член»? Она означает, что необходимо найти такое выражение, подставляя в которое \(n=1\) получим первый член ряда, т.е. \(\frac\) ; подставляя \(n=2\) получим второй член ряда, т.е. \(\frac\) ; подставляя \(n=3\) получим третий член ряда, т.е. \(\frac\) и так далее. Нам известны первые четыре члена ряда:

\[ u_1=\frac<1>;\; u_2=\frac;\; u_3=\frac;\; u_4=\frac. \]

Давайте двигаться постепенно. Все известные нам члены ряда – дроби, поэтому резонно предположить, что и общий член ряда тоже представлен дробью:

Наша задача – выяснить, что же скрывается под знаками вопроса в числителе и знаменателе. Сначала обратимся к числителю. В числителях известных нам членов ряда стоят числа 1, 2, 3 и 4. Заметьте, что номер каждого члена ряда равен числителю. У первого члена в числителе стоит единица, у второго – двойка, у третьего – тройка, у четвёртого – четвёрка.

Ряд

Логично предположить, что у n-го члена в числителе будет стоять \(n\) :

Кстати сказать, к этому выводу мы можем прийти и иным путём, более формальным. Что представляет собой последовательность 1, 2, 3, 4? Отметим, что каждый последующий член этой последовательности на 1 больше, чем предыдущий. Мы имеем дело с четырьмя членами арифметической прогрессии, первый член которой \(a_1=1\), а разность \(d=1\). Используя формулу (4), получим выражение общего члена прогрессии:

\[ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. \]

Итак, угадывание или формальный расчёт – дело вкуса. Главное – мы записали числитель общего члена ряда. Перейдём к знаменателю.

В знаменателях мы имеем последовательность 7, 9, 11, 13. Это четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен \(b_1=7\), а разность \(d=2\). Общий член прогрессии найдем, используя формулу (4):

\[ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. \]

Полученное выражение, т.е. \(2n+5\), и будет знаменателем общего члена ряда. Итак:

Общий член ряда получен. Давайте проверим, подходит ли найденная нами формула \(u_n=\frac\) для вычисления уже известных членов ряда. Найдём члены \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) и \(u_4\) по формуле \(u_n=\frac\). Результаты, естественно, должны совпасть с заданными нам по условию первыми четырьмя членами ряда.

\[ u_1=\frac<1>=\frac<1>;\; u_2=\frac=\frac;\; u_3=\frac=\frac;\; u_4=\frac=\frac. \]

Всё верно, результаты совпадают. Заданный в условии ряд можно записать теперь в такой форме: \(\sum\limits_^<\infty>\frac\). Общий член ряда имеет вид \(u_n=\frac\).

В принципе, если речь идёт о стандартном примере, то можно считать, что ответ получен. Однако если вам интересно поисследовать вопрос более детально, то прошу читать далее. Вопрос вот в чём: является ли найденное выше представление общего члена единственным? Ответ на этот вопрос далеко не столь очевидный, как кажется на первый взгляд. Например, давайте продолжим заданный в условии ряд таким образом:

\[ \frac<1>+\frac+\frac+\frac+0+0+0+0+0+0+0+\ldots \]

Разве такой ряд не имеет право на существование? Ещё как имеет. И для этого ряда можно записать, что

\[ u_1=\frac<1>;\; u_2=\frac;\; u_3=\frac;\; u_4=\frac; \; u_n=0\; (n≥ 5). \]

Можно записать и иное продолжение. Например, такое:

\[ \frac<1>+\frac+\frac+\frac+\frac<1>+\frac<1>+\frac<1>+\frac<1>+\frac<1>+\frac<1>+\ldots \]

И такое продолжение ничему не противоречит. При этом можно записать, что

\[ u_1=\frac<1>;\; u_2=\frac;\; u_3=\frac;\; u_4=\frac; \; u_n=\frac<1>\; (n≥ 5). \]

Если первые два варианта показались вам чересчур формальными, то предложу третий. Давайте запишем общий член в таком виде:

Вычислим первые четыре члена ряда, используя предложенную формулу общего члена:

\[ \begin & u_1=\frac=\frac;\\ & u_2=\frac=\frac;\\ & u_3=\frac=\frac;\\ & u_4=\frac=\frac. \end \]

Как видите, предложенная формула общего члена вполне корректна. И таких вариаций можно придумать бесконечно много, их количество ничем не ограничено. В стандартных примерах, конечно, используется стандартный набор неких известных последовательностей (прогрессии, степени, факториалы и т.д.). Однако в таких задачах всегда присутствует неопределённость, и об этом желательно помнить.

Во всех последующих задачах эта неоднозначность оговариваться не будет. Решать станем стандартными способами, которые приняты в большинстве задачников.

Общий член ряда: \(u_n=\frac\).

Задача №2

Условие
Решение

Нам известны первые пять членов ряда:

\[ u_1=\frac<1>;\; u_2=\frac<1>; \; u_3=\frac<1>; \; u_4=\frac<1>; \; u_5=\frac<1>. \]

Все известные нам члены ряда – дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби:

Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица, т.е.

Теперь обратимся к знаменателю. В знаменателях известных нам первых членов ряда расположены произведения чисел: \(1\cdot 5\), \(3\cdot 8\), \(5\cdot 11\), \(7\cdot 14\), \(9\cdot 17\). Первые из этих чисел таковы: 1, 3, 5, 7, 9. Данная последовательность имеет первый член \(a_1=1\), а каждый последующий получается из предыдущего прибавлением числа \(d=2\). Иными словами, это первые пять членов арифметической прогрессии, общий член которой можно записать с помощью формулы (4):

\[ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. \]

В произведениях \(1\cdot 5\), \(3\cdot 8\), \(5\cdot 11\), \(7\cdot 14\), \(9\cdot 17\) вторые числа таковы: 5, 8, 11, 14, 17. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой \(b_1=5\), а знаменатель \(d=3\). Общий член этой прогрессии запишем с помощью всё той же формулы (4):

\[ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. \]

Сведём результаты воедино. Произведение в знаменателе общего члена ряда таково: \((2n-1)(3n+2)\). А сам общий член ряда имеет следующий вид:

Для проверки полученного результата найдём по формуле \(u_n=\frac\) те четыре первых члена ряда, которые нам известны:

Итак, формула \(u_n=\frac\) позволяет точно вычислить члены ряда, известные из условия. При желании заданный ряд можно записать так:

Понятие числовой последовательности

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел $N$ в некоторое множество $X$ : $\left\\right\>=\left\\right\>_^<\infty>=\left\ ; x_ ; \ldots ; x_ ; \ldots\right\>, x_ \in N$

Элемент $x_$ называется первым членом последовательности, $x_$ — вторым, . , $x_$ — $n$-ым или общим членом последовательности.

Задание. Для последовательности $x_=\$ определить, чему равен третий член $x_$

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что $x_=5$

Ответ. $x_=5$

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 456 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти формулу общего члена последовательности $x_=\$

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

$n=1 : x_=6=2 \cdot 3=2^ \cdot 3=2^ \cdot(2 \cdot 1+1)$

$n=2 : x_=20=4 \cdot 5=2^ \cdot 5=2^ \cdot(2 \cdot 2+1)$

$n=3 : x_=56=8 \cdot 7=2^ \cdot 7=2^ \cdot(2 \cdot 3+1)$

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

Ответ. Формула общего члена: $x_=2^ \cdot(2 n+1)$

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой $n$-го члена: $x_=\frac<(-1)^>, n \in N$

Решение. Для того чтобы найти $x_$ , подставим в формулу общего члена значение $n=15$ . Получим:

Задание. Проверить, являются ли числа $a=6$ и $b=1$ членами последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$

Решение. Число $a=6$ является членом последовательности $\left\\right\>, n \in N$ , если существует такой номер $n_ \in N$ , что $x_=a=6$ :

Таким образом, число $a=6$ является первым и пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число $b=1$ членом указанной последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$ . Рассуждая аналогично, как и для $a=6$ , получаем:

$\frac^+11>+1>=1 \Rightarrow n_^-n_+10=0 \Rightarrow D=1-40=-39 \lt 0$

Таким образом, уравнение $n_^-n_+10=0$ не имеет решение в натуральных числах, а значит, $b=1$ не является членом последовательности $\left\\right\>$

Ответ. Число $a=6$ является первым и пятым членами заданной последовательности, а $b=1$ не является членом последовательности $\left\\right\>=\left\+11>\right\>$

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член $x_$ последовательности и известно, что $x_=f\left(x_\right)$ , то есть $x_=f\left(x_\right), x_=f\left(x_\right)$ и так далее до нужного члена.

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

Задание. Последовательность $\left\\right\>$ задана при помощи рекуррентного соотношения $x_=\frac\left(x_+x_\right), x_=2, x_=4$ . Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

Аналогично находим далее, что

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения $x_$ надо найти все предыдущие 499 членов.

помогите написать формулу общего члена последовательности 1, 0, -3, 0, 5, 0, -7, 0. и объясните, как это делать?

ряд представляет последовательность натуральных чисел в которой все четные числа заменены (умножены) на ноль, а нечетные числа периодически меняют знаки. функцией пробегающей значения 1, 0, -1, 0, 1, ..является или sin или cos, тогда a(n)=sin(pi*n/2)*n. a1=sin(pi/2)*1=1*1=1, a2=sin(pi)*2=0*2=0, a3=sin(3pi/2)*3=-1*3=-3, a4=sin(2pi)*4=0*4=0 и т. д. или a(n)=cos(pi(n-1)/2)*n.

Остальные ответы

1,0,-3,0,5,0,-7,0,9,0,-11,0,13. Так?
Тогда Хn = sin(Пi*n/2)*n
Тут синус даёт только множители 1, 0 и -1.

Похожие вопросы

Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии

an = a1 + (n — 1)d.

Данная формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии, если известны её первый член и разность. Поэтому она называется формулой общего (или n-го) члена арифметической прогрессии. Например, для прогрессии

a1 = -5, d = 3.

a8 = a1 + 7d = -5 + 21 = 16;

a101 = a1 + 100d = -5 + 300 = 295.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *