Как найти диаметр окружности описанной около прямоугольного треугольника
Перейти к содержимому

Как найти диаметр окружности описанной около прямоугольного треугольника

  • автор:

Окружность описанная около прямоугольного треугольника

Окружность описанная около прямоугольного треугольника. В этой публикации мы с вами рассмотрим доказательство одного «математического факта», который широко используется при решении задач по геометрии. В одних источниках сей факт обозначается как теорема, в других как свойство, формулировки имеются разные, но суть их одна:

Любой треугольник построенный на диаметре окружности, третья вершина которого лежит на этой окружности является прямоугольным!

То есть закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым:

Заданий присутствующих с составе экзамена по математике, в ходе решений которых используется это свойство, достаточно много.

Стандартное доказательство считаю весьма путанным и перегруженным математическими символами, его вы найдёте в учебнике. Мы же рассмотрим простое и интуитивно понятное. Его я обнаружил в одном замечательном эссе под названием » Плач математика «, рекомендую к прочтению учителям и ученикам.

Сначала вспомним некоторые теоретические моменты:

Признак параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. То есть если у четырехугольника обе пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Признак прямоугольника. Прямоугольник является параллелограммом, и его диагонали равны. То есть если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

*Прямоугольник является параллелограммом, это его частный случай.

Возьмем треугольник и относительно центра окружности повернем его на 180 0 (перевернём его). У нас получится четырехугольник, вписанный в окружность:

Поскольку мы просто повернули треугольник, то противолежащие стороны четырехугольника равны, значит это параллелограмм. Поскольку треугольник повернут ровно на 180 градусов, значит его вершина диаметрально противоположна вершине «исходного» треугольника.

Получается, что диагонали четырёхугольника равны, так они являются диаметрами. Имеем четырёхугольник у которого противолежащие стороны равны и диагонали равны, следовательно это есть прямоугольник, а у него все углы прямые.

Вот и всё доказательство!

Можно рассмотреть и такое, тоже простое и понятное:

Посмотреть ещё одно доказательство =>>

Из точки С построим отрезок проходящий через центр окружности, другой конец которого будет лежать на противоположной точке окружности (точка D). Точку D соединим с вершинами А и В: Получили четырёхугольник. Треугольник АОD равен треугольнику СОВ по двум сторонам и углу между ними:

Из равенства треугольников следует, что AD = CB.

Аналогично и АС = DB.

Можем сделать вывод, что четырёхугольник является параллелограммом. Кроме того, его диагонали равны – АВ изначально дан как диаметр, СD также диаметр (проходит через точку О).

Таким образом, АСВD прямоугольник, значит все его углы прямые. Доказано!

Ещё один примечательный подход, который ярко и «красиво» говорит нам о том, что рассматриваемый угол всегда прямой.

Посмотрите и вспомните информацию про вписанный угол . А теперь посмотрите на эскиз:

Угол АОВ не что иное как центральный угол опирающийся на дугу АDB, и равен он 180 градусам. Да, АВ это диаметр окружности, но ничто нам не мешает считать АОВ центральным углом (это развёрнутый угол). Угол же АСВ является вписанным для него, он опирается также же дугу на АDB.

А мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то есть как бы мы не разместили точку С на окружности, угол АСВ всегда будет равен 90 градусам, то является прямым.

Какие выводы можно сделать применительно к решению задач, в частности включённых в экзамен?

Если в условии речь идёт о треугольнике вписанном в окружность и построенном на диаметре этой окружности, то однозначно этот треугольник является прямоугольным.

Если сказано, что прямоугольный треугольник вписан в окружность, то это означает, что его гипотенуза является совпадает с её диаметром (равна ему) и центр гипотенузы совпадает с центром окружности.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях.

Помгите решить задачу

пусть неизвестный катет Х, проекция которого соответственно равна 9.
Y проекция катете 20. (20+Y) гипотенуза, что есть диаметр окружности.
H-высота, опущенная на гипотенузу
по т. Пифагора 20^2+X^2=(Y+9)^2 (1)
по т. Пифагора X^2=9^2+H^2 (2)
не помню теоремы, но Н^2=Y*9 (3)
выражаем из (2) X^2=9^2+Y*9
подставляем в (1) 20^2+9^2+Y*9=(Y+9)^2
раскрываем скобки и получаем Y^2+9*Y-400=0
Y(1)=16; Y(2)=-25 так как Y отрицательным быть не может, следовательно Y=16
диаметр равен 16+9=25, радиус 25/2=12.5

Остальные ответы

Запомни, что для окружности, описанной вокруг ПРЯМОУГОЛЬНОГО треугольника гипотенуза является диаметром.

Далее лучше конечно рисунок сделать.
Во-первых по пифагору:
20^2 + y^2 = (x+9)^2 //у — неизвестный катет, х — проекция известного катета.
Пусть угол между гипотенузой и неизвестным катетом Ф.
Тогда у*cos(Ф) = 9, (х+9)*cos(Ф) = у.
Отсюда можно выразить у^2 через (х+9) и подставить в первое уравнение.
Получится квадратное уравнение относительно (х+9) — что и нужно.
Только вот корни иррациональные получаются. Пока не вижу как можно лучше.

P.S. Не забывай закрывать вопросы 🙂

Пусть прямоугольный треугольник АВС, где С — прямой угол. Гипотенуза — это диаметр окружности, центр которой лежит на середине гипотенузы.Обозначим неизвестый катет Х, тогда отрезок гипотенузы обозначим за У, вся гипотенуза будет У+9. По тереме Пифагора имеем: 400+ Х в квадрате равно (У+9) в квадрате. По теореме о среднем геометрическом имеем Х в квадрате равен 9(У+9). В равенстве с применением теоремы Пифагора вместо Х в квадрате поставим 9(9+У). Получим квадратное уравнение, в котором У+9 обозначим за Т. Т в квадрате минус 9Т минус 400 равно 0. найдём Т=25.У+9=25, а это и есть диаметр окружности.

Источник: Своя голова.

Математика Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 20 см, а проекция второго катета на гипотенузу равна 9.

Диаметр окружности, описанной около треугольника

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Такая задача:
В треугольнике MNP сторона MN не длиннее 12, сторона NP не длиннее 5, а его площадь не меньше 30. Найти диаметр окружности, описанной около треугольника MNP.
Как такое решить? Что-то в голову ничего не приходит на счет этого.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти радиус описанной около треугольника окружности.
В треугольнике KLM угол L тупой, а сторона KM равна 6. Найдите радиус описанной около треугольника.

Найти радиус окружности,описанной около треугольника.
Помогите пожалуйста решить задачу,уже второй день пытаюсь В треугольнике АВС проведены высоты BM и.

Пусть r — радиус окружности, описанной около правильного n-угольника
Здравствуйте! Не могу разобраться с решением. Задача: Пусть r — радиус окружности, описанной.

Почетный модератор
64300 / 47595 / 32743
Регистрация: 18.05.2008
Сообщений: 115,181

Площадь треугольника
S=0.5*MN*NP*sinN максимальна при sinN=1 MN=12 NP=5 и равна 30, но меньше она быть не может.
Следовательно треугольник прямоугольный(угол N=90 градусов). Диаметр описанной окружности=его гипотенузе=13.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Найдите расстояние от центра описанной около трапеции окружности до прямой
Диагонали углов, принадлежащих к большому основанию равнобокой трапеции, являются биссектрисами.

Аналог в пространстве описанной вокруг треугольника окружности
Для треугольника на плоскости существует описанная около него окружность.а как это будет выглядеть.

Построить изображение высот треугольника и центра описанной окружности
Дано изображение равнобедренного треугольника, высота которого равна стороне основания. Построить.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Серединный перпендикуляр свойства

ТЕОРЕМА 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Серединный перпендикуляр свойства

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB .

Теорема 1 доказана.

ТЕОРЕМА 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Докажем теорему 2 методом «от противного».

С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Серединный перпендикуляр свойства

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Серединный перпендикуляр свойства

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2.

Окружность, описанная около треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Описанная около треугольника окружность треугольник вписанный в окружность

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Серединный перпендикуляр свойства

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Для любого треугольника справедливы равенства

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

ТЕОРЕМА 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью AC , то в силу теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема синусов

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ . (1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Теорема синусов доказана.

Справочник по математике для школьников

  • Арифметика
  • Алгебра
  • Тригонометрия
  • Геометрия (планиметрия)
  • Геометрия (стереометрия)
  • Элементы математического анализа
  • Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

  • Основные фигуры планиметрии
    • Фигуры, составляющие основу планиметрии
    • Углы на плоскости
    • Теорема Фалеса
    • Углы, связанные с окружностью
    • Признаки параллельности прямых
    • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
    • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
    • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
    • Свойства сторон и углов треугольника
    • Подобие треугольников
    • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
    • Биссектриса треугольника
    • Медиана треугольника
    • Высота треугольника. Задача Фаньяно
    • Средние линии треугольника
    • Теорема Чевы
    • Теорема Менелая
    • Описанная окружность. Теорема синусов
    • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
    • Площадь треугольника
    • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    • Вневписанные окружности
    • Четырехугольники
    • Параллелограммы
    • Трапеции
    • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
    • Описанные четырехугольники
    • Площади четырехугольников
    • Многоугольники
    • Правильные многоугольники
    • Углы, связанные с окружностью
    • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
    • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
    • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
    • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
    • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    • Вневписанные окружности
    • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
    • Описанные четырехугольники
    • Площади четырехугольников
    • Площадь треугольника
    • Вывод формул Герона и Брахмагупты
    • Средние линии
    • Геометрические места точек на плоскости
    • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

    Учебные пособия для школьников

    • Задачи на проценты
    • Квадратный трехчлен
    • Метод координат на плоскости
    • Прогрессии
    • Решение алгебраических уравнений
    • Решение иррациональных неравенств
    • Решение логарифмических неравенств
    • Решение логарифмических уравнений
    • Решение показательных неравенств
    • Решение показательных уравнений
    • Решение рациональных неравенств
    • Решение тригонометрических уравнений
    • Степень с рациональным показателем
    • Системы уравнений
    • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
    • Уравнения и неравенства с модулями
    • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

    Демоверсии ЕГЭ

    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
    • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

    Демоверсии ОГЭ

    • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
    • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *