Как исследовать интеграл на сходимость онлайн
Перейти к содержимому

Как исследовать интеграл на сходимость онлайн

  • автор:

Несобственный интеграл онлайн

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Один (или оба) из пределов интегрирования равен или . В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом первого рода, например: .

В любой точке на отрезке интегрирования, подинтегральная функция терпит бесконечный разрыв. В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом второго рода, например: в точке .

Рассмотрим в качестве примера несобственный интеграл первого рода . График подинтегральной функции на отрезке интегрирования имеет вид:

Геометрически, данный несобственный интеграл равен площади под графиком функции на отрезке . Рассматриваемый интеграл является сходящимся, потому что указанная площадь равна — конечному числу. Однако, несобственные интегралы бывают и расходящимися, например:

Алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода выглядит следующим образом:

Сначала мы заменяем бесконечный предел на некоторый параметр, например и получаем определенный интеграл. Этот интеграл мы вычисляем обычным образом: берем неопределенный интеграл и далее используем формулу Ньютона-Лейбница. На завершающем этапе, мы вычисляем предел при и, если, данный предел существует и конечен, тогда исходный несобственный интеграл является сходящимся, а в противном случае — расходящимся.

Алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода заключается в разбивке интервала интегрирования на отрезки в каждом из которых подинтегральная функция является непрерывной (разрывы допускаются только на концах отрезка). Далее, вычисляются полученные определенные интегралы, а при подстановке значений в формулу Ньютона-Лейбница вычисляются соответствующие пределы. И если все эти пределы существуют и конечны, тогда, как и раньше, интеграл является сходящимся, а в противном случае — расходящимся. Приведем пример:

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен вычислить очень многие типы несобственных интегралов. При этом, если интеграл расходится, калькулятор выдает сообщение: integral does not converge.

Несобственный интеграл

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение интеграла��

Что умеет?

Используя данные примеры, вы можете:

  • Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
    1. сходится
    2. расходится
    3. на условную сходимость (расходимость)
    4. на абсолютную сходимость (расходимость)
  • Вычислить несобственный интеграл
    1. 1-го рода (с бесконечным нижним или верхним пределом, с двумя бесконечными пределами)
    2. 2-го рода (от функций, имеющий неопределённость или расходимость в точки)
    3. условно и абсолютно расходящиеся

Калькулятор использует методы:

  • I признак сравнения
  • II признак сравнения
  • Принцип Дирихле
  • Формулу Ньютон-Лейбница для несобственного интеграла 2-го рода (первообразной)
  • Монотонных на промежутке интегрирования (монотонно возрастающих или убывающих)
  • Положительных или отрицательных на этом промежутке
  • Имеющих разрыв (стремящиюся к бесконечности) или непрерывных
  • Знакопеременных

Примеры несобственных интегралов

Несобственный интеграл 1-го рода

$$\int\limits_<0>^ <\infty>\frac + 1>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac<1>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac<1>>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ <\infty>x^\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ <\infty>\sin<\left(x \right)>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ <\infty>x \sin<\left(x \right)>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ <\infty>x e^>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ <\infty>e^\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ <\infty>\lambda x e^\, dx$$

Первый признак сравнения

$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac<1> \left(e^ + 1\right)>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac>>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ \frac + 3 x>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac + 1>>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ \frac<\cos<\left(x \right)>>>\, dx$$

Исследование на условную сходимость

$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac<\sin<\left(x \right)>>\, dx$$

Основная формула интегрального исчисления

$$\int\limits_<-1>^ \frac>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ \frac<1>>\, dx$$

Второй признак сравнения

$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac<1> + 3 x — 1>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac<1> + 2>>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac + 1>>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ \frac<\sin<\left(x \right)>>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ \frac<1><\log<\left(x \right)>>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ \frac \left(1 — x^\right)^>>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ \frac>> — 1>\, dx$$

Исследование интеграла от знакопеременной функции на абсолютную сходимость

$$\int\limits_<0>^ \frac<\sin<\left(x \right)>>>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ \frac<\sin<\left(x \right)>>>\, dx$$
$$\int\limits_<1>^ <\infty>\frac<\cos<\left(2 x \right)>>\, dx$$

Несобственный интеграл 2-го рода

$$\int\limits_<0>^ \frac>\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ \frac\, dx$$
$$\int\limits_<0>^ x^\, dx$$
$$\int\limits_^ \frac\, dx$$
$$\int\limits_^ \left(b — x\right)^\, dx$$

Введите функцию, для которой надо найти несобственный интеграл

Найдём решение несобственного интеграла с заданными пределами интегрирования.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
sqrt(x)/(x + 1)
cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)
x*arcsin(x)
x*arccos(x)
x*log(x, 10)
ln(x)/x
exp(x)*x
tg(x)*sin(x)
ctg(x)*cos(x)
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
x*arctg(x)
x*arcctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь
Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Сходимость ряда онлайн

то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.

Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:

здесь и соответственно и члены ряда, а сходимость определяется значением . Если — ряд сходится, если — расходится. При — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.

Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

здесь — n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением . Если — ряд сходится, если — расходится. При — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

Текст на английском языке Текст на русском языке
By the harmonic series test, the series diverges. При сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом , исходный ряд расходится.
The ratio test is inconclusive. Признак Даламбера не может дать ответа о сходимости ряда.
The root test is inconclusive. Радикальный признак Коши не может дать ответа о сходимости ряда.
By the comparison test, the series converges. По признаку сравнения, ряд сходится
By the ratio test, the series converges. По признаку Даламбера, ряд сходится
By the limit test, the series diverges. На основнии того, что , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится.

Калькулятор Интегралов. Решение Определенных и Неопределенных Интегралов (первообразных)

Калькулятор интегрирует функции, используя методы: замены, рациональных функций и дробей, неопределенных коэффициентов, разложения на множители, дробно-линейных иррациональностей, Остроградского, прямые методы, интегрирование по частям, подстановки Эйлера, дифференциального бинома, интегрирования с модулем, интегральных функций, степенных, тригонометрических, гиперболических преобразований, понижения степени подынтегральной функции и группировок. Для решения определенных интегралов применяется формула Ньютона-Лейбница и нахождение пределов в точках разрыва

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *