Что такое пустое множество в математике
Перейти к содержимому

Что такое пустое множество в математике

  • автор:

Пустое множество

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

\in

-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Обозначения пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: ~ \varnothing, ~ \emptysetи ~ \<\>» width=»» height=»» />.</p><div class='code-block code-block-3' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 3theinternet -->
<script src=

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: ~ 0и ~ \Lambda.

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205, ∅ ).

Символы ~ \varnothingи ~ \emptysetвведены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

~ \varnothing

Символ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите [1] .

Свойства пустого множества

  • Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, ~ \forall a \ (a \notin \varnothing)и, в частности, ~ \varnothing \notin \varnothing.
  • Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \subseteq a)и, в частности, ~ \varnothing \subseteq \varnothing.
  • Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \cup a = a) и, в частности, ~ \varnothing \cup \varnothing = \varnothing.
  • Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \cap a = \varnothing)и, в частности, ~ \varnothing \cap \varnothing = \varnothing.
  • Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ~ \forall a \ (a \setminus \varnothing = a) и, в частности, ~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing.
  • Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \setminus a = \varnothing)и, в частности, ~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing.
  • Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \triangle a = a \ \land \ a \triangle \varnothing = a)и, в частности, ~ \varnothing \triangle \varnothing = \varnothing
  • Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \times a = \varnothing \ \land \ a \times \varnothing = \varnothing)и, в частности, ~ \varnothing \times \varnothing = \varnothing.
  • Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, ~ \mathrm(\varnothing), где ~ \mathrm(\varnothing) \Leftrightarrow \forall b \ (b \in \varnothing \to b \subseteq \varnothing).
  • Пустое множество — ординал. Иначе говоря, ~ \mathrm<Ord>(\varnothing)» width=»» height=»» />, где <img decoding=.
  • Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, ~ \mu(\varnothing) = 0

См. также

  • Аксиома пустого множества
  • Аксиоматика теории множеств

Ссылки

  1. Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (англ.) . — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011.Проверено 28 сентября 2010.
  • Теория множеств

Wikimedia Foundation . 2010 .

Пустое множество

Математика

Пусто́е мно́жество, множество , не содержащее ни одного элемента, обычно обозначается ∅ \varnothing ∅ . Понятие «пустое множество» возникает (подобно понятию « нуль ») из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством. Запись A ∩ B = ∅ A\cap B= \varnothing A ∩ B = ∅ , где символ ∩ \cap ∩ обозначает пересечение множеств , означает, что множества A A A и B B B не имеют общих элементов.

Редакция математических наук. Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2015.

Опубликовано 19 апреля 2023 г. в 17:15 (GMT+3). Последнее обновление 19 апреля 2023 г. в 17:15 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Математика

Области знаний: Теория множеств

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Пустое множество

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.

Advertisement

Наши ресурсы

В социальных сетях

Обзор

  • Что такое Фэндом?
  • О нас
  • Вакансии
  • В прессе
  • Обратная связь
  • Условия использования
  • Конфиден­циальность
  • Закон о цифровых услугах
  • Общая карта сайта
  • Локальная карта сайта
  • Cookie Preferences

Сообщество

  • Вики Сообщества
  • Поддержка
  • Справка
  • Запретить продажу данных

Реклама на сайте

Приложения Фэндома

Оставайтесь в курсе всего происходящего на ваших любимых сообществах.

Математика — это сообщество Фэндома на портале Увлечения.

Что такое пустое множество в математике

Учение-свет, а неучёных тьма

Основные понятия. Примеры множеств

Множество. Элемент множества. Конечное множество.

Пустое множество. Бесконечное множество. Счётное множество.

Несчётное множество. Выпуклое множество. Способы задания множеств.

Множество и элемент множества относятся к числу первичных понятий, для которых не существует определений в строгом смысле слова. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов ( элементов множества ), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли – всё это примеры множеств.

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.

Пустое множество ( ) не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения sin x = 2 и т.д.

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселе нно й и т.д .

Счётное множество – множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным ( множество книг в библиотеке ) или бесконечным ( множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

элементы множества: …, –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

номера элементов: . 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 . ) .

Несчётное множество – множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным ( продумайте, почему ? ).

Выпуклое множество – множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок АВ . Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

Способы задания множеств . Множество может быть задано следующим образом:

– перечислением всех его элементов по их названиям ( так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

– заданием общей характеристики ( общих свойств ) элементов данного множества ( например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачих и т.д.);

– формальным законом построения элементов множества ( например, формула общего члена числовой последовательности, Периодическая система элементов Менделеева и т.д.).

Авторские права © 2004-2024 Д-р Юрий Беренгард.
Все права защищены.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *