Что m больше n выберите верное неравенство
Перейти к содержимому

Что m больше n выберите верное неравенство

  • автор:

Неравенства — определение и вычисление с примерами решения

Существует много задач, при решении которых нужно сравнить некоторые числа или величины, найти значения переменной, удовлетворяющие некоторому неравенству.

В этом параграфе мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенств с переменной, как решать неравенства и их системы.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Числовые неравенства

Вы знаете, что записи

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа.

Известно, что 25 > 17. Найдем разность левой и правой частей этого неравенства:

25 — 17 = 8 > 0 — разность положительна.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Найдем разность левой и правой частей неравенства 7 10:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

7 — 10 = -3 0 — разность отрицательна.

Из равенства 15=15 имеем:

15-15 = 0 — разность равна нулю.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, существует зависимость между соотношениями «>», «», «=» и значением разности левой и правой частей соответствующего неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение.

Определение:

  • Число а больше числа b, если разность а — b — положительное число;
  • Число а меньше числа b, если разность аb — отрицательное число;
  • Число а равно числу b, если разность а — b равна нулю.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Так как разность чисел а и b может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равна нулю, то для любых чисел а и b выполняется одно и только одно из трех соотношений: а > b, a b или а = b.

Используя данное определение, сравним числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Для этого найдем их разность:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Разность данных чисел — число положительное, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения> Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, для сравнения двух чисел а и b достаточно образовать разность а — b и выяснить, является она положительным числом, отрицательным числом или нулем. Если а — b > 0, то а > b; если а — b Неравенства - определение и вычисление с примерами решения 0, то а Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияb; если а — b = 0, то а = b.

На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит правее точки, изображающей меньшее число (см. рис. 1).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 1

В неравенствах используют знаки: «>» — меньше, «>» — больше, « »— меньше или равно (не больше), «» — больше или равно (не меньше).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства, образованные при помощи знаков «» или «>», называют строгими неравенствами, а неравенства, образованные при помощи знаков «» или «», называют нестрогими.

Из определения соотношений «больше», «меньше», «равно» следует, что а b, если a — b 0; a b, если а — b 0.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Числовые неравенства могут быть верными и неверными. Например, 5 8; 1,2 -1 — верные неравенства, 21 > 30 — неверное неравенство.

Доказательство неравенств

Докажем, что при любом значении а справедливо неравенство

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

(Еще говорят: докажем неравенство а(а — 4) (а — 2)².)

Для этого образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

а(а — 4) — (a — 2)² = а² — 4а — а² + 4а — 4 = -4.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Так как разность а(а — 4) — (а — 2)² отрицательна при любом значении а, то неравенство а(а — 4) (а — 2)² справедливо также при любом значении а.

Пример:

Доказать неравенствоНеравенства - определение и вычисление с примерами решения, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Разность мы представили в виде дроби, числитель которой неотрицателен, так как он является квадратом некоторого числа, а знаменатель положителен как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и разность, неотрицательны: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решениясправедливо при любых положительных числах а и b.

Если в доказанном неравенстве принять, что b = 1, то получим верное неравенство:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Итак, сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше 2.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Доказать неравенство

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно,

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Для положительных чисел а и b число называют их средним геометрическим (или средним пропорциональным). Неравенство

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

справедливо и при любых положительных числах а и b. 11оэтому среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Пример:

Доказать, что неравенство 10a² -6а + 2ab + + 2 > 0 справедливо при любых действительных числах а и b.

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Так как (3а — 1 )² 0, (а + b 0 при любых действительных числах а и b, то (За — 1)² + (а + b)² + 1 > 0.

Примечание. При доказательстве неравенства при помощи определения соотношений «больше», «меньше» или «равно» разность левой и правой части неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности.

Выражение, полученное после преобразований, принимает неотрицательные значения, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п.

Выражение принимает отрицательные значения, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п.

Свойства числовых неравенств

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 1 | Если а > b, то b а.

Доказательство: Если а > b, то а — b — положительное число. Противоположное ему число — (аb) = bа является отрицательным. Так как b — а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения0, то b Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияа.

Свойство 2 | Если а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b и b Неравенства - определение и вычисление с примерами решения с, то а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения с.

Доказательство: По условию а Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияb и b Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияс, поэтому a — b и b — с — отрицательные числа. Сумма двух отрицательных чисел является отрицательным числом, поэтому (а — b) + (b — с) = а — b + b — с = а — с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения0. Так как а — с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения0, то а Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияс.

Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунке 3.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис.3

Аналогично можно доказать утверждение: если а > b и b > с, то а > с.

Свойство 3 | Если к обеим частям верною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b и с — любое число. Докажем, что а + с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + с. Рассмотрим разность (а + с) — (b + с) = а + с — b — с = а — b. Так как а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b, то а — b Неравенства - определение и вычисление с примерами решения 0. Следовательно, (а + с) — (b+ с) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения 0, поэтому а + с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + с.

Аналогично проводится доказательство для случая а > b и любого числа с.

Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный. то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + с — верное неравенство. Прибавим к обоим ее частям число , получим верное неравенство а + (-с) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + с + (-с) или а — с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b. Итак, если перенести слагаемое с в левую часть неравенства, изменив его знак на противоположный, то получим верное неравенство.

Свойство 4 | Если обе части верною неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b. Докажем, что ас Неравенства - определение и вычисление с примерами решения bc, если с — положительное число, и ас > bc. если с — отрицательное число. Рассмотрим разность:

По условию а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b, поэтому а — b Неравенства - определение и вычисление с примерами решения0. F.c л и с > 0, то и произведении с(а — b) первый множитель положительный, а второй — отрицательный. Поэтому с(а — b) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения0. В данном случае ас — bc Неравенства - определение и вычисление с примерами решения0, откуда ас Неравенства - определение и вычисление с примерами решения bc.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если c 0, то произведение с(a — b) положительно как произведение двух отрицательных множителей. Тогда и ас — bc > 0, откуда ас > bс.

Аналогично проводится доказательство, если имеем неравенство а > b.

Справедливой является и часть свойства, касающаяся деления обеих частей неравенства на некоторое число, так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.

Следствие. Если a и b — положительные числа и а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Разделим обе части неравенства а b на положительное число ab. Получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Это следствие можно использовать при сравнении чисел, обратных данным. Например, поскольку .

Замечание. Двойное неравенство а Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияb Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияс можно записать в виде двух неравенств: а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b и b Неравенства - определение и вычисление с примерами решения с. Если а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b и b Неравенства - определение и вычисление с примерами решения с, то для любого числа m справедливы неравенства: а + m Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + m и b + m Неравенства - определение и вычисление с примерами решения с + m, откуда а + m Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияb + m Неравенства - определение и вычисление с примерами решения с + m.

Итак, если ко всем частям верного двойною неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Аналогично можно обосновать утверждения:

  • если аНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияbНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияс и m > 0, то amНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияbmНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияcm;
  • если аНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияbНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияс и mНеравенства - определение и вычисление с примерами решения0, то am > bm > сm, то есть cmНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияbmНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияam.

Пример:

Известно, что 1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияx Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3. Оцените значение выражения:

а) х — 3; б) -х; в) 2х — 5.

Решение:

а) Прибавим ко всем частям неравенства -1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3 число -3, получим:

—1 — 3 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияx — 3 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3 — 3, откуда -4 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях — 3 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения0.

б) Умножим все части неравенства -1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияx Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3 на -1, получим:

1 > -х > -3, или -3 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияНеравенства - определение и вычисление с примерами решения1.

в) Умножим все части заданного неравенства на 2, получим: -2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияНеравенства - определение и вычисление с примерами решения6. Теперь прибавим ко всем частям полученного неравенства число -5, получим:

-2 — 5 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2х — 5 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения6 — 5, откуда -7 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2х — 5 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения1.

Пример:

Доказать, что а³ + 1 а² + а, если а -1.

Решение:

Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Значения выражения (а — 1)² являются неотрицательными. По условию а -1, прибавим к обеим частям этого неравенства число 1, получим: а + 1 0. Поэтому

Следовательно, если а -1, то неравенство а³ + 1 а² + а является верным.

Сложение и умножение числовых неравенств. Оценка значений выражений

Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами.

Сложение числовых неравенств

Возьмем верные числовые неравенства с одинаковыми знаками: -3 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения4 и 5 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения7. Сложим эти неравенства почленно. Получим верное неравенство того же знака, а именно: -3 + 5 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения4 + 7 или 2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения11. В общем случае справедливо такое свойство:

Свойство 5 | Если почленно сложить верные неравенства одного знака, сохранив их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияb и с Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияd. Нужно доказать, что а + с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + d. Чтобы получить сумму а + с, прибавим к обеим частям первого неравенства число с, а чтобы получить сумму b + d, прибавим к обеим частям второго неравенства число b. Получим верные неравенства: а + с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + с, b + с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + d. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что а + с Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b + d.

Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, то а + с > b + d.

Умножение числовых неравенств

Возьмем верные неравенства: 7 > 2 и 5 > 3. Почленно перемножим их. Получим верное неравенство 7 • 5 > 2 • 3 или 35 > 6.

Почленно перемножим неравенства -3 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения1 и -4 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения6. Получим неверное неравенство 12 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения6.

В первом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем следующее свойство.

Свойство 4 | Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, сохранив при этом их общий знак, то получим верное неравенство.

Доказательство: Пусть а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b и с Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияd, где a, b, c и d — положительные числа. Нужно доказать, что ас Неравенства - определение и вычисление с примерами решения bd. Умножим обе части неравенства а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b на положительное число с, а обе части неравенства c Неравенства - определение и вычисление с примерами решения d — на положительное число b. Получим верные неравенства: ас Неравенства - определение и вычисление с примерами решения be, be Неравенства - определение и вычисление с примерами решения bd. По свойству 2 из последних двух неравенств следует, что ас Неравенства - определение и вычисление с примерами решения bd.

Аналогично можно доказать, что если а > b и с > d, где а, b, с и d — положительные числа, то ас > bd.

Следствие. Если а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b, а и b — положительные числа, n — натуральное число, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

При доказательстве следствия достаточно взять н неравенств а b и почленно их перемножить.

Оценка значений выражений

Пример:

Дано: 11 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияx Неравенства - определение и вычисление с примерами решения14 и 1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения у Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2. Оценить: а) сумму х + у; б) разность х — у; в) произведение xy; г) частное Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

а) Оценим сумму х + у.

Применим к неравенствам 11 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения х и 1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияу свойство о почленном сложении неравенств. Получим: 12 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения х + у. Применим это же свойство к неравенствам х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения14 и у Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2. Получим: х + у Неравенства - определение и вычисление с примерами решения16. Результат запишем в виде двойного неравенства 12 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях + у Неравенства - определение и вычисление с примерами решения16.

Сокращенно эти преобразования записывают так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Общая схема оценки суммы имеет такой вид:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

б) Оценим разность х — у.

Зная, как оценивается сумма, представим разность х — у в виде суммы х + (-у).

Сначала оценим значение выражения . Умножив все части неравенства 1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения у Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2 на -1, получим: -1> —у > -2 или -2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияу Неравенства - определение и вычисление с примерами решения-1. Согласно свойству о почленном сложении неравенств получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Общая схема оценки разности имеет такой вид:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

в) Оценим произведение ху.

Поскольку 11 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях Неравенства - определение и вычисление с примерами решения14 и 1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияу Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2, то х и у — положительные числа. Применим к неравенству 11 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения х и 1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияу свойство о почленном умножении неравенств. Получим: 11 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияху. Применим это же свойство к неравенствам х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения14 и y Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2. Получим: ху Неравенства - определение и вычисление с примерами решения28. Результат запишем в виде двойного неравенства 11 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияху Неравенства - определение и вычисление с примерами решения28.

Сокращенно эти преобразования записывают гак:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Общая схема оценки произведения имеет такой вид:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

г) Оценим частное .

Представим частное Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияв виде произведения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку 1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияу Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2,

то Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Согласно свойству о почленном умножении неравенств получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

то есть .

Общая схема оценки частного имеет такой вид:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Доказать неравенство (m + n)(mn + l) 4mn, где m 0, n 0.

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Используем известное неравенство , где а 0, b 0.

Запишем это неравенство для чисел m и n, а потом — для чисел mn и 1. Получим два верных неравенства:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Умножим обе части каждого неравенства на 2:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Почленно перемножив эти неравенства, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Примечание. При доказательстве неравенства из примера 1 мы использовали известное неравенство, доказанное ранее. Особенность использованного способа доказательства неравенств состоит в том, что:

  1. записываем несколько неравенств, доказанных ранее;
  2. перемножив (или сложив) эти неравенства, приходим к доказываемому неравенству.

Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки

Понятие о неравенстве с одной переменной и его решении

Рассмотрим неравенство 2х + 5 > 11. При одних значениях x данное неравенство превращается в верное числовое неравенство, при других — в неверное. Например, при х = 5 получим верное числовое неравенство 2 • 5 + 5 > 11; 15 > 11, а при х = 1 получим неверное числовое неравенство 2 • 1 + 5 > 11; 7 > 11.

Если нужно найти все значения х, при которых неравенство 2х + 5 > 11 является верным, то говорят, что нужно решить неравенство 2х + 5 > 11, содержащее одну переменную х.

При х = 5 неравенство 2х + 5 > 11 является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства или удовлетворяет данному неравенству.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, превращающее его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенство с одной переменной преимущественно имеет бесконечное множество решений. Так, решениями неравенства 2х + 5 > 11 являются числа

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

и т. п. Множества решений неравенства иногда можно записывать в виде числовых промежутков.

Числовые промежутки

Рассмотрим несколько примеров.

1) Неравенству -2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3 удовлетворяют все действительные числа больше -2 и меньше 3, то есть все действительные числа, лежащие на числовой прямой между числами -2 и 3. Множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству -2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3, называют числовым промежутком или просто промежутком и обозначают (-2; 3) (читают: «промежуток от -2 до 3»). На координатной прямой его изображают так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 4

Промежуток заштриховывают, точки -2 и 3 изображают «пустыми» («выколотыми»).

Число 2,2 удовлетворяет двойному неравенству -2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3, а число 4 ему не удовлетворяет. Говорят, что число 2,2 принадлежит промежутку (-2; 3), а число 4 ему не принадлежит.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 5

2) Неравенству -2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3 удовлетворяют все действительные числа, которые лежат между числами -2 и 3 или равны числам -2 или 3. Множество таких чисел обозначают так: [-2; 3] (читают: «промежуток от -2 до 3, включая -2 и 3»). На координатной прямой его изображают так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 6

3) Множества чисел, удовлетворяющих двойным неравенствам -2 х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3 и -2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях 3, обозначают соответственно [-2; 3) и (-2; 3] (читают: «промежуток от -2 до 3, включая -2» и «промежуток от -2 до 3, включая 3»). Эти промежутки изображают на координатной прямой так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 7 а Рис. 7 б

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

4) Неравенству х >4 удовлетворяют все действительные числа больше 4. На координатной прямой чти числа изображают точками, лежащими справа от точки с координатой 4. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 4, изображают полупрямой, находящейся справа от точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; ).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

*Рис. 8

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 4, изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают [4; ) (читают: «промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4»),

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 9

5) Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения8, записывают (Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; 8) и читают «промежуток от минус бесконечности до 8». Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х 8, записывают (Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; 8] и читают: «промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8». На координатной прямой эти числовые промежутки изображают гак:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 10 а

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 10 б

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

6) Множество всех действительных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так:

Объединение и пересечение числовых промежутков

Рассмотрим два промежутка: [-1; 4) и (2; 7).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 11

Промежуток [-1; 7) образуют все числа, принадлежащие промежутку [-1; 4) или промежутку (2: 7). Говорят, что промежуток [-1; 7) является объединением промежутков [-1;4) и (2; 7). Записывают: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— знак объединения.

Определение: Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.

Промежуток (2; 4) образуют все общие числа из промежутков [-1; 4) и (2; 7), то есть все числа, принадлежащие каждому из промежутков [-1; 4) и (2; 7). Говорят, что промежуток (2; 4) является пересечением промежутков [-1; 4) и (2; 7). Записывают:Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— знак пересечения.

Определение: Пересечением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих каждому из этих промежутков.

Для тех, кто хочет знать больше.

Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки [-2; 1] и (3;4). Чисел, принадлежащих обоим этим промежуткам, пет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множество. Его обозначают символомНеравенства - определение и вычисление с примерами решения. Записывают: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Объединением промежутков [-2; 1] и (3; 4) является множество Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, не являющееся числовым промежутком (оно «состоит» из двух промежутков).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Для промежутков Неравенства - определение и вычисление с примерами решениямножество общих чисел содержит только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так: . Записывают: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Легко найти, что Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 13

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Указать наименьшее и наибольшее действительные числа, принадлежащие промежутку:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение: а) ;

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

б) -2; наибольшего действительно числа, принадлежащего этому промежутку, нет. (Это следует из таких соображений. Предположим, что m — наибольшее число из промежутка [-2; 3). Так как m 3, то можно рассматривать промежуток (m; 3), любое число из которого больше m. Следовательно, число m на промежутке [-2; 3) не является наибольшим.);

в) наименьшего числа нет; 4,8;

г) ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет.

Пример:

Отметить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков: а) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; б) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

а) Модулем числа х является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число х на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, соответствующие тем точкам координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не больше 5.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, решениями неравенства являются все числа, принадлежащие промежутку [-5; 5].

б) Решениями неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляются числа, которым соответствуют те точки координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не меньше 5 (больше 5 или равном 5), то есть значения х, удовлетворяющие неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, множеством решений неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется объединение промежутковНеравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение неравенств с одной переменной. Равносильные неравенства

Пример:

Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 м длиннее другой. Какими могут быть стороны участка, чтобы для его ограждения хватило сетки длиной 46 м?

Решение:

Пусть длина меньшей стороны участка равна х м, тогда длина большей —

(х + 5 )м, а периметр участка — 2(х + х + 5) = (4х + 10) (м). По условию периметр не превышает 46 м. поэтому 4х + 10 46.

Чтобы найти стороны участка, нужно решить неравенство 4х + 10 46 с одной переменной х.

При решении неравенства его преобразуют, заменяя более простыми неравенствами с теми же решениями.

Неравенства, имеющие одни и тс же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.

Замену неравенства равносильным» ему неравенствами выполняют на основании таких свойств:

  1. если выполнить тождественные преобразования некоторой чисти неравенства, которые не меняют допустимые значения переменной, то получим неравенство, равносильное данному;
  2. если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое, uxwhug его знак ни противоположный, то получим неравенство, равносильное данному;
  3. если обе чисти неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному;
  4. если обе чисти неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Используя эти и свойства, решим неравенство:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком, получим неравенство

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

равносильное заданному неравенству.

В правой части неравенства 4х 46 — 10 приведем подобные слагаемые, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Разделив обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, неравенство 4х + 10 46 равносильно неравенству х 9, и ему удовлетворяют все числа не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рис. 16

Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили через х м. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, то х может принимать значения из промежутка (0; 9|. Итак, меньшая сторона участка не должна превышать 9 м, большая же сторона на 5 м длиннее нее.

Для тех, кто хочет знать больше.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком и получили неравенство

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны.

Пусть х = а — любое решение неравенства (1), тогда 4а + 10 46 — верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4а 46- 10. Из того, что последнее неравенство является верным, следует, что число а является решением неравенства (2).

Пусть х = b — любое решение неравенства (2), тогда 4b 4b — 10 — верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое -10 из правой части неравенства в левую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4b + 10 46. Из того, что последнее неравенство является верным, следует, что число b является решением неравенства (1).

Мы показали, что любое решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и любое решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть являются равносильными.

Равносильность неравенств 4х 46 — 10 и 4х 36, а также неравенств 4х 36 и х 9 доказывают аналогично.

Пример:

Решить неравенство 3(5х— 1)+ 10 > 7 — 2(1 -6х) и отметить на координатной прямой множество его решений.

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а остальные — в правую часть:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

приведем подобные слагаемые:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

разделим обе части неравенства на 3:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство , отметить на координатной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка.

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, то есть на 18. Получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ, (; 4,2].

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство .

Решение:

Умножим все части неравенства на 2: -4 3х — 1 10. Прибавим ко всем частям неравенства число 1:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Разделим все части неравенства на 3, получим: .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. .

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство:

Решение:

а) Решениями неравенства |2х-3| 5 являются числа, удовлетворяющие двойному неравенству

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Разделим все части неравенства на 2:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

б) Модуль числа — число неотрицательное, поэтому модуль числа не может быть меньше числа -4. Неравенство |3х — 1| -4 не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

в) Выражение 2х — 1, стоящее под знаком модуля, должно принимать значения меньше-5 или больше 5. Итак, 2х — 1 -5 или 2х- 1 > 5.

Если нужно найти все значения х, удовлетворяющие неравенству 2х — 1 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения-5 или неравенству 2х — 1 > 5, то говорят, что нужно решить совокупность неравенств, которую записывают гак: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решая каждое неравенство совокупности, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решениями совокупности являются значения х, удовлетворяющие неравенству х -2 или неравенству х > 3.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения-2 или х > 3. (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Линейные неравенства с одной переменной

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство .

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множеством решений неравенства является числовой промежуток

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

При любом значении х значение левой части неравенства 0 • х > -8 равно нулю, а нуль больше -8. Поэтому множеством решений данного неравенства является множество всех действительных чисел, то есть промежуток

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство .

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенство 0 • х — 5 не имеет решений, так как при любом х значение

ее левой части равно нулю, а нуль не меньше -5.

Ответ. Решений нет.

В результате преобразований мы привели первое неравенство к неравенству 15х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения30, второе — к неравенству 0 • х > -8, третье — к неравенству О • х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения-5. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

Неравенства вида ах > b, ax>b, ах Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b, ах Неравенства - определение и вычисление с примерами решения b, где а и b — некоторые известные числа, а х — переменная, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения,то для решения линейного неравенства с одной переменной нужно разделить обе части неравенства на а. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решениято или решением неравенства является любое число, или неравенство не имеет решений. Выделим следующие основные шаги решения неравенств:

  1. если неравенство содержит дроби, то обе части неравенства умножает на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство;
  2. если в неравенства есть скобки, то раскрываем их;
  3. переносим слагаемые, содержащие переменную, в одну часть неравенства (как правило, в левую), а слагаемые, не содержащие переменной, — в другую часть (как правило, в правую);
  4. приводим подобные слагаемые;
  5. если получили линейное неравенство и коэффициент при переменной не равен нулю, то делим на него обе части неравенства;
  6. если коэффициент при переменной равен нулю, то неравенство или не имеет решений, или его решением является любое число.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Найти область определения функции .

Решение:

Область определения функции образуют те значения х, при которых выражение 8 — 2х принимает неотрицательные значения. Следовательно, нужно решить неравенство 8 — 2х 0. Получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Областью определения функции является промежуток .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство (а + 3)х 5 с параметром а.

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим три случая: 1) а + 3 0; 2) а + 3 = 0; 3) а + 3 > 0.

1) Если а + 3 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения0, то есть а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения-3, то, разделив обе части неравенства на отрицательное число а + 3, получим: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2) Если а + 3 = 0, то есть а = -3, то получим неравенство 0 • х 5, решением которою является любое число.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

3) Если а + 3 > 0. то есть а > —3, то

Ответ. Если а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения-3, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; если а = -3, то решением неравенства является любое число; если а > -3, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Системы линейных неравенств с одной переменной

Понятие системы неравенств с одной переменной и ее решения

Пример:

Одна хозяйка купила на рынке 10 кг помидоров и заплатила за них больше 18 руб. Вторая хозяйка купила такие же помидоры и заплатила за 5 кг меньше 14 руб. По какой цене покупали помидоры хозяйки?

Решение:

Пусть цена 1 кг помидоров х руб., тогда 10 кг стоят 10х руб., что по условию задачи больше 18 руб., то есть 10х > 18.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

5 кг помидоров стоят 5х руб., что по условию задачи меньше 14 руб., то есть 5х 14.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы решить задачу, нужно найти те значения х, при которых верным будет как неравенство 10х > 18, так и неравенство 5х 14.

Если нужно найти те значения переменной, которые удовлетворяют двум неравенствам, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Для нашей задачи систему записывают так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решив каждое из неравенств системы, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, значения х должны удовлетворять условию 1,8 Неравенства - определение и вычисление с примерами решениях Неравенства - определение и вычисление с примерами решения2.8, то есть цена 1 кг помидоров больше 1 руб. 80 к., но меньше 2 руб. 80 к.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Значение х = 2 является решением обоих неравенств системы

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

поскольку каждое из числовых неравенств 10 • 2 > 18 и 5 • 2 14 является

верным. Такое значение х называют решением системы неравенств.

Определение: Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором выполняется каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Решение систем линейных неравенств с одной переменной

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить систему неравенств

Решение:

Решим каждое из неравенств системы:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих первому неравенству последней системы, — промежуток Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, и множество чисел, удовлетворяющих второму неравенству, — промежуток Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие обеим промежуткам, то есть их пересечению:

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить систему неравенств

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие промежутку

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить систему неравенств

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

На координатной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 2, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х -3.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Общих решений неравенства не имеют.

Ответ. Решений нет.

Следовательно, систему линейных неравенств с одной переменной можно решить, используя следующую схему:

  1. решаем каждое неравенство системы;
  2. отмечаем множество решений каждого неравенства на одной координатной прямой;
  3. находим пересечение множеств решений неравенств и записываем множество решений системы в виде промежутка или соответствующего неравенства.

Примечание.

  1. Если система неравенств приводится к виду Неравенства - определение и вычисление с примерами решениягде аНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияb, то решениями системы являются хНеравенства - определение и вычисление с примерами решенияa, то есть х меньше меньшего из чисел а и b.
  2. Если система неравенств приводится к виду Неравенства - определение и вычисление с примерами решениягде а > b, то решениями системы являются x > а, то есть x больше большего из чисел а и b.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство .

Решение:

Найдем значения х, при которых значения выражений, стоящих под знаком модуля, равны нулю:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Значения х = -1 и х = 2 разбивают координатную прямую на три промежутка.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Раскроем модули на каждом из промежутков и решим соответствующие неравенство.

1) х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения—1 или х принадлежит промежутку Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, что сокращенно записывают так: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(знак Неравенства - определение и вычисление с примерами решениячитают: «принадлежит»). При таких значениях х выражение х + 1 принимает отрицательные значения, поэтомуНеравенства - определение и вычисление с примерами решения; выражение х — 2 также принимает отрицательные значения, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Тогда неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решениябудет иметь вид Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Решим полученное неравенство:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Кроме того, значения х должны удовлетворять неравенству х -1, а значит, и

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

системе неравенств Множеством решений этой системы является промежуток (-2.5; -1).

2) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, или Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Значения выражения х + 1 при таких значениях х неотрицательны, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; выражение х -2 принимает отрицательные значения, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Заданное неравенство на промежутке [-1; 2) без знака модуля имеет вид: х + 1 — х + 2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения6, откуда 0 • х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3. Решениями последнего неравенства являются любые числа. Поэтому все числа из промежутка [-1; 2) являются решениями заданного неравенства.

3) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, или Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияНа этом промежутке выражения х + 1 и х — 2 принимают неотрицательные значения, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Заданное неравенство на промежутке Неравенства - определение и вычисление с примерами решениябез знака модуля запишется так: х + 1 + х — 2 Неравенства - определение и вычисление с примерами решения6, откуда 2х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения7; х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3,5.

Значения х должны удовлетворять двум неравенствам: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения3,5, то есть

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

системе множеством решений которой является промежуток [2; 3,5).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Итак, множеством решений заданного неравенства является объединение промежутков (-2,5; -1), [-1; 2) и |2; 3,5), то есть промежуток (-2,5; 3,5).

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

При каких значениях х имеет смысл выражение

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Данное выражение имеет смысл при тех значениях х, при которых каждое из выражений 2х + 9 и 5 + х принимает неотрицательные значения. Поэтому искомые значения л должны удовлетворять систему неравенств

Решим полученную систему:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Общими решениями неравенств являются значения х, удовлетворяющие неравенству х > -4,5.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство

Решение:

Дробь положительна только тогда, когда ее числитель и знаменатель положительны или когда они оба отрицательны. Поэтому решение данного неравенства сводится к решению двух систем неравенств:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решениями первой системы являются значения х, удовлетворяющие неравенству х > 2, а второй — неравенству х — 1.

Ответ, х Неравенства - определение и вычисление с примерами решения-1 или х > 2. (Множество решений можно записать в виде объединения промежутков: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Решение неравенства (х — 2)(х + 1) > 0 также сводится к решению двух систем, приведенных в предыдущем примере. Поэтому множеством решений этого неравенства также является .

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить двойное неравенство .

Решение:

Данное двойное неравенство можно записать в виде системы

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что двойное неравенство в упражнении 3 можно решать и на основании свойств равносильности неравенств (см. пункт 5, упражнение 3).

Как известно, возникновение чисел обусловлено потребностями практической деятельности человека. Применение чисел требовало умения их сравнивать. Делать это люди научились много тысячелетий назад.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Где в «Началах» Евклида сугубо геометрически было обосновано неравенство , где а и b рассматривались как длины отрезков.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию неравенства

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

, где а > 0, b > 0.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

На отрезке MN длиной а + b как на диаметре построим полуокружность, О — ее центр, МКa, KNb. Проведем перпендикуляры РО и LK к прямой MN, где Р и L — точки полуокружности. Треугольник MLN — прямоугольный Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, LK — его высота, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Отрезок РО — радиус полуокружности, поэтому .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку .

Это известное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое можно распространить па случай большего количества чисел, называют еще неравенством Коши.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Огюстен Луи Коши — известный французский математик. Он является автором более 800 работ по арифметике и теории чисел, алгебре, математическому анализу, теоретической и небесной механике, математической физике и т. п. Были периоды, когда Коши каждую неделю подавал в Парижскую Академию наук новую математическую работу. Скорость, с какой Коши переходил от одного предмета к другому, позволила ему проложить в математике немало новых путей. Многие теоремы, определения, признаки носят его имя.

Приведем еще два известных неравенства, которые, как и неравенство Коши, используют для доказательства многих математических утверждений, в частности, для доказательства других неравенств.

Неравенство Коши — Буняковского:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

где — любые действительные числа.

О В. Я. Буняковском читайте в рубрике «Отечественные математики».

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

где — натуральное число.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Якоб Бернулли — швейцарский математик, профессор Базельского университета. Основные его работы посвящены математическому анализу, но особое внимание ученый уделял теории вероятностей. Немало теорем названы его именем. Бернулли положил начало одному из разделов прикладной математики — математической статистике.

Неравенства

  • В этом параграфе вы узнаете, в каком случае число а считают больше (меньше) числа b, каковы свойства числовых неравенств, в каких случаях можно складывать и умножать числовые неравенства, что называют решением неравенства с одной перемен­ной, решением системы неравенств с одной пере­менной.
  • Вы научитесь оценивать значения выражений, доказывать неравенства, решать линейные неравен­ства и системы линейных неравенств с одной пере­менной.

На практике вам часто приходится сравнивать величи­ны. Например, площадь России (603,7 тыс. км2) больше площади Франции (551 тыс. км2), высота горы Роман-Кош (1545 м) меньше высоты горы Говерлы (2061 м), расстояние от Киева до Харькова (450 км) равно 0,011 длины эква­тора.

Когда мы сравниваем величины, нам приходится срав­нивать числа. Результаты этих сравнений записывают в виде числовых равенств и неравенств, используя знаки =, >, b; если число а меньше числа b, то пишут а b и b > с, то а > с.

Доказательство: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияПоскольку по условию а > b и b > с, то разности а — b и b — с являются положительными числа­ми. Тогда положительной будет их сумма (а -b) + (b — с). Имеем: (а — b) + (b — с) = а — с. Следовательно, разность а — с является положительным числом, а поэтому а > с. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично доказывают свойство: если а b и с — любое число, то а + с > b + с.

Доказательство: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияРассмотрим разность (а + с) — (b + с). Имеем: (а + с) — (b + с) = а — b. Поскольку по условию а > b, то разность а — b является положительным числом. Следо­вательно, a + c > b+ c. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично доказывают свойство: если а b + с вер­но. Вычтем из обеих его частей число с. Получим:

Теорема: Если а > b и с — положительное число, то ас > bc. Если а > b и с — отрицательное число, то ас b, следовательно, разность а — b является положительным числом.

Если с > 0, то произведение с (а — b) является положи­тельным числом, следовательно, разность ас — bc является положительной, то есть ас > bc.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку деление можно заменить умножением то, учитывая теорему 2.3, можно сделать такой вывод.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и из­менить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

Доказательство: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияРазделим обе части неравенства а > b на положительное число ab. Получим правильное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Обратим внимание: требование, чтобы числа а и b были одного знака (ab > 0), является существенным. Действи­тельно, неравенство 5 > -3 верно, однако неравенство — неверно.

В теоремах этого пункта шла речь о строгих неравен­ствах. Нестрогие неравенства также обладают аналогичны­ми свойствами. Например, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— любое число, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения

  1. Если с одного поля собрали не менее 40 т пшеницы, а со второго поля — не менее 45 т, то очевидно, что с двух полей вместе собрали не менее 85 т пшеницы.
  2. Если длина прямоугольника не больше, чем 70 см, а ширина — не больше, чем 40 см, то очевидно, что его площадь не больше, чем 2800 см2.

Выводы из этих примеров интуитивно очевидны. Их справедливость подтверждают следующие теоремы.

Теорема: (о почленном сложении неравенств).

Если а > b и с > d, то а + с > b + d .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Рассмотрим разность (а + с) — (b + d). Имеем:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Так как а > b и с > d, то разности а — b и с — d являются положительными числами Следовательно, рассматриваемая разность является положительной, т. е. а + с > b + d

Аналогично доказывается свойство: если а b и с > d (или а b и с d) — неравенствами противоположных знаков.

Говорят, что неравенство а + с > b + d получено из не­равенств а > b и с > d путем почленного сложения.

Теорема: означает, что при почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака.

Отметим, что теорема 3.1 справедлива и в случае по­членного сложения трех и более неравенств. Например, если

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: (о почленном умножении нера­венств). Если а > Ь, с > d и а, и, с, d — положительные числа, то ас > bd.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство: Рассмотрим разность ас — bd. Имеем: ас — bd = ас — bс + bс — bd = с (а — b) + b (с — d).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

По условию а — b > 0, с — d > 0, с > 0, b > 0. Следова­тельно, рассматриваемая разность является положительной. Из этого следует, что ас > bd.

Аналогично доказывается свойство: если а bd получено из неравенств а > b и с > d путем почленного умножения.

Теорема: означает, что при почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и пра­вые части — положительные числа, результатом явля­ется верное неравенство того же самого знака.

Обратим внимание: требование, чтобы обе части умно­жаемых неравенств были положительными, является суще­ственным. Действительно, рассмотрим два верных неравен­ства -2 > -3 и 4 > 1. Умножив почленно эти неравенства, получим верное неравенство -8 > -3.

Заметим, что теорема 3.2 справедлива и в случае почлен­ного умножения трех и более неравенств. Например, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительные числа, причем Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияНеравенства - определение и вычисление с примерами решениято Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следствие: Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительные чис­ла, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— натурально число.

Доказательство: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияЗапишем Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияверных неравенств а > b :

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

неравенств

Так как а и b — положительные числа, то можем перемно­жить почленно Неравенства - определение и вычисление с примерами решениязаписанных неравенств. Получим Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

  • если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  • если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительные числа, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  • если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительные числа, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— натуральное число.

Часто значения величин, являющихся результатами из­мерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение.

Пусть, например, в результате измерения ширины х и длины у прямоугольника было установлено, что 2,5 см 44 является математической моделью задачи о периметре па­раллелограмма.

Если в это неравенство вместо переменной х подставить, например, число 16, то получим верное числовое неравен­ство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44.

Определение: Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Так, каждое из чисел является решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не явля­ется его решением.

Замечание. Определение решения неравенства анало­гично определению корня уравнения. Однако не принято говорить «корень неравенства».

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Все решения неравенства образуют множество решений неравенства. Если неравенство решений не имеет, то гово­рят, что множеством его решений является пустое множе­ство. Пустое множество обозначают символом

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Например, в задаче «решите неравенство ответ будет таким: «все действительные числа, кроме числа 0».

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что неравенство решений не имеет, т. е. множеством его решений является пустое множество.

Определение: Неравенства называют равносильны­ми, если они имеют одно и то же множество решений.

Приведем несколько примеров.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства равносильны. Действитель­но, каждое из них имеет единственное решение х = 0.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства равносильны, так как множеством решений каждого из них является множество действительных чисел.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Так как каждое из неравенств решений не имеет, то они также являются равносильными.

Решение линейных неравенств с одной переменной

Свойства числовых равенств помогали нам решать урав­нения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства.

Решая уравнение, мы заменяли его другим, более прос­тым уравнением, но равносильным данному. По аналогич­ной схеме решают и неравенства.

При замене уравнения на равносильное ему уравнение используют теоремы о перенесении слагаемых из одной части уравнения в другую и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Аналогичные правила применяют и при решении не­равенств.

  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части нера­венства в другую, изменив при этом его знак на противопо­ложный, то получим неравенство, равносильное данному.
  • Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
  • Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак не­равенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

С помощью этих правил решим неравенство, полученное в задаче о периметре параллелограмма (см. п. 4).

Имеем: 14 + 2х > 44.

Переносим слагаемое 14 в правую часть неравенства: 2х > 44 -14.

Разделим обе части неравенства на 2:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что полученное неравенство равносильно ис­ходному неравенству. Множество его решений состоит из всех чисел, которые больше 15. Это множество называют числовым промежутком и обозначают (15; +) (читают: «промежуток от 15 до плюс бесконечности»).

Точки координатной прямой, изображающие решения неравенства х > 15, расположены справа от точки, изобра­жающей число 15, и образуют луч, у которого «выколото» начало (рис. 5).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ может быть записан одним из способов: (15 ; + ; либо х > 15.

Заметим, что для изображения на рисунке числового промежутка используют два способа: с помощью либо штриховки (рис. 5, а), либо дуги (рис. 5, б). Мы будем использовать второй способ.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решите неравенство

Решение:

Перенесем слагаемое х из правой части неравенства в ле­вую, а слагаемое 3 — из левой части в правую и приведем подобные члены:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Умножим обе части неравенства на -2:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множеством решений этого неравенства является число­вой промежуток, который обозначают (читают: «промежуток от -8 до плюс бесконечности, включая -8»).

Точки координатной прямой, изобра­жающие решения неравенства х > -8, образуют луч (рис. 6).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ можно записать одним из способов: Неравенства - определение и вычисление с примерами решениялибо Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решите неравенство

Решение:

Запишем цепочку равносильных неравенств:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множеством решений последнего неравенства является числовой промежуток, который обозначают (чи­тают: «промежуток от минус бесконеч­ности до -1»). Точки координатной прямой, изображающие решения неравенства х b, ах b, ах —————-

Неравенства

В этом разделе вы научитесь:

  • решать неравенства;
  • решать задачи из реальной жизни, при помощи неравенств;
  • тригонометрическим соотношениям;
  • применять тригонометрические соотношения при решении задач;
  • систематизировать и представлять информацию в различных формах;
  • при помощи мер центральных тенденций оценивать и давать прогнозы;
  • определять генеральную совокупность (или популяцию) и выборку для исследования;
  • различать независимые и зависимые события, а также вычислять их вероятность.

Это интересно!

Великий Азербайджанский мыслитель, философ, математик, астроном Насреддин Туси создал научные труды, которые внесли большой вклад в историю человечества. В письменных источниках его называют «Отецом тригонометрии». В своём труде «Об измерении круга» он впервые доказал теорему синусов и применил их для астрономических расчетов.

Неравенства:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства записываются при помощи знаков Неравенства могут быть записаны словами или математическими символами, а также изображены на числовой оси.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

  • Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияесли точка закрашена, то координаты этой точки удовлетворяют неравенству.
  • Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияесли точка не закрашена, то координаты этой точки не удовлетворяют неравенству

Для сравнения чисел и выражений применяются различные методы. Одним из них является метод оценки разности.

  • Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияесли разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияположительна, то число Неравенства - определение и вычисление с примерами решениябольше числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  • Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияесли разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияотрицательна, то число Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияменьше числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  • Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияесли разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияравна нулю, то число Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияравно числу Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  • Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияесли разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне отрицательна, то число Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне меньше числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  • Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияесли разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне положительна, то число Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне больше числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

На числовой оси большему числу соответствует точка, расположенная правее, а меньшему числу соответствует точка, расположенная левее. Значит, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то точка Неравенства - определение и вычисление с примерами решениярасположена правее точки Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то — левее.

Пример:

Сравним выражения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Для этого рассмотрим разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Значит, при любых значениях переменой значение выражения Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне меньше (больше или равно) значения выражения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Свойства неравенств

  1. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  2. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  3. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  4. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство 3-го свойства: если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияТогда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, отсюда следует, что Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияНеравенства - определение и вычисление с примерами решения

Исследование

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим неравенство

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

При значении переменной меньше 7, значение суммы меньше 10.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

При значении переменной равной 7, значение суммы равно 10.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

При значении переменной больше 7, значение суммы больше 10.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенство верно для всех чисел меньше 7.

Свойства неравенств

Теорема. Если неравенство верное, то прибавив или отняв от обеих частей данного неравенства одно и то же число, получим верное неравенство.

Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то для любого числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияНеравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то для любого числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияНеравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Масса морского тюленя может достигать максимально 650 кг. В настоящее время тюлень весит 398 кг. Как при помощи неравенства можно записать массу, которую еще сможет набрать тюлень?

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Свойства неравенств

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство.

Для любых чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияполучим:

  1. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияПример 1.Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  2. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияПример 2.Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если обе части верного неравенства разделить или умножить на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Для любых чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияполучим:

  1. Если , то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияПример 3.Неравенства - определение и вычисление с примерами решения
  2. Если , то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияПример 4.Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Сложение и вычитание неравенств

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Теорема. Если

Если к обеим частям неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияприбавить Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если к обеим частям неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияприбавить Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Из Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияполучим, что Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Данная теорема верна при сложении двух и более неравенств. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Теорема. Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство.

Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияположительные числа, Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, тогда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Если в неравенстве Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияобе части умножим на Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а в неравенстве Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияобе части умножим на Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то получим Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует что, .

Следствие. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияположительные числа и Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, тогда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. (я-натуральное число).

Числовые промежутки

При Неравенства - определение и вычисление с примерами решениямножество всех действительных чисел, удовлетворяющих соотношению Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияназывается интервалом Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

.

Если в множество точек интервала Неравенства - определение и вычисление с примерами решениядобавить точки Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то полученный промежуток будет называться отрезком Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множество всех чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяющих двойному неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, соответственно записывается как Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множество всех точек, удовлетворяющих условию Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи расположенных справа от точки с координатой Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, записывается как Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи читается так: промежуток от Неравенства - определение и вычисление с примерами решениядо плюс бесконечности.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если точка Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпринадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то это записывается как Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи графически изображается так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, записывается как Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи графически изображается так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если точка Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпринадлежит множеству чисел, удовлетворяющих условию Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то это записывается как Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи графически изображается так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение линейных неравенств с одной переменной

Определение. Решением линейною неравенства с одной переменной называется множество всех значений переменной превращающих данное неравенство в верное.

Решить неравенство, значит найти все его решения или докатать, что решений нет. Неравенства, имеющие одинаковые множества решений, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решения, также называются равносильными. При решении неравенств используются следующие следствия, полученные из свойств числовых неравенств:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Например, неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияравносильно неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияравносильно неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

3) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Неравенства вида Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(где Неравенства - определение и вычисление с примерами решениянекоторые числа) называются линейными неравенствами, зависящими от одной переменной.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение неравенства

  1. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения;
  2. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение неравенства

  1. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения;
  2. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

разделим обе части на -3

Неравенства - определение и вычисление с примерами решениярешением неравенства является промежуток Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Графическое представление решения:

Решение двойных неравенств

Двойные неравенства

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Запишем неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияв виде двух неравенств Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Надо найти такие значения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, которые будут удовлетворять неравенствам Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример 2.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Надо найти такие значения х, которые будут удовлетворять неравенствам

Решаем каждое неравенство и находим объединение множеств.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример 3. Двойное неравенство можно решить используя свойства неравенств.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Простые неравенства с переменной, входящей под знаком модуля

Геометрически решением неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется множество всех точек, расположенных на расстоянии меньше 3-х единиц от числа 0. Это все действительные числа, которые расположены между числами 3 и 3, т.е. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

При Неравенства - определение и вычисление с примерами решениянеравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решениягеометрически выражает расстояние от точки 0 до точек Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, при котором это расстояние будет меньше Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Оно состоит из множества точек Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, размещённых на интервале Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияравносильно двойному неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияАналогично, неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияравносильно двойному неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

При Неравенства - определение и вычисление с примерами решениянеравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решениягеометрически выражает расстояние от точки 0 до точек Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, при котором это расстояние будет больше Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Для любого Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, взятого из промежутков Неравенства - определение и вычисление с примерами решениярасстояние от начала отсчета до точки Неравенства - определение и вычисление с примерами решениябольше Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому, множеством решений неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, т.е. объединение промежутков, удовлетворяющее неравенствам Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множество решений неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решениябудет Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства

В этой лекции вы:

  • вспомните числовые неравенства, двойные неравенства;
  • познакомитесь с понятиями объединения и пересечения множеств, линейными неравенствами с одной переменной и их системами;
  • узнаете о свойствах числовых неравенств;
  • научитесь решать линейные неравенства с одной переменной и системы линейных неравенств с одной переменной.

Числовые неравенства

В предыдущих классах вы научились сравнивать всевозможные числа и записывать результат их сравнения в виде равенства или неравенства с помощью знаков Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Например, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Выражение, записанное слева от знака неравенства, называют левой частью неравенства, а выражение, записанное справа, — правой частью неравенства. Так, в последнем неравенстве левой частью неравенства является число 5, а правой — число 7.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенство, обе части которого — числа, называют числовым неравенством. Например,

Для любых двух чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияимеет место одно и только одно из соотношений: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Ранее в зависимости от вида чисел (натуральные числа, десятичные дроби, обычные дроби с одинаковыми или разными знаменателями) мы использовали то или иное правило сравнения чисел. Удобнее было бы иметь универсальное правило сравнения.

Известно, что Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, разность положительна. Рассматривая разность левой и правой частей неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, получаем: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, разность отрицательна. Рассматривая в равенстве Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияразность левой и правой частей, получим, что разность равна нулю: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Приходим к определению сравнения чисел:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример №285

Сравнить Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Рассмотрим разность чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Разность отрицательна, значит .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.

Напомним, что на координатной прямой точка, соответствующая меньшему числу, лежит левее точки, соответствующей большему числу. На рисунке 1 точка, соответствующая числу Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, лежит левее точки, соответствующей числу Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Числовые неравенства бывают верные и неверные.

Например, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— верные числовые неравенства, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— неверные числовые неравенства.

Кроме знаков Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, называемых знаками строгого неравенства, в математике также используют знаки Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(читают: «меньше или равно» или «не больше») и Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(«больше или равно» или «не меньше»). Знаки Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияназывают знаками нестрогого неравенства. Неравенства, которые содержат знак Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, называют строгими неравенствами, а те, которые содержат знак Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили Неравенства - определение и вычисление с примерами решениянестрогими неравенствами.

Из определения соотношений «больше», «меньше» и «равно» получаем, что Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, и Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим, как с помощью определения сравнения чисел можно доказывать неравенства.

Пример №286

Доказать, что при любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияимеет место неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

.

Так как Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то при любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияимеет место неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, что и требовалось доказать.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Условие для примера 2 можно было сформулировать проще, например: доказать неравенство .

Пример №287

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Доказать неравенство .

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и упростим ее:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

.

Так как Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, по определению, неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияверно при любом Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, что и требовалось доказать.

Пример №288

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Доказать неравенство .

Доказательство: В левой части неравенства выделим квадраты двучленов:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

.

При любых значениях Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

А значит, .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Напомним, что число Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияназывают средним арифметическим чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Для неотрицательных чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решениячисло Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияназывают их средним геометрическим.

Пример №289

Доказать, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне меньше их среднего геометрического (неравенство Коши):

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

.

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее, учитывая, что Неравенства - определение и вычисление с примерами решениядля Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения Неравенства - определение и вычисление с примерами решениядля любых Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри любых Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, что и требовалось доказать. Отметим, что знак равенства в неравенстве Коши возможен тогда и только тогда, когда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияПонятия «больше» и «меньше» появились одновременно с понятием «равно».Еще с древних времен в практической деятельности человека возникла потребность сравнивать количество предметов, длины отрезков, площади участков и т. п. Так, например, несколько неравенств присутствует в выдающемся труде «Начала» древнегреческого математика Евклида (ок. 356-300 до н. э.). В частности, там он доказывает неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решениягеометрическим методом для положительных чисел Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы оценить отношение длины круга Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияк его диаметру Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(позже названное числом Неравенства - определение и вычисление с примерами решения), другой древнегреческий физик и математик Архимед (ок. 287-212 до н. э.) использовал неравенство:Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Привычные нам символы для записи неравенств появились лишь в XVII—XVIII в. Знаки Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решениявпервые использовал английский математик Томас Харриот (1560-1621) в работе «Практика аналитического искусства», опубликованной в 1631 году, а знаки Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— в 1734 году французский математик и астроном Пьер Бугер (1698-1758).

Кроме неравенства Коши отметим еще и такие известные неравенства:

1) Неравенство Бернулли.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— 1, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— целое число.

2) Неравенство Чебышёва.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительные числа, причем Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

3) Неравенство Коши-Буняковского.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— любые числа.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Последнее неравенство доказали французский математик О. Л. Коши (1789-1857) и наш земляк В. Я. Буняковский. Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) родился в г. Бар (сейчас — Винницкая обл.). Учился по большей части за рубежом, в основном во Франции, где его ближайшим наставником был сам Коши. В 1825 году в Парижском университете Буняковский защитил диссертацию и получил степень доктора наук. Его исследования касались области прикладной математики и математической физики. В 1826 году он переезжает из Парижа в Петербург и начинает преподавать математику и механику в известных на то время учебных заведениях, одновременно занимаясь переводом работ Коши с французского.

Основные свойства числовых неравенств

Рассмотрим свойства числовых неравенств.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 1.

Доказательство: Поскольку Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, но Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично будем рассуждать и в случае, когда .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 2.

Доказательство: По условию Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, т. е. числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительны. Рассмотрим разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Имеем: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(так как числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительны). Поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Аналогично рассуждаем, когда Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунках 2 и 3.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 3.

Доказательство: По условию Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, значит, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Рассмотрим разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи преобразуем ее:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следствие: .

Доказательство: Так как Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, т.е. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Но Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Из этого следствия имеем:

если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим верное неравенство.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Свойство 4.

Доказательство: Пусть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, тогда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Рассмотрим разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи преобразуем ее: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а значит, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а значит Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Так как Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то, обозначив Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, получим, что аналогичное свойство имеет место и в случае деления обеих частей неравенства на отличное от нуля число Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

  • если обе части верного неравенства у множить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство;
  • если обе части верного неравенства у множить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

Доказательство: Разделим обе части неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияна положительное число Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; тогда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №290

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Дано: . Сравнить:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Если к обеим частям верного неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияприбавим число 1, то по свойству 3 получим: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

2) Если к обеим частям верного неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияприбавим число -5, то по свойству 3 получим верное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

3) Если обе части верного неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияумножим на положительное число 1,7, то по свойству 4 получим верное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

4) Если обе части верного неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияумножим на отрицательное число -1, то по свойству 4 получим верное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

5) Если обе части верного неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияумножим на отрицательное число -10, то по свойству 4 получим верное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение таких упражнений можно записать короче:

6) Если обе части верного неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияразделим на положительное число 8, то по свойству 4 получим верное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Напомним, что в математике есть и двойные числовые неравенства: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Например, двойное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияозначает, что одновременно имеют место неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Так как Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то для любого числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпо свойству 3 имеют место неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, если ко всем частям верного двойного неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство.

Рассуждая аналогично, получаем:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотренные нами свойства числовых неравенств можно использовать для оценивания значении выражении.

Пример №291

Оценить периметр квадрата со стороной Неравенства - определение и вычисление с примерами решениясм, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как периметр Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияквадрата находят по формуле Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то все части неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решениянужно умножить на 4. Получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, тогда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, периметр квадрата больше чем 12,8 см, но меньше чем 15,6 см.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. .

Пример №292

Дано: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Оценить значение выражения:Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Используя форму записи, предложенную в задании 5 примера, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Почленное сложение и умножение неравенств

Продолжим рассмотрение свойств неравенств.

Допустим, имеем два верных неравенства одного знака: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Сложим их левые части, их правые части и между результатами запишем такой же знак: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Получим верное числовое неравенство, ведь, действительно, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Действие, которое мы выполнили, называют почленным сложением неравенств. Заметим, что почленно складывать можно лишь неравенства одного знака.

Свойство 5 (почленное сложение неравенств). Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство: К обеим частям неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияприбавим число Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а к обеим частям неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— число Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, получим два верных неравенства: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, что и требовалось доказать.

Аналогично доказываем, что если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Свойство 5 справедливо и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.

Пример №293

Стороны некоторого треугольника равны Неравенства - определение и вычисление с примерами решениясм, Неравенства - определение и вычисление с примерами решениясм и Неравенства - определение и вычисление с примерами решениясм. Оценить периметр треугольника Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(в см), если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Приведем сокращенную запись решения:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. .

Свойство, аналогичное почленному сложению двух и более неравенств, существует и для умножения. Почленно умножив верные неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, получим верное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, ведь Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Если же почленно перемножить верные неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, получим Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— неверное неравенство. Отметим, что в первом случае обе части неравенств были положительны Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а во втором -некоторые были отрицательны Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Свойство 6 (почленное умножение неравенств). Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительные числа, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство: Умножим обе части неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияна положительное число Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а обе части неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— на положительное число Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияполучим два верных неравенства: Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(по свойству 2). Доказано.

Аналогично можно доказать, что если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительные числа, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Отметим, что свойство 6 справедливо и для более чем двух неравенств.

Следствие: Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— положительные числа, причем Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— натуральное число.

Доказательство: Перемножив почленно Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияверных неравенств Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, получим Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

С помощью рассмотренных нами свойств можно оценивать сумму, разность, произведение и частное чисел.

Пример №294

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Дано: . Оцените значение выражения:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

1)

2) Чтобы оценить разность Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, представим ее в виде суммы: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, но сначала оценим выражение Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Умножив все части неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияна число Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи изменив знаки неравенства на противоположные, получим: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом,

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

3)

4) Чтобы оценить частное Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, представим его в виде произведения:Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Оценим выражение Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.

С помощью рассмотренных свойств можно также доказывать неравенства.

Пример №295

Доказать, что Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

К каждому множителю левой части неравенства применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши), получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Используя свойство 4, обе части каждого из этих неравенств умножим на 2, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

.

Перемножим эти неравенства почленно:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,, что и требовалось доказать.

Неравенства с переменными. решение неравенства

Рассмотрим неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, содержащее переменную. При одних значениях переменной Неравенства - определение и вычисление с примерами решениянеравенство обращается в верное числовое неравенство, а при других — в неверное. Действительно, если вместо Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияподставить, например, число 8, то получим Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— верное неравенство, если же подставить число 4, то получим неверное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. В таком случае говорят, что число 8 является решением неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(или число 8 удовлетворяет неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения), а число 4 — не является его решением (или число 4 не удовлетворяет неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения).

Также решениями неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляются, например, числа Неравенства - определение и вычисление с примерами решеният. д.

Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Пример №296

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство: 1)

Решение:

1) Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри всех Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, причем Неравенства - определение и вычисление с примерами решениятогда и только тогда, когда Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Значит, решением неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется любое положительное число.

2) Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, поэтому Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри

любом Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, значение выражения Неравенства - определение и вычисление с примерами решениятакже будет положительным при любом Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. А значит, при любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решениянеравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется неверным, т. е. не имеет решений.

Ответ. 1) Любое число, большее нуля; 2) нет решений.

Числовые промежутки. пересечение и объединение множеств

Множество решений неравенств удобно записывать с помощью числовых промежутков.

Пример №297

Рассмотрим двойное неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Ему удовлетворяют все числа больше -4 и меньше 1, то есть числа, лежащие на координатной прямой между числами -4 и 1. Множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, называют числовым промежутком, или просто промежутком, от -4 до 1 и обозначают: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(читают: «промежуток от -4 до 1»). Чтобы показать на координатной прямой это множество, его выделяют штриховкой, как показано на рисунке 4. При этом точки -4 и 1 изображают «пустыми» (или «выколотыми»).

Число -1 удовлетворяет неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а число 2 ему не удовлетворяет. В таком случае говорят, что число -1 принадлежит промежутку Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а число 2 — не принадлежит (рис. 5). Следовательно, любое число, удовлетворяющее неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, принадлежит промежутку Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, и, наоборот, любое число, принадлежащее промежутку Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяет неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример №298

Двойному неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияудовлетворяют не только все числа, большие, чем -4, и меньшие, чем 1, но и сами числа -4 и 1. Множество этих чисел обозначают Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(читают: «промежуток от -4 до 1, включая -4 и 1»). В этом случае на координатной прямой выделяют промежуток между числами -4 и 1 вместе с этими числами (рис. 6).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример №299

Множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, обозначают: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(читают: «промежуток от -4 до 1, включая -4»). Этот промежуток изображен на рисунке 7.

Пример №300

Множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, обозначают: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(читают: «промежуток от -4 до 1, включая 1»). Этот промежуток изображен на рисунке 8.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример №301

Неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияудовлетворяют все числа, большие, чем 2, то есть числа, лежащие на координатной прямой справа от числа 2. Множество этих чисел обозначают Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности») и изображают лучом, выходящим из «пустой» точки с координатой 2 (рис. 9).

Пример №302

Неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияудовлетворяют все числа, большие, чем 2, и само число 2. Множество этих чисел обозначают: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(читают: «промежуток от 2 до плюс бесконечности, включая 2») и изображают лучом, лежащим справа от точки с координатой 2, включая эту точку (рис. 10).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример №303

Множество чисел, удовлетворяющих условию Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, записывают так: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(читают: «промежуток от минус бесконечности до 4»). Это множество изображено на рисунке 11.

Пример №304

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Множество чисел, удовлетворяющих условию , записывают так: (читают: «промежуток от минус бесконечности до 4, включая 4»). Изображено оно на рисунке 12.

Таким образом, если конец промежутка принадлежит промежутку (например, для нестрогого неравенства), то этот конец заключают в квадратную скобку, во всех остальных случаях конец заключают в круглую скобку.

Множество всех чисел изображает вся координатная прямая и его записывают в виде Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Множество, не содержащее ни одного числа, обозначают символом Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи называют пустым множеством.

Над множествами можно выполнять некоторые действия (операции). Рассмотрим два из них: пересечение и объединение.

Пересечением множеств Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияназывают множество, которое состоит из элементов, принадлежащих как множеству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, так и множеству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пересечение множеств записывают с помощью символа . Изображать пересечение множеств удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 13).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример №305

Если даны множества Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Пересечением числовых промежутков называют множество, которое содержит все числа, принадлежащие как одному промежутку, так и другому.

Пример №306

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

(рис. 14).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример №307

Промежутки Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне имеют общих точек (рис. 15), поэтому их пересечением является пустое множество. Записать это можно так: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Объединением множеств Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияназывают множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Для записи объединения множеств используют символ . Изображать объединение множеств также удобно в виде диаграмм Эйлера-Венна (рис. 16).

Пример №308

Если даны множества Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Объединением числовых промежутков называют множество, которое состоит из всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков.

Пример №309

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Отметим, что объединение промежутков не всегда является промежутком. Например, множество Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне является промежутком (рис. 15).

Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства

Неравенства вида Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения-переменная, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то обе части неравенства можно разделить на Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, учитывая при этом свойство числовых неравенств, то есть если а Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то знак неравенства оставляем без изменении; если же Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то знак неравенства изменяем на противоположный.

Пример №310

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство: 1) .

Решение:

1) Разделив обе части неравенства на 2, получим: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, решением неравенства является промежуток Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

2) Разделив обе части неравенства на -3 и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. 1) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; 2) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Отметим, что ответ можно было записать и так:

1) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; 2) Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Для неравенств с переменными имеют место свойства, подобные тем, которые справедливы и для уравнений:

  1. если в любой части неравенства раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим неравенство, равносильное данному;
  2. если в неравенстве перенести слагаемое из одной его части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному;
  3. если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному; если же обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Чтобы решить уравнение, мы приводим его к равносильному ему, но более простому уравнению. Аналогично, пользуясь свойствами неравенств, можно решать и неравенства, приводя их к более простым неравенствам, им равносильным.

Пример №311

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство

Решение:

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей — число 6, далее упростим его левую часть и перенесем слагаемые с переменной в левую часть неравенства, а без переменной — в правую.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Получили неравенство, равносильное исходному. Оно не имеет решений, так как при любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решениялевая часть неравенства будет равна нулю, а неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется неверным.

Ответ. Решений нет.

Пример №312

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство .

Решение:

Раскрыв скобки, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

.

Решая далее, имеем: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; то есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Последнее неравенство равносильно исходному и является верным при любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, так как при любом значении Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияего левая часть будет равна нулю, а неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется верным. Таким образом, решением неравенства будет любое число, а значит, множеством решений является промежуток Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: .

Из примеров 2 и 3 можно сделать вывод, что

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

неравенства вида или не имеют решений, или их решение — любое число.

Пример №313

Для каждого значения Неравенства - определение и вычисление с примерами решениярешить неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, где Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— переменная.

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы привести неравенство к линейному, перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, остальные — в правую часть:

Значение выражения Неравенства - определение и вычисление с примерами решениядля разных значений Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияможет быть положительным, отрицательным или нулевым, поэтому рассмотрим отдельно каждый из этих случаев:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

1) Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то, разделив левую и правую части неравенства на положительное число Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2) Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, получим не имеющее решений неравенствоНеравенства - определение и вычисление с примерами решения.

3) Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то, разделив левую и правую части неравенства на отрицательное число Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи изменив знак неравенства на противоположный, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения; если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то решений нет; если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения,то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Системы линейных неравенств с одной переменной, их решение

Рассмотрим задачу. Велосипедист за 2 ч преодолевает расстояние, большее чем 24 км, а за 3 ч — расстояние, меньшее чем 39 км. Найти скорость велосипедиста.

Решим ее. Пусть скорость велосипедиста равна Неравенства - определение и вычисление с примерами решениякм/ч, тогда за 2 ч он преодолевает Неравенства - определение и вычисление с примерами решениякм, а за 3 ч — Неравенства - определение и вычисление с примерами решениякм. По условию задачи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Нам нужно найти такие значения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, при которых верным будет как неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, так и неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть нужно найти общие решения обоих неравенств. В таком случае объединяют неравенства в систему и говорят, что нужно решить систему неравенств:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Так как оба неравенства — линейные, то получим систему линейных неравенств с одной переменной.

Решив каждое из неравенств системы, имеем систему:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Значит, значение Неравенства - определение и вычисление с примерами решениядолжно удовлетворять условию: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Следовательно, скорость велосипедиста больше чем 12 км/ч, но меньше чем 13 км/ч.

Число 12,6 удовлетворяет каждому из неравенств системы

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

И действительно, каждое из числовых неравенств Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется верным. В таком случае говорят, что число 12,6 — решение данной системы неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором верным является каждое из неравенств системы.

Решить систему — означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

При решении системы неравенств целесообразно придерживаться следующей последовательности действий:

  1. решить каждое из неравенств системы;
  2. отметить множество решений каждого из неравенств на координатной прямой;
  3. найти пересечение этих множеств, которое и будет множеством решений системы;
  4. записать ответ.
Пример №314

Решить систему неравенств:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Постепенно заменяя каждое из неравенств системы ему равносильным, но более простым, получим:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Отметим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(рис. 26). Множеством решений системы является пересечение этих множеств, то есть промежуток Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ в примере 1 можно записать и так: .

Пример №315

Найти все целые решения системы неравенств:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем сначала все решения системы:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, решением системы является промежуток . Теперь найдем все целые числа, принадлежащие этому промежутку: -5; -4; -3. Таким образом, целыми решениями системы являются числа -5; -4; -3.

Пример №316

Решить систему неравенств:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Отметив полученные решения неравенств системы на координатной прямой (рис. 28), видим, что общих точек у них нет, а значит, пересечением промежутков является пустое множество. Следовательно, система решений не имеет.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Решений нет.

Пример №317

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решить неравенство .

Решение:

Перепишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решим эту систему:

Таким образом, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. .

Решение можно записать и так:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

А ответ можно также представить в виде: .

Неравенства: равносильные преобразования неравенств и общий метод интервалов

Понятия неравенства с одной переменной и его решений

Определение:

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков Неравенства - определение и вычисление с примерами решениято получим неравенство с переменной. В общем виде неравенство с одной переменной Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(например, для случая «больше») записывают так: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

— линейное неравенство;

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

— квадратное неравенство;

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

— дробное неравенство

Определение:

Решением неравенства с переменной называется значение переменной, которое обращает заданное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— одно из решений неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, так как при Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияполучаем верное неравенство: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2. Область допустимых значений (ОДЗ)

Определение:

Областью допустимых значений (или областью определения) неравенства называется общая область определения для функций Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, которые стоят в левой и правой частях неравенства

Пример:

Для неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияОДЗ: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, так как область определения функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияопределяется условием: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а областью определения функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляется множество всех действительных чисел

3. Равносильные неравенства

Определение:

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения

то есть каждое решение первого неравенства является решением второго и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве)

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства)

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства)

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

4. Метод интервалов (решения неравенств вида )

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2. Найти нули функции

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.

4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решите неравенство

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

► Пусть

1. ОДЗ: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть, Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2. Нули функции:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

(входят в ОДЗ)

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

3.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ:

5. Схема поиска решения неравенств

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

— исходное неравенство;

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

— неравенство, полученное в результате преобразования исходного;

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

— символическое изображение выполненных преобразований (с указанием направления их выполнения)

Объяснение и обоснование:

Понятия неравенства с переменной и его решений

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков то получаем неравенство с переменной.

Аналогично уравнению, неравенство с переменной (например, со знаком Неравенства - определение и вычисление с примерами решения) чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении тех значений аргументов, при которых значение одной из заданных функций больше, чем значение другой заданной функции. Поэтому в общем виде неравенство с одной переменной Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(например, для случаев «больше») записывают так: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Например, решениями неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияявляются все значения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, для неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решениярешениями являются все действительные числа (Неравенства - определение и вычисление с примерами решения), а неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне имеет решений, поскольку значение Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне может быть отрицательным числом, меньшим Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенств

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется аналогично ОДЗ уравнения. Если задано неравенство Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то общая область определения функций Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияназывается областью допустимых значений этого неравенства (иногда используются также термины «область определения неравенства» или «множество допустимых значений неравенства»). Например, для неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияобластью допустимых значений являются все действительные числа (это можно записать, например, так: ОДЗ: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения), поскольку функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияимеют области определения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, так и в область определения функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство). Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения.

Например, в неравенстве Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияфункция Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияопределена при всех действительных значениях Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, а функция Неравенства - определение и вычисление с примерами решения— только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Таким образом, ОДЗ этого неравенства задается системой Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияиз которой получаем систему Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияне имеющую решений. Таким образом, ОДЗ заданного неравенства не содержит ни одного числа, поэтому это неравенство не имеет решений.

В основном при решении неравенств различных видов приходится применять один из двух методов решения: равносильные преобразования неравенств или так называемый метод интервалов.

Равносильные неравенства

С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса. Как и для случая равносильных уравнений, равносильность неравенств мы будем рассматривать на определенном множестве.

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

Договоримся, что в дальнейшем все равносильные преобразования неравенств будем выполнять на ОДЗ заданного неравенства. В случае когда ОДЗ заданного неравенства является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем его записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных неравенств). И в других случаях главное — не записать ОДЗ при решении неравенства, а действительно учесть ее при выполнении равносильных преобразований заданного неравенства.

Общие ориентиры выполнения равносильных преобразований неравенств аналогичны соответствующим ориентирам выполнения равносильных преобразований уравнений.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования неравенств, необходимо учитывать ОДЗ заданного неравенства — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований неравенств.

По определению равносильности неравенств необходимо обеспечить, чтобы каждое решение первого неравенства было решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства было решением первого. Для этого достаточно обеспечить сохранение верного неравенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях. Это и есть второй ориентир для решения неравенств с помощью равносильных преобразований. Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны (соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 11).

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований неравенство

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

достаточно учесть его ОДЗ: и условие положительности дроби (дробь будет положительной тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки), а также учесть, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлении с сохранением верного неравенства.

► Данное неравенство равносильно

совокупности двух систем:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(2)

Тогда получаем Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: .

Заметим, что при записи условия положительности дроби — совокупности систем (2) — мы неявно учли ОДЗ неравенства (1). Действительно, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияили Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, поэтому в явном виде ОДЗ заданного неравенства не записано при оформлении решения.

Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

3. Если обе части неравенства у множить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства ) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство,равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Для обозначения перехода от заданного неравенства к неравенству, равносильному ему, можно применять специальный значок , но его использование при оформлении решений не является обязательным (хотя иногда мы будем его использовать, чтобы подчеркнуть, что было выполнено именно равносильное преобразование).

Метод интервалов

Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функции. Объясним эти свойства, используя графики известных нам функций, например функций Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(рис. 54).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Рассматривая эти графики, замечаем, что функция может изменить свой знак только в двух случаях:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

1) если график разрывается (как в случае функции (рис. 54, а) — график разрывается в точке 0 и знак функции изменяется в точке 0);

2) если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот). Но тогда график пересекает ось Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(как в случае функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решения) (рис. 54, б). На оси Неравенства - определение и вычисление с примерами решениязначения функции равны нулю. (Напомним, что значения аргумента, при которых функция равна нулю, называют нулями функции.) Таким образом, любая функция может поменять свой знак только в нулях или в точках, где разрывается график функции (в так называемых точках разрыва функцииНеравенства - определение и вычисление с примерами решения). Точки, в которых разрывается график функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, мы выделяем, как правило, когда находим область определения этой функции. Например, если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то ее область определения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, и именно в точке 0 график этой функции разрывается (рис. 54, а). Если же на каком-нибудь промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то по приведенному выше выводу она не может на этом промежутке поменять свой знакНеравенства - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, если отметить нули функции на ее области определения, то область определения разобьется на промежутки, внутри которых знак функции измениться не может (и поэтому этот знак можно определить в любой точке из этого промежутка).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Подробнее это понятие будет рассмотрено в 11 классе.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

В 11 классе мы уточним формулировку этого свойства (так называемых непрерывных функций). Для всех известных вам функций (линейных, квадратичных, степенных, дробно-рациональных) это свойство имеет место.

В таблице 12 приведено решение дробно-рационального неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияметодом интервалов; комментарий, объясняющий каждый этап решения; план решения неравенств вида Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияметодом интервалов.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

1. ОДЗ: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2. Нули

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

тогда .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

3.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

4. Ответ: .

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

1. Рассмотрим функцию, стоящую в левой части этого неравенства, и обозначим ее через .

Решением неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решениямогут быть только числа, которые входят в область определения функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, то есть числа, входящие в ОДЗ неравенства. Поэтому первым этапом решения неравенства методом интервалов будет нахождение его ОДЗ

2. Нас интересуют те промежутки области определения функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, на которых эта функция положительна. Как было отмечено выше, элементарная функция Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияможет поменять знак в своих нулях, поэтому вторым этапом решения неравенства Неравенства - определение и вычисление с примерами решениябудет нахождение нулей функции (для этого приравниваем функцию Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияк нулю и решаем полученное уравнение)

3. Если теперь отметить нули на области определения функции , то область определения разбивается на промежутки, внутри каждого из которых функция не меняет свой знак. Поэтому знак функции на каждом промежутке можно определить в любой точке этого промежутка. Это и является третьим этапом решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

4. Из рисунка видно, что решением неравенства является объединение промежутков

1. Найти ОДЗ неравенства

2. Найти нули Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияНеравенства - определение и вычисление с примерами решения

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства

Приведем пример решения более сложного дробно-рационального неравенства методом интервалов и с помощью равносильных преобразований.

Пример:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Решите неравенство

I способ (метод интервалов)

Решение:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

►Пусть

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

1. ОДЗ:

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

2. Нули

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

(принадлежат ОДЗ).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения4. Ответ: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Данное неравенство имеет вид , и для его решения можно применить метод интервалов. Для этого используем план, приведенный выше и в таблице 11.

При нахождении нулей Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияследим за тем, чтобы найденные значения принадлежали ОДЗ (или выполняем проверку найденных корней уравнения Неравенства - определение и вычисление с примерами решения).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа ).

II способ (с помощью равносильных преобразований)

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Выберем для решения метод равносильных преобразований неравенства. При выполнении равносильных преобразований мы должны учесть ОДЗ данного неравенства, то есть учесть ограничение .

Но если Неравенства - определение и вычисление с примерами решения, и тогда в данной дроби знаменатель положителен. Если выполняется данное неравенство, то числитель дроби Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(и наоборот, если выполняется последнее неравенство, то на ОДЗ дробь Неравенства - определение и вычисление с примерами решения), то есть данное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы решить полученное квадратное неравенство, найдем корни квадратного трехчлена Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи построим эскиз графика функции Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Решение квадратного неравенства: Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Поскольку все преобразования были равносильными только на ОДЗ, то мы должны выбрать те решения квадратного неравенства, которые удовлетворяют ограничению ОДЗ.

Решение:

► ОДЗ: Неравенства - определение и вычисление с примерами решениято есть Неравенства - определение и вычисление с примерами решения.

Тогда Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияи данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенству Неравенства - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпри Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(эти значения Неравенства - определение и вычисление с примерами решенияпринадлежат ОДЗ), получаем Неравенства - определение и вычисление с примерами решения(см. рисунок).

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая ОДЗ, получаем ответ.

Неравенства - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: .

  • Числовые последовательности
  • Предел числовой последовательности
  • Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
  • Функции, их свойства и графики
  • Системы линейных уравнений с двумя переменными
  • Рациональные выражения
  • Квадратные корни
  • Квадратные уравнения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *